Предположим, что имеется наименьшее чётное число H = 2G, не удовлетворяющее ГГ. Тогда, все чётные, меньшие, чем H, удовлетворяют ГГ.
Например, число (H – 2) представимо в виде суммы двух простых: P1и P2 (пусть, для определённости: P1 < G – 1 < P2). При этом, чтобы H не удовлетворяло ГГ, эти числа должны удовлетворять следующим ограничениям:
1) Ни P1, ни P2 не должны быть младшими из близнецов, потому что, в этом случае, получим, что старший близнец будет P3 = P1+ 2 (или P4 = P2+ 2) и в сумме с P2 (или с P1) даст число H = P3 + P2 = P1+ 2 + P2 = (H – 2) + 2 = H.
Например, P1 = 11, P2 = 19 в сумме дают 30. Так как P1 является младшим близнецом, то P3 = P1+ 2 = 13, и P3 + P2 = 32. Аналогично для P1 = 13, P2 = 17, дающих в сумме также 30, но уже младшим близнецом является P2. Имеем P4 = P2+ 2 = 19 и P1 + P4 = 32.
2) Если P1 или P2 имеет соседом простое число (P1 + 4) или (P2 + 4), то P2 или P1 не должно быть старшим близнецом, потому что P3 = P1+ 4 и P4 = P2– 2 дадут в сумме H = P3 + P4 = P1+ 4 + P2– 2 = (H – 2) + 2 = H.
Например, P1 = 19, P2 = 31 в сумме дают 50. Так как P3 = P1+ 4 = 23 – простое число, и P4 = P2– 2 = 29, то P3 + P4 = 52. Аналогично для P1 = 31, P2 = 67, дающих в сумме 98, но уже старшим близнецом является P1. Имеем P3 = P1– 2 = 29 и P4 = P2+ 4 = 71 и P3 + P4 = 100.
3) Если P1 или P2 имеет соседом простое число (P1 + 6) или (P2 + 6), то P2 или P1 не должно иметь соседом простое число (P2 – 4) или (P1 – 4), потому что P3 = P1+ 6 и P4 = P2– 4 дадут в сумме H = P3 + P4 = P1+ 6 + P2– 4 = (H – 2) + 2 = H.
Например, P1 = 31, P2 = 47 в сумме дают 78. Так как P3 = P1+ 6 = 37 – простое число, и P4 = P2– 4 = 43, то P3 + P4 = 80. Аналогично для P1 = 17, P2 = 31, дающих в сумме 48, имеем P3 = P1– 4 = 13 и P4 = P2+ 6 = 37 и P3 + P4 = 50.
4) Если P1 или P2 имеет соседом простое число (P1 + 8) или (P2 + 8), то P2 или P1 не должно иметь соседом простое число (P2 – 6) или (P1 – 6), потому что P3 = P1+ 8 и P4 = P2– 6 дадут в сумме H = P3 + P4 = P1+ 8 + P2– 6 = (H – 2) + 2 = H.
Например, P1 = 11, P2 = 67 в сумме дают 78. Так как P3 = P1+ 8 = 19 – простое число, и P4 = P2– 6 = 61, то P3 + P4 = 80. Аналогично для P1 = 37, P2 = 59, дающих в сумме 96, имеем P3 = P1– 6 = 31 и P4 = P2+ 8 = 67 и P3 + P4 = 98.
Аналогичные ограничения будут накладываться на все простые числа, являющиеся соседями P1и P2 в пределах интервалов (0, G – 1) и (G – 1, H – 2) соответственно.
Более того, аналогичные ограничения будут накладываться и на представления всех чётных из интервала (G, H) в виде суммы двух простых, т.е., для чисел:
(H – 4), (H – 6), (H – 8), (H – 10), (H – 12), (H – 14), (H – 16), (H – 18), (H – 20),...
Вопрос: «Возможно ли одновременно удовлетворить все эти ограничения и тем самым получить число H, не удовлетворяющее ГГ ?»
У числа P1 < G – 1 заведомо будет большое количество соседей в интервале (0, G – 1) с самыми различными «расстояниями» до них. А это значит, что для P1 невозможно удовлетворить всем ограничениям одновременно.
Другое дело, число P2, у которого соседей в интервале (G – 1, H – 2) будет намного меньше (для очень большого числа H).
Но, чтобы удовлетворить всем ограничениям одновременно, «расстояние» до ближайшего соседа числа P2 должно быть больше «расстояния» до наиболее удалённого соседа числа P1 более чем на 2 единицы.
Но такому размещению числа P2 в интервале (G – 1, H – 2) будут мешать два обстоятельства:
1) Числа P1и P2 должны быть равноудалены от числа G – 1, чтобы давать в сумме H – 2;
2) В интервале (G – 1, H – 2) должно быть заведомо более одного простого числа (усиление теоремы Бертрана-Чебышёва), чтобы обеспечить выполнение ГГ для всех чисел, меньших H, что являлось исходным пунктом наших рассуждений.
Ещё раз напомню, что речь не только о чётном числе (H – 2), но и обо всех остальных:
(H – 4), (H – 6), (H – 8), (H – 10), (H – 12), (H – 14), (H – 16), (H – 18), (H – 20),...
Итак, наименьшее чётное число H = 2G, не удовлетворяющее ГГ, не существует. ■