Пролог
Из заголовка понятно, что это философский вопрос. Не буду извиняться за философию, хотя я знаю, что многие ученые, инженеры и математики не уделяют ей внимания. Вместо этого я дам этот небольшой пролог, чтобы обосновать свой подход.
Человек, насколько мы знаем, всегда задавался вопросом о себе, мире вокруг и смысле жизни. Во множестве мифов повествуется о том почему и как Бог или боги создали человека и вселенную. Это теологические объяснения. Их отличительная черта — нет смысла спрашивать почему вещи таковы, как они есть, если боги создали их такими.
Философия возникла тогда, когда человек задался вопросом о мире вне этих теологических рамок. Например, мир древние философы представляли как сочетание земли, огня, воды и воздуха. Без сомнения их убеждали в том, что мир создан богами и не нужно беспокоиться по этому поводу.
Из этих ранних попыток объяснить мир постепенно возникла философия, также как и современная наука. Не то чтобы наука объясняет «почему» вещи таковы, как они есть — гравитация не объясняет «почему» предметы падают, но наука дает нам столь детальное объяснение «каким образом» это происходит, что у нас появляется чувство, будто мы знаем «почему». Давайте проясним; море связанных между собой фактов позволяет науке сказать «почему» вселенная именно такая.
Математика — наш основной инструмент для выполнения длинных цепочек научных рассуждений. Ее можно определить как умственный инструмент для этих целей. Люди веками задавали себе вопрос, тот же, что вынесен в заголовок — «почему математика столь необоснованно эффективна?» Задавая этот вопрос, мы делаем упор на логическую, а не материальную сторону того, как вселенная устроена и работает.
Занимающиеся фундаментальной наукой математики в основном беспокоятся о самосогласованности и пределах системы. Их не заботит почему мир, кажется, допускает логическое объяснение. В этом смысле я ближе к ранним греческим философам, которых интересовала материальная сторона вопроса, и мои ответы по отношению к логике ненамного лучше чем их. Но когда-то и где-то мы должны начать объяснять феномен того, что мир логически структурирован в соответствии с законами математики, и что математика является языком науки и техники.
После того, как я обозначил главную тему, нужно понять как донести эти идеи до аудитории. Опыт показывает, что мне не всегда хорошо это удается. Мне стало ясно, что какие-то предварительные замечания смогут помочь.
В каком-то отношении эта дискуссия теоретизирована. Я должен коснуться, хотя бы слегка, основных теорий математики, также как и отдельных ее частей. Далее, есть различные прикладные теории. Так что мы будем переходить от одной теории к другой. Вас может удивить, что я буду использовать экспериментальный подход для обсуждения. Неважно каковы должны быть теории, или как вы их себе представляете, или какова точка зрения экспертов — давайте применим научный подход и все выясним. Я прекрасно понимаю, что мои слова, особенно о природе математики, будут раздражать многих математиков. Мой экспериментальный подход противоречит их складу ума и предвзятым убеждениям. Так тому и быть!
Вдохновением для этой статьи послужила статья со сходным названием «Необоснованная эффективность математики в естественных науках». (1. E. P. Wigner, The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences, Comm. Pure Appl. Math., 13 (Feb. 1960) Э.П. Вигнера. Я убрал часть названия и не повторяю его статью (я просто не смогу написать лучше). С другой стороны, я потрачу намного больше времени, объясняя вопрос из заголовка статьи. Но когда все объяснения закончатся, оставшаяся часть будет настолько велика, что наш вопрос практически останется без ответа.
Эффективность математики
В своей статье Вигнер дает множество примеров эффективности математики в физических науках. Тем не менее позвольте мне опираться на собственный опыт, который ближе к инженерии. Мой первый опыт использования математики для прогнозирования был связан с разработкой атомных бомб во время Второй мировой войны. Как получилось, что цифры, которые мы так терпеливо вычисляли на примитивных ретрансляционных компьютерах, так хорошо согласовались с тем, что произошло на первом тесте в Альмагордо? Мы не могли провести небольшой эксперимент для проверки вычислений. Позже опыт с управляемыми ракетами показал мне, что это не было случайностью — наши математические прогнозы постоянно оправдываются в реальном мире. Работая в Bell System я произвел множество вычислений для телефонии и других математических работ по таким предметам как лампы бегущей волны, выравнивание телевизионных линий, стабильность сложных систем связи, блокирование вызовов через центральный телефон — это лишь малая часть. Чтобы блеснуть знаниями я могу провести исследование транзисторов, космических полетов и компьютерное проектирование, но почти вся наука и техника использует обширный математический аппарат с ошеломительным успехом.
Многим из вас знакома история уравнений Максвелла. Из-за симметрии он использовал определенный термин, но позже радиоволны были обнаружены Герцем. Множество других неизвестных величин предсказаны математически, не будем повторять их здесь.
Вигнер отмечает фундаментальную роль инвариантности. Это основная часть математики и науки в целом. Именно отсутствие инвариантности уравнений Ньютона (потребность в абсолютной системе отсчета для скоростей) привело Лоренца, Фицджеральда, Пуанкаре и Эйнштейна к специальной теории относительности.
Вигнер также отмечает, что одни и те же математические понятия появляются в совершенно неожиданных связях. Например, тригонометрические функции, которые появляются в астрономии Птолемея, оказываются функциями, инвариантными относительно сдвига (временная инвариантность). Они также являются подходящими функциями для линейных систем. Огромная полезность одних и тех же частей математики в самых разных ситуациях не имеет рационального объяснения (пока).
Более того, простота математики долгое время считалась ключом к применению в физике. Эйнштейн в это верил. Но даже в самой математике простота замечательна, по крайней мере для меня; простейшие алгебраические уравнения, линейные и квадратичные, соответствуют простейшим геометрическим объектам, прямым линиям, кругам и коническим сечениям. Это делает возможной реализацию аналитической геометрии. Как так может быть, что простая математика, являющаяся в конце концов продуктом человеческого разума, может быть настолько полезна во многих разных ситуациях?
Из-за этих успехов математики в настоящее время существует тенденция к тому, чтобы каждая из наук была математической. Это считают целью, которую нужно достичь, если не сегодня, то завтра. Для такой аудитории я буду использовать физику и астрономию для дальнейших примеров.
Пифагор — первый человек, который заявил, что «математика — это способ понять вселенную». Сказал громко и четко: «Число — мера всех вещей».
Кеплер — еще один пример. Он страстно верил, что дело рук Бога можно понять только через математику. После двадцати лет утомительных вычислений он нашел свои знаменитые три закона планетарного движения — три сравнительно простых математических выражения, описывающих сложные движения планет.
Именно Галилею принадлежат слова: «Законы природы написаны на языке математики». Ньютон использовал результаты Кеплера и Галилея, чтобы вывести знаменитые законы движения, которые вместе с законом тяготения являются, пожалуй, самым известным примером необоснованной эффективности математики в науке. Они не только предсказали, где будут находиться планеты, но и успешно предсказали положения неизвестных планет, движения отдаленных звезд, приливов и т. д.
Наука состоит из законов, которые первоначально были основаны на небольшом, тщательно выбранном наборе наблюдений, часто не очень точно измеряемом; но впоследствии было установлено, что эти законы применяются на гораздо более широких диапазонах наблюдений и гораздо точнее, чем позволяли заключить исходные данные. Не всегда, конечно, но чаще всего достаточно для объяснения явлений.
За тридцать лет математической практики в промышленности я часто беспокоился о предсказаниях, которые я сделал. Из математических вычислений, которые я делал в своем кабинете, я уверенно (по крайней мере, другим) предсказывал некоторые будущие события — если вы это сделаете так и так, вы увидите то-то и то-то, и обычно оказывался прав. Откуда явления могли знать, что я предсказал (основываясь на человеческой математике), чтобы согласовываться с моими прогнозами? Смешно думать, что так происходит. Нет, математика каким-то образом обеспечивает надежную модель для большей части того, что происходит во Вселенной. И так как я могу использовать только сравнительно простую математику, как же может быть так, что простой математики достаточно, чтобы предсказать так много?
Я мог бы привести больше примеров, иллюстрирующих необоснованную эффективность математики, но это будет скучно. Я подозреваю, что многие из вас знают примеры, которых не знаю я. Поэтому позвольте мне предположить, что вы дадите мне очень длинный список успехов, многие из которых столь же впечатляющи, как предсказание новой планеты, нового физического явления или нового артефакта. У меня не очень много времени и я хочу потратить его на попытку сделать то, что, как я думаю, осталось в стороне от Вигнера, — дать хотя бы некоторые частичные ответы на вопрос в названии статьи.
Что такое математика?
Посмотрев на эффективность математики, нам нужно обратить внимание на вопрос: «Что такое математика?» Это название знаменитой книги Куранта и Роббинса [2. Р. Курант и Х. Роббинс, Что такое математика? Oxford University Press, 1941]. В нем они не пытаются дать формальное определение, скорее они показывают математику через определенные примеры. Точно так же я не буду давать исчерпывающего определения. Но более подробно, чем они, попробую обсудить некоторые характерные черты математики, как я их вижу.
Возможно, лучший способ подойти к вопросу о том, что такое математика, — это начать с самого начала. В далеком доисторическом прошлом, где нам следует искать начало математики, уже были четыре основных грани математики. Во-первых, существовала способность вести длинные цепочки рассуждений, которые по сей день характеризуют значительную часть математики. Во-вторых, была геометрия, ведущая через понятие непрерывности к топологии и за ее пределы. В-третьих, было число, приводящее к арифметике, алгебре и за ее пределы. Наконец, был художественный вкус, который играет столь большую роль в современной математике. Конечно, в математике есть много разных видов красоты. В теории чисел это, по-видимому, в основном красота почти бесконечных деталей; в абстрактной алгебре красота в основном в общности. Таким образом, различные области математики имеют различные стандарты эстетики.
Разумеется, самая ранняя история математики должна быть полной спекуляцией, поскольку сейчас нет и не существует каких-либо реальных убедительных ее свидетельств. Кажется, однако, что в самих основах первобытной жизни возникло ни для чего иного как для целей выживания понимание причины и следствия. Как только признак проходит от одного наблюдения до последовательности «Если это, то это, а затем далее следует, что ...» мы находимся на пути первой особенности математики, о которой я говорил, длинных цепочек рассуждений. Но мне трудно понять, как простое дарвиновское выживание наиболее приспособленных будет вести отбор по способности делать длинные цепочки рассуждений, которые, по-видимому, требуются математике и науке.
Возможно геометрия возникла из-за украшения человеческого тела в различных целях, таких как религиозные обряды, общение и привлечение противоположного пола, а также для украшения поверхностей стен, горшков, посуды и одежды. Это также подразумевает четвертый аспект, который я упомянул, эстетический вкус, и это одна из глубоких основ математики. Большинство учебников повторяют вслед за греками и говорят, что геометрия возникла из потребностей египтян, чтобы исследовать землю после каждого наводнения на реке Нил, но я приписываю гораздо больше эстетике, чем большинство историков математики, и, соответственно, меньше обращаю внимания на ее прикладные цели.
Третий аспект математики, числа, возникли из подсчета. Как однажды сказал известный математик: «Бог создал целые числа, человек сделал все остальное» [3. Л. Кронекер, п. 1634. В разделе «Математика и математики», R E Moritz.]. Целые числа кажутся нам настолько фундаментальными, что мы ожидаем найти их везде, где мы находим разумную жизнь во Вселенной. Я попытался с небольшим успехом заставить некоторых из моих друзей понять мое удивление от возможности и полезности абстракции целых чисел для подсчета. Разве не замечательно, что 6 овец плюс 7 овец составляют 13 овец; что 6 камней плюс 7 камней составляют 13 камней? Разве не чудо, что вселенная построена так, что такая простая абстракция, как число, возможно? Для меня это один из самых сильных примеров необоснованной эффективности математики. Это странно и необъяснимо.
Работая с числами, мы пришли к тому, что эти счетные числа, целые числа, были успешно использованы для измерения того, сколько раз стандартная длина может использоваться для извлечения желаемой измеряемой длины. Но, должно быть достаточно быстро случилось так, что целое число единиц точно не соответствовало измеряемой длине, а измерители были приведены к дробям — дополнительная часть, которая использовалась для измерения стандартной длины. Дроби не считаются числами; они измеряют числа. Из-за их общего использования при измерении долей, вскоре обнаружили, что они подчиняются тем же правилам манипуляций, что и целые числа, с дополнительным преимуществом, которое они сделали возможным во всех случаях (я еще не упоминал ноль). Некоторое знакомство с дробями показывает, что между любыми двумя дробями вы можете поставить столько, сколько пожелаете, и что в каком-то смысле они однородно плотны повсюду. Но когда мы расширяем понятие числа, чтобы включить дроби, мы должны отказаться от идеи следующего числа.
Это снова возвращает нас к Пифагору, первому человеку, доказавшему, что диагональ квадрата и стороны квадрата не имеют общей меры, — что они нерационально связаны. Это наблюдение, по-видимому, произвело глубокий переворот в Греции: математику. До этого времени система дискретных чисел и непрерывная геометрия процветали бок о бок с небольшим конфликтом. Кризис несоизмеримости сменился евклидовым подходом к математике. Любопытно, что ранние греки пытались сделать математику строгой, заменив неопределенность чисел тем, что они чувствовали, было более определенной геометрией (из-за Евдокса). Это было большое событие для Евклида, и в результате вы найдете в «Началах» [4. Евклид, Начала Евклида, Т. Э. Хит, Публикации Довера, Нью-Йорк, 1956.] многое, в результате чего мы теперь рассматриваем теорию чисел и алгебру, отлитыми в форме геометрии. В отличие от древних греков, сомневавшихся в существовании системы действительных чисел, мы решили, что должно быть число, которое измеряет длину диагонали единичного квадрата (хотя нам этого и не нужно), и, ни больше ни меньше, мы расширили систему рациональных чисел, включив алгебраические числа. Это было простое желание измерить длины. Как может кто-либо отрицать, что существует число для измерения длины любого сегмента прямой линии?
Алгебраические числа, которые являются корнями многочленов с целыми, дробными и, как было позже доказано, даже алгебраическими числами как коэффициентами, вскоре были под контролем, просто расширив те же операции, которые использовались в более простой системе чисел.
Однако измерение длины окружности относительно ее диаметра вскоре вынудило нас рассмотреть отношение, называемое pi. Это не алгебраическое число, так как никакая линейная комбинация степени pi с целыми коэффициентами точно не исчезнет. Одна длина, окружность, являющаяся изогнутой линией, а другая длина, диаметр, являющийся прямой линией, делает существование отношения менее определенным, чем отношение диагонали квадрата к его стороне; но поскольку кажется, что должно быть такое число, трансцендентные числа постепенно попадают в числовую систему. Таким образом, путем дальнейшего подходящего расширения более ранних представлений чисел, трансцендентные числа были последовательно введены в числовую систему, хотя немногих студентов устраивают технический аппарат, который мы обычно используем, чтобы показать последовательность.
Дальше изучение числовой системы привнесло как ноль, так и отрицательные числа. На этот раз расширение потребовало, чтобы мы отказались от деления для единственного числа на ноль. Кажется, это дополняет систему действительных чисел для нас (пока мы ограничиваемся процессом принятия ограничений последовательностей чисел и не допускаем дальнейших операций) — не так, чтобы у нас и сейчас был твердый, логичный, простой фундамент для них; но говорят, что знакомство порождает презрение, и мы все более или менее знакомы с системой действительных чисел. Очень немногие из нас считают, что конкретные постулаты, которые некоторые логики придумали, создают цифры — нет, большинство из нас считает, что реальные цифры просто есть и что это была интересная, забавная и важная игра — найти хороший набор постулатов для их учета. Но давайте не будем путать самих себя. Парадокс Зенона по-прежнему, даже после 2000 лет, слишком свеж в наших умах, чтобы обманывать самих себя тем, что мы понимаем все, что мы хотели бы сказать о взаимосвязи между системой дискретных чисел и непрерывной линией, которую мы хотим моделировать. Мы знаем, что из нестандартного анализа логики могут делать постулаты, которые ставят еще сущности на реальной линии, но пока что немногие из нас хотели пойти по этому пути. Справедливо отметить, что есть некоторые математики, которые сомневаются в существовании обычной системы действительных чисел. Несколько компьютерных теоретиков допускают существование только «вычислимых чисел».
Следующим шагом в обсуждении является комплексная система чисел. Когда я читал историю, именно Кардано первым понял их в каком-то реальном смысле. В своем «Великом искусстве» или «Правилах алгебры» [5. Г. Кардано, Великое искусство или правила алгебры, перевод. «Отложив в сторону умственные пытки, участвующие в умножении (5 + sqrt 15) на (5 — sqrt -15) с результатом 25 — (- 15) ...». Таким образом, он ясно осознал, что те же формальные операции над символами для комплексных чисел дали бы осмысленные результаты. Таким образом, система действительных чисел постепенно расширялась до системы комплексных чисел, за исключением того, что на этот раз расширение требовало отказа от свойства упорядочения чисел — комплексные числа не могут быть упорядочены в обычном смысле.
Очевидно, Коши пришел к теории комплексных переменных с задачей интегрирования вещественных функций вдоль вещественной прямой. Он обнаружил, что, перенося интегрирование в комплексную плоскость, он мог решать задачи интегрирования в действительных числах.
Несколько лет назад я имел удовольствие преподавать курс по комплексным переменным. Как всегда бывает, когда я участвую в этой теме, я снова ушел с чувством, что «Бог сделал вселенную из комплексных чисел». Ясно, что они играют центральную роль в квантовой механике. Они являются естественным инструментом во многих других областях применения, таких как электрические схемы, поля и т.д.
Подводя итог, из простого подсчета с использованием заданных Богом целых чисел мы создали различные расширения идеи числа, чтобы включить больше вещей. Иногда расширения делались по эстетическим соображениям, и часто мы отказывались от некоторого свойства более ранней системы чисел. Таким образом, мы пришли к системе чисел, которая необоснованно эффективна даже в самой математике; Это показывает, что мы решили многие проблемы теории чисел исходной системы с высокой дискретной оценкой, используя комплексную переменную.
Из вышесказанного мы видим, что одним из основных направлений математики является расширение, обобщение, абстракция — это более или менее одно и то же — известные концепции для новых ситуаций. Но обратите внимание, что в самом процессе сами определения тонко изменяются. Поэтому, что не так широко известно, старые доказательства теорем могут стать ложными доказательствами. Старые доказательства больше не покрывают вновь определенные вещи. Чудо состоит в том, что почти всегда теоремы все еще верны; это просто вопрос фиксации доказательств. Классическим примером этого исправления являются Начала Евклида [4]. Мы сочли необходимым добавить несколько новых постулатов (или аксиом, если хотите, поскольку мы больше не хотим различать их), чтобы соответствовать действующим стандартам доказательств. Но как получилось, что ни одна теорема во всех тринадцати книгах не является ложью? Ни одна теорема не оказалась ложной, хотя часто доказательства, данные Евклидом, кажутся теперь ложными. И это явление не ограничивается прошлым. Утверждается, что бывший редактор математических обзоров однажды сказал, что более половины новых теорем, опубликованных в наши дни, по существу истинны, хотя опубликованные доказательства являются ложными. Как это может быть, если математика — это строгий вывод теорем из предполагаемых постулатов и более ранних результатов? Ну, для всех, кто не ослеплен авторитетом, очевидно, что математика не то, что сказали начальствующие учителя. Это явно что-то другое.
Что это? Как только вы начнете выяснять это, вы обнаружите, что если бы вы были ограничены аксиомами и постулатами, вы могли бы вывести очень мало. Первым важным шагом является введение новых понятий, полученных из предположений, например, треугольники. Поиск правильных понятий и определений является одной из главных особенностей ведения великой математики.
Хотя классическая геометрия начинается с теоремы и пытается найти доказательство. По-видимому, только в 1850-х годах стало ясно, что противоположный подход тоже работает (его, должно быть, иногда использовали до этого). Часто доказательство порождает теорему. Мы видим, что мы можем доказать, а затем рассмотрим доказательство, чтобы увидеть, что мы доказали! Их часто называют «доказанными теоремами» [6. Имре Лакатос, Доказательства и опровержения; Cambridge University Press, 1976, p. 33.]. Классическим примером является концепция равномерной сходимости. Коши доказал, что сходящийся ряд элементов, каждый из которых непрерывный, сходится к непрерывной функции. В то же время известны ряды Фурье непрерывных функций, сходящихся к разрывному пределу. Тщательно изучив доказательство Коши, ошибка была найдена и зафиксирована, изменив гипотезу теоремы на «равномерно сходящуюся последовательность».
Совсем недавно мы интенсивно изучали так называемые основы математики, которые, на мой взгляд, следует рассматривать как вершину математики, а не основы. Это интересная область, но основные результаты математики невосприимчивы к тому, где мы находится — мы просто не откажемся от большей части математики, как бы логично это ни было в фундаментальных исследованиях.
Надеюсь, что я показал, что математика — это не то, за что ее часто принимают, что математика постоянно меняется, и, следовательно, даже если бы мне удалось определить ее сегодня, мое определение завтра было бы нецелесообразным. Подобно идее строгости — у нас есть изменяющийся стандарт. Доминирующее отношение в науке состоит в том, что мы не являемся центром вселенной, не занимаем определенное место и т. д. И поэтому мне трудно поверить, что мы достигли предельной строгости. Таким образом, мы не можем быть уверены в существующих доказательствах наших теорем. Действительно, мне кажется:
Постулаты математики это не скрижали Моисея с горы Синай.
Это необходимо отметить. Мы начинаем с неопределенной концепции в наших умах, затем мы создаем различные наборы постулатов, и постепенно мы останавливаемся на одном конкретном множестве. В строгом постулатационном подходе первоначальная концепция теперь заменяется тем, что определяют постулаты. Это делает дальнейшую эволюцию концепции довольно сложной и, как результат, замедляет эволюцию математики. Дело не в том, что постулирующий подход ошибочен, а только в том, что его свобода должна быть четко распознана, и мы должны быть готовы изменить постулаты, когда придет такая необходимость.
Математика была создана человеком и поэтому может быть изменена им. Возможно, исходные источники математики были навязаны нам, но, как в примере, который я использовал, мы видим, что при разработке столь простой концепции, как число, мы сделали выбор для расширений, которые частично контролировались необходимостью и часто, мне кажется, больше эстетикой. Мы постарались сделать математику последовательной, красивой вещью, и тем самым у нас было замечательное количество успешных ее приложений в реальном мире.
Идея о том, что теоремы следуют из постулатов, не соответствует простому наблюдению. Если бы обнаружили, что теорема Пифагора не вытекает из постулатов, мы снова бы искали способ изменить постулаты до тех пор, пока не получим истину. Постулаты Евклида исходили из теоремы Пифагора, а не наоборот. Вот уже более тридцати лет я замечаю, что, если бы вы вошли в мой кабинет и доказали мне, что теорема Коши ложна, мне было бы очень любопытно, но я считаю, что в конечном итоге мы изменили бы наши предположения, пока теорема не стала истинной. Таким образом, в математике есть много результатов, которые не зависят от предположений и доказательства.
Как мы решаем в «кризисной» ситуации, какие части математики сохранить и от чего отказаться? Полезность — один из основных критериев, но часто это польза для самой математики, а не ее приложений в реальном мире! Слишком много для нашего обсуждения математики.
Некоторые частичные пояснения
Я опишу свои объяснения необоснованной эффективности математики в четырех подразделах.
1. Мы видим, что мы ищем. Никто не удивляется, тому, что через синие очки мир выглядит синеватым. Я приведу примеры того, насколько это верно в современной науке. Ради этого я снова собираюсь нарушить множество широко, тщательно охраняемых убеждений. Но выслушайте меня.
Я привел пример ученых не без причины. Пифагор, на мой взгляд, первый великий физик. Именно он обнаружил, что мы живем в том, что математики называют L2 — сумма квадратов катетов дает квадрат гипотенузы. Как я уже говорил, это не результат постулатов геометрии — это один из результатов, который формирует постулаты.
Дальше Галилей. Не так давно я пытался как-то встать на его место, чтобы почувствовать, как он пришел к открытию закона падающих тел. Я стараюсь делать подобное, чтобы научиться думать, как это делали мастера, — я намеренно пытаюсь думать так же, как они.
Итак, Галилей был хорошо образованным человеком и мастером схоластических аргументов. Он хорошо знал, как рассуждать о числе ангелов на голове булавки, или как оспорить любую сторону вопроса. В наши дни он был бы подготовлен в этих искусствах намного лучше, чем кто-либо из нас. Я представляю его, как он сидит с легким и тяжелым шаром, по одному в каждой руке, и осторожно бросает их. Он говорит, поднимая их: «Для всех очевидно, что тяжелые предметы падают быстрее, чем легкие, — во всяком случае, Аристотель так говорит». «Но предположим, — говорит он себе, рассуждая, — что при падении тело разбивается на две части. Конечно, две части немедленно замедлятся до их соответствующих скоростей. Но предположим, что они соедининлись: теперь они будут единым целым и оба ускорятся? Предположим, я связал две части вместе. Чем их соединить? Легкая струна? Канат? Клей? Когда они станут единым целым?»
Чем больше он думает об этом — и чем больше вы об этом думаете, тем более необоснованным становится вопрос о том, когда два тела являются одним. Просто нет разумного ответа на вопрос о том, откуда тело знает, насколько оно тяжелое — одна ли это часть, или две, или множество. Поскольку падающие тела движутся, единственно возможная вещь заключается в том, что все они падают с одинаковой скоростью, если только не вмешиваются другие силы. Больше им нечего делать. Возможно, он позже провел несколько экспериментов, но я сильно подозреваю, что произошло что-то вроде того, чтоя себе представлял. Позже я нашел подобную историю в книге Пойи [7. Г. Поля, «Математические методы в науке», MAA, 1963, с. 83-85.]. Галилей открыл свой закон не экспериментально, а обычным, простым мышлением, схоластическим рассуждением.
Я знаю, что учебники часто представляют собой закон притяжения тел как экспериментальное наблюдение; Я утверждаю, что это логический закон, следствие того, как мы склонны думать.
Ньютон, как вы читали, вывел закон обратных квадратов из законов Кеплера, хотя в книгах часто представляют его другим способом; из закона обратного квадрата учебники выводят законы Кеплера. Но если вы верите во что-то вроде сохранения энергии и думаете, что мы живем в трехмерном евклидовом пространстве, то как же иначе может исчезнуть симметричное поле центральной силы? Измерения экспоненты, проводя эксперименты, в значительной степени пытаются выяснить, живем ли мы в евклидовом пространстве, а вовсе не проверяем закон обратных квадратов.
Но если вам не нравятся эти два примера, позвольте мне обратиться к самому высокоразвитому закону последних времен, принципу неопределенности. Недавно я начал заниматься написанием книги по цифровым фильтрам [8. Р. У. Хэмминга, Цифровые фильтры, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ., 1977.] и знал очень мало по этой теме. В результате я рано задал вопрос: «Зачем мне делать весь анализ с точки зрения интегралов Фурье? Почему они являются естественными инструментами для решения проблемы?» Вскоре я узнал, как многие из вас уже знают, что собственные функции трансляции являются комплексными экспонентами. Если вам нужна временная инвариантность, и, конечно же, этого и хотят физики и инженеры (эксперимент, выполненный сегодня или завтра, даст одинаковые результаты), тогда вы будете следовать этим функциям. Аналогичным образом, если вы верите в линейность, то снова появляются собственные функции. В квантовой механике квантовые состояния абсолютно аддитивны; это не просто удобная линейная аппроксимация. Таким образом, тригонометрические функции являются собственными функциями, которые необходимы как в теории цифровых фильтров, так и в квантовой механике, но это лишь два примера.
Теперь, когда вы используете эти собственные функции, вы, естественно, должны представлять различные функции, сначала как счетное число, а затем как несчетное число из них, а именно, ряд Фурье и интеграл Фурье. Итак, теорема в теории интегралов Фурье состоит в том, что изменчивость функции, умноженная на изменчивость ее преобразования, превышает фиксированную константу в записи l/2pi. Это говорит мне о том, что в любой линейной, инвариантной во времени системе вы должны найти принцип неопределенности. Размер постоянной Планка является вопросом детальной идентификации переменных с интегралами, но должно иметь место неравенство.
В качестве еще одного примера того, что часто считалось физическим открытием, но которое, как оказалось, было введено само собой, я перехожу к известному факту, что распределение физических констант неоднородно; вероятность случайной физической константы, имеющей первую цифру 1,2 или 3, составляет приблизительно 60%, а цифры 5, 6, 7, 8 и 9 составляют всего лишь около 40%. Это распределение относится ко многим типам чисел, включая распределение коэффициентов степенного ряда, имеющих только единственную особую точку в круге сходимости. Тщательное изучение этого явления показывает, что это главным образом артефакт того, как мы используем числа.
Дав четыре совершенно разных примера нетривиальных ситуаций, в которых выясняется, что исходное явление возникает из математических инструментов, которые мы используем, а не из реального мира, я готов серьезно предположить, что многое из того, что мы видим, происходит из очков, которые мы надеваем. Конечно, это противоречит большей части того, чему вас учили, но внимательно рассмотрите аргументы. Вы можете сказать, что именно эксперимент навязал нам модель, но я полагаю, что чем больше вы думаете о четырех приведенных примерах, тем некомофртнее вам становится. Это не произвольно выбранные мной теории, они являются центральными для физики, (? в оригинальном тексте запятая)
В последние годы именно Эйнштейн, провозгласивший простоту законов физики, использовал математику так, что стал известным как математик. При изучении его специальной теории относительности [9. Г. Холтон Тематическое происхождение научной мысли, от Кеплера до Эйнштейна, Издательство Гарвардского университета, 1973.] возникает ощущение, что человек имеет дело с подходом схоластического философа. Он заранее знал, как должна выглядеть теория, и он исследовал теории с помощью математических инструментов, а не реальных экспериментов. Он был настолько уверен в правильности теорий относительности, что, когда проводились эксперименты для их проверки, он не очень интересовался результатами, говоря, что они должны были либо получиться, либо эксперименты были неправильными. И многие люди считают, что две теории относительности больше базируются на философских основаниях, чем на реальных экспериментах.
Таким образом, мой первый ответ на подразумеваемый вопрос о необоснованной эффективности математики заключается в том, что мы приближаемся к таким ситуациям с интеллектуальным аппаратом, в которых мы можем понять только что мы делаем. Это одновременно просто и ужасно. То, чему нас учила наука — что эксперименты в реальном мире лишь отчасти правдивы. Эддингтон пошел дальше; он утверждал, что достаточно умный разум мог бы вывести всю физику. Я предполагаю, что можно вывести только некоторое количество. Эддингтон привел прекрасную притчу, чтобы проиллюстрировать этот момент. Он сказал: «Люди ловили рыбу сетью в море, и, изучив улов, пришли к выводу о том, какого минимального размера бывает рыба».
2. Мы выбираем тип математики для использования. Математика не всегда работает. Когда мы обнаружили, что скаляры не работают для сил, мы изобрели новую математику, векторы. Дальше мы изобрели тензоры. В книге, которую я недавно написал [10. Р. У. Хэмминг, Теория кодирования и информации, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ., 1980.] для ярлыков используются обычные целые числа, а для вероятностей используются вещественные числа; но в остальном вся арифметика и алгебра, которые встречаются в книге, а их много, предполагают, что
1 + 1 = 0.
Таким образом, мое второе объяснение состоит в том, что мы выбираем математику, чтобы соответствовать ситуации, и просто неверно, что одна и та же математика работает везде.
3. На самом деле наука отвечает на небольшое количество вопросов. Это иллюзия, что у науки есть ответы на большинство наших вопросов. С ранних времен человек, должно быть, размышлял над тем, что такое Истина, Красота и Справедливость. Но насколько я понимаю, наука никак не способствовала ответам, и мне не кажется, что она продвинется в этом в ближайшем будущем. Пока мы используем математику, в которой целое является суммой частей, у нас вряд ли будет математика в качестве основного инструмента при рассмотрении этих известных трех вопросов.
Действительно, почти весь наш опыт в этом мире не подпадает под сферу науки или математики. Более того, мы знаем (по крайней мере, мы думаем, что знаем), что из теоремы Гёделя существуют определенные пределы того, что может сделать чистая логическая манипуляция символами, есть пределы математики. Это акт веры ученых, что мир можно объяснить простым языком математики. Когда вы посчитаете, на сколько вопросов наука не ответила, вы увидите, что наши успехи не настолько впечатляющи, как могли бы быть.
4. Эволюция человека обеспечила модель. Я уже затронул вопрос эволюции человека. Я заметил, что в самых ранних формах жизни должны быть семена нашей нынешней способности создавать и следовать длинным цепочкам рассуждений. Некоторые люди [11. H. Mohr, «Структура и значение науки», Springer-Verlag, 1977.] также утверждали, что дарвиновская эволюция, естественно, будет выбирать для выживания те конкурирующие формы жизни, которые имели лучшие модели реальности в своем сознании — «лучшие», то есть лучше всего подходящие для выживания и распространения. Без сомнения, в этом есть доля правды. Мы находим, например, что мы можем справиться с размышлением о мире, когда оно сопоставимо по размеру с нами и нашими необработанными чувствами, но когда мы переходим к очень маленькому или очень большому, то начинаются проблемы. Кажется, мы не можем адекватно думать о крайностях, выходящих за рамки обычного размера.
Так же, как есть запахи, которые могут чувствовать собаки, а мы не можем, а также звуки, которые собаки могут слышать, а мы не можем, так и есть длины волн света, которые мы не можем видеть, и вкусы, которые мы не можем попробовать. Почему тогда нас удивляет, учитывая, что наш мозг такой, как он есть, замечание «Возможно, есть мысли, о которых мы не можем думать»? Эволюция, до сих пор, возможно, заблокировала нам возможность мыслить в некоторых направлениях; могут быть немыслимые мысли.
Если вы помните, современной науке всего около 400 лет, и в течение века насчитывалось от 3 до 5 поколений, то с Ньютона и Галилея прошло не более 20 поколений. Если вы берете 4000 лет для возраста науки, как правило, тогда вы получите верхнюю границу в 200 поколений. Рассматривая эффекты эволюции, которые мы ищем с помощью небольших вариаций шансов, мне кажется, что эволюция не может объяснить больше, чем небольшую часть необоснованной эффективности математики.
Вывод
Из всего этого я вынужден сделать вывод, что математика необоснованно эффективна и что все объяснения, которые я дал просто недостаточны для объяснения темы. Я думаю, что мы, — то есть в основном вы, — должны попытаться объяснить, почему логическая сторона науки — подразумеваем в основном математику, — является надлежащим инструментом для изучения Вселенной, как мы ее воспринимаем в настоящее время. Я подозреваю, что мои объяснения не так хороши, как у ранних греков, которые говорили о материальной стороне вопроса природы вселенной — что это земля, огонь, вода и воздух. Логическая сторона природы Вселенной требует дальнейшего изучения.
Я (Ларри Фрейзер, который (с разрешения Р. Хэмминга) просмотрел это и разместил его в Интернете) с удовлетворением отметил, что 58 человек прочли это эссе за последние 2 месяца. Я предполагаю, что большинство из вас находят это в указателе проектов Гутенберга.
С другой стороны, я чувствую, что прочесть это должны тысячи. Это самое глубокое эссе, которое я видел относительно философии науки; на самом деле, оно важно для всего нашего понимания мысли, познания или реальности.
Напишите мне, если у вас есть какие-либо комментарии.
Ларри Фрейзер
Reprinted From: The American Mathematical Monthly Volume 87 Number 2 February 1980
За перевод спасибо katifa. Кто хочет помочь с переводом таких же полезных текстов, пишите в личку или на почту magisterludi2016@yandex.ru
Благодарю Gritsuk, Sirion, qw1, KirillGuzenko, NeKpoT и Пахомова Андрея за то, что нашли неточности перевода математических терминов и предложили свой исправленный вариант.
Переведенные хабравчанами книги:
Комментарии (71)
mwambanatanga
22.05.2018 06:44+1Вообще-то, «надёжность» или «эффективность» математики не должна вызывать удивление. Математические истины «истинны» лишь в той мере, в какой они согласуются с окружающим миром. Дважды два равно четырём не потому, что так гласит математика, а потому, что так происходит в мире.
Удивление должна вызывать эффективность логики, которая позволяет абстрагироваться от конкретных явлений и переносить математические теории на новые явления. Если «дважды два четыре» справедливо для яблок и груш, то логично предположить, что правило выполняется и для каких-нибудь сепулек.NewStahl
22.05.2018 09:02+1>Дважды два равно четырём не потому, что так гласит математика, а потому, что так происходит в мире.
Вообще-то так именно потому, что так гласит математика. Я с чистой совестью могу создать какую-то хреноматику, в которой фи бульбуль шпинь будет равно хрю. И могу сделать эту хреноматику логичной и непротиворечивой.
Просто привычная нам математика исторически выросла как практический инструмент и поэтому исторически немного зависит от материального мира. Но эта зависимость не является необходимой.mwambanatanga
22.05.2018 10:39Оторванная от реальности хреноматика, при всей её логичности и непротиворечивости, не будет «эффективной». Она будет бесполезной. Вещь в себе.
P.S.: Герр Шталь, с опеннета?ildarz
22.05.2018 14:30Пара примеров — риманова геометрия на момент создания казалась как раз такой "оторванной от реальности хреноматикой", комплексные числа тоже возникли как игры разума, никакого отношения к реальному миру не имеющие. А потом (сильно потом) оказалось, что они крайне эффективно описывают реальный мир. Вот такие вещи и вызывают удивление.
Druu
24.05.2018 05:38Пара примеров — риманова геометрия на момент создания казалась как раз такой "оторванной от реальности хреноматикой", комплексные числа тоже возникли как игры разума, никакого отношения к реальному миру не имеющие.
Штука вся в том, что и риманова геометрия и комплексные числа не возникли сами по себе, они выросли на той самой математике, которая, в свою очередь, строилась на наблюдениях за окружающим миром. По-этому все эти "хреномантики" хоть и кажутся на первый взгляд от реальности оторванными, но на самом деле имеют с ней исторически больше общего, чем разного.
SwingoPingo
22.05.2018 15:22+1Точно ли не является необходимой? Для создания инструмента не является. А вот для использования и дальнейшего его «выживания» в научном мире — вполне может быть.
По аналогии — возможность влиться в экологическую подсистему для живого организма не является необходимым для его появления. Но для дальнейшего выживания вида организмов — является.
Вдобавок чистая математика выживает все же в тепличных условиях, определенных граничными условиями в которой «законы природы» были эмпирическим путем получены.
EndUser
22.05.2018 08:20«Почему язык логического структурирования восприятия внезапно логически структурирует восприятие?!»
San_tit
22.05.2018 08:36"что многие ученые, инженеры и математики не уделяют ей внимания"
Лучшая защита — нападение. Философы обвиняют окружающих в невежестве и презрению к "науке наук", не пытаясь понять в чем причина.
А не в том ли причина, что в любой науке первично знание и факты, а в философии (в том виде, что она преподносится окружающим) первична личность. В итоге рассматривается огромный массив гипотез, которые уже опровергнуты или показана (очевидна) их несостоятельность.
Закон Ома изучается не потому, что его придумал "великий учёный Ом", а потому, что он отражает действительность. При этом в философии рассматриваются вопросы "потому что так думали/считали умные люди".
HenadziMatuts
22.05.2018 10:39По-моему вы путаете Философию с Историей Философии.
San_tit
22.05.2018 11:06К сожалению, это не я путаю. Те курсы философии, что мне "посчастливилось" прослушать были именно личностно-ориентированы. Речи о подведении к текущей оценке истины не было в принципе. Всегда рассматривались оценки истины списком людей без относительно их корректности.
HenadziMatuts
22.05.2018 11:12На самом деле я это и имел ввиду. Поскольку в этом смысле нам одинаково «посчастливилось» :)
qw1
22.05.2018 10:35Так вот как выглядит «синдром самозванца» у учёных. А то тут всё про программистов больше пишут.
urticazoku
22.05.2018 10:39А в чем он тут проявляется? Это скорее как если бы программист удивлялся слишком хорошему языку программирования.
qw1
22.05.2018 11:02Из математических вычислений, которые я делал в своем кабинете, я уверенно (по крайней мере, другим) предсказывал некоторые будущие события — если вы это сделаете так и так, вы увидите то-то и то-то, и обычно оказывался прав. Откуда явления могли знать, что я предсказал (основываясь на человеческой математике), чтобы согласовываться с моими прогнозами? Смешно думать, что так происходит
Что-то посчитал, а потом удивляется: ничего себе, оно каким-то образом работает!motiv34
22.05.2018 15:23+1Что-то посчитал, а потом удивляется: ничего себе, оно каким-то образом работает!
Да, именно так. Но, похоже, подобное удивление от успеха математики испытывают только те, чьи расчеты оправдались для каких-то очень сложных вещей, например если он этого зависела их собственная жизнь.
Приведу пример. Как-то я сшил самодельный парашют. Из формул аэродинамики я нашел необходимую площадь, которая должна в теории обеспечить безопасное снижение. Из геометрии нашел какую форму должны иметь полоски ткани, чтобы они правильно искажались под воздушным напором, чтобы обеспечивать эту площадь. Учел прочность строп и их растяжение под нагрузкой, чтобы форма парашюта в полете не исказилась слишком сильно. Обычным динамометром измерил прочность ниток из магазина (при скольких кг нагрузки они рвутся) и рассчитал количество стежков, чтобы обеспечить прочность швов, чтобы парашют не развалился в воздухе.
И с этим самодельным парашютом, спроектированным чисто по формулам из математики, я разбежался и прыгнул с обрыва.
После приземления я испытывал такое же удивление, как у автора статьи. Удивительно, что это сработало. Там были тысячи нюансов и мелочей, где что-то могло пойти не так. Эти мелочи могли наложиться друг на друга и пересилить эффект об общей абстрактной математики, которую я использовал в расчетах.
Как эти примитивные математические формулы, состоящие, как правило, всего из пары-тройки множителей, могут так точно описывать реальность? Ну например: прочность одной нитки в кг, умноженной на количество стежков в одном сантиметре, умноженной на длину шва в сантиметрах, дает нагрузку в кг, при которой этот шов разорвется. Формулы аэродинамики, которые я использовал, тоже были ненамного сложнее.
Автор упомянул, что он занимался расчетами, связанными с испытаниями атомных бомб и крылатых ракет. Видимо, точность его расчетов имела для него большое значение. Как и для меня, так как от правильности или неправильности моих математических расчетов зависело, выживу я после прыжка или нет. Поэтому я полностью понимаю автора. Чрезмерная эффективность математики — то, насколько точно она описывает сложную реальность своими очень простыми уравнениями, действительно вызывает удивление.
SwingoPingo
22.05.2018 16:44+1Контрпример — имел систему уравнений поведения плазмы внутри одного прибора, полученную эмпирически для низких давлений в этом приборе.
Потом поднял давление в нем на порядок, рассчитывая увеличить и мощность выхода прибора. Начал производить измерения и оказалось что то, чем пренебрегали составители системы уравнений при низком давлении стало играть решающую роль при высоком, почти полностью вытеснив физические процессы (и их формулы) из поведения плазмы.
Картина наблюдаемая отличалась от картины ожидаемой разительно. Фактически я имел для наблюдения уже другую плазму, другие вещества, другие реакции, описываемые другой системой уравнений, которую я после составлял.
Это не значит что «математика не работает». Но инструмент все же не волшебен. Само описание неких функций бесконечными рядами говорит о том, что затраты на точное описание этого мира языком математики — бесконечны, а следовательно недостижимы.SwingoPingo
22.05.2018 16:55PS. В Вашем случае это могло выглядеть так что Вы взяли формулы аэродинамики для дозвуковых скоростей, а после раскрыли парашют на сверхзвуковых и раскрыли вместе с этим для себя удивительный мир звукового барьера и иного поведения вещей за пределами граничных условий.
motiv34
22.05.2018 18:16+1Это немного другое. Вы говорите, что конкретные формулы описывают природные явления только в определенных условиях, а за их пределами могут не работать. Математика, как вы правильно заметили, тут ни причем. Это просто означает, что эти формулы подобраны не оптимально. Более подходящие всегда описывают вещи и более высокого уровня, и более низкого.
Формулы сверхзвуковой аэродинамики включают в себя и дозвуковую как частный случай. А формулы общей теории относительности включают в себя ньютоновские формулы гравитации, просто с меньшей точностью и для более ограниченных условий.
А в статье скорее речь о том, что непонятны причины, почему математика оказалась так эффективна. Ведь это своего рода сжатие — мы берем поведение очень сложной системы и сжимаем его до простой абстрактной формулы. На фундаментальном уровне существует ограничение, как сильно можно сжимать информацию без потерь. Связанное с энтропией. Так, например арифметическое сжатие считается максимально возможным. Математика же позволяет снизить и размерность, и сжать информацию до очень хорошего уровня. Удивительно, что человечество смогло изобрести такой способ. Хотя он возник естественным образом из разумности, на примере тех же древних греков, но это не отменяет его высокой эффективности.
Ведь мы могли бы симулировать физические системы подбрасывая камушки и ветки, и выбирая из них похожие на реальность комбинации. Такой способ был бы явно менее эффективным, чем описать систему математическими формулами. Например, средневековые гадания на картах. Они построены так, чтобы общими словами описывать какие-то общие ситуации, например: "вас скоро ждет дальная дорога". Иногда такие "предсказания" сбывались (ха-ха), поэтому это можно считать своего рода способом моделировать реальность. Но он явно уступает математическим способам. Например, посчитать числа из статистики и определить, что у профессии коммивояжера вероятность "дальней дороги" в ближайшем будущем на такое-то количество процентов будет выше, чем у домоседа.
Понятно, что математика победила, так как оказалась эффективнее. Но по каким причинам она на много порядков эффективнее описывает реальность, чем альтернативные способы (гадание на картах, интуиция и т.д.)? Почему реальность так хорошо описывается такими простыми формулами? Нет ли за этим каких-то фундаментальных причин, вроде очень простой Теории Всего. Или нам просто повезло найти удачный способ сжатия информации математическими закорючками.
sshikov
22.05.2018 22:07+1>Формулы сверхзвуковой аэродинамики включают в себя и дозвуковую как частный случай.
Это не тот случай.
Sirion
22.05.2018 11:54Интересная статья, некачественный перевод. Отсутствие запятых («Во множестве мифов повествуется о том почему») я ещё как-то мог пережить. Но в районе «реальных проблем интегрирования» (для нематематиков: очевидно, в оригинале имелись в виду задачи интегрирования в действительных числах) моё терпение закончилось. Лучше почитаю оригинал.
MagisterLudi Автор
22.05.2018 15:28Спасибо что нашли и помогли исправить недочет перевода.
Gritsuk
22.05.2018 16:09У вас вообще много где используется «система реальных чисел». В оригинале же «real numbers», которые в русском обычно называются «действительные числа». Кстати, «бегущие волновые трубки» — это «лампы бегущей волны».
Centimo
22.05.2018 15:00+1Мне показалось, что у автора какое-то искажённое восприятие. Что-то вроде ошибки выжившего, когда пилот вернувшийся домой удивляется какие конструкторы гении, потому что его пташка дотянула до базы без крыла и с половиной двигателей. И совершенно забывает, что есть множество других пилотов, которым не так повезло. Так и тут: автор удивляется эффективности математики, хотя можно придумать сколько угодно неэффективных систем.
Fracta1L
22.05.2018 15:24+1У меня уже давно вертится идея, что наша Вселенная не описывается математикой или подчиняется ей, а лишь чаще всего ведёт себя математически. Ну то есть как в квантмехе: электрон может быть где угодно, хоть возле Сатурна, но скорее всего он в точке максимума его волновой функции.
Получается, что во Вселенной может происходить и происходит всё что угодно, но как правило происходит то, что можно описать математическими моделями. И возможно, это связано с тем, что математические модели описывают, так сказать, энергетически выгоднейшие процессы и сущности.
Это если Вселенная реальна. Если она — виртуальная симуляция, то, наверное, она полностью описывается математикой. И наоборот — если у нас получится полностью описать Вселенную математикой, это натолкнёт на неприятные мысли))motiv34
22.05.2018 16:13Это если Вселенная реальна. Если она — виртуальная симуляция, то, наверное, она полностью описывается математикой. И наоборот — если у нас получится полностью описать Вселенную математикой, это натолкнёт на неприятные мысли))
Скорее наоборот — принципиально вероятностная природа на квантовом уровне один из самых неприятных намеков на то, что наш мир виртуальная симуляция. В компьютерных симуляциях (играх и пр.) на низком уровне часто используются случайности. Это упрощает расчеты. Вместо того, чтобы придумывать сложную детерминистскую механику, дающую все возможное многообразие, мы говорим: пусть стрела из лука в RPG игре попадает в цель с вероятностью 90%. Это автоматически дает большое разнообразие игровых ситуаций и ничего не стоит в вычислительном плане.
По-моему, тут прямая аналогия с «электрон может быть хоть у Сатурна, но скорее всего будет в этой точке».
Но конечно, есть и альтернатива — клеточные автоматы. Где правила заданы жестко, а кажущаяся случайность форм просто следствие из этих необычных правил. Скорее всего наша вселенная такая (хотя бы согласно бритве Оккама, чтобы не придумывать лишние сущности в виде владельцев симуляции). Если рассуждать так, то квантовая случайность скорее всего кажущаяся, как следствие работы Теории Всего, которую мы пока не понимаем.
Об этом тоже упоминается в статье, мол, мы выбираем ту математику, которая описывает наблюдаемые явления на нашем масштабе чувств. И хороший вопрос, может ли голая математика привести к какому-то более глубокому пониманию вселенной, за пределами нашего бытового восприятия. Как это уже произошло в современной физике с квантовыми вероятностями. Но, возможно, и даже скорее всего, это еще не предел. В этом смысле рассуждения о природе математики, ее эффективности и прочее, могут подтолкнуть к направлению, в котором стоит вести поиск. Хотя все это сильно смахивает на философию, если честно. И должно по идее решаться более детерминистскими, научными способами.Fracta1L
22.05.2018 16:21В компьютерных симуляциях (играх и пр.) на низком уровне часто используются случайности. Это упрощает расчеты
Там не случайности, а псевдослучайности, в том-то и дело.motiv34
22.05.2018 17:36+1Там не случайности, а псевдослучайности, в том-то и дело.
Принципиально ничто не мешает в играх использовать настоящую квантовую случайность на основе внешнего устройства. Кажется, были новости о попытках встраивании аппаратного генератора случайных чисел в процессор. Там это нужно было для нужд криптографии, но может использоваться и будущими играми.
Верно и обратное — ничто не доказывает, что случайность в квантовом мире настоящая, а не псевдослучайность более высокого уровня от программистов этой симуляции. Ведь на локальном уровне в компьютерной игре псевдослучайный программный генератор практически не отличается от аппаратного, в этом весь его смысл. Мы можем за тысячи лет наблюдений не набрать достаточной статистики наблюдений, чтобы отличить квантовую псевдослучайную вероятность от настоящей. Да и инициализируется псевдослучайный генератор в играх по-настоящему случайным seed'ом, например от времени запуска программы.
Более того, даже в полностью детерминистских алгоритмах симуляций (CFD пакеты и прочее) ограниченная битовая точность современных процессоров вносит элемент случайности. Существует, например, разработка нейронной сети, работающей на этом принципе. На конечной точности представления чисел в компьютерах: blog.openai.com/nonlinear-computation-in-linear-networks Там это выполняет роль нелинейного элемента в нейроне, но этот же эффект влияет на точность компьютерных физических симуляций, т.е. вносит случайность.
Квантовая неопределенность в нашем мире может быть таким же побочным эффектом компьютерной симуляции с ограниченной точностью. Или целенаправленного распределения вероятности для моделирования конкретной модели вселенной. В играх конкретные кривые распределения вероятностей однозначно используются для снижения вычислительных мощностей, необходимых для симуляции. И увеличения разнообразия действий. В рамках модели симулируемого мира, разумеется.
И это очень похоже на плотность вероятности нахождения элементарной частицы в конкретной точке пространства из мира квантовой физики, которую мы наблюдаем на практике.Fracta1L
22.05.2018 17:39+1использовать настоящую квантовую случайность
Ну я о том и говорю, что настоящая случайность требует каких-то физических источников. Чисто внутри компьютера её реализовать не получается.
ничто не доказывает, что случайность в квантовом мире настоящая
О том и речь — неизвестно ещё, реален наш мир, или симулярен))motiv34
22.05.2018 18:32+1Ааа, кажется понял ). Вы имеете ввиду, что природа может в принципе не описываться математикой. И что наше математическое понимание природы, в том числе понимание математической случайности может быть лишь грубым приближением.
То есть, какие бы формулы для тех же квантовых вероятностей мы ни придумывали, и какую бы статистику столкновений частиц ни собирали, природа может преподнести нам сюрприз, не вписывающийся в наши формулы. Просто так получилось, что она чаще всего ведет себя похоже на наши математические формулы.
Ну не знаю, это не укладывается в голове. По-моему, математическое определение случайности, как мы его понимаем на примере наблюдаемой квантовой случайности, уже включает такую возможность ). Если обнаружится что-то необычное, например если выяснится на большой статистике столкновений частиц, что они не укладываются в текущие распределения вероятностей, то просто придется придумывать что-нибудь другое. Что лучше подойдет к наблюдаемому поведению вселенной (или поведению симуляции, если она ненастоящая).
Fracta1L
22.05.2018 19:35Да, именно это я и хочу сказать. Если окажется, что Вселенная полностью описывается алгоритмически/математически, это будет крайне подозрительно.
Если обнаружится что-то необычное, например если выяснится на большой статистике столкновений частиц, что они не укладываются в текущие распределения вероятностей, то просто придется придумывать что-нибудь другое.
Ну, а если такое поведение в принципе не укладывается в любые мыслимые математические концепции? Почему всё во Вселенной должно укладываться в них, если она возникла и существует независимо от чьего-либо разума?
SwingoPingo
22.05.2018 19:56+1Господа, такой аргумент — возьмем, к примеру, право. Юристы, к примеру, не описывают взаимоотношения математическим языком, но логикой. Понятно что логика это, вероятно, подмножество математики, но все же. Поэтому пытаясь быть объективным, сказать что математика чаще всего подходит — этот тезис можно попытаться оспорить.
Далее — этот самый сюрприз природы заложен в самой математике. Нет в природе идеальной синусоиды, нет идеальной затухающей волны, нет идеальных сфер. В природе есть, скажем так, приближения, которые можно считать похожими по поведению на идеальные. К примеру нам для расчета распространения радиоволны в пространстве не нужно знать, что в третьем знаке после запятой волна по своей амплитуде отличается от синусоиды. В нужных нам для предсказания границах это не имеет значения. Поэтому мы рассчитываем характеристики антенны для основной частоты, сознательно пренебрегая гармониками, которые присутствуют в излучении любой антенны. Означает ли это, что мы рассчитываем всю систему? Нет, вся система остается непознанной и полной сюрпризов (бесконечных, что характерно, сюрпризов). Означает ли это что мы описали важную для нас часть системы — да, с нужной нам точность один аспект поведения системы рассчитан.
Но это, опять же — макросистемы. С микросистемами все сложнее, вероятности меньше, неопределенности больше. И вот тут по настоящему интересный феномен, что математика зашла в описание природы дальше, чем наше воображение или любые фантазийные аналогии. Т.е. то, что выведено на основе «чистой математики» каким то непонятным образом оказалось к реальности ближе, чем всякие другие модели описания. Это не значит, что математика и есть реальность, но она зашла дальше чем воображение.
muhaa
22.05.2018 18:30+2Скорее наоборот — принципиально вероятностная природа на квантовом уровне один из самых неприятных намеков на то, что наш мир виртуальная симуляция.
Все наоборот по отношению к вашему наоборот. Квантовая механика как раз почти не оставляет возможности, что мы живем в симуляции. Сама идея описания систем векторами состояния практически несовместима с представлением, что мир просчитывается классическим компьютером. Это если выражаться мягко. Если вникнуть в детали, то все еще хуже.motiv34
22.05.2018 19:08+1Квантовая механика как раз почти не оставляет возможности, что мы живем в симуляции.
Есть много вещей, которые предстают совсем в другом виде, если посмотреть на них иначе. Наша жизнь с математической точки зрения это движение в пространстве высокой размерности к локальному экстремуму (см. ландшафт обучения в нейронных сетях, а наш мозг по принципу действия и есть нейронная сеть). При этом из-за комбинаторного взрыва, для принятия решения невозможно анализировать сразу все размерности на этом ландшафте.
Поэтому наш мозг, как нейронная сеть, снижает размерность, создавая компактные вектора, аналогично работе автоенкодеров. И это же позволяет нам делать обобщения в мышлении (т.н. генерализацию в англ.литературе), когда отличающийся набор данных с сенсоров при таком сжатии оказывается таким же вектором, как сжатие от других, немного отличающихся данных с сенсоров.
Поэтому как может выглядеть компьютерная симуляция вселенной? Это необязательно симуляция каждого атома и каждого кванта всех квантовых полей. Представьте, что мы хотим перенести сознание в компьютер. На первый взгляд, для этого надо скопировать состояние всех нейронов в мозге, а потом убить биологический организм. Это ужасная мысль.
Но давайте заменим не весь мозг компьютером, а маленькую его часть? Отрежем под наркозом кусочек мозга и подключим выходы оставшихся нейронов к компьютерной симуляции. Если по ощущениям очнувшийся пациент не сможет найти отличия в своем самочувствии, то все ок (по условию, наш 50ГГц кремниевый компьютер легко симулирует 100 Гц нейроны).
А теперь давайте отрежем еще кусочек мозга и тоже заменим его на кремниевый чип. Если опять пациент не сможет отличить свои ощущения от прежних, то он остается все тем же человеком. Так, постепенно заменяя все большую часть мозга на компьютерные чипы, мы в итоге полностью заменим биологический мозг на компьютер. И никого убивать не пришлось, верно? =)
Ну а теперь, мы можем подключить этот компьютерный мозг к внешним более мощным серверам. Или запустить специальную компьютерную программу на этом же чипе-мозге, если хватает его производительности. И, в общем-то, можно симулировать для человека любую реальность. Со всеми поддельными данными наблюдений, с историей поддельного «человечества», и так далее.
Принципиальная возможность такой подделки есть, потому что не нужно рассчитывать эту симулируемую виртуальность целиком, со всеми ее квантовыми вероятностями, на классическом компьютере. Достаточно выдавать только те сжатые вектора, которыми оперирует мозг как нейронная сеть. Это вполне может делать более крупная нейронная сеть. Нужно подделывать только нейронные веса промежуточных скрытых слоев, которые, как мы знаем из биологии, имеют намного меньшую размерность не только чем вселенная, но даже чем ограниченный набор внешних сенсоров человека!
То есть, такому человеку с замененным мозгом на компьютер можно подсунуть любую синтезированную сказку. Хоть с драконами, хоть с принцессами. Да, это сложно. Да, пока не доказано, что можно синтезировать непротиворечивый мир, чтобы живущее в нем разумное существо не смогло найти странности и понять, что оно живет в виртуальности.
Но принципиально и технически это, похоже, возможно. И технологии из компьютерных игр, например, способ повышать разнообразие действий искусственными распределениями вероятностей вроде шанса попадания стрелой в цель, этому способствуют. Игры становятся все реалистичнее. Особенно, если виртуального персонажа специально затупить, чтобы ему сложнее было разобраться в устройстве мира. Например, ограничив длину кратковременной памяти до 5-7 элементов и снизив частоту работы его нейронов до жалких 100 Гц. Ох, погодите-ка…muhaa
22.05.2018 20:36+1То что вы написали хорошо, но очень просто. На следующем шаге вы можете понять, что между «скопировать состояние всех нейронов в мозге, а потом убить биологический организм — это ужасная мысль» и постепенной подменой нейронов нет никакой разницы и вот эта мысль действительно по настоящему ужасная.
Что касается подобной тотальной симуляции, то возникает вопрос «зачем?».motiv34
22.05.2018 23:05+1Что касается подобной тотальной симуляции, то возникает вопрос «зачем?»
Сейчас компьютерные симуляции (кроме чисто утилитарных расчетов) делаются, чтобы понять мир, когда недостаточно данных. Симулируем по упрощенным правилам распределение всей материи во всей вселенной начиная с большого взрыва, а потом смотрим, совпадает ли результат с наблюдаемым небольшим кусочком космоса. И если совпало, значит формулы в симуляции более менее верны.
Другие тоже могут проводить подобные исследования, но изучая, например, особенности развития разума. Введение в модель небольших случайностей как бы расширяет границы модели. Может они изучают, в каких вариантах вселенных может возникнуть разумность, а в каких нет. Или пытаются таким образом создать эволюционным путем разум, который превосходил бы их собственный. Как мы сейчас пытаемся создать компьютерный ИИ.
Вообще, виртуальная вселенная объяснила бы странную силу математики, которой удивляется автор в статье. Потому что симулировать физику на основе простых линейных и квадратичных уравнений легче, чем например использовать табличные данные. На практике, конечно, все наоборот — большинство формул в физике линейные, квадратичные и кубические из-за того, что у нас всего три пространственных измерения, а большинство взаимодействий распространяются вдоль линии (линейные), площади (квадратные) или объема (кубические).
Как выше верно заметили, сейчас считается, что квантовая механика исключает возможность симуляции всей вселенной классическими компьютерами (требуется слишком большая вычислительная мощность). А чтобы симулировать вселенную на квантовом компьютере, нужен квантовый компьютер… размером с вселенную! Можно сказать, что наша вселенная и есть квантовый компьютер, который моделирует сам себя.
Но симулировать не обязательно всю вселенную. Достаточно только оперативно генерировать реалистичную картинку и сенсорную информацию. А вот это уже вполне реально. Уже есть нейронные сети, которые генерируют фотореалистичную картинку. Со временем они увеличат разрешение до человеческих 1900х1900 пикселей и смогут генерировать видео движения в любую сторону по виртуальному району, городу, миру… Просто на ходу фантазируя и дорисовывая. А это можно делать сколько угодно, ограничений на вычислительную мощность как при настоящей симуляции всей вселенной тут нет.
Если при этом отслеживать что запомнил виртуальный персонаж (хотя бы отслеживая его мозговую активность, как сейчас по МРТ пытаются читать мысли), то можно оперативно создавать непротиворечивые объяснения. Динамически генерируя места, которые он якобы посещал. Ведь они не должны быть идеально такими же, достаточно чтобы лишь соответствовали его грубой памяти. Что-то вроде взрослого, который рассказывает ребенку выдуманную сказку, и на все вопросы ребенка оперативно придумывает непротиворечивые ответы.
И это не обязательно должен быть один виртуальный персонаж. Это может быть взаимодействие сразу нескольких, как в мультиплеере. А это уже открывает большой простор для научных исследований. Это возможный ответ на вопрос зачем нужна такая урезанная индивидуальная симуляция.
Наши сенсорные возможности ОЧЕНЬ ограничены. В интернете полно роликов, где люди падают и теряют равновесие от подмены всего лишь визуальной информации (в очках виртуальной реальности). Есть также недавний эксперимент, где свиные головы продержали живыми в течении суток. Да очевидно же, что им рано или поздно заменят сигналы с внутреннего уха, подменив ощущение равновесия, а также сигналы с выходящих из головы нервов на тактильные ощущения. И по МРТ будут отслеживать активность мозга. Если она окажется такой же, как у живых свиней, значит они реально будут по ощущениям жить в своей свиной Матрице! И если для взрослых людей (да и свиней тоже) сделать такую подмену пока сложно — надо создавать фотореалистичную картинку, имитировать нервные сигналы. То вырастив ребенка сразу в такой виртуальной реальности, ему будет трудно понять, что он в ней…
P.S. я не верю, что вселенная это симуляция. слишком много слабых мест в такой теории. но и исключать ее полностью тоже вроде как опрометчиво.muhaa
23.05.2018 21:07+1Как выше верно заметили, сейчас считается, что квантовая механика исключает возможность симуляции всей вселенной классическими компьютерами (требуется слишком большая вычислительная мощность).
Дело не в слишком большой вычислительной мощи, а в совершенно иной природе этих вычислений. Все что вы можете напридумывать на базе виртуальных вселенных, загрузки сознания и прочего — детский сад по сравнению с той жестью, на которую указывает квантовая механика. Там действительно лежит нечто иное, совершенно фундаментальное и недоступное прямому пониманию, без сложнейшей математики. Это иное меньше всего похоже на компьютерную симуляцию.
Fracta1L
23.05.2018 07:08Что касается подобной тотальной симуляции, то возникает вопрос «зачем?».
Психологические/социологические/политические/исторические исследования.
Cryvage
22.05.2018 20:38+1По-моему, тут прямая аналогия с «электрон может быть хоть у Сатурна, но скорее всего будет в этой точке».
Лично я всегда понимал это таким образом, что электрон нигде не находится. Нет у него такого свойства, как координата в пространстве.
Узнать «координату» электрона в пространстве мы можем лишь провзаимодействовав с ним. И следующее взаимодействие произойдёт уже в другом месте. Информация устаревает в момент получения. И по полученным устаревшим данным никак нельзя рассчитать следующее значение. Но это равносильно тому, что информации вовсе нет.
Во всяком случае эта информация не имеет непосредственного отношения к электрону. Это не значение какого-то его свойства. Это не координата электрона. Это координата нашего последнего взаимодействия с электроном. Информация о прошедшем событии, а не о существующем в данный момент объекте. Если я скажу что вчера был на пляже, то это информация о событии, а не моё свойство. Рост или вес — мои свойства. А то что случилось со мной вчера — нет.
Из этого я для себя сделал такой вывод. У электрона нет координаты. Лишь взаимодействие с ним происходит в определённых координатах. Но самого электрона там нет и никогда не было. Он как бы размазан в пространстве. Находится везде и нигде. И взаимодействие с ним может произойти где угодно. Но где-то оно происходит чаще, а где-то реже.
Говорит ли это о том, что электрон — результат симуляции? Ведь, вроде бы, имеет место случайность. Пусть речь и не о координате, а о вероятности провзаимодействовать в определённой точке пространства. Случайность действительно есть. Но если мы признаём что есть сущность, не имеющая конкретной позиции в пространстве, то почему в основе явлений не может быть случайности? Мы привыкли думать, что у всего есть причина и следствие. Но мы так же привыкли думать, что у всего есть координата и импульс. А что если нет? Что если реальными свойствами элементарных частиц являются не конкретные значения в какой-то момент времени, а функции плотности вероятностей?
В конце концов, каждый может увидеть, как случайные значения, подчиняющиеся определённому вероятностному закону, при достаточном их количестве, выстраиваются в красивые графики. И, что самое важное, вид этих графиков, в отличие от отдельных значений, отнюдь не случаен. Важно и то, что для многих явлений и процессов имеет значение именно вид графика, а не конкретные значения. А на макро уровне мы, как раз, взаимодействуем с огромным количеством элементарных частиц. При таком количестве будет происходить качественный переход в результате которого на физические явления начинает влиять «вид и форма графиков», а не отдельные значения. Так происходит переход от случайности на квантовом уровне, к детерминизму на макроуровне.SwingoPingo
22.05.2018 22:09+1А если приравнять координаты взаимодействия электрона к его собственным координатам в моменты времени и выстроив функцию координат во времени попытаться экстраполировать его местонахождение в будущем? Почему не сработает?
Cryvage
22.05.2018 23:22+1Сработает. Но точного значения мы не получим. Полученная функция координат во времени, как раз и будет плотностью вероятности. С её помощью мы сможем сказать, что
«электрон может быть хоть у Сатурна, но скорее всего будет в этой точке»
Fracta1L
23.05.2018 07:12Ну, так и есть, до взаимодействия у частицы нет никаких свойств. Об этом говорят неравенства Белла. Если взять ту концепцию, о которой я говорил в корневом комменте, то получается так: есть нечто (поле или что-то ещё), из чего можно выхватить «порции», и у этих «порций» могут быть какие угодно свойства, но чаще всего у них те свойства, что предсказываются квантовой механикой.
SwingoPingo
23.05.2018 08:13нет никаких свойств вообще, или нет никаких проявлений их свойств для нас?
Перефразируя: Сам для себя кот жив или мертв в не открытом ящике? Или может и кота никакого нет, а появляется сразу живой или мертвый кот?Fracta1L
23.05.2018 09:26Нет никаких свойств вообще. Другой вариант описывает теория скрытых параметров, она-то и была опровергнута.
Сам для себя кот жив или мертв в не открытом ящике?
Кот же тоже наблюдатель. Да и понятие наблюдения в этом плане намного шире, чем «учёный с приборами фиксирует показатели». По сути, это вообще любое взаимодействие, т.е. передача какой-либо информации.SwingoPingo
23.05.2018 09:38Тогда философский вопрос о наблюдателе и объекте:
Существование = проявление свойств?
Если да, то нет свойств = не существует. И возникает только в момент взаимодействия? Если так, то тут будет уход обсуждения в причинно-следственные связи.
Мы то знаем что кот в коробке. Мы не все его свойства знаем, но знаем что при открытии коробки мы обнаружим в ней кота. Живого или мертвого. Потому что мы туда его посадили и потому что все остальные коты обладают свойством (эмпирическим) оставаться в коробке. Т.е. он существует или по своим будущим проявлениям свойств, или по его истории проявленных им свойств.
Или потому что коробка являясь наблюдателем по отношению к коту непрерывно при взаимодействии материализует его свойство «координата».Fracta1L
23.05.2018 09:48Существование = проявление свойств?
Да, получается так. Это и логично: как можно говорить о существовании чего-либо, если это что-то не имеет никаких свойств?) Т.е. оно не твёрдое, не мягкое, не цветное, не монохромное, не лёгкое, не тяжёлое, не жидкое, не газообразное, не имеет ни формы, ни массы, ни вообще каких-нибудь свойств — т.е. никакое.
Что касается живых-мёртвых котов, исчезающей без чьего-либо взгляда Луны, и прочих финтов с макротелами. Несуществование без наблюдения касается квантовых объектов. Макрообъекты же состоят из множества квантовых объектов, которые — пусть физики не кидают в меня тухлыми яйцами за такую вольную формулировку — наблюдают друг друга, т.е. взаимодействуют друг с другом, обмениваясь информацией (ну там, пиу-пиу виртуальными частицами, вот это всё). Поэтому макротела и не находятся в квантовой суперпозиции, и обладают свойствами даже когда на них никто не смотрит.
Теперь можно повысить градус упоротости и допустить, что при наблюдениях (взаимодействиях) мы черпаем свойства (т.е. сами частицы) из чего-то, что как раз не имеет свойств само по себе — чего-то вроде Фундаментального Никакого. Но это уже так, чистая фантазия))
Druu
24.05.2018 05:56нет никаких свойств вообще, или нет никаких проявлений их свойств для нас?
Перефразируя: Сам для себя кот жив или мертв в не открытом ящике? Или может и кота никакого нет, а появляется сразу живой или мертвый кот?Состояние кота задается волновой ф-ей, эта волновая ф-я является суммой двух компонент — мертвый кот и живой. С точки зрения живого кота — кот жив, с точки зрения мертвого — кот мертв, т.к. разные компоненты волновой ф-и в силу принципа суперпозиции не могут влиять друг на друга.
muhaa
23.05.2018 21:18+1Что если реальными свойствами элементарных частиц являются не конкретные значения в какой-то момент времени, а функции плотности вероятностей?
На самом деле, свойства любой системы описываются функцией амплитуды плотности вероятности. Амплитуда — она комплексная. Под вероятностями имеется ввиду вероятность того, что система выдаст некий бит информации в определенном эксперименте.
Druu
24.05.2018 05:43пусть стрела из лука в RPG игре попадает в цель с вероятностью 90%. Это автоматически дает большое разнообразие игровых ситуаций и ничего не стоит в вычислительном плане.
Но в РПГ у вас в итоге стрела или попала или нет, а не "попала во все точки разом ;)
И в случае моделирования именно второго варианта — вычислительные затраты оказываются просто гигантскими.motiv34
25.05.2018 10:42Но в РПГ у вас в итоге стрела или попала или нет, а не «попала во все точки разом ;)
Вы правы. Я понял в чем моя ошибка. Из-за недостатка знаний я слишком упрощенно воспринимал квантовые случайности. Мол, вероятность нахождения электрона в конкретной точке описывается простой формулой вероятности, такой как вероятность попасть стрелой из лука 95%. В играх это ничего не стоит в вычислительном плане.
Но квантовый мир сложнее. Если бы это было так, то было бы очень просто делать квантовые расчеты. А как мы знаем, это совсем не так ). Есть понятие квантового превосходства. Если не ошибаюсь, это что-то вроде 50 кубитов. Выше этого числа не хватит вычислительной мощности всех компьютеров земли, чтобы смоделировать такой квантовый компьютер.
Что ж, симулировать физику вселенной из-за квантовых эффектов, как мы их сейчас понимаем, похоже действительно невозможно. По крайней мере, классическим компьютером. А вот сделать Матрицу для конкретного индивида или даже сколь угодно большой группы (хоть для всего человечества) технически все еще можно… Из-за ограниченного количества чувств. Надо просто на лету генерировать картинку и непротиворечиво увязывать ее с памятью.
Собственно, это уже происходит. Известны несколько реализаций нейронных сетей, которые сначала обучаются строить внутреннее представление о мире, наблюдая реальный мир. А потом на лету генерируют реалистичную картинку — аналог наших снов, фантазии. И дальнейшее обучение происходит уже по примерам из этого выдуманного мира, так как их можно нагенерировать сколько угодно (для нейронных сетей нужно много примеров). Хороший пример: worldmodels.github.io, где нейросеть динамично создает в воображении уровни из Doom и различные ситуации на дороге для управляемой машинки.
muhaa
22.05.2018 15:25+1Я бы сместил удивление от эффективности математики в целом к удивлению от эффективности в применению к реальному миру математического анализа, комплексных чисел и прочих идей, связанных с непрерывными величинами. ИМХО, дискретная часть математики выглядит не более эффективно, чем это можно ожидать.
Вообще говоря, мир мог бы быть клеточным автоматом, или мир мог бы быть хаотичным графом, с какими-то детерминировано эволюционирующими метками на нем. В этом случае идеи, основанные на непрерывных величинах были бы гораздо менее эффективными.
Я для себя нашел несколько объяснений эффективности непрерывной математики:
1. Такой фундаментальный компонент реальности, как «вероятность» принципиально описывается непрерывной величиной. Значит не верно считать, что бог создал «целые числа, а остальное придумали люди». Полностью детерминированным мир без вероятностей мыслим, но квантовая механика оставляет ему мало шансов.
2. Человек не просто моделирует мир, он моделирует его чтобы предсказать аспекты, которые для него важны. Эти аспекты часто имеют вид непрерывных величин: насколько много, насколько сильно, насколько далеко…
3. Физическая реальность во многом основана на непрерывных симметриях (в отличии от упомянутого в начале мира-клеточного автомата или мира-графа). Непрерывные симметрии попали в основу мира не просто так. Видимо именно такой мир по каким-то философским причинам только и возможен. Тогда по тем же причинам в этом мире будет эффективна и непрерывная математика: во-первых, она работает потому, что это ей же порожденный мир, во-вторых она работает потому, что именно она обладает «волшебными» свойcтвами позволять существовать чему-то.Druu
24.05.2018 06:18Я бы сместил удивление от эффективности математики в целом к удивлению от эффективности в применению к реальному миру математического анализа, комплексных чисел и прочих идей, связанных с непрерывными величинами. ИМХО, дискретная часть математики выглядит не более эффективно, чем это можно ожидать.
Здесь нет ничего странного, учитывая, что поле действительных чисел можно построить как факторкольцо кольца конечных элементов из поля гиперрациональных чисел по идеалу бесконечно малых.
KirillGuzenko
22.05.2018 15:46Читать перевод является большой сложностью ведь производился очевидно он автоматизированных систем переведения текста с помощью. < /irony>
В общем, плохая это привычка – прогнать через автоматический переводчик, немного после этого допилив. Постоянно спотыкаешься об ужасно кривые конструкции.
Избранное:
Это самое глубокое эссе, которое я видел относительно философии науки; на самом деле, оно важно для всего нашего понимания мысли, познания или реальности.
При изучении его специальной теории относительности возникает ощущение, что человек имеет дело с подходом схоластического философа
Эволюция человека обеспечила модель.
Если вы берете 4000 лет для возраста науки, как правило, тогда вы получите верхнюю границу в 200 поколений.
… мы приближаемся к таким ситуациям с интеллектуальным аппаратом, в которых мы можем понять только что мы делаем.
я готов серьезно предположить, что многое из того, что мы видим, происходит из очков, которые мы надеваем.
Измерения экспоненты, проводя эксперименты, в значительной степени пытаются выяснить, живем ли мы в евклидовом пространстве, а вовсе не проверяем закон обратных квадратов.
Это не алгебраическое число, так как никакая линейная комбинация степени pi с целыми коэффициентами точно не исчезнет.
Именно он обнаружил, что мы живем в том, что математики называют L2 — сумма квадратов двух сторон правого треугольника дает квадрат гипотенузы.MagisterLudi Автор
22.05.2018 16:07А пришлите пожалуйста свои варианты переводов каждой конструкции, так мы сможем улучшить публикацию.
NeKpoT
22.05.2018 19:19+2Люди ловили рыбу сетью в море, и, изучив улов, пришли к выводу, что в море одна мелочь
Some men went fishing in the sea with a net, and upon examining what they caught they concluded that there was a minimum size to the fish in the sea
Тут смысл полностью изменился. В оригинале размер рыбы ограничен снизу.
third112
22.05.2018 19:22+1Когда говорят об эффективности какого-либо технологического процесса или устройства, обычно подразумевают сравнительную эффективность. Например, для перемещения не очень больших количеств песка на не очень большие расстояния тачка бывает эффективнее носилок, для перемещения больших количеств на большие расстояния самосвал эффективнее тачки, а еще большие количества бывает эффективнее перемещать по железной дороге на ж/д платформах. Нам не с чем сравнить математику — у нас нет альтернативы — любая попытка создать «другую математику» приводит к расширению уже существующей:
Кризис несоизмеримости сменился евклидовым подходом к математике.
Поэтому может возникнуть впечатление о некорректной постановке вопроса. С другой стороны, обычно есть возможность привести пример чего-то вовсе неэффективного. Нпр., таскать воду решетом совершенно неэффективно. В данном случае современная официальная наука утверждает, что многие явления не зависят от расположения звезд и от кофейной гущи. Поэтому мы можем утверждать, что гадание по звездам и по кофейной гуще будет не эффективно во многих случаях, в которых оказывается эффективной математика. Т.о. ИМХО вопрос можно переформулировать более строго: «почему математика эффективна» (без слова Unreasonable). Впрочем, и автор отмечает, что «Математика не всегда работает»:Мы выбираем тип математики для использования. Математика не всегда работает. Когда мы обнаружили, что скаляры не работают для сил, мы изобрели новую математику, векторы. Дальше мы изобрели тензоры.
ИМХО стоит добавить, что из всех наук лучше всего математика работает в физике, а вот в химии уже заметно хуже. Что касается, например, экономики, то, несмотря на обилие очень изощренных мат. моделей, ни один уважаемый экономист не возмется гарантированно предсказать курс доллара на ближайший месяц. Стоит упомянуть и чисто математические вопросы: все ли открытые задачи будут со временем решены или есть нерашаемые в принципе? Если удастся доказать, что P=NP, то математика окажется более эффективной, чем в случае, если удастся доказать обратное? Каковы границы применимости теоремы Гёделя? Возможно ли классическое (некомпьютерное) решение задачи четырех красок? Существуют ли решаемые математические задачи, которые никогда ни один человек, ни все люди не смогут решить в силу ограниченных возможностей человеческого разума, и возможно ли строго доказать существование или несуществование таких задач?
dyadyaSerezha
22.05.2018 20:09Перевод ужасный. Даже странно, что если автор топика именно так все понял, то как при этом он может считать эту статью прекрасной — ведь во многих местах банально отсутствует смысл.
MagisterLudi Автор
22.05.2018 20:14+1помогайте перевести лучше
sshikov
22.05.2018 22:15+1Честно говоря, на мой вкус тут воды многовато. И улучшенный перевод это вряд ли исправит. И если хочется почитать что-то на эту тему, то есть например неплохой перевод «Характер физических законов» Фейнмана, которая по большей части о том же, и при этом еще и написана лучше.
А для маньяков есть опять же неплохой перевод Хофштадтера (это я шучу, там сотни страниц, GEB конечно не замена для эссе) :)
yorgo
22.05.2018 21:08+1Ну если принять за аксиому непротиворечивость наблюдаемой вселенной, то существует лишь одна единственная система правил, которым данная часть вселенной подчиняется.
В этом контексте показательно также отсутствие наблюдаемых бесконечно больших и бесконечно малых величин, с которыми, в основном, и связаны проблемы разрешимости и прочие парадоксы.
dipsy
Так и не понял, почему «необоснованно», возможно трудности перевода, но как по мне, эффективность математики изначально очевидна, для этого мы её и вводим, чтобы эффективно решать реальные проблемы путем использования математических моделей. Это как говорить, что при использовании молотка гвозди забиваются необоснованно быстро, по сравнению с забиванием их кулаком.
MagisterLudi Автор
Unreasonable Effectiveness of Mathematics
Емкость слова «Unreasonable» зашкаливает:
unreasonable [?n?ri?zn?bl] прил
неразумный, безрассудный, неблагоразумный
(unwise, reckless)
необоснованный, неоправданный, безосновательный, беспричинный
(unjustified, groundless)
чрезмерный, непомерный, неумеренный
(excessive, exorbitant)
разумный
(reasonable)
бессмысленный
(senseless)
небезосновательный
(not unreasonable)
непомерно высокий
(prohibitive)
нерассудительный
InstaHeat
Комментатор прав. Должно быть:
«нерационально высокая эффективность», для англоязычной культуры это нормальное выражение, а в русском языке нет значения, которое выражается этим словосочетанием.
Хотя встречаются еще варианты «необъяснимо», но я считаю, что в этом случае переводчику не хватило эмпативности.
С другой стороны, если был уже опубликован перевод эссе Вигнера, где фигурирует «необъяснимо», то переводчик может использовать этот перевод, сослаться на автора перевода.
martin_wanderer
"Нерационально"? Как-то не по-русски звучит. Мне кажется, в данном случае адекватным переводом было бы "необоснованно высокая эффективность". В том смысле, что нет никаких видимых причин для того, чтобы математические предсказание были столько точны. Это ведь старый вопрос: "почему вообще мир описывается математикой".
InstaHeat
Речь о том, что это слишком мощный инструмент, всех возможностей которого мы не знаем, а то, что не понимаем, не можем контролировать. Это тоже самое, что выращивать щенка-инопланетянина, осознавая, что последствия будут любыми.
Собственно, вот это всё и скрывается под 2 словами Unreasonable Effectiveness в англоязычной культуре
Fracta1L
«Необъяснимо» реально самое точное слово.
Survtur
Одним из значений слова unreasonable является not unreasonable… Его можно использовать в любой непонятной ситуации.
martin_wanderer
Скорее, как "гвозди забиваются неожданно быстро". В смысле мы не ожидали, что молоток настолько эффективнее кулака.
greabock
математика чрезмерно эффективна
ScratchBoom
Фейлософы — что с них взять — только и умеют, что воду лить.