02.03.2019 06:35
demsp 1 5500 Источник
Часть I. Дроби
Часть II. Модули

В данной статье рассматривается метод оценок диапазона принимаемых значений и связь этого метода с задачами, содержащими модуль.

При решении некоторых задач необходимо рассматривать диапазон, в пределах которого может находиться искомая величина.

Рассмотрим метод оценок при решении неравенств.

Предположим, что цена за одну единицу товара может колебаться в пределах от 5 до 10 RUB. Дать оценку сверху означает определить максимальное значение, которое может принимать искомая величина. Для двух единиц товара, цена за который не превышает 10 оценка сверху составит 10+10=20.

Рассмотрим задачу из задачника профильной направленности М.И. Башмакова
37. Известны оценки для переменных $ x $ и $ y: 0<x<5, 2<y<3.$

Дайте оценки сверху для следующих выражений:
1. $ 2x+3y $
2. $ xy $

Указание к решению задач 5 и 6
Для оценки дробных выражений необходимо воспользоваться следующим свойством числовых неравенств:

  • Если $a<b$ и оба числа положительны, то $ \frac{ 1 }{a}>\frac{ 1 }{b}$


5. $ \frac{ 1 }{y} $
6. $ \frac{ x }{y} $

8. $ x-y $
9. $ 3x-2y $
Ответы
1. $ 2x+3y<19 $
5. $ \frac{ 1 }{y} < \frac{ 1 }{2} $
9. $ 3x-2y<11 $


Вообще, анализ бесконечно малых величин использует критерий оценки. Понятие модуля как окрестности лежит в самом определении предела.

$ \left|x_{n}-a\right|<\varepsilon $



Рассмотрим пример из «Курса дифференциального и интегрального исчисления» 363(6)
Легко установить расходимость ряда

$ \sum \frac{ 1 }{\sqrt{n} } = 1+\frac{ 1 }{\sqrt{2}}+ \frac{ 1 }{\sqrt{3}} + ... + \frac{ 1 }{\sqrt{n}} + ... $


В самом деле, так как члены его убывают, то n-я частичная сумма

$ 1+\frac{ 1 }{\sqrt{2}}+...+ \frac{ 1 }{\sqrt{n}}>n\cdot\frac{ 1 }{\sqrt{n}}= \sqrt{n} $


и растёт до бесконечности вместе с $ n $.
Для того, чтобы доказать, что $ 1+\frac{ 1 }{\sqrt{2}}+...+ \frac{ 1 }{\sqrt{n}} $ действительно больше $ \sqrt{n} $, нужно произвести оценку снизу данного выражения. Получим систему неравенств

$ \left\{\!\begin{aligned} & \frac{ 1 }{\sqrt{n-1}} > \frac{ 1 }{\sqrt{n}} \\ & \frac{ 1 }{\sqrt{n-2}} > \frac{ 1 }{\sqrt{n}} \\ & \frac{ 1 }{\sqrt{n-3}} > \frac{ 1 }{\sqrt{n}} \\ & ... \end{aligned}\right. $


Произведя сложение всех неравенств данной системы, получим

$ 1+\frac{ 1 }{\sqrt{2}}+ \frac{ 1 }{\sqrt{3}} + ... + \frac{ 1 }{\sqrt{n}} > \frac{ 1 }{\sqrt{n}} +\frac{ 1 }{\sqrt{n}} + \frac{ 1 }{\sqrt{n}} +...+ \frac{ 1 }{\sqrt{n}} = n\cdot\frac{ 1 }{\sqrt{n}} $


Что и требовалось

С гармоническим рядом такой прием не проходит, потому что $ n $-я частичная сумма гармонического ряда

$ 1+\frac{ 1 }{2}+ \frac{ 1 }{3} + ... + \frac{ 1 }{n} > n\cdot\frac{ 1 }{n} =1 $



Вернёмся к задаче

38. Вычислить сумму ( «Задачи для детей от 5 до 15 лет»)

$\frac{ 1 }{ 1\cdot2 } + \frac{ 1 }{ 2\cdot3 } + \frac{ 1 }{ 3\cdot4 } + ... + \frac{ 1 }{ 99\cdot100 }$


(с ошибкой не более 1% от ответа)

Оценка сверху суммы ряда $ \frac{ n }{ n+1 } $ даёт число 1.

Отбросим первое слагаемое $ \frac{ 1 }{ 1\cdot2 } $ 

(define series_sum_1
 ( lambda (n)
  (if (= n 0) 0 
    (+ (/ 1.0 (* (+ n 1.0 )(+ n 2.0))) (series_sum_1(- n 1.0)))
  ) ) )
(writeln (series_sum_1 10))
(writeln (series_sum_1 100))
(writeln (series_sum_1 1000))
(writeln (series_sum_1 10000))
(writeln (series_sum_1 100000))
(writeln (series_sum_1 1000000))

Получим $ 1 - \frac{ 1 }{ 1\cdot2 } = \frac{ 1 }{ 2} $
0.41666666666666663
0.49019607843137253
0.4990019960079833
0.4999000199960005
0.49999000019998724
0.4999990000019941

Проверить можно в ideone.com здесь

Этот же алгоритм на Python
def series_sum(n):
	if n==0:
		return 0
	else:
		return 1.0/((n+1.0)*(n+2.0))+series_sum(n-1.0)
 
print(series_sum(10))
print(series_sum(100))

Ссылка на ideone.com

Отбросим два первых слагаемых $ \frac{ 1 }{ 1\cdot2 } + \frac{ 1 }{ 2\cdot3 } $ 

(define series_sum_1
 ( lambda (n)
  (if (= n 0) 0 
    (+ (/ 1.0 (* (+ n 2.0) (+ n 3.0))) (series_sum_1(- n 1.0)))
  ) ) )
(series_sum_1 1000000)

Получим 0.33333233333632745
Положительный ряд всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной (и, следовательно, ряд — сходящимся), если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечной (а ряд — расходящимся) в противном случае.
Подсчитаем сумму гармонического ряда при увеличении $ n $

#lang racket
(define series_sum_1
 ( lambda (n)
  (if (= n 0) 0 
    (+ (/ 1.0 n) (series_sum_1(- n 1.0)))
  ) ) )
(series_sum_1 10)
(series_sum_1 100)
(series_sum_1 1000)
(series_sum_1 10000)
(series_sum_1 100000)
(series_sum_1 1000000)

Получим:

2.9289682539682538
5.187377517639621
7.485470860550343
9.787606036044348
12.090146129863335
14.392726722864989

Если отбросить много (но не бесконечно много) начальных слагаемых, то сумма ряда также будет увеличиваться (и стремиться к $ \infty $) при увеличении $ n $.
Частичные суммы нарастают безгранично — ряд расходится.

Решите задачу («Начала теории множеств»):
Бизнесмен заключил с чёртом сделку: каждый день он даёт чёрту одну монету, и в обмен получает любой набор монет по своему выбору, но все эти монеты меньшего достоинства (видов монет конечное число). Менять (или получать) деньги в другом месте бизнесмен не может. Когда монет больше не останется, бизнесмен проигрывает.

Докажите, что рано или поздно чёрт выиграет, каков бы ни был начальный набор монет у бизнесмена.
Вернёмся к модулям.
В интегральном исчислении модуль используется в формуле

$ \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{dx}{x} = ln \left| x \right| + C $



На Хабре была статья Самый натуральный логарифм, в которой рассматривается этот интеграл и на основе его вычисление числа $ e $.

Присутствие модуля в формуле $ \int \frac{dx}{x} = ln \left| x \right| + C $ обосновывается далее в «Курсе дифференциального и интегрального исчисления»
Если… $ x < 0 $, то дифференцированием легко убедиться в том, что $ \left[ ln (-x) \right]' = \frac{1}{x} $

Физическое приложение интеграла $ \int \frac{dx}{x} $


Этот интеграл используется для вычисления разности потенциалов обкладок цилиндрического конденсатора.


«Электричество и магнетизм»:
Разность потенциалов между обкладками находим путем интегрирования:

$ \varphi_{1}- \varphi_{2} = \int\limits_{R_{1}}^{R_{2}} E(r) dr = \frac{q}{2 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon l} \int\limits_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{dr}{r} = \frac{q}{2 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon l} ln \frac{R_{2}}{R_{1}} $


( $ R_{1} $ и $R_{2} $ — радиусы внутренней и внешней обкладок).
Здесь не используется знак модуля под знаком натурального логарифма $ ln \left| \frac{R_{2}}{R_{1}} \right| $, потому что $ R_{1} $ и $R_{2} $ строго положительны и такая форма записи является избыточной.

«Модульное» рисование


С помощью модулей можно рисовать различные фигуры.

Если в программе geogebra написать формулу $ abs(x)+abs(y)=1 $ получим



Можно рисовать более сложные фигуры. Нарисуем, например, «бабочку» в облаке WolframAlpha

$ \sum \frac{ \left| x \right| }{n-\left| x \right| }+ \frac{ \left| x+n \right| }{n} + \frac{ \left| x-n \right| }{n} $




Plot[ Sum[abs(x)/(n-abs(x))+abs(x+n)/(n)+abs(x-n)/(n),{n,1,20}], {x,-60,60} ]
В данном выражении $ n $ лежит в диапазоне от $ 1 $ до $ 20 $, $ x $ лежит в диапазоне от $ -60 $ до $ 60 $.
Ссылка на рисунок.

Книги:


«Задачник профильной направленности» М.И. Башмаков
«Начала теории множеств» Н.К. Верещагин, А. Шень
Курс общей физики: в 3-х т. Т. 2. «Электричество и магнетизм» И.В. Савельев

Комментарии (1)


  1. Andy_U
    02.03.2019 12:27
    #19828156

    Задача 38, очевидно, имеет простое аналитическое решение, основанное на том, что


    1/(n*(n+1) = 1/n-1/(n+1).


    Т.е. точный ответ, это 1-1/100 = 0.99