Получаем абсолютные курсы из парных кросс-курсов валют / forpes.ru

Главная
Получаем абсолютные курсы из парных кросс-курсов валют

Получаем абсолютные курсы из парных кросс-курсов валют +8

03.05.2019 16:53

eavprog 26 2600 Источник

Проект: “Абсолютный курс валют”

Введение

О проекте

Проект “Абсолютный курс валют” занимается анализом парных валютных курсов, выделением из них абсолютных валютных курсов и их анализом.

В рамках проекта получена методика преобразования от парных курсов к абсолютным валютным курсам. Для этого определена абсолютная валюта ABS. Курсы всех имеющихся валют выражаются в отношении к ABS.

В проекте исследуются свойства абсолютных курсов. Исследуются различные применения абсолютных курсов валют.

Зачем это...?

На сегодняшний день уже вышли несколько статей по применению метода абсолютных валютных курсов. Привожу две последние.

В статье “Исследование связанности мировых валют через корреляцию абсолютных курсов” описывается одно из применений технологии абсолютных валютных курсов. Дается формальный метод вычисления связи между различными валютами.

В статье “Портфельный метод Марковица применительно к валютному рынку” дается описывается недоступная ранее технология оптимизации валютного портфеля.

На этих двух применениях исследования не останавливаются. Проверяются другие применения технологии. Если у читателей есть свои видения о прочих возможных применениях их можно писать в обсуждениях к статье. Ссылки на места обсуждений приводятся.

Методика получения абсолютных курсов

Детальное описание технологии приводится в статье “От валютных пар к абсолютным курсам валют”.

В основе метода лежит разбор представления парных курсов. Парный валютный курс — это отношение ценности одной валюты к ценности другой. А если ввести некоторую универсальную абсолютную валюту ABS, то имеет место быть следующее преобразование.

$EUR/USD=\frac{EUR}{USD}=\frac{EUR/ABS}{USD/ABS}$

Парный валютный курс есть отношение двух абсолютных курсов.

Для того чтобы получить абсолютные курсы нужно сначала прологарифмировать это уравнение.

$ln(EUR/USD)=ln(\frac{EUR/ABS}{USD/ABS})=ln(EUR/ABS)-ln(USD/ABS)$

Соответственно можно видеть, что логарифмы парных курсов линейно связаны с логарифмами абсолютных курсов валют. И значит можно поискать между ними простое линейное преобразование. Логарифмы абсолютных курсов можно умножать на матрицу прямого преобразования и получать логарифмы парных курсов.

$ln(X_{abs})\times M_{pr}=ln(X_{par})$

И стоит ожидать что существует обратное линейное преобразование для перехода от парных курсов к абсолютным.

$ln(X_{par}) \times M_{obr}=ln(X_{obr})$

Соответственно вся методика получения абсолютных курсов записывается следующим образом.

$X_{abs}=e^{ln(X_{par}) \times M_{obr}}$

Нужно просто логарифмировать парные курсы, умножать их на обратную матрицу и применять экспоненту.

О проблеме

Выше было описано как получать абсолютные курсы из парных. Это делается при помощи линейного преобразования логарифмированных парных курсов и возврата через экспоненту.
Прямое линейное преобразование от абсолютных курсов к парным производится при помощи прямой матрицы. Получить ее весьма просто. Она состоит из нулей, единиц и минус единиц (“0” — нет связи пары и валюты, “+1” — валюта в числителе пары, “-1” — валюта в знаменателе пары). Ниже можно будет ее увидеть.

Наибольшую проблему представляет получение обратной матрицы (точнее необходимо использовать псевдообратное преобразование). С ее помощью можно перейти от парных курсов к абсолютным. Но получение этой матрицы нетривиально вследствии вырожденности матрицы прямого преобразования.

В предыдущей статье дается описание одного метода получения такой матрицы. В статье “Детали перехода от парных (относительных) валютных курсов к абсолютным. Работа над ошибками” раскрывается метод получения абсолютных курсов. В эксперименте мы воспользовались приемом перехода к линейно-независимым компонентам. Таким образом удалось избавится от вырожденности в псевдообратном преобразовании.

Метод настоящего эксперимента

В этой работе предлагается другой метод ухода от вырожденности в матрице прямого преобразования. В настоящее время используются парные курсы которые предоставляет РБЦ. Там 88 пар валют для экспорта. Для них существует следующая матрица прямого преобразования.

Белое в ней нули, синее -1 и красное это единицы. Но она вырожденная. Т.е. от нее не получится обратная матрица.

При проведении предыдущего эксперимента удалось заметить что диагонально подобная матрица имеет обратное преобразование. Соответственно было сделано предложение перейти к кросс-курсам и невырожденной матрице преобразования.

Весь расчет проводился в системе Wolfram Mathematica. Система позволяет получать кросс-курсы прямо внутри системы.

Детали эксперимента (малый пример)

Всего имеются 45 валют. Для наглядности сначала рассмотрим случай с малым количеством валют и валютных пар. Расчет доступен по ссылке в облаке Wolfram Cloud.

Список валют и валютных пар

Были отобраны следующие 10 валют: AUD, CAD, HKD, JPY, SEK, USD, CHF, EUR, CNY, CZK. Из них определили 9 валютных пар: AUD/CAD, CAD/HKD, HKD/JPY, JPY/SEK, SEK/USD, USD/CHF, CHF/EUR, EUR/CNY, CNY/CZK.

Матрица прямого преобразования

Матрица прямого преобразования имеет следующий вид.

Расцвеченный вариант выглядит так.

Размер матрицы — 10х9. Ранг матрицы — 9. Матрица невырожденная. Можно свободно искать обратную к ней.

Матрица обратного преобразования от парных курсов к абсолютным

В результате применения метода псевдообратного преобразования получаем обратную матрицу.

В расцвеченном виде так.

Размер обратной матрицы — 9х10.

Проверка обратной матрицы

Прежде чем двигаться дальше проверяем полученную матрицу. Для этого обратную матрицу умножим на прямую. Результат видим следующий.

И в расцвеченном виде.

Действительно получили единичную диагональную матрицу. Значит обратная верна.

В предыдущем эксперименте проводили проверку метода получения абсолютных курсов. Для этого из полученных абсолютных курсов восстанавливали парные курсы через матрицу прямого преобразования. Дальше сравнивали восстановленные парные курсы с исходными и смотрели ошибку. В нашем случае ошибка при такой проверке будет в пределах машинной точности.

Проверка на реальных курсах

Теперь посмотрим результаты на реальных данных. Возьмем реальные котировки парных валютных кросс-курсов и рассчитаем для них абсолютные курсы.

Были взяты ежедневные кросс-курсы за 30 дней с 28.03.2019 по 27.04.2019.

Курсы валютных пар

Вот матрица парных валютных курсов. Это столбцы парных валютных курсов для следующих пар AUD/CAD, CAD/HKD, HKD/JPY, JPY/SEK, SEK/USD, USD/CHF, CHF/EUR, EUR/CNY, CNY/CZK.

Вот график курса для одной из валютных пар.

Средние значения для парных курсов получились следующими.

Теперь попробуем оценить вариативность данных. Для этого используем стандартное отклонение. Но для стандартизации разделим его на среднее значение. Результаты отобразим на диаграмме.

Как можно видеть стандартные отклонения для каждой валютной пары находятся в пределах 0, 2% — 0, 9% от средних значений парных курсов.

Абсолютные курсы

Теперь вычисляем для парных абсолютные курсы (методика описана в разделе Методика получения абсолютных курсов). После вычислений получаем следующие ряды данных.
Это столбцы абсолютных курсов для следующих валют AUD, CAD, HKD, JPY, SEK, USD, CHF, EUR, CNY, CZK.

Приведем график абсолютного курса одной из валют.

Средние значения для абсолютных курсов следующие.

Оценим вариативность абсолютных валютных курсов.

Стандартные отклонения для абсолютных курсов каждой валюты находятся в пределах 0, 2% — 0, 7% от средних значений абсолютных курсов. И это согласуется с данными для валютных пар.