Сущность

 Основная идея доказательства заключается в том, что угол между любыми отрезками, взятыми на прямой, всегда равен нулю или 180 градусам, что то же самое в данном случае.

Если данное утверждение справедливо, то верен и 5-й постулат Евклида.

Это доказывается с помощью окружности и прямой проведенной через центр данной окружности.

Т.е. доказательство ведется через рассмотрение свойств прямой линии.

Подробнее

 Если провести прямую линию через центр окружности, то эта прямая разделит окружность на две равные части.

Такое утверждение представляется вполне очевидным.

Действительно, если бы какая-нибудь из разделённых частей окружности была больше по площади или по длине дуги, то мы были бы вынуждены предоставить аргументацию того, чем вызвано наше предпочтение той или иной из частей.

Будь то искривление пространства или еще какая-нибудь другая идея – все они выходят за рамки логической геометрии. 

Так и в «Началах» Евклида есть определение под номером 17.

В переводе Д. Д. Мордухай-Болтовского оно звучит так: «Диаметр же круга есть какая угодно прямая, проведенная через центр и ограничиваемая с обеих сторон окружностью круга, она же рассекает круг пополам»

Ни у одного из критиков Евклида данное определение не вызвало сомнений, т.к. оно представляется довольно очевидным. Иначе, мы должны были бы определить предпочитаемую сторону, лежащую по ту ли иную сторону от этой прямой.

Возьмем окружность с центром в точке О и с произвольным радиусом R1 (Рис.1) Проведем через центр окружности прямую ab. По определению прямая ab разделит окружность на две равные части. Точки пересечения окружности и прямой будут точки A и B. Длина дуг окружности по одну и другую сторону от секущей прямой будет равна друг другу и равна π радиусов окружности.

Построим еще одну окружность, но с радиусом R2 больше чем у первой окружности R1.

Точки пересечения прямой ab со второй окружностью C и D, также разделят эту окружность на две равные части, и длина двух дуг будет равна друг другу, и равна π радиусов.

Теперь, можно заметить, что угол между лучом AC (проходящим через точки A и C) и  лучом BD (проходящим через точки B и D) равен π радиан.

Если же считать отрезки между точками на прямой ab ненаправленными, то угол между ними будет равен, или π, или ноль радиан.

Так как можно построить окружность любого радиуса, из любой точки, лежащей на произвольной прямой, то отсюда следует вывод, что в любых точках прямой, угол между любыми отрезками, лежащими на этой прямой, будет равен π или 0, что в данном случае равнозначно.

 Следовательно, строя прямоугольник, мы всегда придем к выводу, что сумма углов в прямоугольнике равна 360 градусов. И соответственно, на основании второй теоремы Лежандра, сумма углов в любом треугольнике будет равна 180 градусов.

Действительно, на любой стороне прямоугольника (Рис.2) мы можем взять точку и построить окружность с центром в данной точке. Далее, мы можем построить еще одну окружность с центром в этом же точке. Таким образом, мы можем видеть, что угол между отрезками, отсеченными этими окружностями, будет равен нулю градусов. Такие же построения мы можем сделать и на других сторонах. Из этого следует, что угол между любыми отрезками, взятыми на одной стороне прямоугольника, будет равен нулю градусов. Суммируя прямые углы при вершинах прямоугольника, мы, естественно придем к результату в 360 градусов. Разделив прямоугольник любой из диагоналей на два треугольника, мы получим треугольник с суммой углов в 180.

По второй теореме Лежандра, если существует хотя бы один треугольник, в котором сумма внутренних углов равна двум прямым, то из этого надлежит заключить, что во всяком треугольнике сумма внутренних углов также равна двум прямым.

Многословие

В данной части, на правах автора, позволю себе высказать некоторые мысли напрямую или косвенно связанные с проблемой 5-го постулата Евклида. Этот раздел, возможно, будет спорным, но доказательство, приведенное выше, не зависит от идей приведенных ниже.

Определение прямой линии, как причина проблемы с доказательством 5-го постулата Евклида.

Казалось бы такое простое доказательство, данное выше.

Так в чем же причина того, что 5-й постулат остается спорным до сих пор?

Мне представляется, что проблема, как не странно, кроется в Определении прямой линии.

До сих пор не найдено красивого, лаконичного, очевидного и, что крайне важно, применимого для доказательства Определения прямой линии. Такого Определения, которое запрещало бы «кривизну» прямой линии.

Для прямой линии нет определения, подобного тому, как дано для окружности: «Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной». 

Определение прямой линии вида: «Через две точки можно провести только одну прямую» трудно назвать определением. Это скорее описание одного из свойств прямой линии.

Из этого свойства вытекает, что двумя точками можно задать положение прямой линии в пространстве, но к определению прямой это не имеет отношения. Прямая линия может быть как угодно «искривлена», и если у нас нет аргументов считать это абсурдным, то у нас и нет доказательной базы для объявления это абсурдом. Всегда можно будет апеллировать к тому, что «прямота» прямой линии – это наше бытовое представление о ней. Что, например мы не видим «кривизну» в силу ограниченности наблюдаемого нами пространства и если неограниченно продолжить эту прямую линию тогда мы могли бы увидеть ее «кривизну». 

Определение через ось тела вращения – это скорее умозрительное описание предмета, не дающее работоспособных правил к применению. Это не более чем бытовое представление о прямой линии, по сути равнозначное определению прямой двумя точками. Этим определением мы ничего не сможем ни доказать, ни опровергнуть. 

Определение типа «Прямая – это геометрическое место точек равноудаленных от двух данных», довольно строго описывает прямую, но крайне тяжело применимо для целей доказательства в случаях, где требуется опровергнуть возможную «кривизну» прямой. 

Евклид дал такое определение прямой линии (в переводе Д. Д. Мордухай-Болтовского):

«Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней».

В силу своей неясности, зачастую, вместе с переводом данного определения, оно приводиться в оригинальном виде. Возможно в надежде, что читатели сами смогут понять его витиеватость.

Об этом говорит обширность комментариев даваемых к этому Определению. Но в любом случае оно также неприменимо для целей доказательства или опровержения чего либо. Это просто бытовое представление о прямой линии, тем более не совсем ясное. 

Лежандр признает: «Не подлежит сомнению, что безуспешность всех попыток вывести эту теорему (о сумме углов треугольника) из одних только наших сведений об условиях равенства треугольников, содержащихся в I книге Евклида, имеет свой источник в несовершенстве нашей повседневной речи и в трудности дать хорошее определение прямой линии».

Лобачевский не соглашается с этим заявлением. Ни сколько не умаляя ни труда, ни заслуг Лобачевского в поисках истины о 5-м Постулате Евклида, автору представляется, что именно эта причина, замеченная Лежандром, и есть суть проблемы.

Искривление пространства и прочие физические сущности

При рассуждениях о 5-м постулате Евклида, некоторые популяризаторы уходят в рассуждения об искривлении пространства, об многомерности пространства невидимой бытовому наблюдателю и прочих головокружительных сущностях.

Так вот, что касается геометрии, как предмета рассматриваемого Евклидом, как и его великими последователями включая и Лежандра и Лобачевского, ни о каком физическом пространстве речи у них не идет.

Геометрия Евклида – это чисто логическая абстракция, где пространство не обладает какими либо физическими параметрами. Соответственно и привлечение, каких либо физических идей в геометрии Евклида неуместно.

Логика и законы сохранения окружающего нас мира. Бесконечность

Наша логика строится на принципах законов сохранения. Эти законы, например закон сохранения энергии, или закон сохранения импульса, окружают человека во всем наблюдаемом человеком пространстве.

В соответствии с этими законами и строиться логические цепи во всех рассуждениях человека. В том числе все науки базируются на этих логических принципах.

Попробую пояснить. Если мы положим в некий «черный ящик» два предмета, мы вполне будем уверены, что открыв этот «черный ящик», мы должны обнаружить эти же два предмета, если за время нахождения там этих предметов ничего не произошло. Иначе мы должны найти причину того, что произошло, что повлияло на количество предметов в «черном ящике». Это закон сохранения. Так перенося этот закон на язык математики, мы уверены, что 1+1 будет 2.

Хочу заметить, что наша логика родилась именно из этих законов сохранения окружающего нас мира. Если бы законы окружающего нас мира были другими, то и наша логика (и математика, и геометрия) была бы другой. Например, если бы отсутствовали законы сохранения, то никакой бы причины считать 1+1 равно 2 не было бы. Вполне обыденным были бы «чудеса» появления предметов из ниоткуда и такое же их исчезновение в никуда.

И здесь мы подходим к понятию бесконечности.

Человек никогда в своей истории не сталкивался с бесконечностью. Соответственно, какие-либо попытки применить логику, действующую в окружающем нас мире, к понятию бесконечности, представляются бессмысленными. Невозможно ответить на вопрос, сколько будет «бесконечность плюс бесконечность». Понятие бесконечности лежит за рамками законов сохранения.

Такие понятия как «бесконечно удаленная точка» или «окружность бесконечного радиуса» бессмысленны. Если мы можем поставить «бесконечно удаленную точку» - тогда эта точка уже находиться в измеримом пространстве, а не на «бесконечности».

Соответственно «бесконечно удаленной точки» не существует, как и не существует «окружности бесконечного радиуса». Т.е. в логике нашего мира не существует Орицикла (т.е. окружности бесконечного радиуса) предложенного Лобачевским. Это нисколько не умаляет идеи Лобачевского об Орицикле. Просто, автор, хотел бы определить некоторые пределы, где доказательства, базирующиеся на логике нашего мира, имеют смысл.

Отсюда следует, что находясь в логике нашего мира, мы можем построить окружность с любым радиусом, сколь угодно большим, но не бесконечным. Соответственно доказательство приведенное автором распространяется на любую окружность, доступную в логике нашего мира. 

© Чернышов Константин Викторович

06 января 2021 года