Есть одна очень интересная задачка на стыке комбинаторики и теории вероятностей с контр интуитивным решением. Знакомые попросили ее решить так чтобы ученик всё понял.
Постановка задачи 1
Бросают кубик три раза. Какова вероятность, что выпавшие значения образуют треугольник?
Постановка задачи 2
Бросают три кубика одним броском. Какова вероятность, что выпавшие значения образуют треугольник?
На первый взгляд кажется, что вероятность будет одинаковая. Какая разница как бросать?
Терминология
Размещение - В комбинаторике размещением (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества различных n элементов (без повторений).
Сочетание - В комбинаторике сочетанием из n по k называется набор из k элементов, выбранных из n-элементного множества, в котором не учитывается порядок элементов (неупорядоченная выбока).
У треугольников есть одно интересное свойство. Сумма двух противоположных сторон (c+a) должна превышать длину ребра напротив (b). И так для каждого ребра. Можно даже написать функцию, которая будет вычислять какие 3 числа образуют треугольник, а какие нет.
static bool is_triangle(double a, double b, double c){
bool res = false;
if(c<(a+b)) {
if(b<(c+a)) {
if(a<(b+c)){
res = true;
}
}
}
return res;
}
Для решения этой задачи подойдет классическая схема вычисления вероятности.
Напомню как работает классическая схема вычисления вероятности. Тут есть 4 четких фазы.
Фаза 1) перечислить множество элементарных исходов.
Фаза 2) присвоить каждому элементу множества элементарных исходов его вероятность.
Фаза 3) выбрать благоприятные элементарные исходы исходя из условия задачи.
Фаза 4) поделить сумму вероятностей благоприятных исходов на 1.
Для самопроверки сумма вероятностей всех элементарных исходов должна равняться единице.
Решение №1
Воспользуемся классической вероятностной схемой.
Сколько способов три раза бросить кубик? Это упорядоченное множество с повторениями. На первом шаге может выпасть один из 6ти, на втором шаге тоже один из 6ти и на третьем броске тоже один из 6ти. По правилу произведения, получается, что один кубик можно бросить три раза 216 различными способами.
6*6*6=216
Построим множество элементарных исходов эксперимента. Число всех элементарных исходов равно 216. Эти исходы равновероятны.
1, (1, 1, 1) ; 2, (1, 1, 2) ; 3, (1, 1, 3) ; 4, (1, 1, 4) ; 5, (1, 1, 5) ; 6, (1, 1, 6) ; 7, (1, 2, 1) ; 8, (1, 2, 2) ; 9, (1, 2, 3) ; 10, (1, 2, 4) ; 11, (1, 2, 5) ; 12, (1, 2, 6) ; 13, (1, 3, 1) ; 14, (1, 3, 2) ; 15, (1, 3, 3) ; 16, (1, 3, 4) ; 17, (1, 3, 5) ; 18, (1, 3, 6) ; 19, (1, 4, 1) ; 20, (1, 4, 2) ; 21, (1, 4, 3) ; 22, (1, 4, 4) ; 23, (1, 4, 5) ; 24, (1, 4, 6) ; 25, (1, 5, 1) ; 26, (1, 5, 2) ; 27, (1, 5, 3) ; 28, (1, 5, 4) ; 29, (1, 5, 5) ; 30, (1, 5, 6) ; 31, (1, 6, 1) ; 32, (1, 6, 2) ; 33, (1, 6, 3) ; 34, (1, 6, 4) ; 35, (1, 6, 5) ; 36, (1, 6, 6) ; 37, (2, 1, 1) ; 38, (2, 1, 2) ; 39, (2, 1, 3) ; 40, (2, 1, 4) ; 41, (2, 1, 5) ; 42, (2, 1, 6) ; 43, (2, 2, 1) ; 44, (2, 2, 2) ; 45, (2, 2, 3) ; 46, (2, 2, 4) ; 47, (2, 2, 5) ; 48, (2, 2, 6) ; 49, (2, 3, 1) ; 50, (2, 3, 2) ; 51, (2, 3, 3) ; 52, (2, 3, 4) ; 53, (2, 3, 5) ; 54, (2, 3, 6) ; 55, (2, 4, 1) ; 56, (2, 4, 2) ; 57, (2, 4, 3) ; 58, (2, 4, 4) ; 59, (2, 4, 5) ; 60, (2, 4, 6) ; 61, (2, 5, 1) ; 62, (2, 5, 2) ; 63, (2, 5, 3) ; 64, (2, 5, 4) ; 65, (2, 5, 5) ; 66, (2, 5, 6) ; 67, (2, 6, 1) ; 68, (2, 6, 2) ; 69, (2, 6, 3) ; 70, (2, 6, 4) ; 71, (2, 6, 5) ; 72, (2, 6, 6) ; 73, (3, 1, 1) ; 74, (3, 1, 2) ; 75, (3, 1, 3) ; 76, (3, 1, 4) ; 77, (3, 1, 5) ; 78, (3, 1, 6) ; 79, (3, 2, 1) ; 80, (3, 2, 2) ; 81, (3, 2, 3) ; 82, (3, 2, 4) ; 83, (3, 2, 5) ; 84, (3, 2, 6) ; 85, (3, 3, 1) ; 86, (3, 3, 2) ; 87, (3, 3, 3) ; 88, (3, 3, 4) ; 89, (3, 3, 5) ; 90, (3, 3, 6) ; 91, (3, 4, 1) ; 92, (3, 4, 2) ; 93, (3, 4, 3) ; 94, (3, 4, 4) ; 95, (3, 4, 5) ; 96, (3, 4, 6) ; 97, (3, 5, 1) ; 98, (3, 5, 2) ; 99, (3, 5, 3) ; 100, (3, 5, 4) ; 101, (3, 5, 5) ; 102, (3, 5, 6) ; 103, (3, 6, 1) ; 104, (3, 6, 2) ; 105, (3, 6, 3) ; 106, (3, 6, 4) ; 107, (3, 6, 5) ; 108, (3, 6, 6) ; 109, (4, 1, 1) ; 110, (4, 1, 2) ; 111, (4, 1, 3) ; 112, (4, 1, 4) ; 113, (4, 1, 5) ; 114, (4, 1, 6) ; 115, (4, 2, 1) ; 116, (4, 2, 2) ; 117, (4, 2, 3) ; 118, (4, 2, 4) ; 119, (4, 2, 5) ; 120, (4, 2, 6) ; 121, (4, 3, 1) ; 122, (4, 3, 2) ; 123, (4, 3, 3) ; 124, (4, 3, 4) ; 125, (4, 3, 5) ; 126, (4, 3, 6) ; 127, (4, 4, 1) ; 128, (4, 4, 2) ; 129, (4, 4, 3) ; 130, (4, 4, 4) ; 131, (4, 4, 5) ; 132, (4, 4, 6) ; 133, (4, 5, 1) ; 134, (4, 5, 2) ; 135, (4, 5, 3) ; 136, (4, 5, 4) ; 137, (4, 5, 5) ; 138, (4, 5, 6) ; 139, (4, 6, 1) ; 140, (4, 6, 2) ; 141, (4, 6, 3) ; 142, (4, 6, 4) ; 143, (4, 6, 5) ; 144, (4, 6, 6) ; 145, (5, 1, 1) ; 146, (5, 1, 2) ; 147, (5, 1, 3) ; 148, (5, 1, 4) ; 149, (5, 1, 5) ; 150, (5, 1, 6) ; 151, (5, 2, 1) ; 152, (5, 2, 2) ; 153, (5, 2, 3) ; 154, (5, 2, 4) ; 155, (5, 2, 5) ; 156, (5, 2, 6) ; 157, (5, 3, 1) ; 158, (5, 3, 2) ; 159, (5, 3, 3) ; 160, (5, 3, 4) ; 161, (5, 3, 5) ; 162, (5, 3, 6) ; 163, (5, 4, 1) ; 164, (5, 4, 2) ; 165, (5, 4, 3) ; 166, (5, 4, 4) ; 167, (5, 4, 5) ; 168, (5, 4, 6) ; 169, (5, 5, 1) ; 170, (5, 5, 2) ; 171, (5, 5, 3) ; 172, (5, 5, 4) ; 173, (5, 5, 5) ; 174, (5, 5, 6) ; 175, (5, 6, 1) ; 176, (5, 6, 2) ; 177, (5, 6, 3) ; 178, (5, 6, 4) ; 179, (5, 6, 5) ; 180, (5, 6, 6) ; 181, (6, 1, 1) ; 182, (6, 1, 2) ; 183, (6, 1, 3) ; 184, (6, 1, 4) ; 185, (6, 1, 5) ; 186, (6, 1, 6) ; 187, (6, 2, 1) ; 188, (6, 2, 2) ; 189, (6, 2, 3) ; 190, (6, 2, 4) ; 191, (6, 2, 5) ; 192, (6, 2, 6) ; 193, (6, 3, 1) ; 194, (6, 3, 2) ; 195, (6, 3, 3) ; 196, (6, 3, 4) ; 197, (6, 3, 5) ; 198, (6, 3, 6) ; 199, (6, 4, 1) ; 200, (6, 4, 2) ; 201, (6, 4, 3) ; 202, (6, 4, 4) ; 203, (6, 4, 5) ; 204, (6, 4, 6) ; 205, (6, 5, 1) ; 206, (6, 5, 2) ; 207, (6, 5, 3) ; 208, (6, 5, 4) ; 209, (6, 5, 5) ; 210, (6, 5, 6) ; 211, (6, 6, 1) ; 212, (6, 6, 2) ; 213, (6, 6, 3) ; 214, (6, 6, 4) ; 215, (6, 6, 5) ; 216, (6, 6, 6) ;
Определим случайное событие T: "в результате трёх бросков кубика выпали числа, которые соответствуют длинам сторон треугольника". Из этих элементарных исходов только 111 будут образовывать треугольник. Вот они.
1, (1, 1, 1); 2, (1, 2, 2) ; 3, (1, 3, 3) ; 4, (1, 4, 4) ; 5, (1, 5, 5) ; 6, (1, 6, 6) ; 7, (2, 1, 2) ; 8, (2, 2, 1) ; 9, (2, 2, 2) ; 10, (2, 2, 3) ; 11, (2, 3, 2) ; 12, (2, 3, 3) ; 13, (2, 3, 4) ; 14, (2, 4, 3) ; 15, (2, 4, 4) ; 16, (2, 4, 5) ; 17, (2, 5, 4) ; 18, (2, 5, 5) ; 19, (2, 5, 6) ; 20, (2, 6, 5) ; 21, (2, 6, 6) ; 22, (3, 1, 3) ; 23, (3, 2, 2) ; 24, (3, 2, 3) ; 25, (3, 2, 4) ; 26, (3, 3, 1) ; 27, (3, 3, 2) ; 28, (3, 3, 3) ; 29, (3, 3, 4) ; 30, (3, 3, 5) ; 31, (3, 4, 2) ; 32, (3, 4, 3) ; 33, (3, 4, 4) ; 34, (3, 4, 5) ; 35, (3, 4, 6) ; 36, (3, 5, 3) ; 37, (3, 5, 4) ; 38, (3, 5, 5) ; 39, (3, 5, 6) ; 40, (3, 6, 4) ; 41, (3, 6, 5) ; 42, (3, 6, 6) ; 43, (4, 1, 4) ; 44, (4, 2, 3) ; 45, (4, 2, 4) ; 46, (4, 2, 5) ; 47, (4, 3, 2) ; 48, (4, 3, 3) ; 49, (4, 3, 4) ; 50, (4, 3, 5) ; 51, (4, 3, 6) ; 52, (4, 4, 1) ; 53, (4, 4, 2) ; 54, (4, 4, 3) ; 55, (4, 4, 4) ; 56, (4, 4, 5) ; 57, (4, 4, 6) ; 58, (4, 5, 2) ; 59, (4, 5, 3) ; 60, (4, 5, 4) ; 61, (4, 5, 5) ; 62, (4, 5, 6) ; 63, (4, 6, 3) ; 64, (4, 6, 4) ; 65, (4, 6, 5) ; 66, (4, 6, 6) ; 67, (5, 1, 5) ; 68, (5, 2, 4) ; 69, (5, 2, 5) ; 70, (5, 2, 6) ; 71, (5, 3, 3) ; 72, (5, 3, 4) ; 73, (5, 3, 5) ; 74, (5, 3, 6) ; 75, (5, 4, 2) ; 76, (5, 4, 3) ; 77, (5, 4, 4) ; 78, (5, 4, 5) ; 79, (5, 4, 6) ; 80, (5, 5, 1) ; 81, (5, 5, 2) ; 82, (5, 5, 3) ; 83, (5, 5, 4) ; 84, (5, 5, 5) ; 85, (5, 5, 6) ; 86, (5, 6, 2) ; 87, (5, 6, 3) ; 88, (5, 6, 4) ; 89, (5, 6, 5) ; 90, (5, 6, 6) ; 91, (6, 1, 6) ; 92, (6, 2, 5) ; 93, (6, 2, 6) ; 94, (6, 3, 4) ; 95, (6, 3, 5) ; 96, (6, 3, 6) ; 97, (6, 4, 3) ; 98, (6, 4, 4) ; 99, (6, 4, 5) ; 100, (6, 4, 6); 101, (6, 5, 2); 102, (6, 5, 3); 103, (6, 5, 4); 104, (6, 5, 5); 105, (6, 5, 6); 106, (6, 6, 1); 107, (6, 6, 2); 108, (6, 6, 3); 109, (6, 6, 4); 110, (6, 6, 5); 111, (6, 6, 6);
Получается, что согласно классической схеме вероятностей, вероятность выпадания треугольника составляет P(T)=111/216=0.51388889=51.3 %
Решение №2
Сколько способов бросить сразу три кубика? (Сочетания с повторениями). Эксперимент может быть составлен так. Положили три куба в стакан. Хорошенечко перемешали и поставили стакан дном вверх.
Для определённости мысленно раскрасим эти кубики в разные цвета: белый, синий, красный. Они же физически различимы. В этом случае множество элементарных исходов эксперимента состоит из 56 исходов. Вот они все перечислены.
1, (1, 1, 1) ; 2, (1, 1, 2) ; 3, (1, 1, 3) ; 4, (1, 1, 4) ; 5, (1, 1, 5) ; 6, (1, 1, 6) ; 7, (1, 2, 2) ; 8, (1, 2, 3) ; 9, (1, 2, 4) ; 10, (1, 2, 5) ; 11, (1, 2, 6) ; 12, (1, 3, 3) ; 13, (1, 3, 4) ; 14, (1, 3, 5) ; 15, (1, 3, 6) ; 16, (1, 4, 4) ; 17, (1, 4, 5) ; 18, (1, 4, 6) ; 19, (1, 5, 5) ; 20, (1, 5, 6) ; 21, (1, 6, 6) ; 22, (2, 2, 2) ; 23, (2, 2, 3) ; 24, (2, 2, 4) ; 25, (2, 2, 5) ; 26, (2, 2, 6) ; 27, (2, 3, 3) ; 28, (2, 3, 4) ; 29, (2, 3, 5) ; 30, (2, 3, 6) ; 31, (2, 4, 4) ; 32, (2, 4, 5) ; 33, (2, 4, 6) ; 34, (2, 5, 5) ; 35, (2, 5, 6) ; 36, (2, 6, 6) ; 37, (3, 3, 3) ; 38, (3, 3, 4) ; 39, (3, 3, 5) ; 40, (3, 3, 6) ; 41, (3, 4, 4) ; 42, (3, 4, 5) ; 43, (3, 4, 6) ; 44, (3, 5, 5) ; 45, (3, 5, 6) ; 46, (3, 6, 6) ; 47, (4, 4, 4) ; 48, (4, 4, 5) ; 49, (4, 4, 6) ; 50, (4, 5, 5) ; 51, (4, 5, 6) ; 52, (4, 6, 6) ; 53, (5, 5, 5) ; 54, (5, 5, 6) ; 55, (5, 6, 6) ; 56, (6, 6, 6) ;
Тут внимание, все эти исходы не равновероятны! Вот вам яркий пример. Исход (1,1,2) может выпасть тремя способами, а исход (1,2,3) может выпасть 6ю способами. Тот же выпад 1,2,2 может сформироваться тремя способами.
Из множества только 34 комплекта чисел (исходов эксперимента) образуют треугольники. Вот они перечислены.
1, (1, 1, 1) 2, (1, 2, 2) 3, (1, 3, 3) 4, (1, 4, 4) 5, (1, 5, 5) 6, (1, 6, 6) 7, (2, 2, 2) 8, (2, 2, 3) 9, (2, 3, 3) 10, (2, 3, 4) 11, (2, 4, 4) 12, (2, 4, 5) 13, (2, 5, 5) 14, (2, 5, 6) 15, (2, 6, 6) 16, (3, 3, 3) 17, (3, 3, 4) 18, (3, 3, 5) 19, (3, 4, 4) 20, (3, 4, 5) 21, (3, 4, 6) 22, (3, 5, 5) 23, (3, 5, 6) 24, (3, 6, 6) 25, (4, 4, 4) 26, (4, 4, 5) 27, (4, 4, 6) 28, (4, 5, 5) 29, (4, 5, 6) 30, (4, 6, 6) 31, (5, 5, 5) 32, (5, 5, 6) 33, (5, 6, 6) 34, (6, 6, 6)
Вот более наглядный список элементарных исходов, исходы образующие треугольники их вероятности.
+----+---------+-----+-------+-----+
|num | comb | cnt | prob | tri |
+----+---------+-----+-------+-----+
| 1 | 1, 1, 1 | 1 | 0.005 | 1 |
| 2 | 1, 1, 2 | 3 | 0.014 | 0 |
| 3 | 1, 1, 3 | 3 | 0.014 | 0 |
| 4 | 1, 1, 4 | 3 | 0.014 | 0 |
| 5 | 1, 1, 5 | 3 | 0.014 | 0 |
| 6 | 1, 1, 6 | 3 | 0.014 | 0 |
| 7 | 1, 2, 2 | 3 | 0.014 | 1 |
| 8 | 1, 2, 3 | 6 | 0.028 | 0 |
| 9 | 1, 2, 4 | 6 | 0.028 | 0 |
| 10 | 1, 2, 5 | 6 | 0.028 | 0 |
| 11 | 1, 2, 6 | 6 | 0.028 | 0 |
| 12 | 1, 3, 3 | 3 | 0.014 | 1 |
| 13 | 1, 3, 4 | 6 | 0.028 | 0 |
| 14 | 1, 3, 5 | 6 | 0.028 | 0 |
| 15 | 1, 3, 6 | 6 | 0.028 | 0 |
| 16 | 1, 4, 4 | 3 | 0.014 | 1 |
| 17 | 1, 4, 5 | 6 | 0.028 | 0 |
| 18 | 1, 4, 6 | 6 | 0.028 | 0 |
| 19 | 1, 5, 5 | 3 | 0.014 | 1 |
| 20 | 1, 5, 6 | 6 | 0.028 | 0 |
| 21 | 1, 6, 6 | 3 | 0.014 | 1 |
| 22 | 2, 2, 2 | 1 | 0.005 | 1 |
| 23 | 2, 2, 3 | 3 | 0.014 | 1 |
| 24 | 2, 2, 4 | 3 | 0.014 | 0 |
| 25 | 2, 2, 5 | 3 | 0.014 | 0 |
| 26 | 2, 2, 6 | 3 | 0.014 | 0 |
| 27 | 2, 3, 3 | 3 | 0.014 | 1 |
| 28 | 2, 3, 4 | 6 | 0.028 | 1 |
| 29 | 2, 3, 5 | 6 | 0.028 | 0 |
| 30 | 2, 3, 6 | 6 | 0.028 | 0 |
| 31 | 2, 4, 4 | 3 | 0.014 | 1 |
| 32 | 2, 4, 5 | 6 | 0.028 | 1 |
| 33 | 2, 4, 6 | 6 | 0.028 | 0 |
| 34 | 2, 5, 5 | 3 | 0.014 | 1 |
| 35 | 2, 5, 6 | 6 | 0.028 | 1 |
| 36 | 2, 6, 6 | 3 | 0.014 | 1 |
| 37 | 3, 3, 3 | 1 | 0.005 | 1 |
| 38 | 3, 3, 4 | 3 | 0.014 | 1 |
| 39 | 3, 3, 5 | 3 | 0.014 | 1 |
| 40 | 3, 3, 6 | 3 | 0.014 | 0 |
| 41 | 3, 4, 4 | 3 | 0.014 | 1 |
| 42 | 3, 4, 5 | 6 | 0.028 | 1 |
| 43 | 3, 4, 6 | 6 | 0.028 | 1 |
| 44 | 3, 5, 5 | 3 | 0.014 | 1 |
| 45 | 3, 5, 6 | 6 | 0.028 | 1 |
| 46 | 3, 6, 6 | 3 | 0.014 | 1 |
| 47 | 4, 4, 4 | 1 | 0.005 | 1 |
| 48 | 4, 4, 5 | 3 | 0.014 | 1 |
| 49 | 4, 4, 6 | 3 | 0.014 | 1 |
| 50 | 4, 5, 5 | 3 | 0.014 | 1 |
| 51 | 4, 5, 6 | 6 | 0.028 | 1 |
| 52 | 4, 6, 6 | 3 | 0.014 | 1 |
| 53 | 5, 5, 5 | 1 | 0.005 | 1 |
| 54 | 5, 5, 6 | 3 | 0.014 | 1 |
| 55 | 5, 6, 6 | 3 | 0.014 | 1 |
| 56 | 6, 6, 6 | 1 | 0.005 | 1 |
+----+---------+-----+-------+-----+
triangle cnt 34, Total results cnt 56, probability of triangle: 0.51388889Вероятность выпасть треугольнику вовсе не равна 34/56= 0.607= 60.7% как может показаться сначала. Как раз потому, что исходы имеют разную вероятность. Надо суммировать вероятности благоприятных исходов в отдельности. Тогда получится всё тот же 0.51388889= 51,3%
Моделирование эксперимента на PC
Эксперимент очень просто промоделировать на PC. Вот код на Си
bool probability_triangle_simulation1(uint32_t number_of_exp) {
bool res = false;
uint8_t side[3] = {0};
uint32_t success = 0;
LOG_INFO(SYS, "Try %u",number_of_exp);
uint32_t i;
for(i = 0; i < number_of_exp ; i++){
res = array_u8_rand(side,sizeof(side),1,6);
res = is_triangle( (double)side[0], (double)side[1], (double)side[2]);
if ( res ) {
success++;
}
}
double probability = ((double )success)/((double )number_of_exp);
LOG_INFO(SYS, "success %u, Total %u, probability: %f",success,number_of_exp,probability);
return 0 < success ;
}Вот результат.
Вывод
Значение ответа не зависит от того как бросать. Вероятность выпадения треугольника всегда будет равна 51.38 %
Links
Теория про классическую вероятностную схему https://studfile.net/preview/9483706/page:10/"
https://docs.google.com/spreadsheets/d/16_ZNfThw6e6atiRgsSnrsrJETntaaiEfcJlrYV-2M-o/edit#gid=0
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YLTWY24sbbrIfCIkChipCYn1BKBQqYCAerN3cpWuBHQ/edit#gid=282128841
Вот тут неправильное решение https://sous-otvet.net/vopros/44889171.html
Комментарии (15)
Naf2000
25.09.2023 23:44Решение понятное. Простое. Неинтересное. Есть опечатки. Например, про деление на 1:
Фаза 4) поделить сумму вероятностей благоприятных исходов на 1.
alexxisr
25.09.2023 23:44+11я так и не понял в чем разница - если мы во втором случае распишем 56 исходов с учетом их разновероятностей, то получим те же 6*6*6=216 равновероятных вариантов, что и с одним кубиком.
Rsa97
25.09.2023 23:44+18И зачем всё это? Достаточно понимать, что, поскольку события бросков кубиков независимы друг от друга, то нет никакой разницы, как их кидать — три одновременно, три по очереди, один кубик три раза или как-то ещё.
Tiriet
25.09.2023 23:44+3это чтоб не ссылаться на теоремы о вероятностях независимых событий, эргодичность и страшные выборки и перестановки C^n_k. Вообще, последнее время наблюдаю странную тенденцию- в технических задачах встречаются периодически некоторые простые математические проблемы, которые по идее должны быть изучены еще где-то на первом-втором курсе высшей математики. Проблемы простые (ну вот как сабжевая), и вроде бы решения в учебниках описаны, но авторы с недостатком базового образования генерят по-быстрому решения свои собственные, радуются, как дети, что ух ты- я теорему Пифагора доказал "своим методом", и шпарят по этому поводу статьи. А там ляпы, опять же, разобранные в учебниках, но кто ж их читал-то?
konst90
25.09.2023 23:44+6Есть одна очень интересная задачка на стыке комбинаторики и теории вероятностей с контр интуитивным решением. Знакомые попросили ее решить так чтобы ученик всё понял.
Если для понимания теорвера кому-то надо решать такие задачи, то ему не задачи надо решать, а понять концепцию зависимых и независимых событий.
dyadyaSerezha
25.09.2023 23:44И кстати, почему именно треугольник? Можно обобщить до "образуют что угодно" - везде ответ будет одинаковым.
Alexandroppolus
25.09.2023 23:44+2Больше всего в этой истории удивила покраска кубиков в 3 разных цвета, после которой неправильность утверждения о "56 исходах" стала вопиюще очевидной
wataru
25.09.2023 23:44Расписвать второй случай, через неравновероятные исходы — весьма неблагодарная и сомнительная идея. Там все те же 216 исходов на самом деле. Сами же описали, что в фазе 1 надо взять равновероятные элементарные исходы.
Интересным было бы аналитическое решение. Как-то вывести эти ~51% без перечисления всех 216 исходов. В идеале, как формулу от N, где N — количество граней у костей.
Кажется, легче считать неблагоприятные исходы, где максимальное число больше суммы остальных. Потому что тут максимум, очевидно будет больше остальных кубиков и не будет спецеффектов с тем, какой из трех кубиков считать максимумом.
wataru
25.09.2023 23:44Вообще, формула будет N(N^2-1)/2 плохих исходов, или (N^3+N)/2 хороших исходов. Итоговая вероятность составить треугольник: 1/2 + 1/(2*N^2)
Находится так: переберем, какой из трех кубиков максимальный (x3), переберем его значение K. Потом переберем сумму оставшихся двух кубиков (S <= K). Всего ровно S-1 исходов дадут такой вариант (два оставшихся кубика 1+(S-1), 2+(S-2),...,(S-1) + 1. Ну и остается подсчитать Sum_K=1..N Sum_S=1..K-1 S.
wataru
25.09.2023 23:44Я бы посоветовал автору где-нибудь в начале статьи определить, что же значит, "значения образуют треугольник". Только к середине статьи становится понятно, что это "Из отрезков длинами, равными выпавшим числам, можно составить треугольник". Еще надо уточнить, что вы говорите только о невырожденных треугольниках.
longclaps
del