Бросание монеты - дело не хитрое да и оборудование для экспериментов не очень дорогое. Бросай себе и бросай. Этот простой эксперимент дает неожиданно много следствий, многие из которых не очевидны, а порой и контринтуитивны.

Моя интуиция с завидным постоянством подсказывает мне неверное решение поэтому я собрал замечательную коллекцию грабель на которые я наступал и хотел бы ее показать публике. Я не буду использовать формул и законы больших чисел, эти столпы теорвера нам не понадобятся. Обойдемся только граблями их будет много и разных.

 Разница между количеством выпавших орлов и решек.

“Однако если бросаний произведено очень много, то числа выпавших гербов и решек окажутся почти равными. И равенство будет выполняться тем точнее, чем больше произведено бросаний.”

Это цитата из отличного учебника физики [1], мне он очень нравится. В этой цитате очень важно слово почти, в нём всё дело, это грабли, я на них наступал. Это “почти” означает отношение числа орлов к числу решек. Это как раз один из законов больших чисел.

Если говорить не “почти”, а в “точности”, разница между количеством орлов и решек в процессе бросания монеты будет увеличиваться. Вероятность совпадения числа орлов и решек с увеличением числа бросков стремится к нулю. 

Получается такое утверждение: “С увеличением числа бросков вероятность почти одинакового количества орлов и решек стремится к 1, а вероятность их точного совпадения стремится к 0”. Или так:  “С увеличением числа бросков будет почти одинаковое количество орлов и решек, но точного их совпадения не будет”. Расчехляйте интуицию, будем ею пользоваться.

Общеприняты две модели аналогичные бросанию монеты. Первая модель - это блуждание точки на прямой. В начальный момент точка находится в нуле, после броска монеты в случае выпадения орла точка сдвигается на единицу в положительном направлении, в случае решки - на единицу в отрицательном направлении. Так вот в этой модели среднее значение удаления точки от нуля будет - ноль, а разброс значений, т.е. дисперсия будет равна корню квадратному из числа бросков . Таким образом с ростом числа бросков мы можем получить любую наперед заданную разницу между орлами и решками, притом любое количество раз, главное не ленится бросать и бросать. 

Вторая модель  - это два игрока назовем их Олег и Роман, пусть после каждого броска монеты если выпал орел выигрывает один рубль Олег, а если выпала решка - в таком же выигрыше Роман.

Время нахождения в выигрыше

Представим долгую игру Олега и Романа с тысячами бросаний монеты. В процессе игры то Олег, то Роман будет находится в чистом выигрыше, в какие-то моменты они будут “при своих”, то есть будет ничья, после каждой ничьи лидерство может сменится и кто-то будет опять в выигрыше. Я предполагал, что время нахождения в выигрыше для каждого из игроков будет примерно одинаковое, а ничьи будут достаточно часты, ну уж точно, ничьи скорее будут, чем их не будет.  Это грабли, я на них танцевал.

Одинаковое время нахождения в выигрыше игроков - самое маловероятное событие. Самое вероятное число смены лидерства - 0 (ноль), одна смена вероятнее чем две, а две чем три…  Вероятнее всего, что игрок выигравший первый бросок так и останется всегда в выигрыше.  Как бы долго мы не бросали монету. Здесь работает не закон больших чисел, а закон арксинуса. 

И да, конечно, математическое ожидание выигрыша любого из игроков - 0 (ноль).

Количество ничьих

Предположим Олег и Роман бросают монету через равные промежутки времени. Моя интуиция подсказывала мне, что за четыре часа игры ничьих будет приблизительно в четыре раза больше чем за час. Опять грабли, я на них маршировал. Ничьих будет больше всего в два раза, И чем дольше будет продолжаться игра, ничьих будут случаться все реже и реже. За 20 бросаний монеты самое вероятное ( вероятность немного больше 0,5) число ничьих не более 2-х раз, а 10 ничьих имеют вероятность в 8 раз меньше (0,06), вероятность отсутствия ничьих - 0,2. При 10.000 бросаний количество ничьих будет около 40 раз, медиана - 68 ничьих, увеличив число бросаний в 100 раз число ничьих увеличится лишь в 10 раз.

Какова же вероятность хотя бы одной ничьи? Она равна 1, то есть ничья обязательно будет. А как долго ждать этого? В среднем - бесконечно. Если игра будет продолжаться бесконечно то количество ничьих будет бесконечно и каждой из них в среднем нужно ждать бесконечно…  Но только при идеальной монете, если монета не идеальна, то количество ничьих будет ограничено даже при бесконечной игре.

Разорение игрока

Еще один вопрос который возникает в связи с игрой Олега и Романа: "Как скоро закончится игра в связи с тем, что у одного из них закончатся деньги?". Например, если у Олега в начале игры был 1 рубль, а у Романа  100 рублей, сколько в среднем продлится игра если за один бросок монеты разыгрывается 1 рубль? Весь мой “опыт” игры в орлянку подсказывал мне, что не долго, 5-10 бросков и всё. Но, грабли, я без них никуда, они всегда со мной. Игра в среднем продлится 100 бросков. А если у каждого по 100 рублей? Длительность игры - 10.000 бросков до разорения одного из игроков! Дайте мне каску.

Вот еще для тренировки интуиции - пусть Олег богат как Крез, бесконечно богат, а Роман решил кардинально решить проблему с кредитом и последние 100 рублей решил отдать в игру. Как долго продлится игра? Средняя продолжительность игры - бесконечная игра. Вероятность проигрыша Романа - 1, то есть он точно проиграет, но через бесконечное время игры.

Разорение игрока при нечестной монете

В этой статье, исследовав реальную монету, выяснили, что вероятность выпадения одной из сторон равна не ½, а что-то около 0,51 (округляю для простоты). Что будет, если играть с бесконечно богатым противником этой монетой и знать какая сторона монеты выпадает чаще? Например у вас есть всего один рубль, тогда у вас появляется вероятность не разориться, она равна 0,04, а вот если у вас есть 100 рублей, то эта вероятность не разориться увеличивается до 0,98, но вот только продолжительность этой игры велика и игра может вообще никогда не закончится.

Разорение игрока при двух нечестных монетах

Представим что Олег и Роман при игре используют две нечестных монеты с одинаковым отклонением от ½, но в разные стороны - одна в пользу Олега, вторая в пользу Романа. Выбор монеты определяется случайно, после каждого броска, например честной монетой. Возрастет ли продолжительность игры в этом случае? Вроде как при большом количестве бросков влияние отклонения от честности используемых монет должно компенсироваться, так отклонения одинаковы, но с разными знаками. Грабли. Продолжительность игры сильно вырастет по сравнению с игрой честной монетой.

Выигрыш до  первой ничьи

После начала игры Олега и Романа, кто-то вырвется вперед. Давайте загадаем какой-то выигрыш для этого удачного игрока. Например, 10 рублей. Первый вопрос - сколько ожидается раз у лидера будет этот выигрыш до первой ничьи? Второй вопрос - если мы увеличим ожидаемый выигрыш в 10 раз до 100 рублей, сколько ожидается таких выигрышей до первой ничьи? Грабли. Кажется логичным, что выигрышей в 100 рублей будет меньше чем выигрышей в 10 рублей. В действительности они будут равновероятны и количество обоих выигрышей вероятнее всего - 1.

Блуждание на плоскости и в пространстве 

Про блуждание по прямой - в одномерном пространстве, я уже написал, и это просто другая модель бросания монеты.

Возможно поблуждать и в двухмерном пространстве, часто приводят аналогию с пьяным матросом вышедшим из бара. В этом случае интересны два вопроса: вернется ли когда-то матрос в бар и как далеко уйдет матрос от бара за Ъ шагов. В бар он вернется, обязательно. Расстояние на которое матрос уйдет от бара таково, что средний квадрат расстояния пропорционален количеству шагов.

Этот вопрос - “Как далеко уйдет матрос?”, первые решили Эйнштейн и Смолуховский. Здесь нет грабель, но есть очень любопытное следствие. С помощью этого решения, была определена постоянная Больцмана, а заодно и вычислено число Авогадро [2]. Вот так, покидав монетку, посмотрев на броуновское движение и подумав о пьяном матросе можно посчитать атомы.

Блуждание в трехмерном пространстве не гарантирует возврат в исходную точку, увы. Как остроумно сформулировал Сидзуо Какутани «Пьяница рано или поздно найдет свой путь домой, а вот пьяная птица может потеряться навсегда». Это печальное событие имеет вероятность 0,65, а математическое ожидание числа возвращений около 0,5. В среднем пьяная птица вернется домой полраза, в 65-ти пьянках из 100.

Что выпадет раньше ОО или ОР

Бросаем монету до тех пор пока не выпадет два орла (ОО) или орел и решка (ОР). Сколько в среднем нужно сделать бросков до получения одной из заданных последовательностей? Для начала, отметим что вероятности обоих результатов равны и составляют ¼, после выпадения первого орла, с вероятностью ½ выпадет орел или решка. Напрашивается вывод, что ожидание для обоих результатов будет одинаковым. Я так и думал, но интуиция как всегда подвела, это были очередные грабли, я на них загорал. Среднее время ожидания ОО - 6 бросков, а для ОР - 4. 

Как то на Хабре, была статья о доказательстве равновероятности выпадения орла или решки после выпадения подряд 20-ти орлов.. Даже Википедия рассмотрела эту ситуацию.

Подольем масла в огонь размышлений. После выпадения 20-ти орлов у нас может выпасть либо орел либо решка. Давайте подсчитаем сколько в среднем нам придется ждать этих последовательностей:

Последовательность из 21-го орла в среднем придется ждать 4.194.302 броска.

Последовательность из 20-ти орлов и затем решки придется ждать 2.097.150 броска.

То есть 20 орлов и 1 решка выпадет в среднем почти в два быстрее чем 21 орел , несмотря на то, что вероятности этих комбинаций одинаковы.

И эта последняя последовательность имеет самое малое среднее время появления вместе с инвертированной последовательностью (20-ть решек и затем один орел) и отображенной последовательностью (один орел и 20-ть решек). Дальше грабли пойдут еще жирнее.

Для тех, кому кажется, что комбинация из 21 результата где орлы и решки чередуются, ну, в “соответствии” с законом больших чисел подсчитаем время ожидания - 2.796.202 броска.

А еще неожиданно (для меня, как и все остальные грабли) что ожидаемое количество бросков всегда четно.

Корова больше чем баран, баран больше чем курица, курица больше чем…  корова.

На различии времени ожидания для разных комбинаций построена игра Пенни, вот она в Википедии. Но там не описано самое неожиданное в этой игре. Возьмем три комбинации: РРОР, РОРР и ОРРР. Вероятность каждой 1/16. Время ожидания появления каждой соответственно  - 18, 18, и 16 бросков. (А например, для комбинации ОРОР ожидание 20 бросков (подмигнул)).

Первая комбинация выигрывает у второй - 3 к 2, (т.е. она будет выигрывать 3 игры из 5) другими словами вероятность выигрыша первой комбинации над второй ⅗, что больше чем половина игр, вторая комбинация выигрывает у третьей - 7 к 5 (вероятность 7/12, что тоже больше ½), вроде напрашивается вывод, что первая комбинация должна выигрывать у третьей тем более. Напрашиваются грабли. Третья комбинация выигрывает у первой 7 к 5!

И еще одни грабли  - ожидание второй комбинации - 18 бросков, а третьей - 16, но тем не менее вторая выигрывает у третьей. Другими словами комбинацию, вероятность победы которой выше, ждать нужно дольше! Вот как бывает, а интуиция то этого не знает!

Равное количество выпадений орлов и решек у нескольких монет.

Если мы будем бросать несколько различимых монет одновременно и подсчитывать сколько орлов выпало у каждой монеты. Всегда ли мы сможем получить одинаковое количество орлов у всех монет имея возможность бросать бесконечно? Я даже не буду упоминать про мои грабли, я без них никуда. Итак  если мы будем бросать 2 или 3 монеты, мы сможем получить бесконечное число совпадений количества орлов у всех монет. Правда среднее время ожидания бесконечно. Если же монет будет больше чем три, то даже и при наличии бессмертия и бесконечного времени ожидания, мы получим лишь ограниченное количество совпадений. При всем том же бесконечном времени ожидания.

Длина чистых серий

Условимся называть серию “чистой” если она состоит только из одних орлов или решек.  Какова средняя длина чистой серии? Проверяем интуицию, про свою я даже и не буду говорить. Средняя длина - 2. Теперь для любителей замечаний про  не симметричную монету. Какова длина серий в этом случае? Во-первых, длина четных серий и нечетных будет разная. Это первые грабли. Длина нечетных серий будет зависеть от соотношения вероятностей выпадения орлов и решек.  Для ранее описанной монеты с вероятностями 0,51 к 0,49 длина нечетных серий будет 2,0016.  А длина четных… осторожно, грабли номер два - будет всегда, независимо от величины несимметричности монеты равна 2.

Чуть - это важно.

Представим ваш друг, всегда говорящий правду, бросает монету так, что вы не видите результата. Он делает первый бросок и говорит вам, что выпал орел. Далее он делает еще один бросок. Какова вероятность что в результате двух бросков будет два орла? Правильно, это  ½.

Теперь чуть изменим ситуацию, друг бросил монету два раза и сказал вам что орел выпал в один из бросков, а про другой бросок ничего не сказал. Какова вероятность что выпало два орла? Правильно, это  ⅓.

Грабельки на внимательность.

Ваш честный друг положил в коробку две монеты одинаковыми сторонами вверх и попросил нас угадать какой стороной они лежат. Вероятность нашего успеха - ½. Вот прямо так - либо угадаем, либо нет.  Но есть трюк, который позволит нам ответить на этот вопрос. Следите за руками:

Просим добавить к этим монетам третью, Орлом вверх. Получаем три монеты которые лежат в одной из следующих комбинации - ООО, ООР, ОРО, ОРР.  Вероятность каждой комбинации  - ¼. Теперь посчитаем вероятность вытащить Орла из коробки. При первой комбинации ООО вероятность вытащить орла - 1, при второй и третьей - ⅔, при четвертой - ⅓. Общая вероятность:

1*¼ + ⅔*¼ + ⅔*¼ + ⅓*¼ = ⅔.

Иногда приводят довод, что монеты не различимы и комбинаций будет три, а не четыре: ООО, ОРО, ОРР и вероятность каждой комбинации ⅓.  Хорошо, посчитаем вероятность вытащить орла в этом случае:

1*⅓ +⅔*⅓ + ⅓*⅓ = ⅔. Ничего не изменилось, во как.

Что же значит вероятность вытащить орла равная ⅔? При трех монетах это значит только одно! А именно - так как один орел был добавлен нами, то до нашего добавленного орла монеты с одинаковыми верхними сторонами лежали так - одна вверх орлом, а другая - решкой. Такая вот загогулина. 

Замечание для тех, кто добавляет к фразу типа “реальная монета, она не идеальная, не симметричная, а значит и результат отличается от теоретического…” да, результат отличается от теоретического, но не меняется метод и смысл решения. И кстати, для получения максимально близкого результата к результату идеальной монеты, монета должна быть не идеальной.

Все изложенные в статье факты и цифры, это мое личное мнение, любые совпадения случайны, при бросании монет ни одна из монет, вероятно, не пострадала. Повторение опытов вы производите на свой страх и риск, автор ответственности не несет. 

P.S. В последнем "парадоксе" о том что две монеты с одинаковыми верхними сторонами, одна лежит орлом, а другая решкой, читатель указал на невозможные комбинации приведенные мной. Исправляю:

Возможные комбинации:

Вариант №1: О+ОО, О+РР. Вероятность - 1*1/2 + 1/3*1/2 = 2/3.

Вариант №2: О+ОО, ОО+О, О+РР, РР+О. Вероятность - 1*1/4+1*1/4+1/3*1/4+1/3*1/4=2/3.

Вариант №3: О+ОО, О+О+О, ОО+О, О+РР, Р+О+Р, РР+О. Вероятность - 1*1/6+1*1/6+1*1/6+1/3*1/6+1/3*1/6+1/3*1/6= 2/3.

[1] Сивухин Д.В. Общий курс физики: Учеб.пособие: Для вузов. В 5 т. Т.II. Термодинамика и молекулярная физика. - 5-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ. 2005. -544с.

[2] Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. — М.: Мир, 1965.

[3] В.Феллер Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том 1. М.: Мир 1967.