В мелодии, которая звучит в ролике, реализована простая идея: длительность каждой ноты в паре с длительностью соседней ноты, прошедшей или будущей, образуют пропорцию золотого сечения.

Золотое сечение это соотношение двух величин, равное 1,61803398875.. или коротко 1,618. Все значения, которые будут приведены в статье, округлены до трёх знаков после запятой. Золотое сечение обозначается буквой Ф.

Мелодия состоит из нот гармонической последовательности C-Em-F-CG. Первый такт это До мажор. Второй такт это Ми минор, за исключением ноты Ля. Третий такт это Фа мажор. И четвёртый такт это соединение двух аккордов До мажор и Соль мажор.

Мелодия цикличная, разрешается в первую ноту, поэтому её можно изобразить в виде окружности, где двадцать четыре дуги это длительности нот:

Заглавные буквы это ноты: C – До, D – Ре, E – Ми, F – Фа, G – Соль, A – Ля, H – Си. Мелодия располагается на двух октавах. Ноты нижней октавы обозначены буквами с точкой.

Длительность первой ноты мелодии находится в нижнем левом углу квадрата. Начало первой ноты и начало цикла выделено буквой С (нота До). Сама мелодия записана в тональности До мажор. Мелодия читается слева направо, против часовой стрелки. О квадрате, который изображён на рисунке, я расскажу позже, в конце статьи. Будет кое-что интересное.

Обозначения длительностей представлены на следующей картинке:

Здесь мелодия изображена как пиано ролл c изображением клавиш и длительностей напротив нот, которые последовательно звучат в мелодии:

Итак, длительности нот:

a = 1 секунда
b = a/Ф (0,618)
c = b/Ф (0,382)

Таких нот в мелодии 8, 12 и 4. Длительность мелодии равна 8a+12b+4c или 16,944 секунды.

Если это значение разделить на 4, то получим длительность такта 4,236. Это золотое сечение в третьей степени. Длительности любых шести нот мелодии, звучащих друг за другом, в сумме равны Ф в кубе.

Мелодия, как я уже упомянул, цикличная, разрешается в первую ноту. Первая и последняя ноты цикла соединяются в пропорции золотого сечения. Длительность мелодии плюс первая нота в сумме равны 17,944. Это золотое сечение в шестой степени.

Степени золотого сечения

Первые 2 ноты это Ф. Первые 3 ноты - Ф в квадрате. Первые 6 нот - Ф в кубе. Первые 9 нот - Ф в 4-й степени. Первые 15 нот - Ф в 5-й степени. Первые 25 нот (с учетом цикличности) - Ф в 6-й степени. Первые 41 нота (с учетом цикличности) - Ф в 7-й степени.

Возводить в степень можно и в обратном направлении. Первая и последняя ноты это Ф. Первая и последние 3 ноты – Ф в квадрате. Первая и последние 5 нот – Ф в кубе. Первая и последние 9 нот – Ф в 4-й степени. Первая и последние 15 нот – Ф в 5-й степени. Первая и последние 24 ноты – Ф в 6-й степени. Первая и последние 40 нот – Ф в 7-й степени.

19 циклов ≈ Ф¹². 341 цикл ≈ Ф¹⁸. 6119 циклов ≈ Ф²⁴. И т.д.

Золотые сечения

Цепочки из длительностей нот образуют между собой более тридцати различных комбинаций золотых сечений:

a/b=Ф
b/c=Ф
(a+b)/a=Ф
(b+c)/b=Ф
(2b+c)/a=Ф
(2a+b)/(2b+c)=Ф
(2a+2b)/(a+b+c)=Ф
(2a+2b+c)/(a+2b)=Ф
(2a+3b+c)/(2a+b)=Ф
(3a+3b+c)/(a+3b+c)=Ф
(3a+4b+c)/(2a+2b+c)=Ф
(4a+4b+c)/(2a+3b+c)=Ф
(4a+5b+c)/(2a+3b+2c)=Ф
(4a+5b+2c)/(2a+4b+c)=Ф
(4a+6b+2c)/(3a+3b+c)=Ф
(5a+6b+2c)/(3a+4b+c)=Ф
(5a+7b+2c)/(3a+4b+2c)=Ф
(6a+7b+2c)/(3a+5b+2c)=Ф
(6a+8b+3c)/(4a+5b+c)=Ф
(6a+9b+3c)/(4a+5b+2c)=Ф
(7a+9b+3c)/(4a+6b+2c)=Ф
(8a+10b+3c)/(4a+7b+3c)=Ф
(8a+11b+4c)/(5a+7b+2c)=Ф
(9a+12b+4c)/(5a+8b+3c)=Ф
(10a+13b+4c)/(6a+8b+3c)=Ф
(10a+14b+5c)/(6a+9b+3c)=Ф
(11a+15b+5c)/(7a+9b+3c)=Ф
(12a+17b+6c)/(8a+10b+3c)=Ф
(13a+18b+6c)/(8a+11b+4c)=Ф
(14a+20b+7c)/(9a+12b+4c)=Ф
(16a+23b+8c)/(10a+14b+5c)=Ф

Симметрия

Если взять вторую ноту любого такта, то с учётом цикличности длительности слева и справа от выбранной ноты будут симметричны друг другу.

.. b | c | b | a | b | a | b | c | b ..

Тоже самое относится и к пятой ноте.

.. a | b | a | b | c | b | a | b | a ..

В мелодии есть ещё один вид симметрии. Возьмём любую пару соседних нот. Длительности нот, равноудаленные от этой пары, будут между собой в пропорции золотого сечения.

Нота кульминации

Самая высокая нота мелодии, нота Соль во втором такте, находится на золотом сечении мелодии (b/a=Ф), причём это сечение делит длительность ноты также в пропорции золотого сечения.

Мелодия становится устойчивой при повторении цикла. Интервал между двумя нотами кульминации и интервал между последней нотой кульминации и окончанием повторения образуют между собой золотое сечение (b/c=Ф). Интервал между второй нотой кульминации и окончанием повторения и интервал между началом мелодии и первой нотой кульминации образуют золотое сечение (c/a=Ф).

Пары нот одной высоты

В мелодии есть несколько пар нот одной высоты. Начало мелодии – две ноты До (с учётом цикличности). Середина мелодии – ноты Ля. Ноты Ми в четвертом такте. И конец мелодии – ноты До (с учётом цикличности).

Соединения нот обозначим буквами А, Б, В, Г. Получится три интервала: АБ=8,472, БВ=5,236, ВГ=3,236, которые в сумме дают длительность мелодии. Эти интервалы образуют между собой золотые сечения:

АБ/БВ=Ф
АВ/АБ=Ф
БВ/ВГ=Ф
БГ/БВ=Ф

Золотое сечение и число Пи

Если мелодию повторить три раза, то длительность составит 12Ф³ или 50,832 секунды. Это 10ФП. Отклонение 0,00078. Можно получить формулу соотношения:

6Ф² ≈ 5П или П ≈ 1,2*Ф²

Если длительность цикла разделить на 3,3333, то получим произведение золотого сечения и числа Пи.

Вариант №2

Если взять а = 1/Ф (0,618) и всё пересчитать, то длительность мелодии составит 10,472 секунды. При делении на 4 длительность такта будет равна золотому сечению в квадрате. При трёхкратном повторении мелодии будет 10П. При делении цикла на 3,3333 просто число Пи.

Второй вариант можно послушать здесь:

В начале статьи я обещал рассказать что-то интересное о квадрате, изображённом на рисунке с окружностью. Выполняю обещание. Для удобства повторю изображение без обозначения нот.

Мелодия не только "круглая", но и "квадратная". Повторяющиеся структуры, кратные четырём тактам, музыканты называют "квадратом". Мелодия четырёхтактная. Квадрат нарисован таким образом, что, пересекая окружность, образует в углах квадрата четыре дуги, равные длительностям первой ноты каждого из четырёх тактов. Угол дуги в градусах – 90/Ф³ или 21,246.

Оставим на рисунке только окружность и квадрат. Сдвинем квадрат так, чтобы низ квадрата совпал с нижней точкой окружности.

Вроде бы нет ничего интересного.

А теперь на этом изображении разместим рисунок Леонардо да Винчи "Витрувианский человек":

Окружности и квадраты двух рисунков совпали.

Если взять длину дуги первой ноты 1/Ф² и всё пересчитать, то длина окружности составит 4Ф. В квадрат будет вписан человек среднего роста 1,70.

По мнению исследователей, рисунок да Винчи был создан, как иллюстрация к трактату Луки Пачоли «Божественная пропорция», где итальянский математик рассказывает о золотом сечении.