Самое знаменитое уравнение Эйнштейна вычисляется более красиво, чем это можно было бы ожидать.
Из специальной теории относительности вытекает, что масса и энергия являются разными проявлениями одного и того же – концепция, среднему уму незнакомая.
— Альберт Эйнштейн
Некоторые научные концепции настолько меняют мир и настолько глубоки, что практически каждый знает о них, даже если полностью и не понимает. Почему бы не поработать над этим вместе? Каждую неделю вы отправляете ваши вопросы и предложения, и на этой неделе я выбрал вопрос Марка Лиюва, который спрашивает:
Эйнштейн вывел уравнение E = mc2. Но единицы энергии, массы, времени, длины уже были известны до Эйнштейна. Так как же оно так красиво получается? Почему там нет какой-нибудь константы для длины или времени? Почему это не E = amc2, где a – какая-нибудь константа?
Если бы наша Вселенная не была устроена так, как сейчас, то всё могло бы быть по-другому. Давайте посмотрим, что я имею в виду.
С одной стороны, у нас имеются объекты с массой: от галактик, звёзд и планет до самых мелких молекул, атомов и фундаментальных частиц. Хотя они и крохотные, у каждой из компонент того, что известно нам под именем материи, имеется фундаментальное свойство массы, что означает, что даже если исключить его движение, даже если замедлить его до полной остановки, он всё равно будет оказывать влияние на все остальные объекты Вселенной.
Конкретно, он оказывает гравитационное притяжение на всё остальное во Вселенной, неважно, на каком расстоянии находится удалённый объект. Он притягивает всё к себе, испытывает притяжение ко всему остальному, а также обладает энергией, присущей самому его существованию.
Последнее утверждение контринтуитивно, поскольку об энергии, по крайней мере, в физике, говорят, как о возможности что-либо сделать – о возможности совершать работу. А что можно сделать, если ты просто сидишь на месте?
Перед тем, как ответить, давайте посмотрим на другую сторону монеты – вещи без массы.
С другой стороны, существуют вещи, не имеющие массы – например, свет. У этих частиц есть определённая энергия, и это легко понять, наблюдая их взаимодействие с другими вещами – при поглощении свет передаёт им свою энергию. Свет с достаточной энергией может разогревать материю, добавлять кинетическую энергию (и скорость), вышибать электроны на верхние энергетические уровни или вообще ионизировать, в зависимости от энергии.
Более того, количество энергии, содержащейся в безмассовой частице, определяется только её частотой и длиной волны, произведение которых всегда равняется скорости движения частицы: скорости света. Значит, у более длинных волн частоты меньше, и энергия меньше, а у коротких – частоты и энергия выше. Массивную частицу можно замедлить, а попытки отобрать энергию у безмассовой приведут лишь к удлинению её волны, а не к изменению скорости.
Памятуя о вышесказанном, подумаем, как масса-энергия может быть эквивалентной работе? Да, можно взять частицу материи и частицу антиматерии (электрон и позитрон), столкнуть их и получить безмассовые частицы (два фотона). Но почему энергии двух фотонов равны массам электрона и позитрона, умноженным на квадрат скорости света? Почему там нет другого множителя, почему уравнение точно приравнивает E и mc2?
Что интересно, если верить СТО, уравнение просто обязано выглядеть, как E=mc2, без всяких отклонений. Поговорим о причинах этого. Для начала представьте, что у вас есть коробочка в космосе. Она неподвижна, и с двух сторон у неё зеркала, а внутри находится фотон, летящий к одному из зеркал.
Изначально коробочка не двигается, но поскольку фотоны обладают энергией (и импульсом), когда фотон сталкивается с зеркалом с одной стороны коробки и отскакивает, коробка начнёт движение в том направлении, в котором изначально двигался фотон. Когда фотон достигнет другой стороны, он отразится от зеркала с другой стороны, изменяя импульс коробки обратно до нуля. И он продолжит отражаться таким образом, в то время как коробка половину времени будет двигаться в одну сторону, а другую половину – оставаться неподвижной.
В среднем коробка будет двигаться и, следовательно, так как у неё есть масса, будет иметь определённую кинетическую энергию, благодаря энергии фотона. Но важно также помнить про импульс, количество движения объекта. Импульс фотонов связан с их энергией и длиной волны очень просто: чем короче волна и выше энергия, тем выше импульс.
Подумаем о том, что это значит, и для этого проведём ещё один эксперимент. Представьте, что происходит, когда изначально двигается только сам фотон. У него будет определённое количество энергии и импульс. Оба свойства должны сохраняться, поэтому в начальный момент энергия фотона определена его длиной волны, а у коробки есть только энергия покоя – какая бы она ни была – и фотон обладает всем импульсом системы, а у коробки импульс нулевой.
Затем фотон сталкивается с коробкой и временно поглощается. Импульс и энергия должны сохраняться – это основные законы сохранения Вселенной. Если фотон поглощён, то существует только один способ сохранить импульс – коробка должна двигаться с определённой скоростью в том же направлении, в котором двигался фотон.
Пока всё нормально. Только теперь мы можем спросить себя, какова энергия коробки. Получается, что если мы идём от нашей обычной формулы о кинетической энергии, KE = ?mv2, мы предположительно знаем массу коробки, и, исходя из понятия импульса, её скорость. Но если мы сравним энергию коробки с энергией фотона, которой он обладал до столкновения, мы увидим, что у коробки энергии недостаточно.
Проблема? Нет, это довольно просто решить. Энергия системы коробка/фотон равна массе покоя коробки плюс кинетической энергии коробки плюс энергии фотона. Когда коробка поглощает фотон, большая часть его энергии переходит в увеличение массы коробки. Когда коробка поглотила фотон, её масса меняется (увеличивается) по сравнению с той, что была до столкновения.
Когда коробка вновь испускает фотон в другом направлении, она получает ещё больший импульс и скорость (что компенсируется отрицательным импульсом фотона в обратном направлении), ещё больше кинетической энергии (и у фотона есть энергия), но теряет взамен часть массы покоя. Если всё подсчитать (есть три различных способа это сделать, а тут ещё и описание), можно обнаружить, что единственное преобразование массы, позволяющее сохранить энергию и импульс, будет E = mc2.
Если добавить любую константу, уравнение перестанет быть сбалансированным, и вы будете терять или приобретать энергию каждый раз при испускании или поглощении фотона. Обнаружив антиматерию в 1930-х, мы непосредственно увидели подтверждение того, что можно превратить энергию в массу и обратно, и результаты превращений точно совпадали с E = mc2, но именно мысленные эксперименты позволили вывести эту формулу за несколько десятилетий до наблюдений. Только поставив фотону в соответствие эффективную массу, эквивалентную m = E/c2, мы можем обеспечить сохранение энергии и импульса. И хотя мы говорим E = mc2, Эйнштейн впервые записал формулу по-другому, присвоив энергетически эквивалентную массу безмассовым частицам.
Так что, спасибо за прекрасный вопрос, Марк, и надеюсь, что этот мысленный эксперимент поможет тебе понять, почему нам нужна не только эквивалентность массы и энергии, но и почему в этом уравнении есть только одно возможное значение для «константы», которое поможет сохранить энергию и импульс – а этого требует наша Вселенная. Единственное уравнение, которое работает, это E = mc2. Присылайте мне ваши вопросы и предложения для следующих статей.
Комментарии (35)
zookko
29.07.2016 14:57+5Кто силён в английском, может отправите Итану вопрос? Было бы интересно узнать его мысли по поводу двухщелевого эксперимента, и особенно двухщелевого эксперимента с отложенным выбором.
lavmax
30.07.2016 23:43+1Я объясняю это себе проще. Энергия и масса (покоя) — это два проявления одной сущности, поэтому в уравнении они просто равны E=m. А константа с2 нужна только чтобы привести это к нашим единицам измерения. Легко можно представить систему единиц в которой скорость света равна 1, тогда уравнение как раз преобретает первоначальный вид.
PS. Сорри, не в ту ветку.
VioletGiraffe
29.07.2016 15:46+11То ли я тупой, то ли тема равенства коэффициента единице так и не раскрыта.
GoldJee
29.07.2016 17:28+4>Если всё подсчитать (есть три различных способа это сделать, а тут ещё и описание), можно обнаружить, что единственное преобразование массы, позволяющее сохранить энергию и импульс, будет E = mc2.
Очень удобный прием, кстати. Если не знаешь, как объяснить или просто лень это делать, скажи «нетрудно видеть», «очевидно». Если у собеседника развито самолюбие, важно твое мнение о его компетенциях или просто тоже лень, он не станет докапываться.hdfan2
29.07.2016 17:34+6Вспомнился анекдот. Профессор читает лекцию; пишет на доске огромную формулу и говорит:
— Из этого совершенно очевидно следует, что…
Задумывается, с полчаса что-то пишет и стирает на доске, потом продолжает:
— Да, совершенно очевидно следует, что…
choupa
30.07.2016 07:29+2Этот махинатор подсчитывает энергию по импульсу фотона, молча используя формулу E=pc. Ёшкин кот! Так это и есть E=mc2, только в профиль.
Такое вот «доказательство».
lavmax
31.07.2016 13:47Как вам такое объяснение https://geektimes.ru/post/279008/#comment_9472810
BigBeaver
01.08.2016 09:01Довльно хорошо — даже лучше, чем у Итана, но точно так же не дает фундоментальных ответов.
Логично, что если мы уже отождествили энергию с массой, то остальное — лишь вопрос подгонки под систему измерений.
Померяем массу в электронвольтах и будет у нас самоочевидная «формула» Е=Е (вместо вашей E=m)
Ну и да, в СИ вашей формуле все равно нужен квадрат скорости (пусть он и единичный) для сохранения размерностей.lavmax
01.08.2016 12:54А на какой фундаментальный вопрос мы ищем ответ в таком случае?
BigBeaver
01.08.2016 14:36Если смотреть на уточненный вопрос в посте, то ни на какой — он вообще не представляет особого интереса.
Если же смотреть на заголовок, то можно много вопросов (интерпретаций) придумать. Да хотя бы, почему энергия и масса вообще тождественны? Почему для нормальных тел E=p*v/2 а для фотонов E=pv (v=c)? и тд
Vilko
01.08.2016 14:06А c^2 — собсно и есть константа(коэффициент), не?
VioletGiraffe
01.08.2016 14:27Да, но почему это именно скорость света в квадрате? А может, это просто число, близкое к скорости света?
Vilko
01.08.2016 15:09Скорее это некая константа, которая, в т.ч., описывает скорость движения фотонов :)
Starfury
29.07.2016 15:52-6Шикарная статья, на пальцах разобрать сложную тему и зделать доступной, людям не связаным с физикой, это талант!
semmaxim
29.07.2016 18:12+2«Но если мы сравним энергию коробки с энергией фотона, которой он обладал до столкновения, мы увидим, что у коробки энергии недостаточно.». Всё-таки не понял. Почему недостаточно? Можно этот момент подробнее?
saga111a
29.07.2016 21:27Закон сохранения импульса дает скорость для коробки после столкновения, после этого вычисляем энергию коробки — она оказывается меньше суммы энергий до столкновения. Делаем предположения что вся соль в массе и ищем её. Т.е. система из двух уравнений:
p1=p2, Eк+Eф = Eк2
Т.е. задача аналогична упругому удару шарика о коробку, только решаем её в момент между ударом и отлетом.
Mad__Max
30.07.2016 17:10Ну посчитать нужно и станет понятно. Правда это следовало бы самому Итану сделать в ответе на вопрос, но он видимо пользуется правилом для научпопа «каждая формула в вашей статье сокращает число читателей в два раза» и поэтому все формулы и расчеты просто выкинул :)
А так допустим длина волны нашего фотона 1 мкм, масса коробки ровно 1 кг, а начальная скорость коробки = 0.
Энергия фотона будет: 6.63E-34*299792458/0.000001 = 1.99E-19 Дж (постоянная планка умножить на частоту, которая в свою очередь скорость света делить на длину волны)
Импульс фотона будет: 6.63E-34/0.000001=6.63E-28 (постоянная планка делить на длину волны)
После поглощения фотона коробкой исходя из закона сохранения импульса:
скорость коробки 6.63E-28/1 = 6.63E-28 м/с, т.е. импульс у коробки такой же как был у фотона (скорость умножить на массу), а суммарный импульс системы не изменился (сохраняется)
тогда ее кинетическая энергия будет: 1/2*1*6.63E-28^2 = 2.2E-55 Дж (половина массы на квадрат скорости)
Т.е. коробка получила всего 2.2E-55 Дж кинетической энергии, хотя поглотила фотон с энергией 1.99E-19 Дж = в кинетическую энергию превратилась только очень малая доля энергии фотона. Вот вся эта остальная «потерянная» энергия и пошла на увеличение массы коробки, чтобы не нарушался закон сохранения энергии.
Правда это уже не очевидно почему именно увеличение массы — могла например увеличиться энергия коробки, только другая не связанная с ее механическим движением, а один из внутренних ее видов. Например тепловая или один из атомов перешел в возбужденное состояние(электрон перешел на более высокую орбиту). Собственно если рассматривать случай не с отражением фотона, а полным его поглощением, то так и будет — ничтожная доля энергии пойдет на увеличение скорости коробки, а остальная(основная) часть энергии — на ее нагрев.
Впрочем теплая коробка тяжелее холодной, так что масса увеличится в любом случае.
alex__007
29.07.2016 20:05Вообще все коэффициенты зависят от выбора значений единиц измерения. Именно поэтому в теоретической физике используется СГС, а не СИ или (тем более) не имперская система единиц
aavezel
01.08.2016 22:11Всё правильно! Если вместо джоулей взять гипотетическую единицу «смешарик», при этом 2 смешарика = 1 джоулю, то формула чудесным образом преобразится в E=2mc^2
imwode
29.07.2016 20:20Импульс фотонов связан с их энергией и длиной волны очень просто: чем короче волна и выше энергия, тем выше импульс.
Это было бы просто, если бы энергия не была эквивалентна массе, а импульс не был бы производной от массы и скорости, а так получается, что импульс — это
p = mc, m = E/c^2
p = E/с, но ведь Е = mc^2, значит
p = mc!!!
и где тут длина волны вообще неясноimwode
29.07.2016 20:26-1Когда коробка поглотила фотон, её масса меняется (увеличивается) по сравнению с той, что была до столкновения.
Ээээ, ок. Когда я поглотил пулю, моя масса стала на массу пули больше. Но это же задача на закон сохранения импульса?!?!!?!?!
Т.е. пока мне не объяснят, как, имея формулу E=mC^2 можно говорить об энергии безмассовой частицы, ждать от меня понимания сложнейшего принципа ну как-то наивно что ли :-)alex__007
29.07.2016 21:47+3тут говорится не о безмассововости частицы вообще, а о том, что у фотона масса покоя равно 0, а вот масса в движении как раз равна
m=E/c^2
alexeymalov
30.07.2016 00:41+1А вот как на этот вопрос отвечает автор YouTube-канала minute physics
ITMatika
30.07.2016 16:07Если честно, то в этом видео объяснение не лучше, чем в статье.
И Bratjuuc в комментах на ютубе попытался объяснить почему.
Jogger
30.07.2016 02:44+1Не знаю, виной перевод, или исходная статья, или моя тупость, но я совершенно не понял ответ на вопрос.
Правда, справедливости ради, я не понял и вопроса. Для меня он звучит как «Почему в этом уравнении умножают на один коэффициент, а не на два». Потому что c^2 — вроде как константа, это блин и есть коэффициент, зачем кому-то может понадобиться второй?Vestild
01.08.2016 19:24+1потому что c — это константа для другой вещи. т.е. вопрос: а при чём тут скорость света?
ну или: кинетическая энергия E=mv2/2, почему полная E=mc2, а не E=mc2/2
Toster_Vas9
30.07.2016 14:55в силу своего хобби, давно еще обратил внимание на этот же вопрос, почему именно такая формула, долго искал, в итоге оказалась каша по этому поводу, внятный ответ дать не мог. почитав это, стало понятней что енергия, волна, надо еще перечитать.
поставило в ступор «Когда коробка вновь испускает фотон в другом направлении...» я этого не понял признаться. типа коробка сама излучает и это другой случай, или коробка прозрачная?Mad__Max
30.07.2016 16:42Это он так отражение фотона от внутренней стенки расписывает в 2 стадии. Как поглощение сначала и потом излучение в обратную сторону такого же фотона (но с обратным вектором скорости и импульса)…
ITMatika
30.07.2016 15:45Когда коробка поглощает фотон, большая часть его энергии переходит в увеличение массы коробки. Когда коробка поглотила фотон, её масса меняется (увеличивается) по сравнению с той, что была до столкновения.
1) Можно про увеличение массы коробки поподробнее?
2) Т.е. независимо от энергии/частоты фотона результат всегда одинаков?
EndUser
31.07.2016 20:24Вопрос «почему коэффициент равен K, а не N» вообще странный.
Как раз недавно пролетало
http://pikabu.ru/story/amerikanskaya_sistema_mer_i_vezhlivost_4346362
«В метрической системе мер один миллилитр воды занимает один кубический сантиметр, весит один грамм, и потребуется одна калория энергии, чтобы нагреть его на один градус Цельсия, что составляет один процент разницы между точками ее замерзания и кипения. Водород той же массы содержит один моль атомов.»Mad__Max
03.08.2016 01:59первое это масло масленное — миллилитр это и есть кубический сантиметр. А вот почему масса ровно 1г — так потому что когда принимали единицу измерения (граммы) их определели как масса 1 мл чистой воды.
Каллория как раз не из метрической системы. И с градусами и количеством энергии тоже все понятно — это тоже как раз единицы измерения были изначально придуманы такими, чтобы все приведенные примеры смотрелись красиво:
когда Шкалу Цельсия вводили ее как раз и определяли как 0 = замерзанию воды, 100 = кипению воды и разбить промежуток на 100 частей
А каллория так же по своему определению это кол-во тепла которое как раз нужно для нагревания 1 грамма воды на 1 градус цельсия при нормальных условиях — это само определение калории, по другому быть не может. А вот если мы захотим измерить ее в метрической системе — уже сразу появится не круглый коэффициент: 4,1868 Джоулей в 1 калории
1 грамм водорода не равен 1 молю — довольно близко(отличие примерно на 0.8%), но все-таки не равны — для перевода тоже нужен коэффициент, а близко к 1 он получился только потому, что сам моль это «подгоночная» единица измерения чтобы удобнее было считать — его определение это количество атомов содержащееся в 12 граммах изотопа углерод-12 (и для углерода и только для него коэффициент будет точно равен 1).
Ну а теперь вопрос: как так получилось, что в данном случае никакого коэффициента нет, если все используемые сейчас метрические единицы, которые можно применить в этой знаменитой формуле E=mc^2 (джоуль, килограмм, метр, секунда) были приняты еще ДО того как вообще открыли связь между массой и энергией. Специально под нее никто «подгоночных» единиц измерения не вводил — в отличии от всех приведенных примеров
lazyranma
01.08.2016 11:44+1По-моему, всё гораздо проще. Нам (и Эйнштейну) очень повезло, что предки составили СИ так, что в ней случайно оказалось, что E=mc^2. А если бы в СИ скорость измерялась не в м/с, а в км/ч, то формула выглядела бы как-то так: E=amc^2, где a~=7,7*10^-2 [(5/18)^2], или вообще Е=ma, где а~=1.165*10^20 Дж/кг.
В законе Кулона, например, в СГСЭ константа отсутствует, а в СИ она есть.
DancingOnWater
Поступим как обычно: «легко видеть». Вот мне не очевидно, почему из приведенных рассуждений e=m/sqrt(1-\gamma^2) c^2. У меня как минимум постоянная Планка там возникает.