Императору Сарлака Гранту Сциентикусу III было скучно. Очень скучно. Обычно, когда он чувствовал скуку, он играл в камни (довольно простая, но хитрая игра, похожая одновременно на наши шашки, реверси и Го). Однако сегодня никто из философов, обычно игравших с ним, не пришёл. Он сидел понурившись, и разглядывал одну из позиций.
Внутренний экспериментатор Гранта решил сосчитать число возможных позиций. Давайте покинем его на этом месте, и займемся своим собственным подсчетом.
По правилам разрешается иметь до 3 камней на одной клетке. Всего камней 6 (по 3 у каждого игрока). Мы не станем считать число всех возможных позиций. Куда как интереснее посчитать, сколькими способами можно выложить позицию. Но, для начала, посмотрите на рисунок.
Для простоты мы пока рассматриваем лишь одну клетку. Указанную выше позицию можно получить, например, вот такими тремя способами, отличающимися тем, какие именно камни мы выкладывали на доску:
Мы условно раскрасили камни, чтобы можно было отличить их друг от друга. Очевидно, способов намного больше трёх. Но сколько именно? Первый из трёх камней мы можем выбрать шестью способами. Каждый из этих шести вариантов продолжается выбором второго камня из оставшихся пяти, и последнего из оставшихся четырех. Имеем , однако при этом мы допустили повторы, например, красный-синий-желтый, желтый-красный-синий и синий-красный-желтый это одна и та же «выкладка».
Чтобы найти число повторов, найдём сколькими способами мы можем выложить на доску три камня одного цвета. Первым может быть любой из трех нужных камней, вторым должен быть один из оставшихся двух, третьим обязательно будет последний нужный нам камень: .
В итоге, имеем 120/6=20 способов выложить камни требуемым образом. Давайте назовем это число весом данной позиции. Ничего общего с физическим весом оно, конечно же, не имеет, просто это название является общепринятым в статистике.
Усложним задачу. Давайте посчитаем веса вот этих позиций:
Если вам лень разбираться во всей этой математике, пропустите следующий абзац.
Первая позиция:
- Выкладываем 2 камня на одну из двух левых клеток:
- На вторую клетку выкладываем два камня из оставшихся 4:
- Итого имеем способов.
Для второй и третьей имеем соответственно и . Деление во всех случаях выполняется для того, чтобы избавиться от повторов.
Итак, имеем следующие веса: 90 для первой раскладки, 180 для второй и 360 для третьей. Вы заметили, что чем более упорядочена позиция, тем меньше её вес? Его величество Грант это заметил. И теперь он собирается посчитать вес для реальных игровых позиций.
У него получается, соответственно 90, 360 и 720. Однако тут его терпение кончается (как, наверное, и ваше). Он расстроенно толкает доску, беспорядочно разметав камни и замечает стоящего у дверей философа Клофзюса.
— А скажи-ка мне, философ, — спрашивает он с нотками недовольства, — почему, когда я толкаю доску, камни разлетаются по ней беспорядочно, равномерно, а не укладываются с краю по три в клетке?
Клофзюс, в ответ на это улыбнулся и сказал:
— Я некоторое время наблюдал за вашими подсчётами, повелитель, и вы, наверно могли бы уже и сами ответить на этот вопрос. Но я всё же скажу — упорядочиться с края доски камни могут девяносто разными способами, а рассеяться по всем клеткам — семьсот двадцатью. Для камней существует намного больше способов быть разбросанными по доске равномерно, чем собранными с краю.
Пожалуй, тут мы покинем Сарлак. Но обратите внимание на объяснение Клофзюса: камни рассыпаются по доске потому, что для них существуют куда больше способов быть рассыпанными равномерно, чем быть разложенными полностью упорядоченно. И разница между количествами способов (весами раскладок камней) тем больше, чем больше доска и число камней. Для доски в 15 клеток (3 на 5) и 15 камней вес полностью упорядоченной раскладки (по 3 камня в клетке вдоль одного края) равен примерно 1.4 миллионам (1401400 если точно) а для равномерной (по одному в каждой клетке) — примерно 1.3 квадриллионам, то есть почти в миллион раз больше. Следовательно, в данном случае намного легче получить беспорядок, чем получить порядок. Невольно вспоминается такое замечательное утверждение: «Яйца разбиваются на каждом шагу, но никто никогда не видел, чтобы ошмётки разбитого яйца сообрались вместе и стали целым яйцом. А всё потому, что есть только один способ получить целое яйцо и бесконечно много способов получить разбитое.»
Обобщим замеченную нами закономерность:
В любом процессе, который происходит сам по себе, без дополнительного воздействия извне, скорее всего реализуется тот результат, которого можно достичь наибольшим числом способов.
Приглядитесь, это ведь тавтология во всей красе. Если все упростить, то я просто утверждаю, что «то, чему легче произойти, происходит чаще». Однако, это одновременно и один из важнейших физических законов. Многие из вас уже, наверное, поняли, что речь идет о втором начале термодинамики. Давайте посмотрим на одну из его «официальных» формулировок:
Энтропия замкнутой системы не может уменьшаться.
Теперь это меньше похоже на тавтологию, да? Но что же это за умное слово — энтропия?
Давайте представим воздух, заполняющий комнату. Он состоит из огромного количества молекул. Если мы мысленно разделим комнату на ячейки, мы получим трехмерный аналог игры в камни на очень большой доске с огромным количеством камней. Каждая позиция игры в данном случае называется макросостоянием системы. Каждая из раскладок камней, реализующих ту или иную позицию — микросостояние. Возьмем два числа: число всех микросостояний, реализующих данное макросостояние и число всех возможных микросостояний. Если мы поделим первое на второе, мы получим вероятность реализации данного макросостояния.
Определение из книги: энтропией состояния системы называется логарифм вероятности реализации данного состояния.
Переведем на язык, понятный Гранту, — энтропия позиции это логарифм веса данной позиции. Попробуем сделать это ещё понятнее: чем большим числом способов можно получить позицию, тем больше энтропия.
Теперь мы видим, что книжная формулировка второго начала говорит следующее: от какой-либо позиции сам по себе может происходить только переход к такой позиции, которую можно получить большим чем или таким же числом путей, как и начальную.
Попробуем еще упростить: если мы потрясем доску, мы скорее получим такую позицию, какую легче получить.
Кажется, мы опять пришли к тавтологии. Однако, даже если это и тавтология, второе начало — один из важнейших физических законов. Более того, это единственный закон физики, который говорит нам, что время должно течь в определённом направлении, который делает различия между прошлым и будущим.
Напоследок, давайте посмотрим еще пару формулировок второго начала:
- Постулат Клаузиуса: Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому
- Постулат Томсона: Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого было бы производство работы за счёт охлаждения теплового резервуара.
Как видите, здесь уже нет тавтологии. И ни одна из них не очевидна. Однако, можно показать, что обе эти формулировки полностью равнозначны тавтологическому «наиболее вероятно, что произойдет то, вероятность чего больше». Иногда, для того, чтобы узнать что-то новое, нам нужно сначала осознать что-то очевидное.
В следующей части мы рассмотрим другую «научную тавтологию», которая, на первый взгляд, нарушает второе начало термодинамики.
Комментарии (31)
vgivanov
17.01.2017 00:30+31. В любом процессе, который происходит сам по себе, без дополнительного воздействия извне, скорее всего реализуется тот результат, которого можно достичь наибольшим числом способов.
2. Энтропия замкнутой системы не может уменьшаться.
Я понимаю, что нужно делать скидку на популярность изложения, но всё же это разные утверждения. Второму утверждению было бы эквивалентно что-то вроде:
1а. В любом процессе, который происходит сам по себе, без дополнительного воздействия извне, не может уменьшаться число способов (микросостояний), которым достигается данное (макро)состояние.
Не вижу здесь ни тавтологии, ни эквивалентности утверждению 1.tajimura
17.01.2017 08:08+1Начнём с того, что второе начало, — статистический закон, т.е. по-честному мы должны говорить не «не может уменьшиться», а «вероятнее всего не уменьшится». И вот тогда по смыслу как раз получится «наиболее вероятно, что реализуется более вероятное состояние».
hurtavy
17.01.2017 08:46Статистический? Да ладно!
А как вам такая формулировка: Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому
Или если уйти от круговых процессов: В окрестности любого состояния системы существуют состояния, не достижимые адиабатическим путём
Meklon
17.01.2017 09:12+4Он возможен. Просто настолько маловероятен, что разница почти отсутствует. Но все же молекулы могут хоть в Иллиаду сложиться.
geisha
17.01.2017 13:17Я знаю, что об этой возможности так хочется сказать, но
а) физика — экспериментальная наука
б) физики — реалисты
Поэтому в оригинале стоит именно «невозможен». Какой смысл в формулировке, к которой вы не можете привести пример?vedenin1980
17.01.2017 13:45Представим два тела, состоящих каждый из одного атома, теплота это мера движения, то есть импульс. Так как можно передать импульс от тела, двигающего с меньшой скоростью, телу, двигающемуся с большей (например, при боковом ударе или разных массах), то для таких тел закон в каждый момент времени не выполняется и при очень маленьком количества атомов/молекул возможна передача теплоты (импульса) менее нагретому телу (хотя бы в какой-то момент времени).
То есть закон статистический, так как по теории вероятности для достаточно большого количества атомов/молекул и равновероятностных столкновениях такая передача невозможна. Для единичных атомов/молекул — возможна.geisha
17.01.2017 14:13Я не спорю со статистикой. Но и термодинамика не изучает системы из двух молекул. Тело (в термодинамике) — это объект из макроскопического числа молекул / атомов. Это необходимо для опредления температуры, энтропии и прочего. Поэтому, если это был пример — то он не засчитан.
vedenin1980
17.01.2017 14:25Я не спорю со статистикой. Но и термодинамика не изучает системы из двух молекул. Тело (в термодинамике) — это объект из макроскопического числа молекул / атомов. Это необходимо для определения температуры, энтропии и прочего. Поэтому, если это был пример — то он не засчитан
Так в том то и дело что это ограничение статистического закона, требуется объект из большого числа молекул/атомов. Скажем если молекул в теле будет не две, а две тысячи, появится у тел температура, энтропия и прочее? А если 2 миллиона? В какой момент термодинамика может быть применена? Ведь даже при 2 миллионах при очень долгом наблюдении может возникнуть флуктуация, когда по стечению обстоятельства менее нагретое тело в какой-то момент получит тепло от более нагретого.
То есть мы изначально ставим условие очень малой вероятности флуктуаций для применимости термодинамики, а потом заявляем что вероятность флуктуаций в термодинамики практически нулевая (ага, так самая тавтология). Это ли не статистический закон?geisha
17.01.2017 16:06Скажем если молекул в теле будет не две, а две тысячи, появится у тел температура, энтропия и прочее? А если 2 миллиона?
Этот вопрос тоже вне интересов термодинамики.В какой момент термодинамика может быть применена?
В тот момент, когда выполняются её постулаты. Я надеюсь, что ответил на ваш вопрос и к нему больше не будем возвращаться.Ведь даже при 2 миллионах при очень долгом наблюдении может возникнуть флуктуация, когда по стечению обстоятельства менее нагретое тело в какой-то момент получит тепло от более нагретого.
Да, термодинамика изучает флуктуации. Вероятность того, что вы сказали экспоненциально убывает с количеством частиц и размером флуктуации. Т.е., для макроскопической флуктуации (пример: при двух миллионах бросков полтора миллиона раз выпал орел), грубо говоря, она равна exp(-2e6). Это число не имеет физического смысла (см. гугол). Даже если наблюдать систему из тысячи молекул в течении возраста вселенной, то, то что вы описали (а именно, передача макроскопического количества тепловой энергии к более нагретой системе), вряд ли случится. Следовательно, это несущественно и не имеет смылса обсуждать в принципе.То есть мы изначально ставим условие очень малой вероятности флуктуаций для применимости термодинамики
Это неправда. Как я уже сказал, флуктуации микроскопического характера являются предметом изучения термодинамики. Пример: синий цвет неба.
DrSmile
17.01.2017 14:36+1В математически строгой формулировке статфизика изучает распределения вероятностей системы по микросостояниям. Т. е. утверждение про энтропию относится к среднему по этому распределению и выражает тот факт, что распределение будет стремиться к равновесному с максимальной энтропией.
vgivanov
17.01.2017 14:32+2Прочитав утверждение 1, и не зная ничего о термодинамике, я бы представил себе такую картину. Предположим, в системе два микросостояния: одно реализуется с вероятностью 99/100, а второе 1/100. — Тогда, посмотрев на систему миллион раз (в случайные произвольные моменты времени), я бы нашёл её в состоянии 1 примерно 990000 раз, а в состоянии 2 — примерно 10000 раз. Вот, собственно, и всё, и это действительно банально. Но здесь, как легко видеть, нет ни перехода к равновесному состоянию, ни необратимости.
tajimura
17.01.2017 08:08+1Начнём с того, что второе начало, — статистический закон, т.е. по-честному мы должны говорить не «не может уменьшиться», а «вероятнее всего не уменьшится». И вот тогда, по смыслу как раз получится «наиболее вероятно, что реализуется более вероятное состояние».
hurtavy
17.01.2017 08:24А вы точно знаете, что такое «тавтология»? «ничто — это когда ничего нет» — это не тавтология, а определение одного понятия через другие. Без этого «ничто» — это просто набор 5 букв.
Аналогично 2 и 3 законы термодинамики дают определение энтропии и перечисляют её свойстваhurtavy
17.01.2017 08:31И кстати, почему вы взяли статистическое определение энтропии? А как же «энтропия обратно пропорциональна температуре» или «энтропия пропорциональна площади горизонта событий чёрной дыры»?
tajimura
17.01.2017 09:44+5Обратная пропорциональность температуре это свойство энтропии, из утверждения «изменение энтропии есть интеграл от отношения передаваемого системе количества теплоты делённого на температуру» мы физического смысла энтропии не поймём. Если на экзамене на вопрос «что такое момент инерции» вы ответите «мэ умноженное на эр в квадрате», нормальный преподаватель скажет, что это не физика.
Насчёт площади горизонта: слишком узко (и опять-таки, это не определение а свойство). У пяти молей нагретого газа или четырёх килограммов расплавленного свинца нет горизонта событий.
С математической точки зрения и то и другое вполне можно считать определением, но и то, и другое будет слишком абстрактно и не даст нам представления о сущности понятия, о котором идёт речь.
5oclock
17.01.2017 18:34Если на экзамене на вопрос «что такое момент инерции» вы ответите «мэ умноженное на эр в квадрате», нормальный преподаватель скажет, что это не физика.
Не так давно было обсуждение одной физической статьи на гиктаймсе, так там меня всем обществом убеждали, что буковки и математические значки — вполне себе физика.tajimura
17.01.2017 20:11+1«всем обществом» это всё-таки наверное преувеличение. Ни формулы из механики, ни формулы из термодинамики/оптики/ЭМ/КМ, никакие формулы вообще не являются физикой сами по себе. В физику это превращается только после того, как мы интерпретируем их, свяжем с реальным физическим миром, и, желательно, объясним почему именно так, а не иначе.
ARad
17.01.2017 08:45Количество способов и энтропия никак не связанные понятия. Если у вас камешки будут железные, а в какую то ячейку положить магнит, то вы получите совсем не равномерное расположение камешков.
tajimura
17.01.2017 09:36+2В этом случае камешки сами по себе уже не будут замкнутой системой.
ARad
17.01.2017 12:30Как это не замкнутая? Магнит внутри вашей системы находится. Да вы просто предварительно магнитите камешки и увидите что закон энтропии соблюдается, а ваш нет.
Т.е. они не эквивалентны! То что вы пишите не эквивалентно закону об энтропии!
В том же пространстве гравитация это искажение пространства и поэтому масса очень неравномерно распределена, но это не мешает выполняться закону об энтропии. А вашему переписанному закону мешает.
Fullmoon
17.01.2017 14:26Камешки без магнита не будут замкнутой системой, говорят же вам. Магнит в статье не рассматривался. Намагниченные камешки тоже.
Всякая задача рассматривается в заранее оговоренных условиях.
AFakeman
17.01.2017 12:00Вы знакомы с понятием статистического веса и определения энтропии через него?
martin_wanderer
17.01.2017 12:58Зато вы получите случайное расположение системы магнит+камешки. А в серии экспериментов — равномерное распределение таких положений.
ARad
17.01.2017 13:50Вселенная не кидает камешки много раз. Она их кинула один раз и не важно как. В любом случае энтропия будет не убывать. А скорее всего возрастать.
nvksv
17.01.2017 09:44+2В любом процессе, который происходит сам по себе, без дополнительного воздействия извне, скорее всего реализуется тот результат, которого можно достичь наибольшим числом способов. Приглядитесь, это ведь тавтология во всей красе.
Это не тавтология, это одна из аксиом теории вероятностей, конкретно — закон больших чисел: после достаточно большого количества опытов больше всего будет («скорее всего реализуется») таких результатов, которые соответствуют наиболее вероятным исходам (а вероятность по классическому определению — отношение числа равновероятных исходов для данного результата к общему числу исходов, т.е. «которого можно достичь наибольшим числом способов»).
Если у вас камешки будут железные, а в какую то ячейку положить магнит, то вы получите совсем не равномерное расположение камешков.
А вот это — неявное предположение, которое сделал tajimura — о равновероятности всех исходов, которые он подсчитывал. Добавление магнита сделает некоторые исходы более вероятными и нарушит статистику.AFakeman
17.01.2017 12:36+4Закон больших чисел — не аксиома, его для разных распределений вроде как доказывать надо.
sbnur
17.01.2017 13:28В чем же тавтологичность?
Любое определение содержит, скажем современными словами, технологию определения.
Подумайте насколько равнозначны два одинаковых слова в утверждении.
destroy
TLDR?
Halt
«Функция, интегрируемая на отрезке, интегрируема на нем»