Большинство программ по математике [в США] для средних и старших классов следуют четко прописанной схеме:
Предалгебраические задачи > Алгебра 1 > Геометрия > Алгебра 2 > Тригонометрия/начала матанализа > Матанализ
В некоторых других школах предпочтение отдается более комплексному подходу, в рамках которого элементы алгебры, геометрии и тригонометрии подаются смешанно в течение 3-х или 4-х летнего курса. Однако обоим методикам недостает существенного акцента на дискретную математику и такие ее разделы, как комбинаторика, теория вероятности, теория чисел, теория множеств, логика, алгоритмы и теория графов. Дискретная математика очень мало фигурирует в большинстве «критически важных» промежуточных экзаменов средних и старших классов. Аналогично ситуация обстоит и с приемными экзаменами для вузов и колледжей, таких, как SAT. Из-за этого дискретной математике часто уделяется мало внимания.
Тем не менее эта область знаний в последние годы становится все более и более важным направлением. И на то есть целый ряд причин:
Дискретная математика играет существенную роль в изучении математики в колледжах, вузах и более высоких ступенях.
Дискретная математика наряду с численными методами и общей алгеброй входит в список фундаментальные компонентов математики вузовского уровня. Ученики, получившие солидный объем знаний по дискретной математике перед поступлением в колледж, получают существенное преимущество во время дальнейшей учебы.
Дискретная математика — это математика вычислительных процессов.
Все вычисления современной компьютерной науки практически полностью основаны на дискретной математике, и в частности, комбинаторике и теории графов. Это значит, что для изучения фундаментальных алгоритмов, используемых компьютерными программистами, студентам требуется иметь твердые знания в этих областях. Действительно, для получения диплома в области компьютерных наук в большинстве университетов предусмотрен соответствующий обязательный курс по дискретной математике.
Дискретная математика больше всего приближена к задачам реального мира.
Многие учащиеся часто задаются вопросами о том, где в реальной жизни им может пригодится традиционная высшая математика, то есть алгебра, геометрия, тригонометрия и другие ее направления. Часто, глядя на абстрактную природу этих предметов, они теряют к ним интерес. Дискретная математика, и в частности, комбинаторика и теория вероятности, позволяют ученикам даже уровня средней школы очень быстро прийти к изучению интересных и нетривиальных задач, имеющих прямое отношение к задачам реального мира.
Дискретная математика — популярное направление большинства математических соревнований средней и старшей школы.
Видные математические олимпиады вроде MATHCOUNTS (средняя школа) и American Mathematics Competitions (старшие классы) включают значительное количество заданий по дискретной математике. В более сложных соревнования для старшеклассников, таких, как AIME, количество задач увеличивается еще сильнее. Ученики, не имеющие соответствующей базы знаний будут иметь гораздо меньше шансов на успех в таких соревнованиях. Один известный преподаватель, занимающийся подготовкой учеников к MATHCOUNTS, даже уделяет половину времени подготовке к заданиям по комбинаторике и теории вероятности. Настолько он считает их важными.
Дискретная математика развивает логическое мышление и учит техникам доказательства.
Алгебра часто преподается в виде совокупности формул и алгоритмов, которые ученики должны запомнить. Например, формула корней квадратного уравнения, или решение систем линейных уравнений путем замены. Геометрия часто преподается как серия упражнений, доказывающих теоремы и объясняющих их суть, которые нередко предлагается заучить наизусть. Несмотря на несомненную важность изучения подобного материала, в целом он не очень хорошо способствует развитию творческого математического мышления учеников. В противовес этому, изучающие дискретную математику дети учатся мыслить гибко и творчески уже с самого начала. Количество формул, которые требуется знать наизусть, относительно невелико. В этой области знаний акцент делается скорее на потребность изучить некоторое количество фундаментальных понятий, которые впоследствие можно применять совершенно по-разному.
Дискретная математика — это весело.
Многие студенты, особенно одаренные и мотивированные находят алгебру, геометрию и даже методы матанализа скучными, не вызывающими живого интереса. Что же касается дискретной математики, то в ней такие темы встречаются редко. Когда мы интересуемся у учащихся их любимыми темами, большинство называет комбинаторику или теорию чисел. Самой непопулярной темой при этом оказывается геометрия. Иными словами, большинство студентов находят дискретную математику более интересной, чем алгебра или геометрия.
Исходя из всех этих аргументов, мы настоятельно рекомендуем строить программу так, чтобы после изучения геометрии, школы уделяли некоторое время ознакомлению учеников с элементарными идеями дискретной математики, и в частности, комбинаторики, теории вероятности и теории чисел.
Комментарии (25)
muhaa
30.01.2018 17:14Алгебра часто преподается в виде совокупности формул и алгоритмов, которые ученики должны запомнить. Например, формула корней квадратного уравнения, или решение систем линейных уравнений путем замены. Геометрия часто преподается как серия упражнений, доказывающих теоремы и объясняющих их суть, которые нередко предлагается заучить наизусть.
Да ладно. Я был почти троечником, и то все это понимал а не заучивал (кроме корней квадратного уравнения).
В дискретной математике нет таких мощных абстрактных инструментов и идей, как в алгебре, анализе и др. По сути, она больше похожа на сборник головоломок с описательными подходами к их решению.
GlukKazan
30.01.2018 18:53Нет мощных абстрактных инструментов?
Почитайте вот это.muhaa
30.01.2018 23:18Фактически, эту книгу можно открыть в середине и зная только обычную арифметику разобраться что к чему. С другими разделами математики это не пройдет — там нужно поэтапно усваивать новые и новые абстракции на каждом витке. Что такое отрицательные числа, выражение, уравнение, производная, интеграл, диф. уравнение, комплексные числа, матрицы, линейные пространства, группы, многообразия и так далее и что все эти абстракции как бы живут по своим удивительным довольно фундаментальным и глубоким законам. Если ребенка сразу учить дискретной математике, у него будет неверное представление о том что такое математика. Он решит, что это просто сложная игра в числа и разные головоломки, а не такой способ мыслить.
GlukKazan
31.01.2018 16:46Задачки все прорешали? Кстати в середине там самое интересное начинается.
Но разобраться конечно можно, кто спорит?
Arastas
30.01.2018 17:41Если предлагается что-то добавить, то, очевидно, надо что-то убрать. Вот что, по мнению автора, следует убрать из школьного курса для введения туда элементов дискретки?
borovikmotion
30.01.2018 18:32+1Например Основы религиозных культур и светской этики, плюс классные часы где объясняют что нэвэльный не прав, и т.д.
Я не совсем согласен с автором, понятно что нельзя запихнуть университетскую программу в школу, но дать обзорно основы было бы можно. Те же интегралы раньше проходили в школе после производной.
Еще проблема в том что зачастую по этой теме просто дается набор формул, вот мол стандартная таблица производных, считайте. Ученики не видя общей картины сразу же забывают что такое производная после того как сдадут свои экзамены
worldmind
30.01.2018 21:49Это типовая ошибка фанатиков — они думают что именно их предмет ценный и полезный, а остальные нужно урезать, но надо начать с того что такое школа, чего от неё требуется?
А если прибавить к этому обязательность школы, то станет понятно, что никакие преимущества для колледжа тут не имеют значения, школа должна давать преимущества для жизни, поэтому да, матстатистика на порядки важнее любых интегралов и производных т.к. позволяет защититься от всяких мошенников, но нужно правильно выстраивать аргументацию. Я кстати собираю список того чему должна учить школа.
SkyR9999
31.01.2018 12:57Государству нужны, в общей массе, потребители, а уже потом все остальное, да и правило 95% никто не отменял!
worldmind
31.01.2018 19:56Чтобы что-то потреблять, нужно что-то производить для обмена, а в ближайшем будущем тупых работ не останется, поэтому государства которые не сделают нормальную систему образования проиграют международную конкуренцию.
SerJ_82
01.02.2018 12:40Хороший список, сам подобное составлял. Но как это пробить во властные круги…
worldmind
01.02.2018 16:29Власть может услышать либо многих, либо особенных, видимо надо стать многими т.е. сделать такие знания общими, донести до всех и вдруг в какой-то момент окажется что у большинства в голове одни мысли о школе, правда никакой стратегии продвижения я пока не придумал, вот спамлю иногда в комментах.
Да и при текущей власти шансы близки к нулю.
JohnDoeEast
31.01.2018 12:57Автор ошибается. В параллель алгебре 2/ precalculus есть дискретная математика.
Просто ее редко выбирают, потому что она тормозит курс к матанализу (их два: AB и BC).
Кому надо, берут курс в университете потом.
Olorin111
01.02.2018 00:25Дискретная математика — это в первую очередь логика. Трудно сказать, нужен ли матан в повседневной жизни больше. Все зависит от умения применять. Интуиция на обывательском уровне в логике часто спасает, в то время как необходимости решать те же дифуры зачастую попросту нет. Этот тест уже был здесь не раз. И на некоторых вопросах я реально почувствовал бы себя слепым котенком, попытайся ответить без применения начал дискретной математики.
qpwoei
01.02.2018 11:13вообще да, только с помощью дискретки и статистики можно школьнику 10..11 классов объяснить как правильно искать партнера для секса и как нужно изменить себя что бы увеличить свои шансы на секс — психолог рядом не стоял.
Если зайдет то почти готовых специалистов по биг-дате можно будет получать прямо по окончанию школы :)
0xd34df00d
01.02.2018 18:56Мне с этим даже теоркат не помог :(
qpwoei
02.02.2018 15:05ну вот, нужно дать больше шансов дискретке со статистикой, это как раз в курс информатики 10-11 классов вписать можно.
Секс батанам гарантирован, если задачи будут сложные, девчатам сложно будет их решать и учитель умеренно строгий :)
vesper-bot
Будут изучать дискретную математику в школе — больше станет людей, которые поймут, как устроены лотереи, и впоследствии смогут это объяснить остальным. И лотереи лопнут.
Серьезно, очень полезный был бы курс. Вот только сколько лет той дискретной математике, и сколько — матанализу? И до матанализа едва-едва добрались включить его в программу старших классов. Может, поэтому не сразу задумались о дискретной математике.
Welran
А почему лотереи лопнут?
vesper-bot
Дискретная математика включает в себя начала тервера (виыгрышные события/всё множество возможных событий). Лотерейщики это прекрасно знают, и под это и свою маржу считают призовой фонд. В результате тот, кто учил дискретную математику, может посмотреть на лотерею, посчитать ожидаемый выигрыш, офигеть и сказать «такой хоккей нам не нужен». Таких при обучении будет всё больше, доля играющих в лотерею всё меньше, а затраты на организацию лотереи примерно постоянная величина, в итоге однажды маржа у лотерейщиков обратится в ноль. Этого будет достаточно, чтобы лотерея лопнула.
Правда, это всё в идеальном мире.
GarryC
Лотереи основаны не сколько на незнании теории вероятностей, сколько на нелинейности графика ожиданий, когда надежда на большой выигрыш превалирует над суммой мелких проигрышей.
Welran
Мне кажется существует немного людей которые не знают что лотерея и казино в целом убыточны. Что не мешает людям играть в то и другое.