Главная
Магия тензорной алгебры: Часть 1 — что такое тензор и для чего он нужен?

Магия тензорной алгебры: Часть 1 — что такое тензор и для чего он нужен? +56

30.06.2015 07:48

maisvendoo 59 65633 Источник

Содержание

Введение

Это было очень давно, когда я учился классе в десятом. Среди довольно скудного в научном плане фонда районной библиотеки мне попалась книга - Угаров В. А. «Специальная теория относительности». Эта тема интересовала меня в то время, но информации школьных учебников и справочников было явно недостаточно. Однако, книгу эту я читать не смог, по той причине, что большинство уравнений представлялись там в виде тензорных соотношений. Позже, в университете, программа подготовки по моей специальности не предусматривала изучение тензорного исчисления, хотя малопонятный термин «тензор» всплывал довольно часто в некоторых специальных курсах. Например, было жутко непонятно, почему матрица, содержащая моменты инерции твердого тела гордо именуется тензором инерции.

Погружение в специальную литературу не приносило просветления. Технарю достаточно тяжело переварить строгий абстрактный язык чистой математики. Тем не менее, от случая к случаю я возвращался к этому вопросу, и вот спустя почти шестнадцать лет наступило просветление, о чем и будет рассказано под катом. Возможно, мои рассуждения покажутся примитивными и упрощенными, но понимание любой сложной вещи принято разворачивать от процесса оперирования простыми понятиями, поэтому начнем.

1. Вектор на плоскости. Контравариантные, ковариантные координаты и связь
между ними

Рассмотрим вектор, и без потери общности наших рассуждений, рассмотрим вектор заданный на плоскости. Как известно из курса ещё школьной геометрии, любой вектор можно задать на плоскости с помощью двух неколлинеарных векторов

$\vec{a} = a^1\, \vec{e}_1 + a^2\, \vec{e}_2. \quad (1)$

Рис. 1. Вектор в косоугольных координатах на плоскости

Здесь $a^i,\, i = \overline{1,2}$ — коэффициенты разложения, (под верхним индексом следует понимать именно номер компоненты, а не возведение в степень), называемые контравариантные координаты вектора $\vec{a}$ . Геометрически
это можно изобразить так, как показано на рисунке 1. Векторы $\vec{e}_1, \, \vec{e}_2$ называют базисными, угол между ними, при условии $\varphi \ne 0,\pi$ , может быть произвольным, произвольна так же ненулевая длина базисных векторов. Указанный базис задает косоугольную систему координат на плоскости, с осями (u,v).

Исходя из рисунка 1, длины отрезков OA₁ и OA₂ можно выразить через длины векторов базиса

$OA_1 = a^1 \left|\vec{e}_1 \right|,\, OA_2 = a^2 \left|\vec{e}_2 \right| \quad (2)$

Однако, это не единственный способ определить вектор $\vec{a}$ в данной системе координат. Его можно так же задать ортогональными проекциями на оси (u, v). Не трудно видеть, что эти проекции определяются соотношениями

$OB_1 = OA_1 + OA_2\cos\varphi = a^1 \left|\vec{e}_1 \right| + a^2 \left|\vec{e}_2 \right| \cos\varphi \quad (3)$

$OB_2 = OA_1\cos\varphi + OA_2 = a^1 \left|\vec{e}_1 \right|\cos\varphi + a^2 \left|\vec{e}_2 \right| \quad (4)$

С другой стороны, выразим длины этих проекций через длины базисных векторов таким образом

$OB_1 = a_u = \frac{\vec{a} \cdot \vec{e}_1}{\left|\vec{e}_1 \right|} = \frac{a_1}{\left|\vec{e}_1 \right|} \quad (5)$

$OB_2 = a_v = \frac{\vec{a} \cdot \vec{e}_2}{\left|\vec{e}_2 \right|} = \frac{a_2}{\left|\vec{e}_2 \right|} \quad (6)$

где $a_1 = \vec{a} \cdot \vec{e}_1$ и $a_2 = \vec{a} \cdot \vec{e}_2$ — ковариантные координаты вектора $\vec{a}$ .

Сравниваем (3), (5) и (4), (6),

$\frac{a_1}{ \left|\vec{e}_1 \right|} = a^1 \left|\vec{e}_1 \right| + a^2 \left|\vec{e}_2 \right| \cos\varphi \quad (7)$

$\frac{a_2}{ \left|\vec{e}_2 \right|} = a^1 \left|\vec{e}_1 \right|\cos\varphi + a^2 \left|\vec{e}_2 \right| \quad (8)$

Умножим (7) на $\left|\vec{e}_1 \right|$ , а (8) на $\left|\vec{e}_1 \right|$ и преобразуем их

$a_1 = a^1(\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1) + a^2 (\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2) \quad (9)$

$a_2 = a^1(\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2) + a^2 (\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2) \quad (10)$

Введем матрицу

$\mathbf{g} = \begin{bmatrix} \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 && \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 \\ \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 && \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 \end{bmatrix} \quad (11)$

тогда (9) и (10) можно выразить следующим соотношением

$a_i = \sum_{j=1}^{2} g_{ij} a^j,\, i=1,2 \quad (12)$

Выражение (12) дает связь между ковариантными контрвариантными координатами вектора, определяемую лишь видом матрицы g, зависящей от длин и взаимного расположения базисных векторов. Пока никак не будем интерпретировать полученный результат, а просто запомним его.

Набор контрвариантных и ковариантных компонент, по сути, задают в выбранном базисе один и тот же вектор. При использовании контрвариантных координат этот вектор задается матрицей-столбцом

$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a^1 \\ \vdots \\ a^n \end{bmatrix}$

а в коваринатной форме — матрицей-строкой

$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1 && \cdots && a_n \end{bmatrix}$

2. Скалярное произведение векторов

Перейдем к пространству более высокой размерности и рассмотрим два вектора

$\vec{a} = a^1 \vec{e}_1 + a^2 \vec{e}_2 + a^3 \vec{e}_3,\, \vec{b} = b^1 \vec{e}_1 + b^2 \vec{e}_2 + b^3 \vec{e}_3$

где базисные векторы $\vec{e}_1,\vec{e}_2, \vec{e}_3$ , как и выше, ненулевые некомпланарные векторы. Перемножим векторы скалярно

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left(a^1 \vec{e}_1 + a^2 \vec{e}_2 + a^3 \vec{e}_3\right) \cdot \left(b^1 \vec{e}_1 + b^2 \vec{e}_2 + b^3 \vec{e}_3\right)$

В последнем выражении аккуратно раскроем скобки

$\vec{a} \cdot \vec{b} = &a^1 b^1 (\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 ) + a^2 b^1 (\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 ) + a^3 b^1 (\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 ) +$

$a^1 b^2 (\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 ) + a^2 b^2 (\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 ) + a^3 b^2 (\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 ) +$

$a^1 b^3 (\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 ) + a^2 b^3 (\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 ) + a^3 b^3 (\vec{e}_3 \cdot \vec{e}_3 )$

и снова введем матрицу

$\mathbf{g} = \begin{bmatrix} \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 && \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 && \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 \\ \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 && \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 && \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 \\ \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 && \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 && \vec{e}_3 \cdot \vec{e}_3 \end{bmatrix} \quad (14)$

и тогда скалярное произведение можно свернуть весьма компактным образом

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^3 \left(\sum_{j=1}^3 g_{ij} a^j\right) b^i \quad (15)$

Первое, что можно заметить, при уменьшении числа измерений пространства мы перейдем от (14) к (11) а выражение (15) будет работать и давать склярное произведение векторов, но уже на плоскости. То есть мы получили некую обобщающую форму записи операции скалярного умножения, не зависящую ни от размерности пространства, ни от рассматриваемого базиса, все свойства которого собраны в матрице g. Внимательно взглянув на (15) мы поймем ещё одну вещь

$a_i = \sum_{j=1}^3 g_{ij} a^j,\, i=1,2,3 \quad (16)$

что есть ничто иное как ковариантные координаты вектора $\vec{a}$ . То есть,
(15) можно переписать

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^3 a_i b^i \quad (17)$

Но и это не предел упрощения

3. Правило Эйнштейна

Хитрый и проницательный Альберт Эйнштейн придумал правило суммирования, в выражениях подобных (17), избавляющее математика от надоедливой и избыточной $\sum$ . В выражениях (16) и (17) можно опустить знак суммы, подразумевая суммирование по повторяющемуся индексу, который называют «немым». То есть, (16) переписываем так

$a_i = g_{ij}\, a^j,\, i=1,2,3 \quad (18)$

здесь j — индекс, по которому происходит суммирование. По правилу, этот индекс должен чередовать свое положение — если у первого множителя он внизу, то у второго должен быть вверху и наоборот. Выражение (17) будет выглядеть так

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_i\, b^i \quad (19)$

Ну а (15) придет к виду

$\vec{a} \cdot \vec{b} = g_{ij}\, a^j\, b^i \quad (20)$

А теперь мы посмотрим, для чего надо было городить такой огород.

4. Анализ на простых примерах

Допустим, что наш базис — декартов, то есть ортонормированый. Тогда, матрица g становится единичной

$\mathbf{g} = \begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \end{bmatrix}$

Пусть вектор $\vec{a}$ задан в таком базисе. Квадрат длины вектора, как известно, это скалярное произведение этого вектора самого на себя, то есть

$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = g_{ij}\, a^j\, a^i = &\left(g_{11} a^1 + g_{12} a^2 + g_{13} a^3\right) a^1 +$

$+ \left(g_{21} a^1 + g_{22} a^2 + g_{23} a^3\right) a^2 +$

$+ \left(g_{31} a^1 + g_{32} a^2 + g_{33} a^3\right) a^3 =$

$= (a^1)^2 + (a^2)^2 + (a^3)^2$

И мы получили… квадрат длины вектора, заданного в прямоугольной системе координат!

Ещё пример, дабы не загроможнать который, будем работать в двух измерениях. Пусть система координат подобна той, что изображена на рисунке 1, и в ней задан вектор $\vec{b}$ своими контрвариантными координатами. Тогда

$\mathbf{g} = \begin{bmatrix} 1 && \cos\varphi \\ \cos\varphi && 1 \end{bmatrix}$

где $\varphi$ — угол между векторами базиса. Вычислим длину вектора $\vec{b}$

$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = g_{ij}\, b^j\, b^i = &\left(g_{11} b^1 + g_{12} b^2\right) b^1 + \left(g_{21} b^1 + g_{22} b^2\right) b^2 =$

$= (b^1)^2 + b^2\, b^1 \cos\varphi + b^1\, b^2 \cos\varphi + (b^2)^2 =$

$= (b^1)^2 + (b^2)^2 + 2\, b^1\, b^2 \cos\varphi$

Ровно такой же результат мы получим, если воспользуемся теоремой косинусов и найдем квадрат длины диагонали параллелограмма.

Что получается? Работая в разных системах координат, мы использовали одну единственную формулу (20) для вычисления скалярного произведения. И её вид совершенно не зависит ни от базиса, ни от числа измерений пространства, в котором мы работаем. Базисом определяются лишь конкретные значения компонент матрицы g.

Так вот, уравнение (20) выражает скалярное произведение двух векторов в тензорной, то есть независимой от выбранного базиса форме.

Матрица g задает так называемый метрический тензор. Её вид определяет каким образом в выбранных координатах вычисляется расстояние между двумя точками.

Но почему мы называем эту матрицу тензором? Следует понимать, что математическая форма, в данном случае квадратная матрица, содержащая набор компонент, это ещё не тензор. Понятие тензора несколько шире, и прежде чем мы скажем, что такое тензор, мы рассмотрим ещё один вопрос.

5. Преобразование компонент метрического тензора при смене базиса

Перепишем соотношение(20) в матричной форме, так нам будет легче оперировать им

$c = \mathbf{a}^{(0)T}\, \mathbf{g}^{(0)}\, \mathbf{b}^{(0)}$

где c — скалярное произведение векторов. Верхний индекс несет смысл системы координат, в которой заданы векторы и определен метрический тензор. Скажем это система координат СК0. Преобразование вектора к некоторой другой системе координат СК1 описывается матрицей преобразования $\mathbf{A}_{01}$ , то есть

$\mathbf{a}^{(0)} = \mathbf{A}_{01}\, \mathbf{a}^{(1)}, \quad \mathbf{b}^{(0)} = \mathbf{A}_{01}\, \mathbf{b}^{(1)} \quad (22)$

Подставим (22) в (21)

$c = \left(\mathbf{A}_{01}\, \mathbf{a}^{(1)}\right)^T\, \mathbf{g}^{(0)}\,\mathbf{A}_{01}\, \mathbf{b}^{(1)} = \mathbf{a}^{(1)T}\, \mathbf{A}_{01}^T \mathbf{g}^{(0)}\,\mathbf{A}_{01}\, \mathbf{b}^{(1)}$

в последнем выражении

$\mathbf{A}_{01}^T \mathbf{g}^{(0)}\,\mathbf{A}_{01} = \mathbf{g}^{(1)} \quad (23)$

метрический тензор, компоненты которого определяются новым базисом. То есть, в новом базисе операция имеет аналогичную форму

$c = \mathbf{a}^{(1)T}\, \mathbf{g}^{(1)}\, \mathbf{b}^{(1)}$

Тем самым мы показали ещё одно свойство тензора — его компоненты меняются синхронно с компонентами векторов того пространства, в котором определен тензор. То есть теперь мы можем сказать, что тензор — это математический объект, представленный набором компонент и правилом их преобразования при смене базиса.

Теперь, используя правило Эйнштейна, перепишем (22) и (23) в тензорной форме

$a^{i(1)} = \alpha_k^i a^{k(0)}, \quad b^{i(1)} = \alpha_k^i b^{k(0)} \quad (24)$

$g_{ij}^{(1)} = \alpha_i^l \, \alpha_j^k \, g_{kl}^{(0)} \quad (25)$

где $\alpha_p^q$ — элементы матрицы $\mathbf{A}_{01}$ . Проиллюстрируем (25) на трехмерном примере. Пусть матрица преобразования координат имеет вид

$\mathbf{A}_{01} = \begin{bmatrix} \alpha_1^1 &&\alpha_2^1 && \alpha_3^1 \\ \alpha_1^2 &&\alpha_2^2 && \alpha_3^2 \\ \alpha_1^3 &&\alpha_2^3 && \alpha_3^3 \end{bmatrix}$

Распишем преобразование компонента метрического тензора, выполняя суммирование по немым индексам k и l в (25)

$g_{ij}^{(1)} = & \alpha_i^1 \, \left( \alpha_j^1 \, g_{11}^{(0)} + \alpha_j^2 \, g_{21}^{(0)} + \alpha_j^3 \, g_{31}^{(0)} \right) +$

$\alpha_i^2 \, \left( \alpha_j^1 \, g_{12}^{(0)} + \alpha_j^2 \, g_{22}^{(0)} + \alpha_j^3 \, g_{32}^{(0)} \right) +$

$+ \alpha_i^3 \, \left( \alpha_j^1 \, g_{13}^{(0)} + \alpha_j^2 \, g_{23}^{(0)} + \alpha_j^3 \, g_{33}^{(0)} \right)$

откуда видно что в (25) выполняется транспонирование матрицы перехода, умножение результата на метрический тензор и умножение полученной матрицы на матрицу перехода.

Теперь рассмотрим конкретный пример, на плоскости, чтобы не писать излишне громоздких выкладок

Рис. 2. Связь прямоугольных координат с косоугольными.

Пусть вектор $\vec{a}$ задан в двух нормированных базисах: прямоугольном $(\vec{e}_{10}, \, \vec{e}_{20})$ и косоугольном $(\vec{e}_{10}, \, \vec{e}_{20})$ . Преобразование из косоугольной системы координат в прямоугольную выражается матрицей

$\mathbf{A}_{01} = \begin{bmatrix} \cos\varphi && \sin\varphi \\ \sin\varphi && \cos\varphi \end{bmatrix}$

обратное преобразование

$\mathbf{A}_{10} = \mathbf{A}_{01}^{-1} = \begin{bmatrix} \cfrac{\cos\varphi}{\cos 2 \varphi} && -\cfrac{\sin\varphi}{\cos 2 \varphi} \\ -\cfrac{\sin\varphi}{\cos 2 \varphi} && \cfrac{\cos\varphi}{\cos 2 \varphi} \end{bmatrix}$

Пусть также, в прямоугольных координатах наш вектор имеет компоненты

$\mathbf{a}^{(0)} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

и совсем нетрудно увидеть, что длина его $\vec{a}$ . Метрический тензор в ортонормированном базисе представляется единичной матрицей

$\mathbf{g}^{(0)} = \begin{bmatrix} 1 && 0 \\ 0 && 1 \end{bmatrix}$

значит

$|\vec{a}|^2 = g_{ij}^{(0)} \, a^{j(0)} \, a^{i(0)} & = \left( g_{11}^{(0)} \, a^{1(0)} + g_{12}^{(0)} \, a^{2(0)} \right) a^{1(0)} + \left( g_{21}^{(0)} \, a^{1(0)} + g_{22}^{(0)} \, a^{2(0)} \right) a^{2(0)} =$

$= 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$

Зададим угол наклона осей $\varphi = \frac{\pi}{6}$ и вычислим контрвариантные компоненты вектора в косоугольных осях

$a^{1(1)} = \tilde{\alpha}_1^1 \, a^{1(0)} + \tilde{\alpha}_2^1 \, a^{2(0)} = 3\sqrt{3} - 4$

$a^{2(1)} = \tilde{\alpha}_1^2 \, a^{1(0)} + \tilde{\alpha}_2^2 \, a^{2(0)} = -3 + 4\sqrt{3}$ ,

разумеется, имея ввиду что $\tilde{\alpha}_j^i$ — компоненты матрицы обратного преобразования $\mathbf{A}_{10}$ .

Вместе с вектором необходимо преобразовать и метрический тензор

$g_{11}^{(1)} = \alpha_1^1 \, \left( \alpha_1^1 \, g_{11}^{(0)} + \alpha_1^2 \, g_{21}^{(0)} \right) + \alpha_1^2 \, \left( \alpha_1^1 \, g_{12}^{(0)} + \alpha_1^2 \, g_{22}^{(0)} \right) = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \frac{\sqrt 3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$g_{12}^{(1)} = \alpha_1^1 \, \left( \alpha_2^1 \, g_{11}^{(0)} + \alpha_2^2 \, g_{21}^{(0)} \right) + \alpha_1^2 \, \left( \alpha_2^1 \, g_{12}^{(0)} + \alpha_2^2 \, g_{22}^{(0)} \right) =\frac{\sqrt 3}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt 3}{2} = \frac{\sqrt 3}{2}$

$g_{21}^{(1)} = \alpha_2^1 \, \left( \alpha_1^1 \, g_{11}^{(0)} + \alpha_1^2 \, g_{21}^{(0)} \right) + \alpha_2^2 \, \left( \alpha_1^1 \, g_{12}^{(0)} + \alpha_1^2 \, g_{22}^{(0)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt 3}{2} + \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt 3}{2}$

$g_{22}^{(1)} = \alpha_2^1 \, \left( \alpha_2^1 \, g_{11}^{(0)} + \alpha_2^2 \, g_{21}^{(0)} \right) + \alpha_2^2 \, \left( \alpha_2^1 \, g_{12}^{(0)} + \alpha_2^2 \, g_{22}^{(0)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \frac{\sqrt 3}{2} = 1$

Ну а теперь вычислим длину вектора в новом базисе

$|\vec{a}|^2 = g_{ij}^{(1)} \, a^{j(1)} \, a^{i(1)} & = \left( g_{11}^{(1)} \, a^{1(1)} + g_{12}^{(1)} \, a^{2(1)} \right) a^{1(1)} + \left( g_{21}^{(1)} \, a^{1(1)} + g_{22}^{(1)} \, a^{2(1)} \right) a^{2(1)} =$

$= \left( 3\sqrt 3 - 4 - 3\frac{\sqrt 3}{2} + 6 \right) \left(3\sqrt 3 - 4 \right) + \\ & + \left( \frac{9}{2} - 2\sqrt 3 - 3 + 4\sqrt 3 \right) \left(-3 + 4\sqrt 3\right) =$

$= \frac{27}{2} + 6\sqrt 3 - 6\sqrt 3 - 8 - \frac{9}{2} - 6\sqrt 3 + 6\sqrt 3 + 24 = 9 + 16 = 25$

то есть $|\vec{a}| = 5,$ и скалярное произведение и длина вектора инвариантны, то есть неизменны при преобразовании координат, а так и должно быть. При этом, мы использовали по сути одно и то же соотношение (20) для работы в разных базисах, предварительно преобразовав метрический тензор в соответствии с правилом преобразования векторов в рассматриваемых пространствах (25).

Заключение и выводы

Что мы увидели в предыдущем параграфе? Если свойства пространства, в котором заданы векторы известны, то для нас не составляет труда выполнить, строго формальным образом, действия над векторами, используя соотношения, вид которых от формы пространства независим. Причем соотношения (20), (24) и (25) дают нам и алгоритм вычисления и способ преобразования компонент выражений, используемых алгоритмом. В этом — мощь и сила тензорного подхода.

Многие физические теории, например ОТО, оперируют искривленным пространством-временем, и там другой подход просто неприемлем. В искривленном пространстве-времени метрический тензор задан локально, в каждой его точке, и если попытаться обойтись без тензоров, у нас ничего не выйдет — мы получим громоздкие и неповоротливые уравнения, если получим их вообще.

В прикладных областях науки тензорная запись выражений применима там, где требуется получать уравнения, независимые от используемой системы координат.

Но это ещё не всё. Мы не поговорили о свойствах метрического тензора, не рассмотрели векторное произведение и тензор Леви-Чевиты. Не поговорили о ранге тензоров и операциях с ними, не разобрались до конца с правилами индексации компонент тензоров и о многом другом. Об этом будет написано несколько позднее, а пока — спасибо всем моим читателям за внимание.

Продолжение следует...

Комментарии (59)

netmaxed
30.06.2015 12:23
#8482391
+2
о да!
давно пора было освежить знания о тензорах!
ждем продолжения :)
P.S. очень хорошо и понятно пишете! спасибо.

ignat99
30.06.2015 12:58
#8482461
+1
Диакоптика или тензорный анализ цепей (электрических силовых схем).

Геометрическая алгебра хороший инструмент для работы с октонионами.

Если вместе с цепями в моделе учитывать и поля то октонионы позволяют упростить запись даже более чем тензоры. Хотя, IMHO, октонионы это то же тензоры, только основанные на диадах (более общий способ умножения тензоров).

potan
30.06.2015 13:38
#8482557
+1
Знакомство с тензорным исчислением и праволом Эйнштейна мне помогло и в программировании — в подходе к работе с коллекциями.
1. DrReiz
  30.06.2015 14:29
  #8482667
  +1
  Интересно! Где — тензоры, а где — коллекции… Расскажи, пожалуйста, подробнее: как правило Эйнштейна помогло при работе с коллекциями?
  1. potan
    30.06.2015 16:37
    #8482899
    +2
    Такие операции с коллекциями как map, zip, fold (он же reduce) напоминают тензорные операции. Особенно это заметно на примере языков APL, R, Julia, но и в более мейнстримовых эта аналогия мне помогала.
    
    kirilloid
    30.06.2015 19:30
    #8483105
    +2
    Да, знание тензоров может помочь, но если тензоров не знаешь, то, конечно, пытаться через них понять zip/fold — совершенно бесполезная затея.

andy_p
30.06.2015 15:32
#8482781
+2
Тогда вам надо с линейной алгебры рассказ начинать.

futureader
30.06.2015 18:55
#8483053
+7
Вообще, было бы не плохо начать с того, а зачем это все надо. А надо это для того, что бы описывать объекты в пространстве без учета системы координат. Так, когда описывают вектор как тензор, то имеют ввиду именно вектор как объект (буквально — палочку со стрелочкой), а не связанные с ним координаты в той или иной системе координат. Таким образом, когда мы начинаем смотреть на этот вектор из разных систем, то вектор (палочка со стрелочкой) не меняется, а меняется лишь его представление в системе координат. Поэтому, вектор силы, например — это тензор.
1. ignat99
  30.06.2015 19:12
  #8483081
  Если в остове силовой схемы (трансформаторы) выделить остов в виде набора ветвей (катушек), то множество из линейной комбинации всех возможных соединений этих катушек будет описывать все возможные силовые схемы, которые можно собрать из этого набора катушек.
  
  Более того, если в качестве базиса у нас есть другой набор катушек, то оперируя только тензорами, возможно получить параметры итоговых схем, которые можно собрать из этих двух наборов с учётом их взаимного влияния.
  
  Как вы видите, у нас нет не палочек, не стрелочек, не направлений, не геометрических систем координат (у нас есть вместо этого отдельные части электрической сети), но мы используем тензоры.
  1. futureader
    30.06.2015 19:32
    #8483107
    +1
    Как-то не очень понятно, что Вы имеете ввиду. Честно говоря, можно что угодно называть тензором, только тензором в математическом плане оно от этого является не будет. Для задания тензоров нужно — линейное пространство (ваши катушки?) и простарнство линейных форм (что это в вашем случае?) Аналогию с тензорами применяют много где, но это далеко не всегда является тензорами (хоть теперь это и модно так называть). Так же как когда-то в начали применять когда-то понятие «вектор» для описания коллекций объектов. Вектором из векторного анализа оно не стало.
    
    ignat99
    30.06.2015 20:25
    #8483163
    Аналогию с тензорами для катушек начал применять Габриэль Крон в 1926 году после прочтения книги Форсайта «Трактат о дифференциальных уравнениях».
    
    Линейные дифференциальные формы как позитивные (0,1,2,3,4, ...) так и негативные -1, -2, -3, -4 можно разглядеть на алгебраических диаграммах в статье Диакоптика. Негативные формы более относятся к закону Фарадея, к сохранению различных моментов (электрических, магнитных и упругих и их комбинаций).
    
    Детали для негативных степеней можно увидеть в таблице из этого скрипта.

maksbotan
01.07.2015 01:55
#8483571
+4
С точки зрения математика всегда конечно дико было смотреть на вот это вот «ну пусть есть индексы сверху, пусть есть снизу, будем менять их вот так, смотрите — круто». Но если людям удобно, почему нет :)
Хотя в голове все равно всплывают сопряженные пространства, тензорные произведения, базисы и прочая фигня. И интерпретация этого дела на многообразиях, связность, символы Кристоффеля… Ведь и для математики всё это имеет большое и интересное значение.
Спасибо за статью, обязательно продолжайте!

erlyvideo
01.07.2015 09:48
#8483751
+4
Я честно пытался понять статью с наскока, спасибо вам за неё.

Но вы упустили самое главное и я потерял мысль: с самого начала надо написать, зачем это нужно.

К сожалению, весь университетский курс этим страдает: заставляют втупую зубрить что-то со словами «потом разберетесь, годам к 35»

maisvendoo Автор
01.07.2015 09:59
#8483761
с самого начала надо написать, зачем это нужно

Учту это. Видимо главную мысль статьи мне пока не удалось сформулировать

IlyaPodkopaev
01.07.2015 10:07
#8483771
+1
все же индексы вверху — порочная практика, я всю статью боролся с тем, чтобы не читать их как степень. Отделение скобками помогает…
1. maisvendoo Автор
  01.07.2015 10:14
  #8483783
  +3
  Тем не менее, практика принята в тензорном исчислении, и в подавляющем большинстве книг используется именно такая нотация.
  
  Дело в том, что мы имеем дело с линейными операциями, поэтому верхнее положение индекса и не рассматривается здесь как показатель степени.
  
  Если речь идет таки, например о квадрате компоненты, то пишут так
  $a^1 \, a^1 = (a^1)^2$
  1. IlyaPodkopaev
    01.07.2015 13:30
    #8484139
    +1
    да, я так и подумал, что это общепринятое обозначение. Видимо зависит от того, какая запись принята в области, с которой сталкиваешься… К ней привыкаешь и уже не задумываешься
    
    grossws
    01.07.2015 13:55
    #8484167
    Хуже когда в рамках одной статьи (а то и выражения) верхний индекс обозначает разные вещи. В том же ML часть авторов использует верхний индекс в скобках (как номер примера для обучения) и, в том же выражении, верхний индекс без скобок (как степень). А иногда — догадывайся из контекста и обозначаний этой конкретной статьи.

FransuaMaryDelone
01.07.2015 15:18
#8484319
+1
К вопросу о красоте матриц (11) и (14). Вообще говоря, у скалярного произведения есть свойство эрмитовой симметричности. Т.е. порядок умножения важен: (е1, е2)=(е2, е1)*. Понятно, что в действительных числах это не играет роли. Но… красота же требует порядка.

Формула (22) на матрицу A01 написана для контрвариантных координат, а конкретная матрица А01 (сразу под рис. 2 где косинусы и синусы) выписана для ковариантных координат (если иметь ввиду рис. 2 и Ваше определение ковариантных координат после формул (5),(6)).
В этой связи непонятно слово «разумеется» при вычислении контрвариантных компонент вектора в косоугольных осях — использована матрица А10 (как заявлено, это матрица перехода из косоугольной в прямоугольную СК) при переходе наоборот из прямоугольной в косоугольную для контрвариантных векторов. Свойство может быть какое-то опущено в рассуждении?
1. merlin-vrn
  02.07.2015 13:06
  #8485089
  +1
  Так тогда и транспонирования в статье все нужно заменить эрмитовыми сопряжениями.
1. mayorovp
  08.07.2015 11:46
  #8490741
  Вообще-то, до сих пор автор рассматривал только геометрические вектора — а у них координаты есть действительные числа, а не комплексные. Откуда тут возьмется сопряжение-то?
  
  Во-вторых, вы как-то очень хитро поставили звездочку после скалярного умножения. Операция эрмитова сопряжения определена только для матриц — а результат скалярного умножения, внезапно, скаляр. Здесь надо поставить обычное комплексное сопряжение, а не эрмитово.
  1. barmaley_exe
    08.07.2015 16:48
    #8491325
    Никто не мешает считать скаляры матрицами размера 1x1.

maisvendoo Автор
01.07.2015 15:26
#8484325
использована матрица А10 (как заявлено, это матрица перехода из косоугольной в прямоугольную СК)

Там написано так

Преобразование из прямоугольной системы координат в косоугольную выражается матрицей A01

что несомненно является допущенной мною опечаткой, так как матрица A01 — это матрица перехода из косоугольной в прямоугольную систему координат.

Спасибо, исправлено
1. FransuaMaryDelone
  01.07.2015 15:33
  #8484337
  А, вон где опечатка. Все понял, спасибо.
1. FransuaMaryDelone
  01.07.2015 16:01
  #8484375
  и все-таки… матрица А01 написана для контрвариантных координат? Просто у меня получается другая матрица.
  1. maisvendoo Автор
    01.07.2015 16:04
    #8484379
    Для контравариантных. Проецируем ломаную, составленную из контравариантных компонент в СК1 на соответствующую ось СК0
    
    FransuaMaryDelone
    02.07.2015 11:25
    #8485031
    Да, Вы правы. Напоследок всё-таки хотелось бы отметить свойство матриц перехода между этими системами: А01(ковариантные координаты) = А10(контрвариантные координаты).

maisvendoo Автор
01.07.2015 16:02
#8484377
+1
Кстати, в вики в статье Тензор была опечатка — векторы обозначались рангом (0, 1) а ковекторы рангом (1, 0), при том что метрический тензор указывался как (0, 2) то есть дважды ковариантный.

Взял на себя смелость внести правку — вектор (1, 0), ковектор (0, 1), согласно с источнику .

А то при разборе литературы для подготовки второй части статьи возникли нестыковки литературы и википедии…

progchip666
02.07.2015 10:08
#8484963
Позже, в университете, программа подготовки по моей специальности не предусматривала изучение тензорного исчисления, хотя малопонятный термин «тензор» всплывал довольно часто в некоторых специальных курсах. Например, было жутко непонятно, почему матрица, содержащая моменты инерции твердого тела гордо именуется тензором инерции.

Аналогичная ситуация сложилась у меня. Когда большая часть «Теоретиеской физики» в нашем институте была построена на тензорах, а курс матанализа данную тему обходил далеко стороной. В результате приходилось либо заучивать длинные ряды формул, либо воспринимать курс «Теорфиза» как шаманство. Ни то ни другое знаний и понимания предмета к сожалению не прибавляло.
Очень интересно будет попытаться разобраться в этом хотя бы сейчас, много лет спустя в Вашей помощью.

APXEOLOG
02.07.2015 17:42
#8485395
+3
Было бы неплохо периодически говорить зачем мы начинаем те или иные преобразования. Я потерял смысловую нить уже к 5 уравнению, а когда взгляд упал на «Введем матрицу» (11), я совсем потерялся. Для меня все это выглядит как математика ради математики.

dcc0
04.07.2015 21:03
#8487157
Интересно, как количественно и качественно изменится понимание этого материала, если заменить терминологию? Даже было бы интересно провести такой эксперимент.
Почему-то думаю, что русский достаточен, чтобы отразить смысл, а латинизмы, которые повсеместно используются в научном мире, понимания не добавляют.
1. Arastas
  04.07.2015 23:12
  #8487221
  Приведите, пожалуйста, 3-4 примера?
  1. dcc0
    05.07.2015 00:30
    #8487231
    Не доказано средствами самой математики, что в ней
    содержатся разделы более сложные или менее сложные для восприятия человеком.
    Также пока формально не доказано, что абстрактная алгебра сложнее комбинаторики, теории чисел, арифметики или иных разделов. Нет определений сложности относительного самого человека. Чем в принципе определяется сложность того или иного раздела математики для человека? Количеством разнородных операций, описанием объектов?
    Не представлено формальных доказательств того, что если человек способен понять один раздел, алгебры, то он не способен понять другой.
    Тут от формализма придется отступить, так как формальными средствами не доказано, что подход используемый для описания самой математики является верным или всегда верным.
    
    Arastas
    05.07.2015 12:46
    #8487369
    Спасибо, я Вас понял.
    
    Zenitchik
    05.07.2015 17:08
    #8487493
    Формальный подход к описанию — это аналог юнит-тестов. Без него математика разрушится.
    
    dcc0
    05.07.2015 20:15
    #8487569
    Слышал мнение некоторых математиков, которое заключается в следующем: «для описания математических явлений естественный язык не нужен». Вообще часто когда мы читаем какое-то новое определение, то его понимание приходит на примерах или, если хорошо владеем языком символов, то нам хватает формул. Из этого вытекает несколько вопросов педагогического характера. Можно было бы их и не озвучивать, но один все-таки повторю, этот вопрос связан с перенасыщенностью данной области знаниями терминами, в основном латинизмами. Чтобы понять, что такое тензор в математике, мне сначала приходится осознать — что есть тензор изначально, т.е. уходит много времени на осмысление корневого значения термина. Затем надо понять, почему именно в этом разделе математики употреблен именно этот термин, а не просто вектор.
    
    erlyvideo
    05.07.2015 23:30
    #8487701
    на самом деле, если разобраться, как этим пользуются физики, то всё становится гораздо понятнее и потом уже можно разобраться с формализмом.
    
    Математики обычно отвратительно нудно и скучно рассказывают свою тему по сравнению с физиками. Но за вторыми сложно успеть.
    
    Zenitchik
    06.07.2015 13:31
    #8488169
    Я вот на счёт формализма от одного математика слышал, что теория оформляется в виде формальных определений, теорем и пр. для того, чтобы потом можно было быстро сопоставлять всё это с новыми открытиями в математике, а не думать каждый раз, что из чего и как выведено. Примерно ту же цель я преследую, когда запускаю старые юнит тесты после добавления нового функционала: быстро проверить, не поломал ли что.
    
    dcc0
    06.07.2015 13:48
    #8488191
    Вы не учитываете один момент: тот объем знаний, к которому пришла современная математика, охватывает развитие данной дисциплины за период — боюсь соврать — пусть, 2000 лет. И весь этот объем знаний предлагается усвоить человеку за период средняя школа + университет.
    История математики кишит повторными открытиями одних и тех же явлений. Мне интересно лишь, изменится ли уровень знаний у выпускников, если изменить подход к преподаванию.
    Ученые с многолетним опытом, конечно, не нуждаются в «математики на яблоках». Бесспорно.
    
    ignat99
    06.07.2015 13:58
    #8488199
    Я бы более скромную оценку поставил между 150 — 284 годами, в зависимости от какого события считать. После изучения фотографий Антикитеры, знакомства с принципом Астролябия и чтения переводов Ньютона на русский язык «О небесной геометрии». Секстант (якобы Ньютон) — 1699. И информации о факте из документов: В 1731 году английский оптик Джон Хэдли усовершенствовал астролябию.
    
    Zenitchik
    06.07.2015 14:03
    #8488207
    Этим кишит не только история математики. Ещё интереснее бывает история биологии и палеонтологии. Многих ошибочных реконструкций (типа бродящих по дну брахиозавров) не было бы, если бы их авторы знали другие науки хотя бы в рамках школьного курса. Но как этого достичь — непонятно. То, чем не пользуешься — забывается у всех, это закономерно.
    Ещё забавнее была новость о том, что биологи в начале 2000-х открыли C_y у какого-то морского гада (забыл, какого именно) — т.е. биологи XXI века удивлялись тому, что твёрдо знали братья Райт.
    
    dcc0
    06.07.2015 19:17
    #8488749
    Я, наверное, уже очень сильно отклонился от темы, в которой, конечно же, почти не ориентируюсь.
    Но все же отмечу еще один момент — достаточно быстро развивается информатика, появляется
    очень много терминологии, буквально каждый день. Информатика, математика и физика теперь сильно пересекаются, где-то смешиваются, и смешивается очень много терминологии, термины дополняются новыми значениями и т.д. Если можно так сказать, то терминология в общенаучном контексте превращается в некий водоворот.
    В XIX веке даже еще в XX — это еще были волны, где-то предсказуемые, где не очень.
    
    ignat99
    06.07.2015 19:19
    #8488751
    Всё закономерно — программирование это расширение математики. И последние крупные математические работы тому доказательство.
    
    dcc0
    07.07.2015 16:09
    #8489687
    Я думаю, что достаточно остро в ближайшее время встанет вопрос о способах представления научной информации, под этим я подразумеваю и «сжатие»
    информации для учебных целей. Думаю, это будет связано с требованиями самого времени, ведь и готовить и переподготавливать специалистов нужно довольно быстро. Во всяком случае быстрее, нежели раньше, а способы представления учебной информации пока, субъективно, к этому не очень раполагают. Думаю, это тема отдельных исследований, возможно, лингвистических по большей части. Может, найдется, наконец, интересное применение для психолингвистики.
    
    По поводу того, является ли программирование расширением математики, сужением логики, не стану судить. Тут можно дискутировать на тему эмулируется ли математика на логическом устройстве или формальная логика реализуется на математическом.
    
    ignat99
    07.07.2015 18:49
    #8489907
    Азбука это один пример сжатия информации для учебных целей. Лет 100 назад на каждую букву запоминали слово, а мне в школе давали только буквы. Таблица умножения второй пример. Таблица физики — третий пример. Периодическая система Менделеева — таблица химии — четвёрный пример.

rafuck
11.07.2015 09:35
#8494421
+1
У вас тут формула (21) не пронумерована, как бы абсурдно это ни звучало.
Пишу комментарием, потому что статей много, так проще.
1. maisvendoo Автор
  11.07.2015 12:57
  #8494535
  Не страшно, так как на (21) не ссылки в тексте. Писалось из LaTeX версии, там нумерация несколько отличалась
  1. rafuck
    12.07.2015 05:51
    #8495009
    +2
    «Подставим (22) в (21)»
    Я по этой фразе заметил, что (21) нету.
    
    maisvendoo Автор
    12.07.2015 12:16
    #8495169
    Нашел потерянную формулу. Спасибо

Alexins
25.07.2015 10:35
#8514765
Тут самое главное, понимание. Для чего эта сложная штука нужна. Людям проще воспринимать занимательную математику, нежели смотреть на сухие формулы тригонометрии.

Косоугольные координаты переведем в прямоугольные координаты.
Воспринимать эту штуку очень сложно по рисунку 2. Для примера, косой угол между базисами рисунка 1 больше 90 градусов. Почему нет?

Пойдем дальше. Почему точка отсчета координат одна и та же. Два объекта, находящихся в пространстве, не вложенные один в другой, являются разными точками отсчета.

Возьмем практический пример. Все мы знаем металлическую метровую линейку с дырочкой. Дырочка нужна, чтобы линейку можно было повесить на гвоздик, на стене. Вот и скажем, что дырочка, будет началом вектора. Положим линейку на пол и посмотрим на нее.
Будем условно считать себя точкой отсчета координат. По правую руку будем откладывать ось X. Вперед, куда смотрят глаза, будет координата Y. Постояли, посмотрели на линейку. Сделали несколько шагов, немного повернулись, посмотрели на линейку. Вот вам две не соосные системы координат с разными точками отсчета. В уме то мы соображаем, что линейка осталась одного размера.

Теперь возвращаемся к математике и пытаемся на пальцах объяснить что такое тензор. И как влияет изменение точки отсчета на матрицу пересчета координат вектора.

Дальше еще интереснее и вкуснее. Тут один из комментаторов приводил теорию с трансформатором. Раскладывал его на катушки и переставлял их. Продолжим его исследования и одну из катушек поставим не вертикально, как все остальные, а на бок, чтобы она каталась по столу. Вот не задача, это уже не тривиальная задача в теории катушек.
Возвращаюсь к любимым линейкам и зайдем в подъезд многоэтажного дома. Положим одну линейку на несколько ступенек пролета, идущего вверх, а вторую на несколько ступенек пролета, идущего вниз. Смотрим на линейки и думаем, как бы применить тензор к разным векторам с одинаковой длиной. И пусть сухой математик объяснит, что это суть разные вектора, а не смещение координатных пространств относительно одного вектора (метровая линейка).
1. ignat99
  25.07.2015 12:38
  #8514861
  > Продолжим его исследования и одну из катушек поставим не вертикально, как все остальные, а на бок, чтобы она каталась по столу. Вот не задача, это уже не тривиальная задача в теории катушек.
  
  Эта задача сводиться к задаче движущейся электрической машине — электродвигателю.
  Зазор между ротором и статором описывается Римановым пространством. В случае вращения с постоянной частотой (в короткие моменты времени такое приближение возможно) эта задача сводиться к «тривиальной» для метода расчленения Крона.
  1. Alexins
    26.07.2015 01:09
    #8515153
    Представим задачу с катушками более простым способом. Катушку можно представить в виде магнитной палочки из детского магнитного конструктора. Конструктор состоит из набора палочек с магнитами на концах и стальных шариков.
    Одну палочку положим на гладкий стол и будем подносить конец другой палочки. Мы увидим, что палочка на столе будет поворачиваться обратной стороной магнита к палочке в нашей руке.
    Усложним задачу. В руках у нас магнитная палочка, а на столе лежит катушка индуктивности, по которой не течет электрический ток. Подносим магнит. В катушке, под действием изменения внешнего магнитного поля начинает бежать электрический ток. Катушка становится магнитом и так же старается принять упорядоченное положение к магниту в нашей руке.
    Изменение внешнего магнитного поля опять сказывается на образование заряда в катушке. И так действует до тех пор, пока катушка не займет определенного положения и магнитное поле для нее перестанет изменяться. В результате, в ней прекратиться выработка электрического тока и она станет инертной по отношению к магниту у нас в руке.
    О таком не сложный примере, я говорил как о не самой простой задаче.
    Стрелка амперметра или движение катушки диффузора динамика под действием тока внутри постоянного магнита, это одно. Я говорил о явлении наводящейся магнитной индукции.
    
    ignat99
    26.07.2015 10:56
    #8515213
    Модель для этой задачи можно легко сделать. Просто расскажу подход. В симплексной оболочке соответствующей задаче вершины это условные магнитные заряды, рёбра это линейно распределённый электрический заряд, грани 2 форма магнитного заряда, объёмы 3-форма плотности электрического заряда. Далее составляется ситема уравнений.
    
    Alexins
    26.07.2015 16:51
    #8515345
    Честное слово, не хочу вас обидеть. Вы кажетесь умным человеком.
    Обратимся к азам катушек индуктивности. Для примера, можно посмотреть ресурс базовые формулы. В теории магнитной индукции нет места разности потенциалов и точечным зарядам. Указанный термин «распределенного электрического заряда» не очень то подходит для описания происходящих процессов.
    И я, описывая пример воздействия изменяемого магнитного поля на катушку, не говорил, что она подключена к нагрузке.
    Электрический ток есть, а электрического потенциала нет.
    Ладно, предлагаю мир. Мы немного ушли от темы. Истина всегда где то рядом.
    
    ignat99
    26.07.2015 17:36
    #8515391
    Мир так мир. Там не только токи и напряжения в цепи и на зажимах есть, как контурные e,i так и узловые E,I. Если, например, схема возбуждается только как контурная с переменными е и i, во всех парах узлов возникает ряд неизвестных разностей потенциала Е. Эти напряжения — величины, которые можно измерить, и они образуют тензор.
    
    Ну то есть кроме той первой оболочки имеется дуальная. Скажем каждое ребро пересекает дополнительная грань с электрическим потенциалом. А через грань с магнитной индукцией B проходит ребро напряжённости магнитного поля H.
    
    ignat99
    26.07.2015 18:08
    #8515411
    Правильно так: на каждом ребре (остова графа) контурной цепи можно выделить вершину (клемму) для измерения электрического потенциала. Так как потенциал это скаляр, а гранью будет электрическое смещение D. (Это для удобства рассмотрения прохождения электромагнитной волны через ортогональные цепи). Всё это примерная модель, просто попытка ответить на ваш вопрос. Если будет интерес, пишите в личную почту, что бы не отклоняться от темы.
    
    ignat99
    26.07.2015 17:47
    #8515399
    Вершины — условные магнитные заряды — точнее это магнитный поток через поверхность S вокруг вершины (число линий магнитной индукции).
    
    Alexins
    26.07.2015 21:01
    #8515507
    Если кому то стало интересно, в добрый путь. Основы теории электромагнитных полей являются уравнения Максвела.
    Всё остальное очень тяжело воспринимается для не подготовленного человека.
    
    На мой взгляд, математика и физика должны быть интересными и познавательными. Если удастся объяснить тяжелые вещи на простых примерах, значит вас будут слушать раскрыв рот, а не зевать во всю площадь лица.
    
    ignat99
    26.07.2015 23:24
    #8515613
    Вот как Крон изложил ту же самую тему, что в статье:
    
    plotnikovna.narod.ru/kron.html

Магия тензорной алгебры: Часть 1 — что такое тензор и для чего он нужен? +56

Содержание

Введение

1. Вектор на плоскости. Контравариантные, ковариантные координаты и связь между ними

2. Скалярное произведение векторов

3. Правило Эйнштейна

4. Анализ на простых примерах

5. Преобразование компонент метрического тензора при смене базиса

Заключение и выводы

Комментарии (59)

maisvendoo Автор

maisvendoo Автор

maisvendoo Автор

maisvendoo Автор

maisvendoo Автор

maisvendoo Автор

maisvendoo Автор

1. Вектор на плоскости. Контравариантные, ковариантные координаты и связь
между ними