«Совпадение» — случай, который нам кажется очень маловероятным, но все же случается.Вы встречали в жизни «совпадения»? На парковке три красных автомобиля стоят рядом, ваш знакомый надел на встречу точно такую же футболку, номер с красивым видом оказался единственным свободным, а компьютер выключился в тот момент, когда надо было открывать дверь гостям. Мы встречаем ситуации, которые сами по себе очень маловероятны. И действительно, давайте посмотрим, с какой вероятностью у моего дома остановится два Nissan Skyline? Даже если всего автомобилей 10000, и среди них только два Nissan Skyline, то вероятность ничтожная:
Каждый раз мы удивляемся таким «совпадениям», но так ли это маловероятно? Разберемся.
Для начала введем понятие «фиксировать событие». Это означает, что перед проведением эксперимента (то есть перед тем, как мы посмотрим на стоянку у моего дома) мы напишем на листочке, какую именно пару автомобилей мы хотим увидеть.
Допустим, есть две параллельные вселенные. В каждой из них вы сидите дома и собираетесь идти в кафе:
В первой вы идете и по дороге замечаете: на светофоре стоят два одинаковых грузовика, а в кафе празднуют день рождения сразу два гостя.
Удивительно, эти совпадения так маловероятны!Во второй вам предлагают сначала зафиксировать события — попробовать предсказать «совпадения». Вы идете в кафе и наблюдаете за происходящими событиями.
В первом случае вероятность высокая, вы заметили все случайные «совпадения».
А во втором вероятность этих событий действительно мала: ведь вы записали всего несколько «совпадений». Скорее всего вы вообще не встретите «совпадений».
Объясняю на примере.
Мы преобразуем нашу вселенную в парковку для автомобилей, а пространство событий в «совпадения» пар автомобилей, то есть в множество совпадений моделей автомобилей.
Характеристики мира
- Все автомобили пронумерованы от 1 до 1000000.
- Количество моделей авто: 1000, причем распределены одинаково.
- Парковка имеет размеры 1000х1000 автомобилей.
- Пешеходная дорожка проложена только с одной стороны парковки.
- Распределение автомобилей по парковке случайно.
Теперь пройдемся по дорожке без фиксации события. Какова вероятность того, что мы увидим две одинаковых машины, стоящих рядом? Довольно большая.
Чуть-чуть математики (необязательно)
Очевидно, что
— вероятность того, что выпадет именно модель N
— вероятность того, что снова выпадет эта модель
999 — количество перемещений этой пары автомобилей вдоль дорожки
1000 — количество моделей
=> — вероятность, что первые два места будут заняты автомобилями одной модели. Однако у нас есть 999 повторений, то есть вероятность того, что мы все-таки увидим два рядом стоящих одинаковых автомобиля равна
То есть несмотря на такое большое количество моделей, вероятность встречи одинаковых рядом стоящих авто больше 0.6. А теперь зафиксируем событие:
Мы хотим увидеть, с какой вероятностью на первых двух местах будет именно модель K.
То есть заметим, что она уже намного меньше, вернее она почти невыполнима.
— вероятность того, что выпадет именно модель N
— вероятность того, что снова выпадет эта модель
999 — количество перемещений этой пары автомобилей вдоль дорожки
1000 — количество моделей
=> — вероятность, что первые два места будут заняты автомобилями одной модели. Однако у нас есть 999 повторений, то есть вероятность того, что мы все-таки увидим два рядом стоящих одинаковых автомобиля равна
То есть несмотря на такое большое количество моделей, вероятность встречи одинаковых рядом стоящих авто больше 0.6. А теперь зафиксируем событие:
Мы хотим увидеть, с какой вероятностью на первых двух местах будет именно модель K.
То есть заметим, что она уже намного меньше, вернее она почти невыполнима.
Что было в спойлере: мы заметили, что если пройтись по дорожке в поиске одинаковой пары машин, что найдем с вероятностью более 63%. А вот если сначала придумать, где и какие автомобили расположены, то вероятность события будет менее одной полумиллионной.
Теперь возвращаемся к реальной жизни. Как на парковке было много разных возможных случаев, так и в нашем мире могут совпасть цвета шерсти соседских кошек, буквы номеров машин на светофоре, стипендию дали в самый нужный момент.
Вывод: несмотря на то, что вероятность каждого отдельного «совпадения» крайне мала, вероятность того, что произойдет хотя бы какое-нибудь «совпадение» довольно велика. На нашей парковке мы ждали хотя бы какого-нибудь «совпадения», и так как нам были не важны ни модель машин, ни то, где расположена пара, то и вероятность была высокой. А вот если вы перед выходом из дома зафиксировали событие, тогда вероятность встретить «совпадение» уже очень мала. Но вы, разумеется, не уменьшили вероятность этого события, вы просто перестали учитывать остальные.
Так что не удивляйтесь, когда вам на работе внезапно подарят торт. Потому что вам бы все равно так или иначе выразили симпатию.
Emulyator
Думаю еще можно упомянуть один не математический, но существенный в условиях обывательских наблюдений факт.
Человек часто ошибается в подсчете числа случаев наблюдения, потому что игнорирует (не осознает) «неинтересные» и обращает внимание на «удивительные» случаи. Например, очень большое число людей (можно проверить поисковиком) слишком часто наблюдает одинаковые комбинации цифр на часах: 11:11, 23:23, или симметричные 12:21, 53:35 или такие 12:34 и другие «узнаваемые». Якобы 3 раза в день посмотрел на часы, — всегда удивительные комбинации, а на самом деле посмотрел куда больше раз, но не запомнил (не осознал) «скучные» случаи.
Sirion
Ни разу не видел на часах 53:35)
opckSheff
Если увидите — точно запомните навсегда. Это явно не «скучный» случай.
gekt0r
А вот я видел. Старые часы «Электроника» при работе от сети, когда напряжение пропадало, а потом включалось, оказывались «не обнулены», и цифры на них стояли случайные. Могли быть и такие показания
Emulyator
мой косяк, но
oam2oam
Статья сразу навеяла анекдот про то, какова вероятность встретить динозавра на улице. Так вот, как ни странно, ответ одна вторая гораздо понятнее — и имеет право на существование, разумеется, если правильно задано пространство состояний…
А вообще теория вероятностей, понимаемая не как теория меры, это сборище непоняток.
dopusteam
Если бы это был анекдот.
Мне недавно звонили из страховой, чтоб я оформил у них страховку, и девушка сказала, что вероятность попасть в аварию равна 50%
oam2oam
Вот! Народ правильно понимает!
knagaev
Может у неё есть какая-то инсайдерская информация, почему она перевзвесила вероятности для машины dopusteam :) Или она ему намекала, что может поспособствовать перераспределению вероятностей.
MechanicZelenyy
Причем это анекдот немного тоньше, чем думают некоторые, потому что в отсутствии информации априорная вероятность действительно одна вторая!
Vsevo10d
Боже, когда, КОГДА наконец в этом мире перестанут путать вероятность и плотность вероятности!
Возможность встретить столетнего человека крайне мала по причине того, что они находятся в конце «колокола» Гауссовой кривой распределения человечества по возрастам. Но по сравнению с толпой возможность встретить такого в доме престарелых возрастает на порядки.
Координату электрона нельзя определить, зная его скорость, но с 90% плотностью вероятности он находится в области пространства своей электронной орбитали.
Вероятность выпадения какой-либо стороны на игральном кубике — 1/6, но плотность вероятности выпадения «шестерки» на шулерском кубике со смещенным центром тяжести близка к единице.
Плотность вероятности получить люлей на Гроув-стрит намного ниже, чем у Болласов.
И еще миллиард примеров.
raamid
А вы сами не путаете вероятность и плотность вероятности? Вы привели несколько примеров и в каждом из них перепутали вероятность и плотность вероятности.
Возмем данное ваше выскзывание:
В обоих случаях речь идет о вероятности наступления какого-то события (выпадение шестерки). Для нормального кубика это 1/6, для шулерского — почти 1. Все.
Плотность вероятности применяется тогда, когда мы говорим о недискретных величинах.
Например, мы измеряем размер детали. Сделали кучу измерений, нарисовали график распределения размеров, получили красивую кривую. Так вот, ВЫСОТА это кривой в конкретной точке (размер детали) и есть плотность вероятности. И если мы хотим узнать вероятность получения детали с размерами между 100 и 101 мм, мы вычисляем интеграл этой кривой от 100 до 101 и тогда получаем вероятность, которую можно выразить в процентах.
А плотность вероятности может равняться хоть 1000, если наше распределение укладывается в одну тысячную милиметра.
Vsevo10d
Ну окей. Да, я покривил душой, чтобы поднять дискуссию.
Но и насчет дискретности вы тоже не совсем правы. Гладкая кривая получается в пределе, для бесконечного множества дискретных величин. Но это не значит, что Гауссовому распределению не подчиняются, скажем, рост или вес 20 отобранных для исследования человек. Просто на это допущение дискретности придумали статистических критериев, табулировали их значения и плюют.
Просто эти интерпретационные ловушки про «вероятность в 1/2» бесят. Нужно крайне точно формулировать условия задачи. Вероятность выпадения шестерки на обычном кубике — 1/6. Вероятность выпадения сторон на шулерском кубике не равновероятна. Но нельзя сказать «вероятность выпадения шестерки на кубике — 1/2, выпадет либо нет!». Это же долбаный кубик! Вот если бы мы не знали, кубик в руках у человека или двадцатигранник — другое дело.
И мы приходим к тому, что оперировать вероятностями довольно бессмысленно в реальном мире. Помню, смотрел серию Air Crash Investigation, там самолет от нисходящего потока на посадке провалился вниз и упал на автостраду. На дороге погиб водитель автомобиля. Позавтракать, выехать утром на работу и умереть от падения на голову самолета — вероятность, наверное, миллиардные доли процента. В то же время самолет, падающий на оживленное шоссе, соберет какую-нибудь машину с вероятностью 100%.
Плюс первый комментатор правильно указывает, что значимость событий — это социальный конструкт. Затмения Солнца неизбежны и строго предопределены, но считаются редким и интересным событием.
knagaev
Можно и подискутировать.
Если вы рассматриваете эксперимент с двумя исходами «выпала 6», «не выпала 6», то априорная вероятность в отсутствии дополнительной информации 1/2.
То, что вы ждётё 1/6, происходит из-за того, что вы пользуетесь дополнительной информацией «Кубик с щестью гранями, форма идеальна и распределение массы равномерно по всему объёму».
Если у вас этой информации нет, то 1/2.
Sirion
А если у нас есть исходы «выпала 6», «выпала 5» и «не произошло ни того, ни другого», то вероятность выпадания шестёрки равна 1/3. Но если мы забудем про пятёрку, то она снова станет 1/2. Так легким мысленным усилием мы увеличиваем вероятность выпадания шестёрки в полтора раза.
knagaev
Абсолютно верно. А об чём, собственно, спич? :)
Sirion
О том, что «раз вероятности неизвестны, примем их равными» — это всё-таки rule of thumb, а не какой-то математический закон (мы ведь о байесианстве говорим, да?). Если слишком сильно размахивать большим пальцем, можно ткнуть им себе в глаз.
knagaev
А какой другой может быть вариант? Как раз если от меры идти, то при прочих равных условиях (а условия равны, если нет априорной информации), вероятности в пространстве событий должны быть распределены равномерно. Нет никаких причин отдавать какому-то событию предпочтение.
Sirion
Это вполне правдоподобное рассуждение на пальцах. Вот только оно не формализуется. И в любом случае хотя бы одна часть этого утверждения является бессмысленной. В теории не имеет смысла словосочетание «должны быть». На практике не бывает, что нет априорной информации.
knagaev
Почему на пальцах и почему не формализуется?
Пространство элементарных событий однородно — другой гипотезы вроде бы никто ещё не предлагал. На этой аксиоме в теории вероятностей строятся всё расчёты вероятностей через частотный подход.
Или Вы можете рассказать что-то интересное?
Sirion
Интересное рассказываете вы. Я — только скучное и банальное. Например, вот. Общепринятая аксиоматика теорвера. Найдите мне здесь вашу «аксиому».
knagaev
Ой какой тонкий сарказм…
Такой тонкий, что даже отбивает желание продолжать диалог.
Sirion
Прошу пардона, у меня был трудный рабочий день, и я высказался резковато. Но суть в том, что аксиоматика Колмогорова вполне допускает, чтобы элементарные события имели различную вероятность. Байесовское определение вероятности вообще ничего не говорит о выборе априорной вероятности, только о способе её уточнения. Если же вы говорите о какой-то экзотической аксиоматизации, это стоит сразу уточнять.
knagaev
А разве я говорил об аксиоматике Колмогорова? Она тоже не бесспорна, между тем.
Аксиоматика Колмогорова — это чисто математическая абстракция. Даже на Википедии сказано
Там же далее
Вот об этом понятии равновозможности и была речь.
Это чистой воды аксиома.
В условиях, когда дополнительной информации нет, присутствует симметрия явлений (исходов), и вероятности принимаются распределёнными равеномерно по пространству исходов (пространство однородно).
P.S. Если мой вопрос об интересном прозвучал тоже резковато, симметрично прошу прощения.
Sirion
Аксиомы не бывает без аксиоматики. А идея равновероятности становится тем менее интуитивной, чем дальше заходишь в лес. Под лесом я подразумеваю случаи бесконечных вероятностных пространств. Например, из таких же простых и интуитивных соображений появляется парадокс Бертрана.
knagaev
Вот тут как-то странно. Аксиоматика — это система аксиом. Как только вы приняли хотя бы одну аксиому, тут же появилась аксиоматика.
Хотя если пойти в глубокую философию, то наверно можно представить аксиоматику как пустое множество без аксиом.
Но вот наоборот затрудняюсь представить.
И самое интересное, что Вы практически контрпример привели :)
Для опровержения парадокса Бертрана Джейнс использовал как раз принцип неопределённости (он же принцип недостаточного основания Лапласа, он же принцип индифферентности, он же Жора, он же Гога), о котором и зашёл спор.
Если нет априорной информации, то предпочтения нет, а если нет предпочтений, то принимается равновозможность.
И давайте договоримся об определениях.
Возможно, Вы под аксиомой понимаете не то же самое, что я.
В моём понимании аксиома — это всего лишь принятое допущение, которое невозможно доказать, но без него также невозможно двинуться в умозаключениях для разработки теории.
Иногда под аксиомой понимают что-то, не требующее доказательств, как абсолютная истина.
Второй вариант, конечно же, ошибочен.
Аксиома -это всего лишь договорённость, часто основанная на здравом смысле.
И если её опровергнуть, то рушится теория, выстроенная на её фундаменте.
Попытки опровергнуть принцип неопределённости были, но по сию пору в основном мы пользуемся прикладной составляющей ТВ, которая строится на принципе индифферентности.
Практика — критерий истины (или в терминологии Байеса, практика уточняет апостериорную вероятность с каждым наблюдением).
Sirion
Уточните, в каком месте теорвера необходима ваша «аксиома равновероятности» и что именно без неё обрушится? Мой теорвер строится непосредственно из ZFC через теорию меры и всё такое. И что значит «опровергнуть аксиому»?
knagaev
Не равновероятности, а равновозможности — это важная поправка.
Без неё обрушится частотный подход в ТВ.
Аксиоматическая интерпретация ТВ с теорией меры сама по себе является всего лишь абстракцией и в прикладном плане не даёт связи с реальными явлениями.
Она говорит, что вероятность — это какая-то функция на сигма-алгебре событий (опять же какой-то) со значениями в интервале 0 — 1, удовлетворяющая некоторым ограничениям.
Как с помощью этой функции посчитать вероятность попадания стрелком в цель при заданных условиях не определяется.
Или давайте даже проще — как определите вероятность выпадания шестёрки на игральном кубике «непосредственно из ZFC через теорию меры и всё такое»? Сможете?
«Опровергнуть аксиому» — показать, что не во всех случаях применения теории допущения обязательно выполняются.
Пример — Лобачевский опровергает аксиому Евклида о параллельных прямых и создаёт свою теорию со своей аксиоматикой, для которой евклидова геометрия как теория не работает (даёт неверные результаты).
Sirion
Ну, либо я скажу, что «честный кубик» — это такой кубик, у которого по определению вероятность выпадения каждой грани 1/6. Либо я возьму реальный кубик, проведу серию бросков, затем воспользуюсь ЦПТ. Я где-то при этом неявно пользуюсь равновозможностью?
Вы продемонстрировали достойную уважения эрудицию, потому я засомневался, это вы говорите странные вещи или я чего-то не догоняю. Вообще Лобачевский показал, что постулат Евклида независим от остальной системы аксиом планиметрии. То есть он сделал ровно обратное тому, о чём вы говорите — не опроверг аксиому, а показал, что она действительно аксиома.
FadeToBlack
Очень часто случается так, что я работаю за компьютером (разговариваю по работе или пишу в чате), а телевизор включен. Какова вероятность того, что слово (исключая предлоги, простые частоупотребимые слова), которое я сейчас пишу или говорю, совпадает со словом, которое произносят по ТВ (в диапазоне +- 1 секунда). По моим наблюдениям, вероятность такого достаточно высока (несколько раз в неделю), а иногда — это целые словосочетания или даже фразы.
Archon
Вероятность такого действительно высока, потому что услышав слово или фразу, идеально подходящую к контексту письма, вы скорее всего напишете именно так, а не иначе. Последовательность событий мозг поправит постфактум, если захочется (как он постоянно делает, «вспоминая» вещие сны и прочие воспоминания, не существовавшие до момента вспоминания).
FadeToBlack
А возможно! И после этой вашей мысли еще больше хочется узнать вероятность (слепого — глухого) совпадения, чтобы понять, работает ли ваша гипотеза.
AlexSky
Всю статью можно заменить тремя словами: парадокс дней рождения.
Sirion
Нельзя.
AlexSky
Почему? Мне показалось, статья именно об этом когнитивном искажении.
Sirion
Это простой частный случай.
AlexSky
Ещё раз пересмотрел статью. Она вся именно об этом.
WhiteBlackGoose Автор
Позвольте. Все тексты в этой жизни можно заменить парой слов или небольшим предложением. Но почему-то люди читают «Недоросль» вместо того, чтобы просто прочитать фразу «Не ленитесь и будьте благородны». Статья детализирует какую-то идею, развивает ее.
И… кстати она не об этом. Как сказал человек выше, это только частный случай того, что наши ожидания о вероятности не соответствуют действительности. То есть в случае с днями рождения действительно видно, что вероятность совпадения выше, чем кажется на первый взгляд. В принципе, идеи связаны. Статья проецирует этот «парадокс» на нашу жизнь и возможно помогла кому-то понять некоторые «совпадения».
knagaev
Извините, но здесь не ожидания не соответствуют действительности.
Статья на самом деле о том, что «здравый смысл» подменяет при оценке вероятности одно случайное событие на другое.
Это что-то наподобие эффекта Манделы.
amarao
Собственно, самый интересный вопрос в том, какие события будут сочтены необычными. Необычными будут сочтены события, которые наш мозг выстраивает в предчувствие закономерности. Если я три раза подряд на парковке рядом с собой обнаружу с обоих сторон красные машины, у меня будет предчувствие, что это закономерность. Если я буду обнаруживать красные машины рядом с собой на протяжении года с вероятностью 70%, то я
сдамся в дурку сам, пропуская этап звонков в полициюпосчитаю это закономерностью.Мозг триггерится на определённые последовательности событий как предощущение закономерности, что в свою очередь, пища для интуиции.
Теперь вопрос: а можем ли мы описать что такое "предощущение закономерности"? Т.е. какое у нас пространство вероятностей? И тут — sky is the limit.
Вот если я увижу два автомобиля с номерами 404, 500 и 200 подряд, это удивительное совпадение или нет?
А если проедут машины xxx386, xxx486 и PNT### (формат номеров на кипре) — это удивительное совпадение?
tyomitch
Я встречал формулировку «цепь событий считается необычной, если её можно описать короче, чем сумма длин описаний этих событий по отдельности».
Тогда цепь «слева и справа от меня стояли красные машины» — необычная, потому что это описание короче, чем «слева от меня стояла красная машина, и справа стояла красная машина». А цепь «я встретил автомобили с номерами HTTP Not Found, Internal Error и OK» необычной не является, потому что это описание длиннее, чем «я встретил с номерами 404, 500 и 200».
amarao
Однако если мне после этого попадётся машина с номером 403, а потом 201 — это будет повод конкретно задуматься.
Вообще, компрессия описания требует словаря. Если словарь уже в голове, то можно сильно экономить.
Например: "автономера с http-кодами вокруг". Это даёт ссылку на "словарь" http-кодов.
А какой-то математик может сказать, что у него пошли номера комнат в отеле по A001204 (7, 2, 1, 1, 3, 18, 5, 1, 1, 6) и для него это будет чертовское совпадение. А для меня будет забавно, что меня часто селят в номер 1. Но у меня будет два раза по два раза подряд, а у него будет, кхэм, 10 совпадений из визуально рандомной последовательности.
https://oeis.org/search?q=A001204
tyomitch
Нужно не только выбрать «словарь http-кодов», но и выбрать из этого словаря нужные элементы — а там, как назло, названия статусов в основном длиннее, чем их значения. Так что для компрессии этот словарь не очень полезен.
По поводу A001204 — всё верно, необычность цепи событий зависит от априорной информации. Формулировка «необычность == сжимаемость» вполне это отражает.
mayorovp
Можно же и по номеру (порядковому в словаре) их выбрать...
dim2r
бывают и такие совпадения — и номер и марка и цвет совпали
www.youtube.com/watch?v=4vP4eJ9NhwE
Vsevo10d
Ага, и эти совпадения не так уж невероятны, поскольку двойника стараются эксплуатировать в том же городе/регионе, чтобы не спалиться сразу, ведь алиби невиновного водителя будет гораздо проще подтвердить, если он живет и работает за 500 км от места, откуда пришел штраф.
dim2r
В ролике омоновцы перепутали машину. Машина с бандитами ехала сзади, а они сначала скрутили первую машину. Потом поняли, что ошиблись. Различались только буквы в номере, а цифры номера, цвет машины и марка машины были одинаковыми.
Первому чуваку просто не повезло.
Vsevo10d
А, это тот древний ролик про кайены на Ленинском, я просто не ходил по ссылке. Не, есть реальная проблема полных «двойников», которые ездят как хотят в надежде, что штрафы с камер будут приходить другому лицу. Недолго, но работает, ну, в зависимости от настойчивости оштрафованного в восстановлении справедливости.
Pochemuk
-Батюшка, а вот ты в Бога веришь… а как же ты уверен что Он есть… Доказательства есть?
Священник призадумался… И говорит
-Ну вот например наш звонарь. Несчастный человек. Грешник, пьет и не может остановиться. Но Богу люб. Зимой с колокольни упал… Божья благодать его в сугроб направила. Он жив остался. Это ли не чудо?
-Ну это случайность…
-Так мало того, он весной с колокольни опять упал… И опять Божия благодать его в озеро бросила. Снова жив остался!
-Ну… это совпадение…
Тут вбегает жена священника… и кричит «Батюшка, наш звонарь опять с колокольни упал! На землю упал!»
Батюшка и атеист в один голос «Что? Помер?»
Жена отвечает… «Да нет же! Чудо. Жив он!»
Священник торжествует — Ну разве это не чудо Божие… не доказательство что Бог есть!
Атеист — Неет… это уже привычка.