Пол Нельсон решил проблему субвыпуклости, приблизив математиков на один шаг к пониманию распределения простых чисел и гипотезы Римана.

Прошло 162 года с тех пор, как Бернхард Риман (Bernhard Riemann) сформулировал основополагающий вопрос о распределении простых чисел. Несмотря на все прилагаемые усилия, математики не очень сильно продвинулись в работе над гипотезой Римана за все это время. Но все-таки какой-никакой прогресс есть — в более простых связанных проблемах.

В статье опубликованной в сентябре, Пол Нельсон (Paul Nelson) из Института перспективных исследований (Institute for Advanced Study) решил вариацию проблемы субвыпуклости (subconvexity problem), своего рода облегченную версию вопроса Римана. Это доказательство само по себе является значительным достижением и намекает на возможность еще больших открытий, связанных с простыми числами.

«Это конечно все мечты, но если впадать в крайности оптимизма, то это дает нам надежду на то, что, возможно, мы получим лучшее представление о том, как работает [гипотеза Римана], работая над такими проблемами», — говорит Нельсон.

Гипотеза Римана и проблема субвыпуклости важны, потому что простые числа — самые фундаментальные (и самые загадочные) объекты в математике. Когда вы наносите их на числовую ось, складывается впечатление, что нет никакой закономерности в том, как они распределяются. Но в 1859 году Риман разработал объект (своего рода бесконечную сумму), названный дзета-функцией Римана, представив революционный подход, который (если конечно окажется, что он работает) должен раскрыть неуловимую структуру простых чисел.

«Это доказывает результат, который несколько лет назад сочли бы научной фантастикой», — говорит Валентин Бломер (Valentin Blomer) из Боннского университета (University of Bonn).

В комплексной плоскости

В основе вопроса Римана лежит дзета-функция Римана. Члены, сумму которых она из себя представляет, являются величинами, обратными целым числам, в которых знаменатели возводятся в степень, определяемую переменной s (1/1s, 1/2s, 1/3s и так дале).

Риман предположил, что если бы математики смогли доказать одно из основных свойств этой функции — что требуется для того, чтобы она равнялась нулю, — они смогли бы с достаточно большой точностью оценить, сколько простых чисел находится внутри любого заданного отрезка на числовой прямой.

До Римана аналогичную функцию уже использовал Леонард Эйлер в рамках работы над новым доказательством того, что существует бесконечно много простых чисел. В функции Эйлера знаменатели возводятся в степени, соответствующие вещественным числам. Дзета-функция Римана, напротив, присваивает переменной s комплексные числа — новшество, которое позволяет задействовать матаппарат комплексного анализа для разрешения вопросов теории чисел.

Комплексные числа состоят из двух частей — вещественной и мнимой, последняя из которых обозначается мнимой единицей i, определяемой как квадратный корень из -1. Например, 3 + 4i и 2 − 6i — комплексные числа, где для них 3 и 2 являются вещественными частями, а 4 и -6 — мнимыми частями.

Гипотеза Римана касается того, какие значения s делают дзета-функцию Римана равной нулю. Он предсказывает, что единственными важными или нетривиальными значениями s , которые делают это, являются комплексные числа, вещественная часть которых равна 1/2. (Функция также равна нулю всякий раз, когда s является отрицательным четным целым числом с мнимой частью, равной нулю, но эти нули легко заметить, и они считаются тривиальными.) Если гипотеза Римана верна, дзета-функция Римана объясняет, как распределяются простые числа на числовой оси. (То, как именно она объясняет это, достаточно сложно. Quanta недавно выпустил видео, подробно описывающее, как это работает.)

За годы, прошедшие после того, как Риман выдвинул ее, гипотеза Римана стала катализатором множества достижений в математике, но в самом вопросе математики продвинулись очень недалеко. Учитывая ее относительную неприступность, они время от времени перенаправляли свое внимание на более простые вопросы, которые в той или иной степени аппроксимируют неразрешимую загадку Римана.

Всего ничего

Проблема, которую решил Пол Нельсон, отходит в сторону от гипотезы Римана на два шага. Каждый шаг требует небольшого пояснения.

Во-первых, это гипотеза Линделёфа. В то время как гипотеза Римана утверждает, что единственные нетривиальные нули дзета-функции Римана появляются, когда вещественная часть s равна 1/2, гипотеза Линделёфа гласит, что при этом условии результат дзета-функции Римана просто будет меньше входного числа (с определенной точностью).

Как для гипотез Римана, так и для гипотез Линделёфа вещественная часть s фиксирована и равна 1/2, а мнимая часть может быть любым числом: 2, 537, 1/2. Один из способов определить, что значит “мал” — сравнить количество цифр на входе (s) с количеством цифр на выходе.

Математики могут легко установить, что количество цифр на выходе никогда не превышает 25% от количества цифр на входе. Это означает, что она растет по мере роста входных данных, но не непропорционально. Эти 25% называются тривиальной границей. Но гипотеза Линделефа говорит, что по мере увеличения входного числа размер результата всегда ограничивается 1% от числа цифр входного числа.

Более века математики работали над сокращением разрыва между тривиальной оценкой (25%) и предполагаемой оценкой (1%). Они внесли около дюжины улучшений, последнее из которых было сделано в 2017 году, когда Жан Бургейн (Jean Bourgain) доказал, что для значений s с вещественной частью ½ результат дзета-функции Римана имеет размер, который составляет примерно 15% от размера входного числа. Таким образом, если ввод представляет собой число из 1 000 000 цифр, вывод будет содержать не более 150 000 цифр. Это далеко от доказательства гипотезы Линделёфа, не говоря уже о вопросе Римана, но это уже что-то.

“За 150 лет мы не добились никакого прогресса в гипотезе Римана, тогда как в этом вопросе мы можем добиться постепенного прогресса”, — сказал Нельсон. “Все же есть способ в некотором смысле вести счет”.

Гипотеза Линделёфа — это всего лишь один пример смежной с Риманом задачи, поддающийся хоть какой-то оценке. В своей новой работе Нельсон решил еще одну проблему, которая еще на один шаг отошла от вопроса Римана.

Семейства функций

Дзета-функция Римана — самый известный член большого класса математических объектов, L-функций, которые выражают множество различных арифметических соотношений. Изменяя определение дзета-функции Римана, математики строят другие L-функции, которые способны предоставить более точную информацию о простых числах. Например, свойства некоторых L-функций отражают, сколько простых чисел меньше определенного значения имеют данное число в качестве последней цифры.

Из-за этой универсальности L-функции являются объектами интенсивного изучения, и они играют центральную роль в расширенном исследовательском видении, известном как программа Ленглендса. На сегодняшний день математикам все еще не хватает полной теории, объясняющей, что они из себя представляют.

“Это нечто вроде большого зоопарка подобных вещей, и для большинства из них мы вообще ничего не можем доказать”, — говорит Нельсон.

Видео: Алекс Конторович (Alex Kontorovich), профессор математики в Университете Рутгерса (Rutgers University), исчерпывающе разбирает сложную гипотезу Римана.

Одна часть этой теории включает в себя обобщение гипотезы Линделёфа, которая предсказывает, что всякий раз, когда вещественная часть входного комплексного числа равна 1/2, выход будет меньшим по сравнению с входом для всех L-функции (не только дзета-функции Римана).

В то время как математики силятся обуздать гипотезу Линделёфа, им удалось добиться лишь частичного прогресса в так называемой проблеме субвыпуклости (subconvexity). Решение этой задачи просто сводится к преодолению тривиальной границы, то есть к доказательству того, что для любой L-функции выход будет содержать менее 25 % числа цифр на входе (умноженного на величину, называемую степенью L-функции). Раньше математикам удавалось сделать это только для нескольких конкретных семейств L-функций (включая дзета-функцию Римана), но они были далеки от обобщенного результата.

Но ситуация начала меняться в 1990-х годах, когда математики осознали, что простое преодоление тривиальной границы для общих L-функций может привести к прогрессу в различных проблемах, включая вопросы в области, называемой арифметическим квантовым хаосом, и вопросе о том, какие целые числа можно записать в виде суммы трех квадратов.

“За последние 20-30 лет люди осознали, что все эти проблемы можно было бы решить, если бы можно было доказать это утверждение” о субвыпуклости, — сказал Эммануэль Ковальски (Emmanuel Kowalski) из Швейцарского федерального технологического института (Swiss Federal Institute of Technology) в Цюрихе.

Нельсон стал тем математиком, который, наконец, сделал это после двух десятилетий работы, сформировав представление этой проблемы.

Изменение перспективы

В начале 2000-х годов две группы математиков — Джозеф Бернстайн (Joseph Bernstein) и Андре Резников (Andre Reznikov) в одной команде и Филипп Мишель (Philippe Michel) и Акшай Венкатеш (Akshay Venkatesh) в другой — изменили подход математиков к оценке L-функций. Вместо того, чтобы рассматривать их просто в арифметических терминах, они придумали геометрический способ представлять размер их результатов. Эта работа способствовала тому, что Венкатеш в 2018 году получил медаль Филдса, высшую награду в области математики.

В новых терминах размер L-функции связан с размером интеграла, называемого периодом, который можно вычислить путем интегрирования функции, называемой автоморфной формой, по геометрическому пространству. Это предоставило математикам больше инструментов, которые они могли использовать, чтобы попытаться пробить тривиальную границу.

«У нас появилось больше техник, с которыми можно было работать», — говорит Мишель из Швейцарского федерального технологического института в Лозанне.

Нельсон и Венкатеш совместно работали над статьей 2018 года, в которой определялось, какие автоморфные формы лучше всего подходят для оценок размеров, необходимых для решения проблемы субвыпуклости. В последующие годы Нельсон выпустил еще две сольные статьи по этой теме — первую в 2020 году, вторую в этом. Нельсон доказал, что каждая L-функция удовлетворяет субвыпуклой границе, что означает, что ее выходные данные составляют менее 25% от размера ее входных данных. Он пробил границу на волосок — получив чуть менее 25% для большинства L-функций — но иногда этого достаточно, чтобы выйти на новый уровень.

«Он пробил тривиальную границу, и мы вполне удовлетворены этим. Это настоящий прорыв,» — говорит Мишель.

Теперь математики используют достижение в проблеме субвыпуклости для решение других проблем, возможно, даже когда-нибудь включая гипотезу Римана. Сейчас это может показаться надуманным, но математика процветает благодаря надежде, и новое доказательство Нельсона дало ее нам.

Идея матричных разложений является одной из самых основных в линейной алгебре. А линейная алгебра, в свою очередь, является одним из фундаментальных кирпичиков в науке о данных! И конечно же, матричные разложения там тоже широко используются. Они служат для отбора наиболее важной информации в хранимых данных, для фильтрации от шумов, в процессе обучения моделей и.т.д.

На открытом уроке «Матричные разложения. Применение в Data Science», который состоится 8 февраля в OTUS, мы познакомимся с фундаментальной мотивацией для матричных разложений, самыми известными их примерами, а также посмотрим, как же мы можем на практике применять матричных разложения в задачах DS. Приглашаем принять участие всех желающих.