Интеграл по траекториям, предложенный Ричардом Фейнманом – это одновременно и мощный прогностический аппарат, и философское обоснование того, каков на самом деле мир. Но физики до сих пор затрудняются пользоваться этим инструментом, а также силятся понять, какой в нём смысл.

Введение

Самая мощная формула в физике начинается со стройной S – таким символом обозначается особая разновидность суммы, известная как «интеграл». Далее идёт вторая S, через которую обозначается вторая величина, «действие». Вместе две эти S образуют суть уравнения, являющегося, пожалуй, наиболее эффективным инструментом для прогнозирования того мира, который ещё предстоит изобрести.

Эта пророческая формула предложена Фейнманом и называется «интеграл по траекториям». Насколько известно физикам, эта формула в точности предсказывает поведение любой квантовой системы – будь то электрон, луч света или даже чёрная дыра. Интеграл по траекториям привёл нас к столь многим успехам, что многие физики считают, будто он проливает свет в самое сердце реальности.

«Именно таков и есть мир на самом деле», - говорит Рената Лолл, физик-теоретик из Неймегенского университета в Нидерландах.

Но в этом уравнении, красующемся на страницах тысяч публикаций по физике, заключена в большей степени философия, чем строгий научный рецепт. Судя по этому уравнению, наша реальность представляет собой своего рода смесь – или сумму – всех представимых возможностей. Однако из этого уравнения не следует, как именно вычислить данную сумму. Итак, физики потратили целые десятилетия, разрабатывая арсенал аппроксимирующих схем, которые позволяют собрать и вычислить такой интеграл для различных квантовых систем.

Такие приближения на практике весьма хороши, поэтому в наше время некоторые
целеустремлённые физики, в частности, Лолл, пытаются построить окончательный
интеграл по траекториям, такой, в котором сочетались бы все мыслимые формы
пространства, и на выходе получалась бы Вселенная такой же формы, как и наша. Но
в таком стремлении показать, что наша реальность действительно есть сумма всех возможных реальностей, приходится решать невероятно запутанный вопрос: какие именно
слагаемые должны входить в эту сумму.

Все дороги сходятся в одну

Квантовая механика получила путёвку в жизнь в 1926 году; тогда Эрвин Шрёдингер сформулировал уравнение, описывающее, как волновые состояния частиц развиваются с течением времени. В следующем десятилетии Поль Дирак развил альтернативное представление о квантовом мире. Он опирался на весомое убеждение, будто для попадания из точки A в точку B любое физическое тело движется по «кратчайшему пути» — грубо говоря, выбирает маршрут, на преодоление которого требуется меньше всего времени и энергии. Впоследствии Ричард Фейнман наткнулся на работы Дирака и доработал эту идею, сформулировав в 1948 году, что представляет собой интеграл по траекториям.

Суть этой философии во всей красе предстаёт в классическом опыте, иллюстрирующем квантовую механику: речь об эксперименте с двумя щелями.

Экспериментатор бомбардирует частицами барьер, в котором прорезаны две
щели и наблюдает, в какую часть стенки, расположенной за барьером, попадают эти
частицы. Если бы частицы были подобны пулям, то они кучно ложились бы напротив
обеих щелей. Но в квантовом эксперименте следы от частиц равномерно покрывают
всю стенку, образуя характерную чересполосицу. Этот эксперимент подсказывает,
что на самом деле сквозь щели движется волна, охватывающая все потенциально
возможные положения частицы. Два возникающих волновых фронта интерферируют друг
с другом, образуя серию пиков, на каждом из которых и может быть обнаружена
частица.

В эксперименте с двумя щелями волна проникает через обе щели одновременно и по ту сторону барьера интерферирует сама с собой. Волна соответствует возможным местоположениям частиц; белым цветом обозначено, где с наибольшей вероятностью может быть обнаружена частица.

Интерференционный узор

В данном случае интерференционный узор в высшей степени странен, так как он подразумевает, что частица проникает сразу через обе щели в барьере, и обе эти траектории физически реальны.

Интеграл по траекториям предполагает, что именно так частицы ведут себя и в случае, когда у них на пути нет ни барьеров, ни щелей. Интерференционный узор на стенке за барьером сдвинется, так, чтобы в нём был учтён новый возможный  маршрут. А теперь давайте делать в барьере новые прорези, пока он не будет состоять из одних щелей. Затем представим, что произойдёт, если заполнить всё остальное пространство «барьерами» из сплошных щелей. Частица, запущенная в таком пространстве, в определённом смысле преодолевает все маршруты, ведущие к дальней стенке, даже самые причудливые, с отклонениями и петлями. Если же все эти варианты правильно просуммировать, то они каким-то образом дадут путь, который кажется нам наиболее логичным при отсутствии всяких барьеров: все следы от частиц лягут на дальней стенке сплошным пятном.

Сегодня многие физики всерьёз воспринимают такое радикально новое представление о поведении квантовых систем. «Я считаю, что такой вариант совершенно реален», - говорит Ричард Маккензи, физик из Монреальского университета.

Но как из бесконечного множества криволинейных траекторий может сложиться единственная прямая? Схема Фейнмана, грубо говоря, заключается в следующем: взять каждый путь, вычислить его действие (время и энергию, необходимые для преодоления этого пути) и из этого получить величину под названием «амплитуда», позволяющую судить, с какой вероятностью частица пойдёт именно по этой траектории. Далее суммируем все амплитуды и получаем общую амплитуду для частицы, идущей из точки «A» в точку «B» — интеграл всех траекторий.

В упрощённом виде криволинейные траектории равноценны прямолинейным, так как по размеру амплитуды для всех траекторий одинаковы. Но в данном случае принципиально, что значения амплитуд выражаются комплексными числами. Тогда как вещественные числа могут обозначать точки на линии, комплексные числа функционально похожи на стрелки. Эти стрелки указывают в разных направлениях, в зависимости от траектории. Две стрелки, указывающие в прямо противоположные стороны, в сумме дают ноль.

Суть в том, что для частицы, движущейся в пространстве, амплитуды всех более или менее прямолинейных траекторий указывают практически в одном и том же направлении, усиливая друг друга. Но амплитуды вьющихся траекторий направлены каждая по-своему, поэтому такие траектории словно раздёргивают друг друга. Остаётся только прямолинейная траектория, и именно так из бесконечных квантовых вариантов возникает единственный классический путь, на преодоление которого требуется минимум действия.

Фейнман показал, что его интеграл по траекториям эквивалентен уравнению Шрёдингера. Метод Фейнмана полезен тем, что, руководствуясь им, удобнее сориентироваться при работе с квантовыми системами: нужно просто суммировать все возможности.

Суммарная рябь

Вскоре физики стали понимать частицы как возбуждения квантовых полей.  Поле – это квантовая сущность, наполняющая пространство и имеющая в каждой точке пространства определённое значение. Там, где частица может двигаться из точки в точку по разным траекториям, в поле могут возникать разнообразные возмущения, напоминающие рябь.

К счастью, интеграл по траекториям работает и с квантовыми полями. «Сразу понятно, что делать», — говорит Джеральд Данн, специалист по физике частиц из Университета Коннектикута. Но в данном случае суммируются не все траектории, а все возможные конфигурации ваших полей. Находится начальная и конечная конфигурация поля, а затем рассматриваются все варианты истории, которые могли бы их связывать.

Сам Фейнман опирался на интеграл по траекториям, когда в 1949 году разрабатывал квантовую теорию электромагнитного поля. Другие физики таким же образом вычисляли действия и амплитуды полей, соответствующих иным силам и частицам. Когда современная физика прогнозирует результат столкновения двух частиц в Большом Адронном Коллайдере, многие сопутствующие вычисления основаны на интеграле по траекториям. В сувенирном магазине в ЦЕРН даже продаётся кофейная кружка с формулой, по которой рассчитывается действие известных квантовых полей — ключевой входной показатель для расчёта интеграла по траекториям.

По словам Данна, «эта формула абсолютно фундаментальна для всей квантовой физики».

Несмотря на весь триумф в физике, с математической точки зрения интеграл по траекториям – скользкая штука. Даже единственная частица, движущаяся в пространстве, располагает бесконечным множеством траекторий. С полями всё ещё хуже – их значения могут меняться бесконечно многими способами в бесконечном множестве мест. Физики изобрели умные приёмы, позволяющие справляться с этими бесконечностями, возвышающимися подобно башням, но математики настаивают, что фейнмановский интеграл совершенно не предназначался для операций в таком бесконечном окружении.

«Напоминает чёрную магию», — говорит  Ен Чин Онг, физик-теоретик из университета Янчжоу в Китае, первоначально специализировавшийся на математике, — «математикам неуютно работать над такими задачами, в которых неясно, куда идёт дело».  

Однако получается результат, неоспоримый. Физикам даже удалось оценить, каков интеграл по траекториям для сильного взаимодействия – исключительно сложного, связывающего частицы в атомном ядре. Для этого пришлось применить две основных уловки. Во-первых, время выразили мнимым числом, это странный фокус, превращающий амплитуды в вещественные числа. Затем аппроксимировали бесконечный пространственно-временной континуум как конечную решётку. Те, кто практикует такую «решёточную» квантовую теорию поля, могут при помощи интеграла по траекториям вычислять свойства протона и других частиц, вступающих в сильное взаимодействие, минуя корявую математику и получая чёткие ответы, которые подтверждаются экспериментально.

«Для тех, кто занимается физикой частиц, для меня, например», — говорит Данн,
— «это доказывает, что метод работает».

Пространство-время = сумма чего?

Но величайшая тайна фундаментальной физики пока не поддаётся экспериментальной проверке. Физики желают понять на квантовом уровне природу гравитации. В 1915 году Альберт Эйнштейн переосмыслил гравитацию как результат искривления пространства-времени. Его теория показала, что длина мерной линейки и скорость, с которой идут часы, в разных местах отличается. Иными словами, пространство-время – это пластичное поле. Другие поля имеют квантовую природу, поэтому большинство физиков ожидают, что это присуще и пространству-времени, причём, такие свойства должны быть уловимы именно при помощи интеграла по траекториям.

Философия Фейнмана ясна: физикам следует просуммировать все возможные формы пространства-времени. Но, если задуматься о форме пространства и времени, что именно с ней можно сделать?  

Например, вполне представимо, как расщепить пространство-время, надёжно отграничив одну точку от другой. Либо пространство-время можно пронизать трубками — червоточинами — связующими разные локации. Уравнения Эйнштейна допускают такие экзотические формы, но не допускают тех изменений, которые могли бы их породить. Такие разрывы или слияния нарушали бы причинно-следственные связи и провоцировали бы парадоксы, связанные с путешествиями во времени. Правда, никому не известно, могут ли пространство-время и гравитация быть вовлечены в какое-либо поразительное взаимодействие на квантовом уровне, так что физики не знают, позволительно ли вбрасывать в интеграл по траекториям варианты пространства-времени, дырявые как швейцарский сыр.

Сторонники одной фракции полагают, что всё допустимо. Например, Стивен Хокинг отстаивал такой интеграл по траекториям, в котором находится место пространственно-временной ряби, червоточинам, бубликам и другим «диким» вариантам формования пространства-времени. Для упрощения математики он прибегал к вышеупомянутой уловке с мнимым числом. Если выразить время мнимым числом, то время, фактически, превращается в ещё одно пространственное измерение. В таком безвременном сеттинге исчезает причинно-следственная обусловленность, из-за которой не допускались разорванные или пронизанные червоточинами вселенные. Хокинг пользуется таким безвременным, «евклидовым» интегралом по траекториям, доказывая, что время началось с Большим Взрывом, а также для подсчёта пространственно-временных кирпичиков в чёрной дыре. Недавно учёные воспользовались евклидовым подходом, чтобы доказать, что информация просачивается из умирающих чёрных дыр.  

Саймон Росс, теоретик квантовой гравитации из Даремского университета, считает, что «это довольно развёрнутая точка зрения. Такой интеграл по траекториям, который включал бы все топологии, имеет ряд красивых свойств, которые мы пока до конца не понимаем».

Но такой развёрнутый взгляд имеет свою цену. Некоторым физикам не нравится вынимать из реальности такой столп как время. По мнению Лолл, «евклидов интеграл по траекториям на самом деле совершенно нефизичен».

Её фракция стремится сохранить время в интеграле по траекториям, то время, которое мы знаем и любим, где причина строго предшествует следствию. Лолл, потратив годы на разработку способов аппроксимации такого намного более грандиозного интеграла по траекториям, обнаружила ниточки, подсказывающие, что её подход, возможно, сработает. Так, в одной статье она и её соавторы добавили целую группу стандартных контуров пространства-времени (они аппроксимируются как вязь из крошечных треугольников) и получили картинку, напоминающую нашу Вселенную – её пространственно-временной эквивалент, в котором частицы движутся по прямолинейным траекториям.

Другие прорабатывают безвременный интеграл по траекториям, включающий пространство-время плюс все топологические изменения. В 2019 году исследователи кропотливо определили весь интеграл целиком — а не просто дали его аппроксимацию – для двумерных вселенных, но с использованием такого математического аппарата, физический смысл которого оказался туманнее прежнего. В кругу математиков и физиков такая работа лишь углубляет впечатление, что в интеграле по траекториям заключена сила, которую ещё предстоит обуздать. Онг считает, что «пожалуй, нам ещё предстоит как следует определить интегралы по траекториям, но, в принципе, это всего лишь дело времени».