Ума не приложу, как так получилось, что почти за 400 публикаций в научно‑популярном блоге на Хабре я ни разу не попытался поговорить с вами о теории струн. Действительно, я читал на эту тему лишь две авторитетные научно‑популярные книги: «Закрученные пассажи» Лизы Рэндалл и «Космический ландшафт. Теория струн и иллюзия разумного замысла Вселенной» Леонарда Сасскинда. Действительно, теория струн — это модный научный аппарат, объясняющий квантовые феномены при допущении, что элементарные частицы являются не точечными сущностями, а вибрирующими струнами, моды вибрации которых распространяются не в трёх измерениях, а в пространствах, имеющих от шести до десяти и более измерений. На Хабре и за его пределами вы можете почитать, почему теория струн не поддаётся критерию фальсифицируемости и поэтому не является строго научной (прекрасный перевод уважаемого @SLY_G +29, 235 комментариев). Но в этой статье я хочу рассказать вам о геометрической модели, которая описывает шестимерное пространство и иллюстрирует, как некоторые скрытые измерения могут укладываться в пространстве‑времени, которое мы воспринимаем как четырёхмерное. Речь пойдёт о гладких голоморфных многообразиях Калаби‑Яу. Это название, которое просится на постер научно‑фантастического сериала, составлено из фамилий Эудженио Калаби (1923 — 2023) и Шинтуна Яу (род. 1949).
В 1953 году Эудженио Калаби начал размышлять о фигурах, которые до него решительно никто не мог представить. Это был класс гладких многообразий, существующих в шести измерениях, а в трёх измерениях отбрасывающих «объёмную тень», подобно тому, как отбрасывает тень четырёхмерный гиперкуб (о подобных приближениях я ранее писал на Хабре в статье «Вы снова здесь, изменчивые тени. В поисках истинно четырёхмерных объектов»). Многообразие — это поверхность (или фигура) или область в пространстве, которая может существовать в любом количестве измерений. Гладкое многообразие обладает одной принципиальной особенностью: в ближайших окрестностях каждой точки поверхность гладкого многообразия неотличима от плоскости. Например, типичное трёхмерное гладкое многообразие — сфера. Земля имеет форму сферы, поэтому небольшой участок земной поверхности кажется плоским.
Сфера обладает постоянной кривизной. Это означает, что из какой бы точки и в каком бы направлении вы по ней ни отправились, ваш путь будет искривляться на одинаковую величину. Но это свойство не является универсальным для всех гладких многообразий, у многих из них кривизна может варьироваться от точки к точке. Один из универсальных параметров, по которым можно судить о кривизне многообразий, называется «тензором Риччи», он и привлёк внимание Калаби. Изучая кэлеровы многообразия (названные так в честь немецкого математика Эриха Келера), Калаби предположил, что они могут во всех точках иметь нулевую кривизну Риччи при условии, что в них удовлетворяются два топологических ограничения. Эти же ограничения жёстко задают форму таких многообразий. Они выглядели причудливо и чересчур стройно, но их не удавалось соотнести с какими‑либо реальными объектами.
Шинтун Яу познакомился с многообразиями Калаби в 1970 году, когда учился в аспирантуре Калифорнийского университета в Беркли. По‑видимому, он интуитивно понял, что эти фигуры выглядят реалистично, поэтому принялся искать математическую основу (уравнение), которая бы их описывала. История этой работы изложена здесь.
В 1973 году Яу выступил на конференции по геометрии, где также присутствовал Калаби, и заявил, что нашёл контрпримеры, опровергающие существование подобных многообразий. По‑видимому, тогда Калаби ничего не возразил пытливому аспиранту, но спустя несколько месяцев попробовал вернуться к этому разговору, попросив Яу прояснить возникшие у него возражения. В итоге сам Яу был вынужден признать, что допустил просчёты, и что в высших измерениях многообразия Калаби действительно могут существовать, и математическая основа под них подводится. Только в конце 1990-х был сделан следующий важнейший шаг: знаменитый физик и популяризатор науки Брайан Грин предположил, что многообразия Калаби‑Яу могут описывать от 6 до 11 измерений, которые требуются для корректной работы теории струн и суперструн. Более того, если в масштабах планковской длины структура элементарных частиц напоминает многообразия Калаби‑Яу, то элементарные частицы действительно можно описать как вибрирующие струны, а ячейки в этих многообразиях — как дополнительные измерения.
Несмотря на то, что в трёхмерной проекции многообразия Калаби‑Яу кажутся чрезвычайно искривлёнными и ячеистыми, их средняя кривизна близка к нулю. Это свойство называется «Риччи‑плоским» (Риччи‑плоская геометрия) и позволяет сохранить суперсимметрию в масштабах планковской длины при компактификации (сильной свёртке) этих измерений.
Ниже перечислю определяющие математические свойства многообразий Калаби‑Яу (осторожно, пусть и некоторые слова из этого списка вам уже знакомы):
Это компактное кэлеровское многообразие — то есть гладкое, структурно сложное пространство, в котором можно измерять расстояние.
У него тривиальный канонический класс — это означает, что в математическом смысле геометрия такого многообразия является сбалансированной.
Как было указано выше, у многообразия Риччи‑плоская метрика, то есть кривизна Риччи в каждой точке у него равна нулю. Поэтому многообразия Калаби‑Яу поддаются описанию через те уравнения, которыми Эйнштейн описывал вакуум.
Группа голономий этих многообразий является подгруппой SU(n), а в частном случае с простой связностью равна точно SU(n).
Многообразия Калаби‑Яу характеризуются числами Ходжа, позволяющими подсчитать, сколько «отверстий» в таком многообразии, либо сколько циклов оно образует в пространстве.
Многообразиям Калаби‑Яу присуща уникальная, повсюду присутствующая голоморфная n‑форма— своеобразный аналог «объёма», который нигде полностью не пустует.
Многообразия Калаби‑Яу и теория струн
Как известно, путь к созданию физической «Теории Всего» лежит через объединение пяти фундаментальных взаимодействий и, как следствие, объединение общей теории относительности и квантовой механики. На Хабре об этом интересно рассказывали, в частности, уважаемый Владимир Радкевич @vsradkevich в статье «Теория всего. From Zero to Hero» (обратите внимание, как в этой статье описаны группы симметрий) и уважаемый @SLY_G в переводе «Почему М‑теория — главный кандидат на Теорию всего». Для объединения этих теорий требуются дополнительные измерения (сверх непосредственно наблюдаемых четырёх), которые влияют на моды вибрации струн, соответствующие таким фундаментальным свойствам элементарных частиц, как масса и заряд.
Более того, на основе многообразий Калаби‑Яу можно описать локальные и глобальные варианты поведения, складывающиеся в динамику квантовых полей. Например, применительно к электромагнитному квантовому полю такие многообразия могут описывать когерентность фаз, а также паттерны нарушения симметрии.
Кроме того, топология пространств Калаби‑Яу может объяснить нелокальные корреляции, такие, как квантовая запутанность и суперпозиция (об этих явлениях часто рассказывают на примере двухщелевого эксперимента, который я ранее рассматривал на Хабре в статье «Эксперимент с двумя щелями и границы макромира»). Таким образом, разрозненные на вид явления, в том числе, квантовый обмен информацией, могут быть связаны в сложной геометрии многообразий Калаби‑Яу.
В 1985 году оксфордский физик Филип Канделас впервые предположил, что невидимые «струны» лежат на многообразиях Калаби‑Яу — эту работу он проделал совместно с Гэри Хоровицем, Эндрю Строминджером и Эдвардом Виттеном. Различные топологии Калаби‑Яу дают разные внутренне непротиворечивые модели физики частиц, в том числе, картину, наблюдаемую в реальности. Так, количество поколений элементарных частиц соответствует эйлеровой характеристике и числам Ходжа в конкретном многообразии Калаби‑Яу.
Многообразия Калаби‑Яу помогают изобразить гипотетические струны наглядно, то есть как физические тела в пространстве — пусть это и всего лишь приближения. Чтобы описать тело, нужно описать его поверхность, границу с пространством и само пространство вокруг этого тела. Кажется, что в масштабах порядка планковской длины, где и могут открыться многообразия Калаби‑Яу, пространство является, как минимум, пятимерным (шведский физик Оскар Клейн ещё в 1926 году решил уравнения Эйнштейна для пятимерного пространства) или шестимерным. При этом внутренняя структура элементарных частиц пока недоступна для прямого наблюдения — так, мы не можем сказать, какова форма кварков, и как они расположены друг относительно друга внутри адрона. Версия, что внутренняя структура кварков (если она существует) может напоминать контуры Калаби‑Яу, высказана здесь в блоге физика Стена Оденвальда.
Насколько можно судить о «внешнем виде» электрона по имеющимся экспериментам, электрон — это просто узел (сгусток) электромагнитного поля, не имеющий ни твёрдой поверхности, ни внутренних составляющих. Но у электрона всё‑таки прослеживается «электромагнитная поверхность», которая позволяет ему не растворяться в атоме и не смешиваться с другими электронами. Если удастся доказать, что мы наблюдаем в электромагнитном поле лишь «тень» более многомерной частицы, либо эффект от вибрации струн в высших измерениях, то и вопрос о внутренней структуре электрона перейдёт в плоскость «можно проверить на эксперименте».
Что это может значить для теоретической физики и теорий Великого Объединения
По‑видимому, многообразия Калаби‑Яу очень близки к истинному геометрическому представлению физики частиц. Именно на такой или похожей поверхности (с учётом высших измерений) следует попытаться «изобразить», как именно объединяются фундаментальные взаимодействия. В рамках такого многомерного ландшафта четырёхмерное пространство‑время будет описываться формой многообразия, а квантовая теория поля — вибрациями, которые в этих многообразиях характеризуются расположением и количеством отверстий. Одним из неожиданных следствий такой картины является возможное существование зеркальной симметрии, о которой на Хабре в начале этого года рассказал уважаемый @FirstJohn. Пока мы не научимся оперировать материей в масштабах планковской длины, такие построения остаются теоретическими. Однако они подводят нас к гораздо более фундаментальной теме о жизни на бранах. На Хабре эта тема пока почти не рассмотрена, но ознакомиться с ней можно в книге Лизы Рэндалл «Закрученные пассажи», о которой я упоминал выше, свежем интервью Бориса Штерна, а также в статье «Космологические браны и макроскопические дополнительные измерения» Андрея Олеговича Барвинского, более научной, чем популярной. Феномен бран заключается в том, что от количества измерений в некоторой части космического ландшафта зависит, какие элементарные частицы могут образоваться в конкретной его «долине» и может ли образоваться хоть что‑то. Возможно, наблюдаемая гравитация так слаба по сравнению с остальными фундаментальными взаимодействиями, потому что пронизывает множество бран одновременно, и мы измеряем лишь её малую, если не ничтожную долю. Надеюсь когда‑нибудь подробнее затронуть на Хабре эту тему.