Марков Андрей Андреевич — русский математик, который был учеником Пафнутия Чебышева. За свою научную карьеру Марков опубликовал больше 120 работ, которые касались теории чисел, теории непрерывных дробей, дифференциальных уравнений, теории вероятностей и статистики. В этом материале рассказали о его жизни и научных интересах.

Учеба и преподавательская деятельность

Андрей родился в 1856 году. В детстве у него были проблемы со здоровьем. Из-за туберкулеза коленного сустава до 10 лет мальчик передвигался на костылях. Но это не помешало ему стать одним из лучших учеников Санкт-Петербургской гимназии № 5. Свои первые научные труды он написал еще в школьные годы.

После окончания гимназии Марков поступил в Санкт-Петербургский Императорский университет. Там он познакомился с Коркиным, Золотаревым и стал учеником Пафнутия Чебышева, основоположника петербургской математической школы и академика Петербургской академии наук.

В 1878 году, после успешного окончания университета с золотой медалью за исследование в области интегрирования дифференциальных уравнений, Андрей решил посвятить свою жизнь научной и преподавательской деятельности. Его диссертация «О бинарных квадратичных формах с положительным детерминантом» стала одним из ярких трудов не только петербургской математической школы, но и всей русской науки того времени.

Пафнутий Чебышев, великий русский математик, высоко оценил работу Маркова. Но, несмотря на ее значимость и публикацию в Mathematische Annalen, западные ученые долгое время не уделяли ей должного внимания. Только в начале 20 века европейские математики начали осознавать глубину и новизну идей Маркова.

После получения степени магистра математик приступил к преподавательской деятельности в Петербургском университете в должности приват-доцента. Он продолжал свои исследования и уже в 1884 году защитил докторскую диссертацию на тему «О некоторых приложениях продолженных дробей».

Как лектор Марков был требовательный, а его лекции отличались строгостью аргументации. Он развивал в своих студентах математический склад ума, который ничего не принимает на веру. Ученый включал в свои курсы результаты последних исследований, нередко опуская при этом традиционные вопросы. Во время лекций он не заботился ни о порядке следования уравнений на доске, ни о своем внешнем виде.

К 1886 году Марков занял позицию экстраординарного профессора в Санкт-Петербургском университете, а к 1893 году стал ординарным профессором. В том же 1886 году Пафнутий Чебышев выдвинул кандидатуру Маркова на должность адъюнкта Российской академии наук. К 1890 году Марков стал экстраординарным членом академии, а в 1896 году — ординарным академиком.

Научные исследования Маркова

В начале своей научной карьеры Марков сосредоточил свои исследования в области теории чисел, алгебраических непрерывных дробей, предельных значений интегралов, теории аппроксимации и сходимости рядов.

Ученый был ярким представителем научных идей и методов Чебышева, особенно в области теории вероятности. Он также изучал последовательности взаимозависимых переменных, надеясь установить предельные законы вероятностей в их наиболее общей форме. Одним из его ключевых достижений стало доказательство центральной предельной теоремы в рамках обширных условий.

Известность Маркову принесло исследование цепей — последовательностей случайных величин, в которых будущая переменная определяется настоящей переменной, но не зависит от того, каким образом настоящее состояние возникло из предшествующих. Эти исследования положили начало новому направлению в теории вероятностей и стали основой для разработки теории стохастических процессов.

Математик также интересовался поэзией и проводил исследования поэтического стиля. Хотя он разрабатывал свою теорию цепей как чисто математическую работу, не рассматривая физические приложения, он все же применил эти идеи к цепям двух состояний — гласных и согласных в литературных текстах.

Ученый начал с подсчета гласных и согласных в тексте и обнаружил, что гласные составляют 43% всех букв, а согласные — 57%. Далее он решил узнать, как гласные и согласные сочетаются в тексте, и увидел, что после гласной буквы с большой вероятностью следует согласная и наоборот. Результаты подтвердили его предположение о том, что буквы в тексте не распределены случайно. Они следуют определенным закономерностям, которые можно описать с помощью математики.

Этот эксперимент Маркова стал одним из первых примеров применения теории вероятностей к анализу текста. Его идеи стали основой для многих современных методов в области обработки естественного языка и машинного обучения.

Подробнее о цепях Маркова

Цепи Маркова — это математические модели, которые описывают последовательности событий, где каждое следующее событие зависит только от предыдущего. Эта уникальная особенность делает их идеальным инструментом для моделирования многих реальных систем, где «память» о прошлых событиях не играет роли.

Математически мы можем обозначить цепь Маркова так:

, где в каждый момент времени процесс берет свои значения из дискретного множества E.

Тогда марковское свойство подразумевает, что у нас есть:

Последняя формула подчеркивает основное свойство цепей Маркова — отсутствие «памяти». То есть вероятность перехода в следующее состояние зависит только от текущего состояния и не учитывает историю переходов.

В 1923 году Норберт Винер впервые представил детальное изучение непрерывного марковского процесса. А уже в 1930-х годах Андрей Колмогоров заложил основы общей теории этой области. Сергей Бернштейн, который продолжал работу над теорией цепей Маркова, отмечал:

«Курс лекций А.А. Маркова по теории вероятностей, а также его научные труды, отличающиеся глубокой проникновенностью и ясностью изложения, сыграли решающую роль в том, чтобы теория вероятностей стала одной из наиболее развитых областей математики. Благодаря методам и подходам, заложенным Чебышевым, и глубокому анализу случайных процессов Марков смог значительно расширить границы этой науки, введя и изучая концепцию зависимых случайных величин».

Сферы применения цепей

Математический подход Маркова позволяет моделировать реальные процессы, где история изменений не влияет на текущее и будущее состояние системы. Например, цепи позволили изучать структуру текста «Евгений Онегин» Пушкина, чтобы определить, можно ли применить математические модели к языку. В области Data Science цепи Маркова стали инструментом для анализа данных, прогнозирования и моделирования поведения пользователей.

В производстве цепи используют для оптимизации процессов, включая повторное использование ресурсов. Бизнесу они помогают прогнозировать потребительское поведение и рыночные тренды. Даже в биологии цепи Маркова нашли свое применение, помогая исследовать динамику популяций и распространение инфекций.

Подход ученого к созданию цепей лег в основу многих современных алгоритмов — от ранжирования интернет-страниц до анализа трафика и области обработки естественного языка и машинного обучения. Методы, разработанные Марковым более ста лет назад, до сих пор применяют ученые и инженеры во всем мире.

Активная политическая позиция, отлучение от церкви и чтение лекций вопреки тяжелому состоянию

Марков жил в эпоху политических потрясений и активных социальных изменений в России. Он не оставался в стороне от политической жизни страны и высказывал свои убеждения довольно открыто.

Когда Максим Горький, русский писатель и общественный деятель, был избран в Российскую академию наук в 1902 году, но затем его исключили по указанию царя из-за политических взглядов, Марков выразил протест и отказался от наград, которые ему предлагались, в знак солидарности с Горьким.

В 1907 году, после того как царь Николай II распустил Вторую Государственную Думу, Марков не согласился с этим решением и отказался от своего членства в ней. Несмотря на возможные репрессии, власти не стали преследовать академика.

Марков, несмотря на свои атеистические взгляды, был человеком принципиальным и готовым выразить свое несогласие с несправедливыми действиями. Так, в 1912 году, возмущенный решением Русской православной церкви отлучить от церкви писателя Льва Толстого, Марков потребовал отлучения и себя. Церковь удовлетворила его просьбу.

В 1913 году, когда совет Санкт-Петербургского университета избрал девять ученых почетными членами университета, министр просвещения отказался утвердить кандидатуру Маркова. Этот конфликт продолжался четыре года, пока не произошла Февральская революция 1917 года.

В сентябре того же года Марков обратился в Академию с просьбой направить его в неблагополучный город в глубине России. Его отправили в Зарайск, где он преподавал математику в средней школе, не получая никакого вознаграждения.

Когда он вернулся в Санкт-Петербург, то его здоровье ухудшилось, и ему сделали операцию на глазах. Хотя в 1921 году он был в таком плохом состоянии, что едва мог стоять, Марков продолжал читать лекции по теории вероятностей в университете. В июле 1922 года ученый скончался.