Привет, Хаброжители!

«В начале всех начал была физика». Прошло 14 миллиардов лет, и жизнь продолжается. Вокруг нас бескрайние просторы Вселенной, далёкие звёзды и загадочные планеты. Но в самом начале, сразу после Большого взрыва, Вселенная была такой крошечной, что могла уместиться в грейпфрут. За невероятно короткий промежуток времени — всего 10(-33) секунды — в ее истории прошла целая эпоха.

Завораживающая книга для тех, кто любовался просторами Млечного Пути, с интересом всматривался в звёзды и задавал себе множество вопросов.
«История всего. 14 миллиардов лет космической эволюции» приоткрывает завесу тайны такой загадочной Вселенной.

Почему третье издание?

• С момента выхода предыдущего издания книги произошло множество захватывающих открытий. Теперь известно более пяти тысяч экзопланет, каждая из которых обладает своим уникальным набором условий и орбитальных характеристик. На некоторых из них обнаружены условия, благоприятные для жизни, что даёт нам надежду на то, что однажды убедиться, насколько в действительности разнообразна жизнь в космосе.
• Астрофизики начали использовать детекторы нового поколения, которые могут улавливать гравитационные волны, исходящие от объектов на огромном расстоянии — миллиарды световых лет от Земли. Существование гравитационных волн предсказано Эйнштейном, но только в 2017 году научный мир смог официально подтвердить гипотезу с помощью данных, собранных тремя независимыми детекторами, расположенными в разных концах мира. Зафиксировали они слияние двух черных дыр, каждая из которых в десятки раз массивнее нашего Солнца, — оно породило колебание гравитационного поля, прокатившееся по всей Вселенной.
• Новый взгляд на небесные тела, ранее считавшиеся слишком холодными или небольшими для зарождения жизни, открывает нам перспективы. Теперь Церера — крупнейший из известных астероидов, спутники Юпитера Европа и спутник Сатурна Энцелад с их скрытыми под ледяным покровом океанами, и крупнейший спутник Сатурна Титан, покрытый озерами из жидкого азота, рассматриваются как места, заслуживающие дополнительного изучения.
• Появление новых наземных и космических обсерваторий также значительно расширило наше понимание Вселенной. Эти обсерватории позволяют изучать космос не только в видимом диапазоне, но и с помощью инфракрасного излучения и радиоволн. Они также помогли выявить несоответствия между двумя ключевыми методами расчёта скорости расширения Вселенной, указывая на продолжающийся «кризис в космологии», решение которого может привести к новому пониманию законов физики, управляющих космосом.

Эти и другие важные открытия предоставляют учёным возможность глубокого понимания как происхождения всей Вселенной, так и формирования её крупных структур — от звёзд и планет с условиями, подходящими для жизни, до самой жизни, которая могла зародиться где-то в пределах нашей системы или за её пределами. Каждый шаг в этом удивительном путешествии помогает нам посмотреть на Вселенную с новыми глазами и понять её удивительное многообразие. Подробнее о формировании Вселенной читайте в книге «История всего. 14 миллиардов лет космической эволюции. 3-е межд. издание»

И, говоря о космосе, и о законах, нам бы хотелось затронуть Евклида. О том, как его открытия привели нас к разгадке формы вселенной.

Как единственная точка подсказала форму Вселенной

Пожалуй, Евклид был одним из крупнейших интеллектуалов и настоящим светилом математики.

Евклид

Его книга «Начала» считается одним из наиболее влиятельных трудов в истории математики, удерживая второе место в списке самых переводимых и тиражируемых книг в мире, уступает по этим показателям только Библии. В книге «Начала», написанной около 300 года до н. э., систематически изложены основополагающие принципы геометрии, остававшиеся практически неоспоримыми на протяжении более двух тысяч лет. Евклид взялся доказать как можно больше теорем, исходя из небольшого чётко определённого набора аксиом и постулатов.

Евклид стремился свести геометрические сложности к немногочисленным базовым истинам, из которых логически следовали бы все прочие результаты. Такой метод не только позволил создать унифицированный геометрический аппарат, но и повлиял на развитие дедуктивных рассуждений в математике и прочих науках. Первые четыре постулата Евклида пользовались широким признанием и были совершенно элементарными, но пятый — так называемая «аксиома о параллельности» — стоял особняком.

Пять постулатов Евклида (курсив наш):

1. Всякие две точки можно соединить прямой линией.
2. Ограниченную прямую линию можно неограниченно продолжить.
3. Из всякого центра всяким радиусом можно описать окружность.
4. Все прямые углы равны между собой;
5. Если прямая пересекает две прямые и образует внутренние односторонние углы, которые в сумме меньше двух прямых углов, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых углов.

Здесь следует привести замечание одного проницательного комментатора, читавшего этот пост в оригинале и верно указавшего, что лучше отбросить все пока ещё сохраняющиеся у вас предубеждения по поводу точек и линий. Понятия «точка» и «линия» (равно как и любые другие геометрические термины) определяются в соответствии с аксиомами системы, а не с нашими воображаемыми образами или интуитивными представлениями о сути этих вещей. Например, даже если переосмыслить точку как «две точки, расположенные на противоположных концах диаметра сферы», а линию как «большой круг», вся дедуктивная логика, действующая в рамках данной системы, останется в силе. Иными словами, пока аксиомы не противоречат друг другу, мы можем оперировать любыми абстрактными определениями, какие сочтём нужными, — и всё равно будем приходить к верным выводам.

Проще говоря, суть постулата о параллельности заключается в следующем: при наличии двух прямых линий и третьей прямой, которая их пересекает, смотрим сумму внутренних углов с одной стороны пересекающей линии. Если эта сумма менее 180 градусов, то две первые прямые рано или поздно пересекутся с этой стороны, если их продлевать.

Этот постулат определяет свойства параллельных прямых в Евклидовой геометрии. Однако, если сравнить четыре первых постулата (бесхитростных и интуитивно понятных) с пятым, то последний кажется гораздо более сложным и не таким самоочевидным.

Пятый постулат всегда доставлял математикам немало хлопот, поскольку он связан с бесконечным продлением линий и со свойствами углов. Он воспринимается скорее как теорема, требующая доказательства, чем как базовая аксиома. Веками математики пытались доказать пятый постулат, выводя его из первых четырёх, более простых. Считалось, что Евклидова геометрия должна устоять и без такого, казалось бы, надуманного допущения. В течение более 2000 лет такие знаменитые математики, как Птолемей, Ибн-аль-Хайсам и Прокл пробовали доказать данный постулат как теорему, но не преуспели в этом.

В начале XIX века настоящий прорыв совершил молодой венгерский математик Янош Бойяи. Он не только увлекался математикой, но и был настоящим энциклопедистом, а также успешным фехтовальщиком. В возрасте всего 17 лет Бойяи заинтересовался проблемой пятого постулата и попробовал найти разгадку, ускользавшую от математиков на протяжении тысячелетий. Но Бойяи взялся не доказывать постулат о параллельности на основе аксиом Евклида, а предпринял революционный ход: задумался, а так ли бесспорна истинность этого постулата.


Отрицание или изменение пятого постулата Евклида породило две альтернативные геометрии: гиперболическую и эллиптическую.

Гиперболическая геометрия

Пионерами гиперболической геометрии были математики Николай Лобачевский и Янош Бойяи. В ней пятый постулат был заменён допущением, что через конкретную точку могут быть проведены не одна, а несколько линий, параллельных заданной. Гиперболические геометрические пространства обладают отрицательной кривизной и имеют седловидную форму. В таких пространствах рано или поздно расходятся те линии, которые в евклидовой геометрии кажутся параллельными.


Это небольшое изменение привело к глубоким последствиям. В гиперболической геометрии сумма углов треугольника всегда меньше 180 градусов и сама концепция параллельных прямых драматически изменилась.

Как вообще возможно, чтобы сумма углов треугольника составляла менее 180 градусов?

Ответ на этот вопрос помогает дать диск Пуанкаре. Диск Пуанкаре — это модель, в которой вся бесконечная гиперболическая плоскость представлена в пределах круга. В этой модели прямые линии представлены либо как дуги на круге, пересекающие внешнюю окружность каждая под прямым углом, либо как диаметры диска. По свойствам эти дуги сильно отличаются от прямых линий в евклидовой геометрии. Например, через любую точку, не лежащую на заданной линии, можно провести множество разных «параллельных» линий, не пересекающих заданную. Эта картина сильно контрастирует с аналогичным случаем в евклидовой геометрии, где через такую точку можно провести лишь одну прямую, параллельную заданной.

Одно из наиболее поразительных следствий гиперболической геометрии, наглядно представленное в виде диска Пуанкаре — именно в том, что сумма углов треугольника всегда составляет менее 180 градусов. В евклидовой геометрии сумма углов треугольника всегда составляет ровно 180 градусов, но из-за кривизны, присущей диску Пуанкаре, углы на нём «сужаются». В результате чем больше треугольник в гиперболическом пространстве, тем меньше сумма его углов. Так в данной геометрии выражается отрицательная кривизна пространства.

Чем ближе вершины треугольника располагаются к граничной окружности в модели диска Пуанкаре, тем более резко выражен этот эффект. Кажется, что углы треугольника «загибаются» внутрь по направлению к центру.


Эллиптическая геометрия

В свою очередь эллиптическая геометрия, разработанная Бернхардом Риманом, описывает пространство с положительной кривизной — например, поверхность сферы. В такой геометрии параллельных линий вообще не существует — любые две прямые рано или поздно пересекутся. Сумма углов треугольника в эллиптической геометрии всегда превышает 180 градусов.

Как сумма углов треугольника может превышать 180 градусов?

Данный пример наиболее наглядно представим на глобусе, где треугольники образуются из больших кругов. Большим кругом называется самый обширный круг, который можно начертить на сфере, — например, меридианы или экватор на Земле. В сферической или эллиптической геометрии они представляют собой «прямые линии».

Рассмотрим следующий пример:

1. Начнём с Северного полюса и по широте проведём дугу большого круга по направлению к экватору.
2. От той точки, где эта линия пересекает экватор, начертим другой большой круг вдоль экватора (в эллиптической геометрии это прямая линия), пока не продвинемся до 90 градуса долготы в восточном направлении.
3. Наконец, начертим третью дугу большого круга, двигаясь обратно к северному полюсу по другой долготе.

В этом примере у нас получился треугольник с тремя вершинами. Одна из них расположена на Северном полюсе и две — на экваторе. В данном случае наиболее важно, что меридианы пересекают экватор под прямым углом (90 градусов), а градусная мера угла с вершиной в северном полюсе также больше нуля.

Следовательно, сумма углов в таком треугольнике на сфере легко превышает 180 градусов. На самом деле чем больше треугольник на сфере (или чем ближе расположение вершин к развёрнутому углу), тем больше сумма углов. В крайних случаях в таком треугольнике, который покрывал бы половину поверхности Земли, сумма углов могла бы достигать 270 градусов или более.

Работы Римана по сферической геометрии оказались наиболее влиятельными, так как заложили основы для изучения криволинейных пространств и позже сыграли ключевую роль при разработке эйнштейновской теории относительности, описывающей кривизну пространства-времени как такового.

Но гиперболические и эллиптические варианты геометрии возникли просто благодаря тому, что удалось изменить или исключить пятый постулат Евклида — открыв таким образом, что евклидовыми допущениями геометрия не ограничивается. Эти открытия расширили математический ландшафт, а также позволили разработать инструменты для описания физической Вселенной такими способами, какие в евклидовой геометрии просто отсутствуют.

В математике неевклидовые геометрии сыграли определяющую роль для развития топологии. Топология — это наука, изучающая свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных трансформациях. Часто топологов интересует, как некое пространство растягивается и сгибается без разрывов, а та гибкость, которую можно учесть благодаря использованию неевклидовых концепций, способствует более полному пониманию поверхностей и их свойств. Эти идеи также благоприятствовали развитию алгебраической геометрии, изучающей объекты при помощи алгебраических уравнений и помогает математикам работать с более абстрактными концепциями — например, с многомерными пространствами и искривлёнными поверхностями.

Теория относительности и форма Вселенной

Пожалуй, одним из самых существенных применений неевклидовой геометрии в физике — это роль такой геометрии при разработке общей теории относительности и в определении формы Вселенной. Действительно, общая теория относительности Эйнштейна основана на римановской геометрии. В рамках этого математического аппарата пространство и время сплетаются в четырёхмерный континуум, который называется «пространство-время». Пространство-время искривляется в присутствии массы и энергии. В отличие от ньютоновской физики, где взаимодействия между телами опосредованы силой тяготения, в эйнштейновской физике движение объектов диктуется кривизной пространства-времени. Ткань пространства-времени искривляется вблизи от массивных объектов, например звёзд или планет, и из-за такой кривизны изменяются траектории движения как других объектов, так и света.


Следовательно, в соответствии с общей теорией относительности Эйнштейна, на МКС действует не классическая сила, притягивающая её к Земле (как эта система описывалась бы в ньютоновской механике). Напротив, МКС движется по прямой траектории в искривлённом пространстве-времени, и эта линия называется «геодезической». Предположим, что мы поместили шар на резиновый лоскут (здесь шар — это Земля), и из-за этого лоскут провис. Далее попробуем покатить меньший шар (в данном случае — МКС) вокруг большего шара. Если меньший шар наберёт нужную скорость, то он пойдёт по криволинейной траектории и окажется на орбите вокруг большего шара, причём такая орбита появилась благодаря тяготению большего шара. В данной аналогии меньший шар движется по прямой, пролегающей по резиновому лоскуту, но, поскольку сам лоскут искривлён, прямая замыкается и сгибается в орбиту.

Форма пространства-времени и, в более широком смысле, — всей Вселенной — может описываться различными геометрическими моделями, в зависимости от её кривизны.

1. Сферическая (замкнутая) геометрия: в данной модели пространство-время имеет положительную кривизну и по форме подобно шару. Вселенная с такой геометрией конечна, но неограниченна. Таким образом, теоретически вы можете отправиться по прямой и рано или поздно вернуться в ту точку, из которой вышли. В замкнутой Вселенной сумма углов большого треугольника превышает 180 градусов, а параллельные прямые рано или поздно сходятся. В рамках такой модели расширение Вселенной однажды может прекратиться, после чего Вселенная схлопнется — наступит Большое Сжатие.
2. Плоская (евклидова) геометрия: Вселенная с нулевой кривизной является плоской. В такой геометрии параллельные прямые никогда не пересекаются, а сумма углов треугольника составляет ровно 180 градусов. Вселенная такого типа бесконечна и должна вечно расширяться с постоянной скоростью. Согласно современным наблюдениям наша Вселенная по кривизне очень близка к плоскости, но возможны небольшие отклонения от такой формы.
3. Гиперболическая (открытая) геометрия: Гиперболическая Вселенная имеет отрицательную кривизну и седловидную форму. В такой модели параллельные линии расходятся, а сумма углов треугольника составляет менее 180 градусов. Открытая Вселенная бесконечна и должна расширяться вечно, при этом — с ускорением. Такая геометрия допускает существование бесконечной Вселенной, которая никогда не схлопнется.

Следовательно, секрет истинной формы Вселенной заключается в изучении треугольников. Если бы можно было измерить максимально крупный треугольник и определить, даёт ли сумма его внутренних углов 180 градусов, то мы пришли бы к выводу, какую из трёх этих топологий Вселенная имеет в действительности. Размер треугольника критически важен при попытке определить форму Вселенной, поскольку кривизна, положительная или отрицательная, становится всё явственнее на больших расстояниях. При маломасштабных измерениях, например на Земле, пространство представляется локально плоским. Примерно так же поверхность Земли кажется плоской в малом масштабе, хотя мы и знаем, что эта поверхность – часть сферы.

Чтобы достоверно оценить кривизну Вселенной, нужно начертить треугольник в космологическом масштабе, и исследователи заняты поиском максимально возможного треугольника. Поскольку вглядываться в космос — всё равно, что смотреть в прошлое, требовалось найти самое древнее излучение во Вселенной, чтобы взять его за точку отсчёта. В таком качестве подошло реликтовое излучение (РИ).


Реликтовое излучение — это отсвет Большого Взрыва. Для него характерна почти полная однородность, но с небольшими температурными вариациями — есть регионы теплее и холоднее. Поскольку мы знаем, как сильно от нас удалено реликтовое излучение, астрономы могут, исходя из этих температурных вариаций, измерить величину пятен. Поскольку Вселенная стремительно расширяется, не все области в ранней Вселенной успели соприкоснуться друг с другом — то есть, температура в общем масштабе была немного неоднородной. Можно спрогнозировать, как часто на фоне РИ будут появляться пятна определённого размера, и таким образом смоделировать форму Вселенной. Если Вселенная плоская, то измеримые углы между этими пятнами на небе должны образовывать треугольники, суммы углов в которых составляют ровно по 180 градусов — в полном соответствии с Евклидовой геометрией.

Космический телескоп «Планк» был спроектирован именно для того, чтобы с невероятной точностью измерить эти температурные вариации. Результаты «Планка» получились в точности такими, какие предполагались для плоской Вселенной, отклонения были практически нулевыми, в пределах погрешности. Результаты проекта позволяют нам быть вполне уверенными, что Вселенная плоская. Но такая форма Вселенной непосредственно связана с плотностью массы-энергии в ней, и пока эта плотность идеально сбалансирована, геометрия является плоской.




Так единственная точка, упомянутая Евклидом более 2000 лет назад, сегодня привела нас к разгадке формы Вселенной. Простой постулат античной геометрии позволил разработать инструментарий для изучения природы самой ткани реальности и пространства-времени. Математика — это не только инструмент, но и тайный язык мироздания, она вплетена в структуру пространства, времени и самого существования. Только при помощи математики можно открыть тайны окружающего мира, выйти за границы нашего восприятия и постичь бесконечное, раскрыв таким образом глубочайшие истины Вселенной.

Более подробно с книгой можно ознакомиться на сайте издательства:

» Оглавление
» Отрывок

Для Хаброжителей скидка 25% по купону — Физика

P.S. Обращаем ваше внимание на то, что у нас на сайте проходит распродажа.