Начинается пора вступительных экзаменов, а значит и решения интересных задач. Пару лет назад Computer Science Center предлагал поступающим разобраться с задачей про кактус-граф, и сегодня речь пойдёт именно о ней. Попробуйте подумать над задачей сами, а затем свериться с решением.

К слову, набор в CS центр уже идёт. В этом году поступить на очное обучение можно не только в Санкт-Петербурге, но и в Новосибирске. Приходите — на занятиях ещё больше интересного.

Задача

Кактусом называется простой связный граф, в котором любые два цикла имеют не больше одной общей вершины. Доказать, что максимальное число ребер в кактусе с n вершинами равно $$.

*$$ — округление вниз.

Решение

Сначала нужно понять, как этот граф устроен. Поможет нам в этом пример графа, изображённого на рисунке. Рядом изображён настоящий кактус. Это позволяет понять, чем обусловлено такое название.

Любой цикл, в котором больше трёх вершин, можно «затянуть», заменив на цикл длины три и простой путь. При этом общее число вершин и рёбер в графе не изменится, а сам граф останется кактусом. Ниже пример «затягивания» графа.

Рассмотрим теперь кактус, в котором найдутся рёбра, не лежащие ни на одном цикле. Любые два таких ребра можно стянуть в вершину. В результате из графа исчезнут два ребра и две вершины. После чего добавить в граф цикл длины три, одна из вершин которого будет уже существующей вершиной графа. Количество вершин станет прежним, а число ребер увеличится на единицу.

На рисунке выше изображён пример описанной выше манипуляции. На левом рисунке изображён кактус, в котором выделены ребра вне циклов. На центральном рисунке тот же кактус, но уже со стянутыми ребрами. В нём не только исчезли два ребра, но и стало на две вершины меньше. И, наконец, на правом рисунке изображен кактус, к которому мы прибавили ещё один треугольник, — появились три новых ребра и две вершины. В результате количество вершин до и после операции не изменилось, а количество рёбер увеличилось.

Таким образом, максимальное количество рёбер в кактусе достигается тогда, когда он состоит целиком из треугольников и, может быть, одного ребра, не лежащего ни на одном цикле. Такой кактус можно построить последовательным добавлением крайних блоков-треугольников, начав либо с $$, либо с $$, в зависимости от чётности $$. ($$ — полный граф на $$ вершинах.) При добавлении каждого блока добавляется две вершины и три ребра, откуда немедленно следует требуемое в задаче утверждение.