Мой сегодняшний рассказ начинается так, что завязка сюжета знакома каждому: с нахождения площади прямоугольного треугольника. Думаю, все прекрасно помнят, что:

Казалось бы, что тут исследовать, и при чём тут передний край науки, нерешенные задачи и величественные гипотезы? Однако, математика - натура обманчивая: здесь сложнейшие проблемы высасываются из пальца могут вырасти на почве формул 6-го класса, а их строгое доказательство может быть завязано на истинность одной из 7 математических задач тысячелетия - гипотезы Бёрча-Свиннертон-Дайера. Именно так произошло и в нашем случае!

Определение

Положительное рациональное число называется конгруэнтным, если оно является площадью прямоугольного треугольника с рациональными длинами сторон.

Самый простой прямоугольный треугольник (3,4,5) имеет площадь 6, что делает это число конгруэнтным
Самый простой прямоугольный треугольник (3,4,5) имеет площадь 6, что делает это число конгруэнтным

Здесь же возникает резонный вопрос: "конгруэнтное чему ?". Обычно термин конгруэнтный употребляется как синоним к словам "равный, одинаковый", а в нашем случае никаких сравнений нет. Вопросы отпадают, если немного заглянуть в историю.

В 1225 году король Германии Фридрих II попросил Леонардо "Фибоначчи" Пизанского поучаствовать в математическом турнире, специально для которого было заготовлено несколько сложных по тем временам задач.

В первой задаче предлагалось найти три рациональных числа, удовлетворяющих системе уравнений. Фибоначчи справился быстро, однако привёл только ответ - (31/12; 41/12; 49/12).
В первой задаче предлагалось найти три рациональных числа, удовлетворяющих системе уравнений. Фибоначчи справился быстро, однако привёл только ответ - (31/12; 41/12; 49/12).

Для простоты давайте перепишем эту систему уравнений в одну строку:

Так вот, разность арифметической прогрессии, члены которой являются квадратами натуральных чисел, называется конгруумом. В данном случае конгруум равен 5. Но как перейти от арифметической прогрессии к прямоугольному треугольнику? Поработаем с указанной выше системой уравнений в общем виде:

И что же мы видим? Правильно, пифагорову тройку! Таким образом, для арифметической прогрессии из трёх квадратов x^2, y^2, z^2 средний член y является гипотенузой прямоугольного треугольника, а два других x и z - суммой и разностью его катетов.

Современное издание книги, в которой Фибоначчи описывал конгруумы. Здесь доступен обзор на английском языке, смотрите proposition XV
Современное издание книги, в которой Фибоначчи описывал конгруумы. Здесь доступен обзор на английском языке, смотрите proposition XV

Воспользовавшись известной параметризацией для пифагоровых троек, можно получить общую формулу, позволяющую находить такие арифметические прогрессии и вычислять их конгруумы:

(p,q,y) - прямоугольный треугольник
(p,q,y) - прямоугольный треугольник

Теперь посчитаем площадь получившегося прямоугольного треугольника:

Кстати, прямоугольным треугольникам (12,35,37) и (20,21,29) соответствует одно и то же конгруэнтное число 52.
Кстати, прямоугольным треугольникам (12,35,37) и (20,21,29) соответствует одно и то же конгруэнтное число 52.

Таким образом, 60 является конгруэнтным числом, которое соответствует конгрууму 240 и прямоугольному треугольнику (8,15,17).

Минимальное целое конгруэнтное число

Изучением этой проблемы занимался и Пьер Ферма, который доказал, что 1 не является конгруэнтным числом (как обычно использовал метод бесконечного спуска). Со временем стало известно, что числа 2,3 и 4 такими не являются. Наименьшим целым конгруэнтным числом, соответствующим прямоугольному треугольнику с целыми (3,4,5) сторонами является 6. Но ведь есть же возможность, что катеты и гипотенуза будут не целыми, а площадь - целым числом, меньшим 6?

Вернемся к примеру, который исследовал Фибоначчи. Напомню, что в итоге у него получилось следующее:

Здесь мы конечно понимаем, что 5 - это конгруэнтное число, но выведем всё с нуля
Здесь мы конечно понимаем, что 5 - это конгруэнтное число, но выведем всё с нуля

Конгруум равен 5, а вот чему равна площадь соответствующего прямоугольного треугольника? Решим эту задачу в общем виде, найдя выражение для конгруума через параметры m и n:

Теперь для конкретного случая:

Здесь выражение для m и n получены путем подбора
Здесь выражение для m и n получены путем подбора

Вычисляем площадь и испытываем разочарование:

Площадь не является целым числом! Однако, проблемы в этом нет. Посмотрим, что нужно сделать со сторонами треугольника, чтобы его площадь стала равна 5. Оказывается, просто удвоить каждую сторону треугольника:

Правомерно ли это? Конечно да! Домножение на рациональное число оставляет тройку квадратов арифметической прогрессией, меняя лишь конгруум (в случае для нашего треугольника он стал равен 20).

Площади треугольников - 5,6 и 7
Площади треугольников - 5,6 и 7

Поскольку конгруум может быть получен (используя параметризацию) как площадь прямоугольного треугольника, каждый конгруум является конгруэнтным числом. И наоборот, каждое конгруэнтное число является конгруумом, умноженным на квадрат рационального числа.

Конгруэнтные числа
Конгруэнтные числа

Обратите внимание: чтобы доказать, что 5 является конгруэнтным числом, мы использовали параметризацию, решили нетривиальное уравнение подбором, а потом еще "подрихтовали" результат. Это всё к чему: проверить, что число является конгруумом - легко, а вот определить его конгруэнтность - уже сложнее. Именно здесь вопрос конгруэнтных чисел выходит на передний край науки - алгебраическую геометрию, а конкретнее к теории эллиптических кривых.

Поиск новых прямоугольных треугольников, проверка конгруэнтности чисел и эллиптические кривые

К 1915 году математики определили все конгруэнтные числа, меньшие 100. За последующие 65 лет удалось продвинуться не так далеко - всего лишь до 1000 (и то с пробелами). В 1982 году Джерролд Туннелл из Университета Ратгерса добился значительного прогресса, используя связь между конгруэнтными числами и эллиптическими кривыми.

Пусть {x-n, x, x+n} -три полных квадрата с конгруумом n. Тогда:

Теперь положим y = u*v и получим:

Уравнение справа задаёт т.н. неособую эллиптическую кривую
Уравнение справа задаёт т.н. неособую эллиптическую кривую

График такой эллиптической кривой выглядит для n=5 следующим образом:

На графике видно, что у этой эллиптической кривой есть, например,  рациональная точка (-4:-6)
На графике видно, что у этой эллиптической кривой есть, например, рациональная точка (-4:-6)

Если рациональные x и y удовлетворяют этому уравнению, то существует двустороннее соответствие:

y, понятное дело, не должен быть равным 0
y, понятное дело, не должен быть равным 0

Тогда, например, для точки (-4;-6) получим знакомый прямоугольный треугольник, но с некоторой особенностью:

Сторона треугольника отрицательная! Впрочем, одно удивительное свойство эллиптических кривых позволит нам одолеть это недоразумение. Оказывается, если провести прямую через две точки кривой с рациональными координатами, то прямая пересечет эллиптическую кривую тоже в рациональной точке!

Уравнение прямой y=3/2x. Как раз, если взять верхнюю правую точку, то ей будут соответствовать все положительные значения a,b и c.
Уравнение прямой y=3/2x. Как раз, если взять верхнюю правую точку, то ей будут соответствовать все положительные значения a,b и c.

Что примечательно, этому набору из четырех пар точек всё еще соответствует тот же самый прямоугольный треугольник. Но как найти еще? Да тем же способом! Мы найдем следующую точку А, координаты которой всё так же обязаны быть рациональными:

Всё про эллиптические кривые - в этом хаброматериале
Всё про эллиптические кривые - в этом хаброматериале

Её координаты уже не доставляют радости:

Однако, всё компенсируется, когда мы получаем прямоугольный треугольник со сторонами:

площадь которого всё так же равна 5 ! Как Вы уже догадались, этот процесс можно продолжать бесконечно, получая всё новые и новые прямоугольные треугольники, соответствующие конгрууму 5.

Теперь осознайте, что произошло:

1) Мы использовали известный конгруум 5.

2) Априори знали, что он является конгруэнтным числом.

3) Поэтому построили аналитический способ нахождения всё новых и новых прямоугольных треугольников по уже известным начальным данным.

Но что, если мы остановимся на шаге № 1 с вопросом: " А является ли число, например, 157 конгруэнтным?". Как мы будем отвечать на него? К сожалению, математики, простых способов разрешить эту дилемму не нашли.

Простейший рациональный прямоугольный треугольник с площадью 157
Простейший рациональный прямоугольный треугольник с площадью 157

Тот самый Джерролд Туннелл, впрочем, кое-что придумал. Он составил набор достаточно простых уравнений, которые, если верна гипотеза Бёрча-Свиннертон-Дайера, являются универсальным тестом на конгруэнтность.

Всего лишь нужно понять, сколько троек (x,y,z) удовлетворяет первому и второму уравнению, и если первое число равно удвоенному второму, то n - конгруэнтное число! Несомненно, это одно из самых ярких и простых решений для математических задач, имеющих такую богатую историю. Спасибо, что прочитали!

Эта статья поддерживается командой ITGLOBAL.COM

Мы — первый облачный провайдер в России, а также интегратор, поставщик ИТ-услуг, продуктов, сервисов и разработчик собственного ПО.  

•  Наш сайт
•  
Наш блог про виртуализацию и Enterprise IT
• 
Наш YouTube канал
•  
Истории успеха наших клиентов

Комментарии (17)


  1. domix32
    03.10.2023 09:46
    +2

    Так а ответ на заголовок-то какой?


    1. GospodinKolhoznik
      03.10.2023 09:46
      +6

      Почему площадь некоторых треугольников не может быть равна 4?

      Потому, что площадь не только лишь всех треугольников равна 4.


    1. andreybrylb Автор
      03.10.2023 09:46
      +2

      не существует прямоугольного треугольника с рациональными сторонами, площадь которого равна 4


  1. Zenitchik
    03.10.2023 09:46

    неособую эллиптическую кривую

    по классификации Адамова, это - расходящаяся парабола.


  1. CaptainFlint
    03.10.2023 09:46
    +3

    image

    ChatGPT считал? А я сижу и силюсь понять, каким образом увеличение треугольника ровно вдвое превратит площадь 1.2 в 5…


    1. domix32
      03.10.2023 09:46
      +4

      Это просто "Математика не для всех" видимо :D

      \require{cancel} S = \frac{1}{2} \cdot  \frac{\cancel3}{2 \cdot \cancel2}  \cdot \frac{\cancel2 \cdot 5}{\cancel3} = \frac{5}{4}


    1. andreybrylb Автор
      03.10.2023 09:46
      +1

      спасибо, описку не заметил!


  1. kovserg
    03.10.2023 09:46
    +9

    Как же без этой шутки то?
    image


    1. GospodinKolhoznik
      03.10.2023 09:46

      Я тоже, пока читал, задумался - например число i/3 рацинальное или нет?


      1. Refridgerator
        03.10.2023 09:46
        +1

        Согласно общепринятой классификации — конечно нет, комплексные числа туда не входят. Но опираясь на саму идею рациональных чисел, можно выделить класс чисел, описываемых отношением двух гауссовых чисел. Возможно, где-то в недрах ТФКП это уже есть. А применительно к геометрии комплексные числа ломают всю теорию, о чём чуть выше уже была шутка.


        1. domix32
          03.10.2023 09:46

          Комплексные числа на то и комплексные, что расширяют поле действительных чисел, включающих в том числе и иррациональные.

          Ну и i само по себе не представимо в виде дроби (как в общем-то и большинство корней обычных целых чисел), что гарантированно делает его иррациональным. Доказательство кстати довольно тривиальное.


          1. GospodinKolhoznik
            03.10.2023 09:46

            Ну видите, вон в Википедии описано, что ещё сам Гаусс расширял не все действительные, а только целые числа целыми же комплексными и так получил полноценную алгебраическую структуру.


            1. domix32
              03.10.2023 09:46

              Расширял и расширял. Речь за рациональное представление, а не за наличие группы. Хотя если взять странные пространства, то там и треугольники странными будут.


  1. sheshanaag
    03.10.2023 09:46
    +1

    Почему площадь некоторых треугольников не может быть равна 4?

    Да что за название такое странное? У меня есть простой ответ: потому что площадь некоторых треугольников может быть равна 5, или 9.99457, например, что исключает их из заданного в заголовке набора треугольников.


  1. wataru
    03.10.2023 09:46
    +1

    Я эту статью уже где-то видел, но не могу вспомнить где. Она была перепубликована с исправлениями? Или это перевод?


    1. andreybrylb Автор
      03.10.2023 09:46

      Нечаянно нажал опубликовать, когда была доделана половина статьи


  1. jenatic
    03.10.2023 09:46

    Последняя система в статье выглядит ошибочной. Проблемы с переводом или опечатка?