Давайте сегодня поговорим про платоновы тела, которые представляют из себя правильные многогранники. Еще со времен Древней Греции было известно, что их всего лишь пять:

"Шизофрения", творящаяся на картинке выше, обусловлена представлениями древнегреческих философов, согласно которым существует пять основных элементов, из которых состоит мир: земля, вода, воздух, огонь и эфир.

Платон установил соответствие между этими пятью элементами и пятью правильными многогранниками (платоновыми телами):

• Земля — куб (шестигранник) — наиболее устойчивое и неподвижное тело.

• Вода — икосаэдр (двадцатигранник) — подвижная и неустойчивая форма.

• Воздух — октаэдр (восьмигранник) — легкое и подвижное тело.

• Огонь — тетраэдр (четырехгранник) — острое и колющее тело.

• Эфир — додекаэдр (двенадцатигранник) — тело, наиболее близкое к шару, символизирующее небесную сферу.

Другой древнегреческий ученый Теэтэт Афинский доказал, что этот список правильных многогранников - исчерпывающий. Об этом писал Евклид в своих "Началах" в 13 книге:

Однако, более интересным с моей точки зрения является топологически-алгебраическое доказательство этого замечательного факта. Для его понимания не понадобится, в принципе, никаких дополнительных знаний за исключений формулы Эйлера и особого классификатора многогранников - нотации Шлефли.

Символы Шлефли

Задача классификация правильных многогранников в целом различных размерностей - одна из важных задач геометрии, которую проще всего оказалось решить комбинаторными средствами.

В своей диссертации Шлефли дал полную классификацию правильных многогранников для n-размерных пространств. С тех пор в научный оборот вошел т.н. символ Шлефли {n,m}, где n - количество углов в грани, m - количество граней, которые сходятся в вершине.

Нотация Шлефли простирается и за пределы третьего измерения. Например, символом {4,3,3} обозначается тессеракт (гиперкуб). Он имеет по три куба {4,3} у каждого ребра.

Запомните эти символы. Они встретятся нам в конце повествования. Переходим к следующему инструменту.

Великая формула Эйлера

Одно из самых известных открытий великого математика - это формула, которая связывает количество вершин, ребер и граней всякого многогранника, топологически эквивалентного сфере:

Обратите внимание, что речь идёт не только о правильных многогранниках, а вообще о всех телах, которые можно получить непрерывными преобразованиями из сферы (т.е. гомеоморфными ей). Эйлерова характеристика, т.о. - это топологический инвариант.

Для топологических пространств эйлерова характеристика имеет немного другой вид: χ = 2 - 2g, где g - количество "ручек". Тор можно получить "приклеив" к сфере одну ручку, значит его Эйлерова характеристика равна 0, если приклеить две ручки - получим двойной тор с характеристикой "-2":

Подводя краткие итоги: мы будем классифицировать правильные двумерные многогранники (двумерные - в смысле, что их поверхность двумерна, но вложены они всё-таки в трехмерное пространство). Их эйлерова характеристика равна 2.

Классификация двумерных полиэдров

Наша задача состоит в том, чтобы связать символы Шлефли {n,m} с количеством вершин, ребер и граней. Для примера рассмотрим тетраэдр и попытаемся выяснить зависимость.

1. У тетраэдра 4 грани, в каждой из которых три угла. Т.о., если умножить 4 грани на 3 угла получим 12 чего-то там, что в два раза больше, чем количество его ребер (каждое из них посчитано дважды).

2. В каждой вершине сходятся m=3 граней. Если умножить 4 вершины на 3 грани получим 12 чего-то там, что в два раза больше количества ребер (их так же считали дважды

Получили три уравнения с тремя неизвестными, которые будем сейчас решать, чтобы получить в чистом виде зависимость от составляющих символа Шлефли:

Из очевидных соображений, что t > 0 , мы должны потребовать положительности знаменателя. Остается в целых числах решить соответствующее неравенство:

Не только лишь все натуральные числа при умножении дают результат, меньший 4, поэтому у нас не так много работы:

А теперь вспомните рисунок с символами Шлефли для платоновых тел! Как видите, мы получили одно и то же с помощью решения обычной системы уравнений! Алгебраизация - один из самых мощных способов исследования окружающего нас мира.

P.S. Морфоэдр

Эта фигура которая состоит из последовательно вложенных друг в друга платоновых тел.

Пораженный концепцией такого изысканного тела, великий астроном Иоганн Кеплер предположил, что расстояния между известными тогда (стык 15 и 17 веков) шести планетами - Меркурием, Венерой, Землей, Марсом, Юпитером и Сатурном выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников.

Между каждой парой небесных сфер, по которым, согласно его гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел, в результате чего получилась композиция, которая известна в науке как "Космический кубок Кеплера":

Спасибо за внимание, и пусть ваш земной кубок будет более простым!

Много интересного — в Telegram «Математика не для всех»

Эта статья поддерживается командой vStack

vStack — гиперконвергентная платформа для построения виртуальной инфраструктуры корпоративного уровня. Продукт входит в реестр российского ПО.  

•  Наш сайт
•  Наш блог про виртуализацию и Enterprise IT