Иногда этот метод называют «крестьянское умножение», иногда «древнеегипетское», иногда «эфиопское», иногда «умножение через удвоение и деление пополам». Некоторым он хорошо известен, некоторым – непонятен, но при этом он достаточно полезен и может использоваться не только для умножения, но и для возведения в степень и расчётов матриц.
Запишем два перемножаемых числа рядом – они станут заголовками двух столбцов. Третий столбец будет содержать нарастающую сумму.
Если число в левом столбце нечётное, мы добавляем число из правого столбца в нарастающую сумму. Изначально она будет равна нулю.
Затем в левом столбце ниже мы записываем число из заголовка, делённое пополам (с отбрасыванием остатка). 13 / 2 = 6. А во втором столбце мы пишем число, равное удвоению заголовка столбца, 19*2 = 38.
Поскольку число в левом столбце чётное, мы не увеличиваем нарастающую сумму.
Потом мы повторяем процесс деления на два и удвоения. В левом столбце будет 3, это число нечётное, поэтому мы добавляем к 19 76 и получаем 95.
Повторяя процедуру, мы получаем в результате 247.
Проверка:
Среднее между 13 и 19 будет 16
16 ^ 2 = 256
16 – 13 = 3
3 ^ 2 = 9
256 – 9 = 247
Если не закончить работу алгоритма, то в левом столбце будут сплошные нули, и поскольку 0 – чётное число, к нарастающей сумме добавлять ничего не будет нужно. Поэтому, как только мы получаем в левом столбце единицу, в третьем столбце появляется ответ.
Почему это работает? Можно сказать, что это обычное двоичное длинное умножение. Но мы приведём более длинное объяснение, которое будет заодно и более общим.
Обозначим число в левом столбце A, во втором – B, нарастающую сумму – R, а ответ – P. Следовательно
(A*B) + R = P
Тогда, если A чётное, то есть k, для которого A=2k. Перепишем уравнение:
(2k*B) + R = P
Или, что то же самое:
(k*2B) + R = P
Если мы заменим A половиной его значения, а B – удвоенным значением, и назовём их A' и B', то:
(A'*B') + R = P
То есть, если A чётное, мы уполовиним первое число и удвоим второе, и наше уравнение верно. А если нечётное? Тогда A=2k+1
A*B + R = P
(2k+1)*B + R = P
2k*B + B + R = P
2k*B + (B+R) = P
K*2B + (B+R) = P
A'*B' + (B+R) = P
И опять мы обозначили половину A через A' и удвоенное B через B'.
Наше уравнение верно, если мы:
Видно, что наше уравнение остаётся сбалансированным при выполнении шагов нашего алгоритма.
Когда мы доходим до нуля, то имеем:
0 * B + R = P
Или R=P. Наша нарастающая сумма равна нужному результату.
Попробуем подсчитать 213. При возведении в степень мы перемножаем числа, а не складываем, поэтому мы усовершенствуем наш алгоритм:
заменим сложение умножением
заменим удвоение возведением в квадрат
Нарастающее произведение начинается с 1. 13 – нечётное, поэтому умножаем второй столбец на нарастающее произведение, получая 2. Теперь мы уполовиним 13 и возведём 2 в квадрат.
6 – чётное, не умножаем нарастающее произведение. Уполовиним 6 и возведём в квадрат 4, получим 16.
3 – нечётное, умножаем 16 на наше нарастающее произведение, получим 32. Уполовиним первый столбец и возведём в квадрат второй.
Последний шаг: 1 – нечётное, умножаем 256 на 32, получаем 8192, что и является ответом.
Доказательство этого алгоритма такое же, как и у прошлого, просто теперь наше уравнение выглядит так:
BA*R=E
Но этот алгоритм можно использовать не только для возведения чисел в степень – он работает и для матриц. Наше нарастающее произведение начинается с единичной матрицы, а во второй столбец пишется матрица, чью степень нам надо получить. И всё работает.
Далее идёт функция, написанная на языке Python. Она работает для любой неотрицательной степени, и «базы» любого типа, поддерживающего ассоциативное умножение. Иными словами, она работает для любой коллекции с умножением, являющейся моноидом.
Этого даже не нужно понимать, достаточно знать, что она работает для матриц.
Ссылки
Алгоритм
13 x 19 -> 0
6 38 19
3 76 ->
1 152 -> 95
0 304 247
^^^
Запишем два перемножаемых числа рядом – они станут заголовками двух столбцов. Третий столбец будет содержать нарастающую сумму.
Если число в левом столбце нечётное, мы добавляем число из правого столбца в нарастающую сумму. Изначально она будет равна нулю.
Затем в левом столбце ниже мы записываем число из заголовка, делённое пополам (с отбрасыванием остатка). 13 / 2 = 6. А во втором столбце мы пишем число, равное удвоению заголовка столбца, 19*2 = 38.
Поскольку число в левом столбце чётное, мы не увеличиваем нарастающую сумму.
Потом мы повторяем процесс деления на два и удвоения. В левом столбце будет 3, это число нечётное, поэтому мы добавляем к 19 76 и получаем 95.
Повторяя процедуру, мы получаем в результате 247.
Проверка:
Среднее между 13 и 19 будет 16
16 ^ 2 = 256
16 – 13 = 3
3 ^ 2 = 9
256 – 9 = 247
Если не закончить работу алгоритма, то в левом столбце будут сплошные нули, и поскольку 0 – чётное число, к нарастающей сумме добавлять ничего не будет нужно. Поэтому, как только мы получаем в левом столбце единицу, в третьем столбце появляется ответ.
Доказательство
Почему это работает? Можно сказать, что это обычное двоичное длинное умножение. Но мы приведём более длинное объяснение, которое будет заодно и более общим.
Обозначим число в левом столбце A, во втором – B, нарастающую сумму – R, а ответ – P. Следовательно
(A*B) + R = P
Тогда, если A чётное, то есть k, для которого A=2k. Перепишем уравнение:
(2k*B) + R = P
Или, что то же самое:
(k*2B) + R = P
Если мы заменим A половиной его значения, а B – удвоенным значением, и назовём их A' и B', то:
(A'*B') + R = P
То есть, если A чётное, мы уполовиним первое число и удвоим второе, и наше уравнение верно. А если нечётное? Тогда A=2k+1
A*B + R = P
(2k+1)*B + R = P
2k*B + B + R = P
2k*B + (B+R) = P
K*2B + (B+R) = P
A'*B' + (B+R) = P
И опять мы обозначили половину A через A' и удвоенное B через B'.
Наше уравнение верно, если мы:
- добавили число из второго столбца к нарастающей сумме
- уполовинили первый столбец
- удвоили второй
Видно, что наше уравнение остаётся сбалансированным при выполнении шагов нашего алгоритма.
Когда мы доходим до нуля, то имеем:
0 * B + R = P
Или R=P. Наша нарастающая сумма равна нужному результату.
Обобщение 1: возведение в степень
Попробуем подсчитать 213. При возведении в степень мы перемножаем числа, а не складываем, поэтому мы усовершенствуем наш алгоритм:
заменим сложение умножением
заменим удвоение возведением в квадрат
степень база
====== ====
13 2 -> 1
6 4 2
3 16 ->
1 256 -> 32
0 65546 8192
^^^^
Нарастающее произведение начинается с 1. 13 – нечётное, поэтому умножаем второй столбец на нарастающее произведение, получая 2. Теперь мы уполовиним 13 и возведём 2 в квадрат.
6 – чётное, не умножаем нарастающее произведение. Уполовиним 6 и возведём в квадрат 4, получим 16.
3 – нечётное, умножаем 16 на наше нарастающее произведение, получим 32. Уполовиним первый столбец и возведём в квадрат второй.
Последний шаг: 1 – нечётное, умножаем 256 на 32, получаем 8192, что и является ответом.
Доказательство этого алгоритма такое же, как и у прошлого, просто теперь наше уравнение выглядит так:
BA*R=E
Обобщение 2: матрицы
Но этот алгоритм можно использовать не только для возведения чисел в степень – он работает и для матриц. Наше нарастающее произведение начинается с единичной матрицы, а во второй столбец пишется матрица, чью степень нам надо получить. И всё работает.
Далее идёт функция, написанная на языке Python. Она работает для любой неотрицательной степени, и «базы» любого типа, поддерживающего ассоциативное умножение. Иными словами, она работает для любой коллекции с умножением, являющейся моноидом.
def fast_exp(b,e,I=1):
# Подсчёт b^e, где e – неотрицательное целое. Начинаем с
# нарастающего произведения I, так что эта функция будет
# работать и с числами, и с матрицами
result = I
while e > 0:
if is_odd(e):
result *= b
b *= b
e = e / 2
return result
Этого даже не нужно понимать, достаточно знать, что она работает для матриц.
Ссылки
rixaman
Восхищают такие простые, но интересные методы.
mapron
Я бы не назвал этот метод простым. Даже в первом примере, перемножение двух чисел занимает куда больше операций, чем просто сложить 190+30+27. Мне кажется, на умножении уже 4-значных чисел затраты на умножение и деление в уме на 2 превысят выигрыш от кол-ва операций (да, их там будет меньше). Хотя я могу и ошибаться.
deniskreshikhin
Если умножать по вашему алгоритму 123456789 и 987654321 то получится примерно 81 сложение.
А методом из статьи log2(123456789) ~ 27 шагов.
Т.е. у вашего метода рост log10(N)*log10(M), а метода из статьи log2(min(N, M)).
Yahweh
Шагов может и 27, но вот мат. операций не так уж и мало.
Сравним обычным умножением в столбик:
1) крестьянский: 27 умножений на 2, 27 делений на 2, около 15 суммирований весьма немаленьких чисел
2) в столбик: 81 элементарное умножение, около 18 суммирований однозначных чисел
Вывод: в столбик может и больше мат. операций, но они элементарные; крестьянкий умножение и деление тоже елементарное, но вот с суммированием сложнее. Хотя если суммировать в конце и удобно их записывать тоже можно свести к нормальному варианту.
Я бы все же выбрал столбик.
deniskreshikhin
Я там сравнивал не со столбиком, а с перемножением в виде многочлена 13 * 19 = (10 + 3)*(10 + 9) = 100 + 90 + 30 + 27.
А так, вообще-то крестьяне и умножали столбиком. Но по сути делали смещение по основания 2, а не по основанию 10.
Видимо, накладывало след использование кириллической записи, где правило что для умножения на 10 достаточно дописать 0 не очевидно:
Ares_ekb
Я много лет назад писал всякие штуки на ассемблере. В моём компе не было сопроцессора для работы с числами с плавающей точкой, википедии тогда тоже не было, вообщем-то и интернета тогда почти не было :) И я придумал метод вычисления квадратного корня через вычитание. В цикле вычитаем из числа сначала 1, потом 3, потом 5 и т.д. Каждый раз вычитаемое увеличиваем на 2. Количество итераций — это целочисленный корень исходного числа. Тогда мне даже препод не смог объяснить почему это работает, а спустя много лет я нашёл этот алгоритм на википедии.
OldFisher
Странный какой-то препод. Тот факт, что разность между квадратами целых чисел — арифметическая прогрессия с шагом 2 (как раз 1, 3, 5...) вполне очевиден и к тому же элементарно выводится раскрытием скобок в выражении (n + 1)^2.
dkukushkin
Преподы по программированию не всегда сильны в математике, к сожалению. Могут даже школьную толком не знать.
Yahweh
Мне кажется в возведении в степень где то здесь
автор забыл написать а теперь нарисуем табличку для умножения 256 на 32.
В результате писанины будет весьма не мало.
k1b0rg
Тру программисты держат такую таблицу в голове
Zenitchik
А что трудного в умножении степеней двух друг на друга? 8+5=13. Два в 13-й, я не помню, зато помню в 10-й. Умножить 1024*8 можно и в уме.
Yahweh
Вы не поверите, но первоначальная задача стоит в том чтобы возвести 2 в тринадцатую степень. В данном контексте вообще не надо было ничего расписывать, сразу написать 2^13 = 2^10 * 2^3. Суть в том что там могут стоять и не степени двойки.
Zenitchik
Вот теперь понял.
Crandel
4brain.ru/schitat-v-ume/_japonskoe-kitajskoe-umnozhenie.php
Как по мне, то так намного проще
mapron
… пока у вас не 7-значные числа.
Scf
Поправьте меня, если я не прав, но… это же классический алгоритм умножения в двоичном коде?
merlin-vrn
В универе на лабах по архитектуре был ассемблер PDP11 — именно этот метод на нём и реализовывали.
urticazoku
По-японски:
Я буду внимательнее читать комментарии.
Aingis
Этот метод проигрывает на больших цифрах: 897?987 — поди посчитай все точки.
Yahweh
А зачем их считать? Главное принцип понять
Zenitchik
Тогда лучше сразу метод решётки www.nkj.ru/archive/articles/19204
brainick
На этой неделе ещё не было.
saboteur_kiev
Суть метода не только в том, что он проще или быстрее. Разные методы могут подходить для различных вещей. Например человеку проще умножить в столбик, а механической двоичной системе, проще будет другой способ.
Больше методов, непохожих друг на друга!
sashagil
Хотел бы упомянуть интересное обобщение, использующее быстрое возведение матрицы в степень (за логарифм показателя степени) для вычисления значений линейных рекуррентных последовательностей (таких, как числа Фибоначи, числа Люка). Оно подробно описано в этой статье здесь, на Хабре: «Используем быстрое возведение матриц в степень для написания очень быстрого интерпретатора простого языка программирования».