Первый раз в первый класс

Старшая дочь, 7 лет отроду, учится во втором классе бразильской школы - здесь дети идут в первый класс в 6 лет. Времена нынче трудные, школы уже 3 полугодия закрыты. Поэтому по сути в школу она так и не ходила. Справедливости ради надо сказать, что в 3 года в садике она выучила португальский в объеме достаточном для жизни, в 4 года ее обучили буквам и счету, в 5 лет она ходила в подготовишку к первому классу в Томске и тоже чему-то научилась. Сейчас у нее каникулы. И мы решили записаться в русскую онлайн школу. Там как раз есть тестовые 2 недели. Пошли в первый класс. И вот, на первом занятии по русскому языку я вижу диаграммы Фейнмана! Я чуть со стула не свалился...

Нет, такие диаграммы еще в первом классе не рисуют, но очень похоже на то, как изображают предложение. Оказывается, речь состоит из предложения, а предложения из слов. И каждое предложение можно представить диаграммой, где "пропагатор", то есть черта, будет соответствовать слову. Пропагатор с черточкой будет соответствовать Первому слову предложения, а вершина точка - концу предложения. Вот такая диаграммная техника!

Эти диаграммы - какой-то знак в моей жизни, в этом году всплыли 3 раза. Сначала, два магистранта физика ко мне обратились, чтобы я им объяснил диаграммную технику Келдыша для расчетов тока в квантовой электрической цепи, потом возникла тема с применением диаграмм Фейнмана в геофизике сейчасразбираюсь, и наконец - в первом классе в школе!!!! Буду думать, чтобы это значило... А пока, расскажу вам, как очень похожие на рисунки со словами в предложении картинки могут помочь в работе с полиномами Эрмита!

От родной речи к полиномам Эрмита

О важности полиномов Эрмита в IT не стоит и упоминать. Как учил нас великий Гротендик, всю математику можно перевести в язык детских рисунков. Если уж всю математику можно, то что говорить о полиномах. Эту технику работы с ними я выучил, когда пытался найти доказательство одной формулы в общем виде. В формуле фигурировали детерминанты составленные из полиномов Эрмита и не берущихся интегралов.

На заре своей научно-исследовательской карьеры, в магистратуре, я использовал версию Matemathica 6, которая мою формулу не могла переварить, и возвращала то, что я итак знал. Когда, почти 10 лет спустя я, при подготовку к семинару, запустил старый файл в новой версии программы, то очень удивился, увидев волшебное сокращение и упрощение - все не берущиеся интегралы исчезли. Это было хорошо для частных случаев, примеров. В каждом конкретном случае, чудесная Matemathica упрощала нужные выражения, и все нежелательные члены сокращались. Почему так происходило - это была загадка! Но я подозревал, что есть какое-то свойство полиномов Эрмита, которое работает во всех возможных случаях.

Признаться, не помню почему, пропустил некоторые занятия по математической физике, где изучали разные спецфункции. Поэтому упоминание Бесселя, или Эрмита меня вводили в ступор. Например, потому что с каждой новой спецфункцией на человека обрушивается шквал важных и полезных соотношений, и сходу систематизировать и разложить их по полочкам не удается. С Бесселем мне помогла справиться суперсимметрия и это,видимо,одно из немногих полезных приложений суперсимметричной деятельности. С полиномами Эрмита - операторы рождения и уничтожения. Оказалось, что можно совсем уж на уровне первого класса.

Давайте нарисуем N точек. Некоторые пары точек соединим черточками, из каждой точки может выходить только одна черта=ребро, некоторые точки оставим без пары. Это и будет основой для записи алгебраического выражения полинома Эрмита. Чтобы получить полином Эрмита порядка N надо нарисовать все возможные графы такой структуры, выписать соответствующие алгебраические выражения и сложить! По определению, полиному нулевого порядка - пустое множество точек - ставим в соответствие 1. Понятно, что первый полином - это одна точка, никаких вариантов нет, H₁ x=x. Второй полином - две точки. В этом случае есть 2 графа - две точки, либо одно ребро. По нашим правилам H₂x=x²-1. Для третьего полинома получается уже 4 графа, поэтому надо рисовать картинку

Вообще, такие графы изображают особые функции или перестановки на множестве точек, которые называются инволюциями - если сделать инволюцию два раза, то все вернется на исходные позиции. Понятно, что вычислять полином большого порядка с помощью графов дело неблагодарное. Но, графический метод может еще сослужить службу при выводе рекуррентных соотношений - а это самый быстрый и надежный способ вычислять полиномы из какого-то семейства.

Представим, что полином порядка N мы уже вычислили, и все диаграммы для него нарисовали. Обозначим любую из этих диаграмм прямоугольником. Чтобы получить полином N+1 порядка мы должны добавить одну точку. Эта точка изменит диаграммы двумя способами. Она или останется свободной и не будет связана с остальными точками, что даст дополнительный множитель x к каждой диаграмме, а после суммирования этих диаграмм получится x*H_Nx. Либо, эта точка будет соединена ребром с одной из точек предыдущего набора диаграмм, что даст множитель −1. В этом наборе окажутся все диаграммы с N-1 точкой, но каждая будет повторяться N раз (поскольку есть N способов провести это ребро между новой точкой и старыми). А после суммирования получится -N*H_N−1x. Ура, мы вывели рекуррентное соотношение

Игрушечная квантовая теория поля

С помощью диаграмм можно еще вывести производящую функцию используя технику "комплекса разбиений". Физики-теоретики переоткрыли ее, когда стали работать с уравнениями Дайсона в квантовой теории поля. Грубо говоря, среди всего множества диаграмм, можно выделить основные, которые называются неприводимыми. Как правило, такие диаграммы отличаются топологической связностью - т.е. представляют собой объект, все части которого соединены. В квантовой теории поля более строгое требование−объект не должен разваливаться от одного разреза. Для наших графов и полиномов Эрмита неприводимыми будут точка и ребро. Получается что функция

будет производящей функцией для всех наших неприводимых диаграмм.

Производящая функция - это просто бесконечная сумма по степеням параметра t, которая получается при разложении в ряд Ньютона Тейлора, а коэффициенты при степенях это то, что она производит. Например, вспомнив разложение экспоненты в ряд Тейлора это же в детском саду изучают?, увидим, что экспонента это производящая функция для числа перестановок N предметов встепени−1.

Математики доказали общую теорему, что если производящая функция для неприводимых диаграмм известна, то производящая функция всех диаграмм будет ее экспонентой

Суммируя все вышесказанное, получим производящую функцию для вероятностных полиномов Эрмита

Физики успокаиваются, проверив первые два слагаемых ряда. Но тут все строго.

Является ли случайным совпадением то, что полиномы Эрмита входят в выражение для волновой функции N-частичного состояния квантового осциллятора - например, N фотонов моды электромагнитного поля, а в нашей модели появляются как производящие функции инволюций на множестве из N частиц точек - вопрос открытый!

Какой можно сделать вывод? Лично для меня, возможность вместо формул рисовать картинки всегда позволяет лучше вникнуть в суть. Теперь и робость перед спецфункциями у меня почти прошла. Нужно просто понять, "как их готовить".

PS. Именно вот эта техника мне в том доказательстве не пригодилась, но очень понравилась. После долгих поисков, я нашел что искал - сперва я вышел на неизвестную мне ранее область математики с интригующим названием "Теневое Исчисление" Umbral calculus. И штудируя учебники этой науки, нашел ключевое свойство - теневая композиция растянутых полиномов Эрмита снова давала растянутые полиномы Эрмита, а параметр растяжения был просто суммой исходных параметров растяжения!