Ансамбль слоистых сред / forpes.ru

Главная
Ансамбль слоистых сред

Ансамбль слоистых сред +3

13.08.2021 05:59

annalen_der_physik 4 1300 Источник

Говорят, что жизнь как зебра: полоса черная, полоса белая, полоса черная, полоса белая…

Неизвестный философ.

Введение

Ах, если бы это было так, то зная где упасть, можно было бы и подстелить соломки перед наступлением черной полосы. Но чередование белых и черных полос, как и их продолжительность, непредсказуемы. Больше похоже на штрих код. Вот такой полосатый штрих код, только в применении к задачам геофизики я и стал рассматривать в качестве простого примера, разбираясь с книгой "Сейсмоакустика пористых и трещиноватых геологических сред".

Оказывается, уравнения распространения волн в среде со случайным распределением трещин или в пористых материалах могут быть "усреднены" с помощью диаграммной техники из квантовой теории поля и Юрий Александрович Кухаренко эту технику активно продвигал. Казалось бы, какая связь между квантами и трещинами? Это я и решил выяснить. Книжку читать оказалось не просто. Видно, что авторы хорошо разбираются и в квантовой теории поля, и в теории вероятностей, и в геофизике. А читателю приходится с карандашом анализировать все появляющиеся там формулы. Карандаш очень пригодился в разделе о математическом описанию случайности случайных сред. Все начинается очень абстрактно, по Колмогорову. Вводится вероятностное пространство, мера, и всевозможные функционалы. Для лучшего восприятия, я все концепции этого раздела применил к ансамблю случайных слоистых сред - те самые зебры-штрих-коды из вступительной части. Получилось очень педагогично, на мой взгляд.

От аксиом к примерам

Абстрактный подход к случайным слоистым средам начинается с аксиом теории вероятностей:

Случайные величины обозначаются буквами с крышечками, как операторы в квантовой механике - и это не с проста. Ведь сама по себе случайная величина, как и оператор, нам не доступны для наблюдения. Мы можем "видеть", например, их средние значения, а более правильней - экспериментальные "частоты".

Чтобы понять, что стоит за этими весьма общими словами начнем конструировать пример. Итак, пусть у нас есть слоистый материал, составленный из слоев двух типов - трещина и остов пишу про слои, чтобы потом воспользоваться этим примером в расчете акустических свойств такого материала. Случайное поле и его реализация

$\eta(x,\hat \omega),\quad \eta(x)$

определяют то, что мы увидим в точке х : остов, если значение поля 1 и трещину, если значение поля 0.

Для начала я взял фиксированной толщину каждого слоя - обозначим ее d, хотите−пусть будет 1. С одной стороны это сильно упростило пример, а с другой стороны, если взять d очень маленьким, то из нескольких таких слоев можно составить слой любой толщины. Общее число слоев N я зафиксировал.

Что будет пространством событий в данном случае? Это множество, элементами которого являются возможные реализации слоистой структуры. Поставим в соответствие трещине 0 - пуста она, и потому нулем решил ее я обозначить, а остову сопоставим 1. Тогда пространство событий можно представить как множество W двоичных последовательностей w длины N. Если мы введем своими собственными руками аксиому - вероятность появления трещины в любом слое равна 0<t<1, и не зависит от других слоев, то вероятность последовательности w будет просто произведение

$P(w)=t^{n_0}(1-t)^{N-n_0}$

Здесь n₀ это число трещин! Вместо интеграла по вероятностной мере будет сумма по вероятностям всех событий из интересующего нас подмножества.

Если же мы по какой-то причине хотим вычислить вероятность появления "поля трещин", произвольно распределенного на интервале

$\eta(x),\qquad x\in(0,Nd),$

то скорее всего, получим ноль. Ненулевые значения будут только при условии, что распределение трещин согласовано с выбранной толщиной трещины/остова.

Функции распределения

Если мы вдруг захотим рассмотреть бесконечно-много бесконечно тонких случайно распределенных слоев, то возникнет проблема - вероятность попасть в какую-то реализацию будет стремиться к нулю. Нужно математически описать, как теперь нам измерять вероятность на разных множествах - то есть задать меру. Оказывается, во многих случаях это эквивалентно заданию бесконечной цепочки функций распределения

Определение функций распределения. В последней строчке опечатка?

Угловатые скобки в этих формулах означают усреднение по пространству событий. В нашем случае, при конечном N это будет просто сумма вероятностей по каждой реализации. В общем случае это будет страшный функционал.

Что такое одночастичная функция распределения? Мы берем точку 0<x₁ <dN внутри нашей слоечки, и хотим узнать, какова вероятность там получить трещину? Мы уже сказали, что у нас это аксиома - эта вероятность равна t, но сейчас мы потренируемся на одноточечной функции распределения и с двухточечной будет понятнее. По определению, если мы знаем как измерять множества в пространстве событий разных слоистых структур, то нам надо взять множество всех слоек, у которых в точке x₁ трещина, а в остальных хоть трава не расти, и вычислить его меру

Оформление в стиле Питера Шольце. Ниже тоже самое записано формулами с исправлением описок.

$\rho_0(x)=\int\delta(0-\eta(x,\hat\omega))dP\hat\omega=t\sum\limits_{k=0}^{N-1}\frac{(N-1)!}{(N-1-k)!}t^k(1-t)^{N-k-1}=$ $t(t+1-t)^{N-1}=t$

Что же на рисунке выше сделано? Дельта-функция под интегралом определяет, по какой области пространства надо интегрировать, а в данном случае суммировать. Нужно просуммировать вероятности всех двоичных последовательностей, в которых на фиксированной позиции расположен ноль. Поэтому один множитель t уже за знаком суммы, а суммируем мы по случаям, когда в среди оставшихся слоев нет трещин, есть 1 трещина, 2 трещины и т.д., до полностью треснутой слойки. Нужно учесть комбинаторику - сколькими способами могут распределиться трещины. Получается, буквально, бином Ньютона. И тавтологичный ответ - если вероятность трещины t, то вероятность трещины t.

Вот с двухточечной функцией распределения все будет интереснее! Запишем определение

Во-первых, появилось 4 функции распределения: трещина-трещина, остов-трещина, трещина-остов, остов-остов. Во-вторых, точки x₂, x₁ могут либо попасть в разные слои (что точно произойдет, если x₂-x₁>d), либо они могут попасть в один слой. Зададим функцию, отмечающую попадание в разные слои П(x₁,x₂). Тогда за попадание в один слой будет отвечать функция U(x₁,x₂)=1-П(x₁,x₂). Вот так графически выглядят эти функции

П(x1,x2)=1 в области закрашенной голубым, U(x1,x2)=1 в неокрашенной области.

Давайте определимся - будем вычислять функцию распределения трещина-трещина. Тогда, если точки попали в разные слои, функция распределения будет равна

$t^2\Pi(x_1,x_2),$

а если в один слой, то

Множители t² и t точно также появляются в результате суммирования бинома Ньютона, как и для одночастичной функции распределения. Ниже приведу ответ для всех четырех функций распределения, а вам упражнение - вывести оставшиеся!

$\rho_{00}(x_1,x_2)=t^2\Pi(x_1,x_2)+tU(x_1,x_2),$ $\rho_{11}(x_1,x_2)=(1-t)^2\Pi(x_1,x_2)+(1-t)U(x_1,x_2),$ $\rho_{01}(x_1,x_2)=\rho_{10}(x_1,x_2)=t(1-t)\Pi(x_1,x_2).$

На картинке первая версия обозначений, еще не совсем удачная.

Ну, теперь этот процесс не остановить. Легко запишем трех-точечную функцию распределения трещина-трещина-трещина, при этом три точки должны попасть в трещины. Если все точки попали в разные слои , функция распределения будет равна

$t^3 \Pi(x_1,x_2)\Pi(x_2,x_3)\Pi(x_1,x_3).$

Если две точки попали в один слой, то функция распределения равна

$t^2\left(U(x_1,x_2)\Pi(x_1,x_3)\Pi(x_2,x_3)+permutaitons \right)$

И, наконец, если все три точки попали в один слой, то получим

Полная трехточечная функция распределения будет суммой этих трех слагаемых. Заметьте, в функциях распределения не фигурирует число слоев N. Поэтому, хотя в предельном переходе N->Infinity возникают трудности с определением меры в вероятностном пространстве, с функциями распределения все остается в порядке!

Теперь можно результаты наших трудов применить к осмыслению абстрактных свойств функций распределения.

Проверяем по порядку. Неотрицательность имеется! Нормировка для одноточечной выполняется, потому что, сумма распределений для трещин и остова t+(1-t)=1. Для двух-точечной нужно сложить функции распределения трещина-трещина остов-остов и два раза трещина-остов

$\rho_{00}(x_1,x_2)+\rho_{01}(x_1,x_2)+\rho_{10}(x_1,x_2)+\rho_{11}(x_1,x_2)=1$

Если x₂,x₁ в разных слоях, эта сумма даст t²+(1-t)²+2t(1-t)=1. Если x₂,x₁ в одном слое, сумма получится t+1-t=1. Для двухточечной нормировка тоже имеется.

Согласование с пределом очевидно. Когда x₂=x₁ мы используем только слагаемые для попадания в одну клетку. Поэтому функции распределения трещина-остов равны нулю, а для совпадающих слоев - t*1 или (t-1)*1, то есть одночастичные распределения умноженные на дельта-символ,

$\rho_{00}(x_1,x_1)=t =t\delta(0-0),$

Согласование с интегралом - поскольку у нас 2 типа слоев, надо брать сумму, трещина-трещина и трещина-остов. Как ни странно, получится t

$\rho_{00}(x_1,x_2)+\rho_{01}(x_1,x_2)=t^2\Pi(x_1,x_2)+tU(x_1,x_2)+t(1-t)\Pi(x_1,x_2)=t(\Pi(x_1,x_2)+U(x_1,x_2))=t=$ $=\rho_0(x)$

И, наконец, у нас имеется свойство ослабления корреляций - если x₂-x₁>d, то двухчастичные распределения просто являются произведениями одночастичных распределения (t²=t*t и т.д.). Получается, что радиус корреляции - это толщина слоя. На этой радостной ноте, что черные и белые полосы в жизни не скоррелированы, мы сделаем паузу в исследование случайных слоистых структур.

Эпилог

В этом игрушечном примере можно проследить всю схему корректного математического описание случайных сред (полей), от меры в вероятностном пространстве до функций распределения. Можно пойти и дальше, и восстановить по этим функциям распределения исходную меру, но текст уже и так получился слишком большим. Дальше, можно деформировать наши функции распределения во что-то более реалистичное. Сгладить корреляции U(x₁,x₂), например, с помощью гауссианы (это будет соответствовать случайной толщине трещины). Добавить пространственных измерений и анизотропию. Можно сделать t зависящим от координаты, и т.д. Такие функции распределения появятся в итеративном вычислении среднего поля, который удобно изображать диаграммами. По мере погружения в эту тематику попробую зафиксировать результаты. В книжке есть невероятные разделы - про стрелу времени и квантовую механику Рязанова (никогда раньше о нем не слышал, но он Уиллера и Фейнмана переплюнул). to be continued...

Комментарии (4)

uoak
13.08.2021 09:30
#23365260
+1
>>Оказывается, уравнения распространения волн в среде со случайным >>распределением трещин или в пористых материалах могут быть "усреднены" с помощью диаграммной техники из квантовой теории поля ... Казалось бы, какая связь между квантами и трещинами?

Я не знаю специфики геофизики, но использование диаграммных методов в физике неупорядоченных систем -- это вещь очень давно и хорошо разработанная. См. например главу 9, "Электроны в случайном потенциале" вот здесь

http://inis.jinr.ru/sl/vol2/Physics/Quantum%20Mechanics/Левитов,Шитов,_Функция_Грина.Задачи_с_решениями,2002.pdf
1. annalen_der_physik Автор
  13.08.2021 16:12
  #23366966
  Благодарю!

piton_nsk
13.08.2021 21:01
#23367826
Казалось бы, какая связь между квантами и трещинами?

Учебник "методы квантовой теории поля в статистической физике" который Абрикосов, Горьков, Дзялошинский ЕМНИП 60-х годов. Я к тому что связь есть и давно уже используется.
1. annalen_der_physik Автор
  14.08.2021 02:39
  #23368512
  Приятно, что люди на Хабре все понимают с полуслова, даже если далековато от IT.
  
  Ходит легенда (о которой я позабыл, а то не удивлялся бы в момент подготовки поста), что в прошлом веке, когда после окончания ВУЗ выпускников ждало распределение, один из выпускником кафдры теоретической физики Томского университета попал на завод резиновой обуви. Пришлось ему диаграммную технику применять для расчета упругих свойств полимерных материалов…
  
  Насчет связи, можно даже больше сказать, Фейнман, при формулировке своих интегралов по траекториям, и разработке методов их вычисления с помощью диаграмм, косплеил работу Эйнштейна и Винера про броуновское движение, то есть со стохастических систем начали, к ним и вернулись.