Математики думали, что они находятся на пороге доказательства гипотезы о древних структурах, известных как аполлоновы круги. Но летний студенческий проект стал её концом.

Около 2200 лет назад греческий геометр Аполлоний Пергский задался вопросом о том, как окружности смогут расположиться друг относительно друга, если все они будут касаться друг друга в одной точке.

Саммер Хааг и Клайд Кертцер возлагали большие надежды на свой летний исследовательский проект. Нанести неожиданный удар в слабое место целой области математики не входило в их число.

В мае Хааг заканчивала первый год обучения в аспирантуре Университета Колорадо в Боулдере, а Кертцер был студентом. Оба с нетерпением ждали перерыва в занятиях. Хааг планировала исследовать новые пешие походы и скалолазные маршруты. Кертцер, уроженец Боулдера, хотел поиграть в футбол и подготовить документы для поступления в аспирантуру. Но, будучи начинающими математиками-исследователями, они также подали заявки на участие в летней исследовательской программе с половинной занятостью в группе математика Кэтрин Стендж.

Стендж — теоретик чисел, которая называет себя математической «лягушкой» — человеком, который глубоко вникает в тонкости одной проблемы, прежде чем перепрыгнуть к другой. По её словам, её интересуют «простые на первый взгляд вопросы, которые приводят к пониманию всего богатства структуры». В своих проектах она часто обращается к неуловимым открытым проблемам теории чисел, используя компьютеры для получения больших массивов данных.

Хааг и Кертцер начали программу в день 23-летия Хаага с недельного курса по аполлонической упаковке кругов — древнего исследования того, как круги могут гармонично втиснуться в один больший круг.

Представьте себе, что три монеты расположены так, что каждая из них касается остальных. Вы всегда можете нарисовать вокруг них круг, который будет касаться всех трёх монет с внешней стороны. Тогда можно начать задавать вопросы: Как размер этого большего круга соотносится с размерами трёх монет? Какого размера круг поместится в промежуток между тремя монетами? А если начать рисовать круги, которые заполняют все меньшие и меньшие промежутки между кругами, создавая фрактальный узор, известный как упаковка, как будут соотноситься между собой размеры этих кругов?

Вместо того чтобы думать о диаметре этих окружностей, математики используют меру, называемую кривизной — величину, обратную радиусу. Так, окружность радиуса 2 имеет кривизну 1/2, а окружность радиуса 1/3 имеет кривизну 3. Чем меньше окружность, тем больше её кривизна.

Примечание к рисунку: аполлоновы круги — фрактальные объекты, заполняющие пустоты между всё уменьшающимися кругами.

1. Начнём с трёх кругов, каждый из которых соприкасается с двумя другими.

2. Нарисуем вокруг них окружность, соприкасающуюся с каждым из них в одной точке.

3. Продолжим рисовать окружности так, чтобы каждый из них касался трёх других.

4. Если у первых четырёх окружностей кривизна будет целочисленной, то кривизна всех последующих окружностей в упаковке гарантированно будет целочисленной

Математики эпохи Возрождения доказали, что если у первых четырёх окружностей кривизна будет целочисленной, то кривизна всех последующих окружностей в упаковке гарантированно будет целочисленной. Это замечательно само по себе. Но математики пошли ещё дальше, задавшись вопросом о том, какие целые числа появляются по мере того, как окружности становятся все меньше и меньше, а их кривизна — все больше и больше.

В 2010 году Елена Фукс, теоретик чисел, работающая сейчас в Калифорнийском университете в Дэвисе, доказала, что кривизна следует определённому соотношению, которое заставляет их попадать в определённые числовые ячейки. Вскоре после этого математики убедились, что значение кривизны не только должно попадать в ту или иную ячейку, но и что в каждой из ячеек должны присутствовать все возможные числа. Эта идея стала известна как локально-глобальная гипотеза.

«Во многих работах на неё ссылались так, как будто это уже факт, — сказал Кертцер. — Мы обсуждали её так, как будто её должны доказать в ближайшем будущем».

Джеймс Рикардс, математик из Боулдера, работающий со Стендж и студентами, написал код, позволяющий исследовать любое желаемое расположение упаковок окружностей. Поэтому, когда 15 мая Хааг и Кертцер присоединились к группе, они решили построить классные графики, показывающие, как работает надёжное правило перехода от локального к глобальному.

В начале своего проекта Саммер Хааг (слева) и Клайд Кертцер построили на основе данных графики, и вдруг обнаружили, что в них чего-то не хватает.

В начале июня Стендж улетела во Францию на конференцию. Когда она вернулась 12 июня, команда сгрудилась вокруг графиков, показывающих, что в нескольких ячейках, похоже, отсутствуют определённые числа.

«Мы не исследовали этот феномен, — сказал Рикардс. — Я не пыталась проверить, так ли это. Я знал, что это так — я просто предполагал, что это так. И вдруг мы столкнулись с данными, которые говорят, что это не так».

К концу недели команда была уверена, что предположение оказалось ложным. Числа, появления которых они ожидали, так и не появились. Они разработали доказательство и 6 июля разместили свою работу на сайте научных препринтов arxiv.org.

Фукс вспоминает разговор со Стендж вскоре после того, как доказательство приобрело окончательный вид. «Насколько вы верите в локально-глобальную гипотезу?» — спросила Стендж. Фукс ответила, что, конечно, верит. «Затем она показала мне все эти данные, и я сказала: "Боже мой, это потрясающе", - сказала Фукс. — То есть я действительно верила в то, что локально-глобальная гипотеза верна».

«Как только вы видите это, вам всё сразу становится понятно», — сказал Питер Сарнак, математик из Института перспективных исследований и Принстонского университета, чьи первые наблюдения способствовали развитию гипотезы локально-глобального взаимодействия.

«Это фантастическое открытие, — добавил Алекс Конторович из Ратгерского университета. — Мы все корим себя за то, что не нашли его 20 лет назад, когда люди только начали играться с этим».

Работа обнаружила трещину и в фундаменте других гипотез теории чисел. Математикам остаётся только гадать, какое из широко распространённых представлений может рухнуть следующим.

История кругов

Аполлоновская упаковка окружностей получила своё название по имени её вероятного создателя — Аполлония Пергского. Около 2200 лет назад греческий геометр написал книгу «Касательные» о том, как построить окружность, касательную к трём любым другим. Книга была утеряна со временем. Но примерно 500 лет спустя греческий математик Папп Александрийский составил сборник, который пережил распад Византийской империи.

Аполлоний Пергский считается одним из величайших математиков древности. Его работы, представленные здесь в арабском переводе IX в., продолжали развивать геометрические идеи Евклида, жившего примерно на столетие раньше.

Используя только описание Паппуса, математики эпохи Возрождения пытались проследить ход работы над оригиналом. К 1643 году Рене Декарт обнаружил простую зависимость между кривизной любых четырёх окружностей, касательных друг к другу. Декарт утверждал, что сумма всех квадратов кривизны равна половине квадрата суммы всех значений кривизны. Это означает, что, имея три окружности, можно вычислить радиус четвёртой, касательной. Например, если у вас есть три окружности с кривизной 11, 14 и 15, вы можете подставить эти числа в уравнение Декарта и вычислить кривизну окружности, которая будет вписываться между ними: 86.

В 1936 году лауреат Нобелевской премии радиохимик Фредерик Содди заметил нечто странное, когда он строил упаковки с помощью соотношения Декарта. Когда окружности становились меньше, а кривизны больше, он ожидал получить ужасные числа с квадратными корнями или бесконечными десятичными знаками. Вместо этого все значения кривизны оказались целыми числами. Это было довольно простое следствие уравнения Декарта, но никто не замечал его в течение сотен лет. Это вдохновило Содди на публикацию в научном журнале Nature стихотворения, которое начиналось так:

Не нужна тригонометрия
Когда рот целует рот.
Но если взять четыре круга,
Касались чтоб они друг друга,
То будет всё наоборот.

[For pairs of lips to kiss maybe
Involves no trigonometry.
’Tis not so when four circles kiss
Each one the other three.]

Возможное и неизбежное

После того как было установлено, что существуют упаковки, состоящие из целых чисел, математики попытались найти закономерности в этих целых числах.

В 2010 году Фукс и Кэтрин Санден решили развить работу, опубликованную в 2003 году. Они заметили, что если разделить каждую кривизну в данной упаковке на 24, то возникает определённое правило. Например, в некоторых упаковках значения кривизны могут быть только с остатками 0, 1, 4, 9, 12 или 16. В других — только с остатками 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 или 22. Таким образом, можно выделить шесть различных групп.

Изучая различные категории упаковок, математики заметили, что для достаточно малых окружностей — тех, которые имеют большую кривизну, — в упаковке каждого типа должны встречаться все возможные числа. Эта идея получила название локально-глобальной гипотезы. Доказательство её стало «одним из моих маленьких математических мечтаний, — говорит Фукс. — Типа, может быть, когда-нибудь, через много лет, я смогу его решить».

В 2012 году Конторович и Жан Бурген (умерший в 2018 году) доказали, что практически все числа, предсказанные в этой гипотезе, действительно встречаются. Но «практически все» не означает «все». Например, идеальные квадраты встречаются достаточно редко, поэтому с математической точки зрения «практически все» целые числа не являются полными квадратами, хотя, например, 25 и 49 являются таковыми. По словам Конторовича, математики считали, что редкие контрпримеры, которые остались возможными после выхода статьи Конторовича и Бургена, на самом деле не существуют, в основном потому, что было похоже, что две или три наиболее хорошо изученные упаковки окружностей очень уж хорошо ложились на локально-глобальную гипотезу.

Жмём на газ

Когда Хааг и Кертцер начали работать этим летом в Боулдере, Рикардс делал наброски идей на доске в кабинете Стендж. «У нас был целый список», — говорит Рикардс. У них было четыре или пять отправных точек для экспериментов. «То, с чем можно просто поиграть и посмотреть, что получится».

Одна из идей заключалась в том, чтобы вычислить все возможные упаковки окружностей, содержащие две произвольные кривизны A и B. Рикардс написал программу, которая выводит своего рода список гостей, сообщающий, какие целые числа пришли на вечеринку, организованную A.

На основе этой программы Хааг написала скрипт на языке Python, который строил графики для множества симуляций одновременно. Это было похоже на таблицу умножения: Хааг выбирал, какие строки и столбцы включать, исходя из их остатков при делении на 24. Пары чисел, которые встречаются в аполлоновской упаковке вместе, получают белые пиксели; те, которые не встречаются, получают чёрные.

Хааг просмотрел десятки графиков — по одному для каждой пары остатков в каждой из шести групп.

Кэтрин Стендж, математик из Университета Колорадо в Боулдере, использует полученные студентами знания для доказательства того, что локально-глобальная гипотеза неверна.

Они выглядели именно так, как и ожидалось: стена белого цвета, испещрённая чёрными точками для меньших целых чисел. «Мы ожидали, что чёрные точки будут исчезать», — сказал Стендж. Рикардс добавил: «Я подумал, что, возможно, даже удастся доказать, что они исчезают». Он предположил, что, рассматривая графики, синтезирующие множество упаковок вместе, команда сможет доказать результаты, которые были невозможны при рассмотрении какой-либо одной упаковки в отдельности.

Пока Стендж отсутствовала, Хааг построил графики всех пар остатков, около 120. Никаких сюрпризов. Затем она пошла дальше.

Хааг построила график взаимодействия 1000 целых чисел. (График больше, чем кажется по описанию, поскольку в нём задействован 1 миллион возможных пар). Затем она увеличила шкалу до 10 000 раз по 10 000. На одном графике регулярные ряды и столбцы чёрных пятен отказывались растворяться. Это было совсем не похоже на то, что могла бы предсказать локально-глобальная гипотеза.

В понедельник, после возвращения Стендж, команда собралась на совещание. Хааг представила свои графики, и все сосредоточились на графике со странными точками. «Это была просто непрерывная закономерность», - говорит Хааг. И тогда Кейт сказала: «А что, если локально-глобальная гипотеза неверна?»

«Это похоже на закономерность. Она должна продолжаться. Значит, локально-глобальная гипотеза должна быть ложной, — вспоминает Стендж. — Джеймс был настроен более скептически».

«Моей первой мыслью было, что в моём коде, должно быть, есть ошибка, — сказал Рикардс. — Это было единственное разумное решение, которое пришло мне в голову».

Через полдня Рикардс поменял своё мнение. Шаблон исключал все пары, в которых первое число имеет вид 8 × (3n ± 1)², а второе — 24, умноженное на любой квадрат. Это означает, что 24 и 8 никогда не встречаются в одной упаковке. Числа, которых можно было ожидать там встретить, не встречаются.

«Я был просто в восторге. Не так часто можно встретить то, что тебя действительно удивляет, — сказал Стендж. — Но в этом и заключается магия игры с данными».

В июльской статье приводится строгое доказательство того, что наблюдаемая ими закономерность сохраняется бесконечно долго, опровергая старую гипотезу. Доказательство основано на многовековом принципе, называемом квадратичной взаимностью, который связан с квадратами двух простых чисел. Команда Стендж обнаружила, что принцип взаимности применим к упаковкам окружностей. Это объясняет, почему окружности с некоторой определённой кривизной не могут быть касательными друг к другу. Это правило, называемое «препятствием», распространяется на всю упаковку. «Это совершенно новая вещь», — говорит Джеффри Лагариас, математик из Мичиганского университета, соавтор работы 2003 года, посвящённой упаковке окружностей. «Они нашли его гениально, — сказал Сарнак. — Если бы эти числа действительно появились, они бы нарушили принцип обоюдности».

Последствия

Ряд других гипотез в теории чисел теперь может оказаться под вопросом. Как и локально-глобальную гипотезу, их трудно доказать, но уже было показано, что они справедливы практически для всех случаев, и принято считать, что они верны.

Джеймс Рикардс, математик из Боулдера, работающий вместе со Стендж, разработал программу, которая позволила команде исследовать различные упаковки окружностей.

Например, Фукс изучает тройки Маркова — наборы чисел, удовлетворяющих уравнению x² + y² + z² = 3xyz. Она и другие учёные показали, что определённые типы решений связаны с простыми числами, превышающими 10³⁹². Все считают, что эта закономерность должна продолжаться до бесконечности. Но в свете нового результата Фукс позволила себе почувствовать сомнение. «Может быть, я что-то упускаю, — сказала она. — Может быть, все что-то упускают».

«Теперь, когда у нас есть единственный пример ложного утверждения, возникает вопрос: а может быть, это ложно и для других примеров?» — сказал Рикардс.

Существует также гипотеза Зарембы. Она гласит, что дробь с любым знаменателем может быть выражена в виде непрерывной дроби, в которой используются только числа от 1 до 5. В 2014 году Конторович и Бургайн показали, что гипотеза Зарембы справедлива почти для всех чисел. Однако сюрприз, связанный с упаковкой круга, подорвал доверие к гипотезе Зарембы.

Если проблема упаковки является предвестником грядущих событий, то вычислительные данные могут стать инструментом её разрушения.

«Меня всегда восхищает, когда новая математика рождается на основе простого анализа данных, — сказала Фукс. — Без этого очень трудно представить, что на это можно было бы наткнуться».

Стендж добавила, что ничего этого не произошло бы без летнего проекта, на который не возлагалось особых надежд. «Огромную роль в открытиях играет случайность и отношение к исследованиям, как к игре», — сказала она.

«Это была чистая случайность, — сказал Хааг. — Если бы я не сделал достаточно большой шаг в исследовании, мы бы этого не заметили». Эта работа предвещает будущее теории чисел. «Понимание математики можно получить через интуицию, через доказательства, — сказала Стендж. — И мы привыкли доверять этому способу, потому что потратили много времени на размышления. Но с данными не поспоришь».