• Лекция 1: Объектив

• Лекция 2: Аберрации 

• Лекция 3: Виньетирование (ссылка появится позже)

• Лекция 4: Дифракция (ссылка появится позже)

• Лекция 5: Разрешающая способность (ссылка появится позже)

Привет, Хабр!

Меня зовут Андрей, я – специалист по оптическим системам, оптик и инженер-конструктор в одном лице.

В этой статье я продолжу публиковать фрагменты курса основ прикладной оптики, созданный несколько лет назад для внутреннего обучения CV-разработчиков организации.

Текущая лекция – не обязательная. Она не предлагает конкретных формул и способов решения, но даёт лучшее понимание того, как именно складывается изображение после объектива. Соприкасающимся с оптикой людям рекомендую ей прочитать. Более короткого и наглядного описания аберраций в русскоязычном интернете нет.

Напомню, что курс – не полный и не избыточный. Он лишь закрывает конкретный ряд прикладных задач, с которыми чаще всего сталкиваются неспециалисты в оптике, когда используют готовые объективы и сенсоры.

Аберрации оптических систем

Идеальный объектив (идеальная тонкая линза) формирует идеальное изображение.

Изображение считается идеальным, когда все лучи, вышедшие из бесконечной малой точки предмета, фокусируются объективом в бесконечно малую точку изображения. Однако идеал недостижим. Любой реальный объектив никогда не формирует идеальное изображение.

На рисунке ниже показаны два объектива, фокусирующие идущий слева направо параллельный пучок лучей. Предмет – две точки на бесконечности (например, две звезды). Одна точка – на оси, вторая – на краю поля зрения:

Как видно, реальный объектив не может сфокусировать изображение точки в точку. Из-за этого изображение точки ухудшается: частично теряется резкость, контраст, иногда появляются артефакты. Причины искажения можно разделить на группы и подгруппы, представленные на рисунке:

Далее мы рассмотрим последовательно все причины падения качества изображения, имеющие место в объективах. В этой статье начнём с главной причины – аберраций, и для наглядности примем два допущения:

1. Аберрации и пятна рассеяния (пятна нерезкости) будут изображаться в увеличенном масштабе.

2. В качестве объектива будет использована одиночная линза, аберрации в которой достаточно велики и наглядны. Это, кстати, является причиной, по которой одиночную линзу нельзя использовать в качестве объектива.

Аберрации широких пучков

Эта группа аберраций зависит от диаметра входного зрачка объектива. Из прошлой статьи мы помним, что входной зрачок определяет диаметр световых пучков, проходящих через объектив.

Сферическая аберрация (spherical aberration)

Суть: параллельный пучок лучей после объектива фокусируется не в точку, а в пятно рассеяния конечного диаметра. Симметрия пучка относительно оптической оси не нарушается.

Поперечная сферическая аберрация (на рисунке – ∆у, радиус кружка рассеяния на матрице) пропорциональна третьей степени приращения диаметра входного зрачка: если диаметр входного зрачка увеличился в два раза, то поперечная сферическая аберрация увеличивается в 2³=8 раз. Соответственно, чем сильнее закрыта диафрагма, тем резче изображение в центре кадра. Пятна рассеяния справа показаны в одном масштабе. Нижнее пятно намного меньше верхнего потому, что уменьшен входной зрачок: перед линзой установлена диафрагма, уменьшающая диаметр пучка лучей, входящего в объектив.

Кома (coma)

От древнегреческого κόμη — волосы. Суть: нарушение симметрии широкого пучка лучей, проходящих наклонно к оптической оси объектива. При отсутствии сферической аберрации пятно рассеяния по полю выглядит как расходящийся к краю кадра конус:

Как видно из картинки, кома отсутствует на оптической оси (то есть в центре поля зрения), но вызывает нерезкость изображения ближе к краям, и чем дальше от центра, тем сильнее.

Выпускаются даже специальные корректоры для телескопов, ослабляющие кому:

Полевые аберрации

Полевые аберрации называются так потому, что зависят от угла поля зрения – чем больше угол поля зрения, тем сильнее их влияние. Полевые аберрации проявляются даже при бесконечно узких пучках лучей (при максимально закрытой диафрагме).

Астигматизм (astigmatism)

От греческого a- отрицание, stigmate – точка. Суть: наклонные пучки фокусируются не в точку и даже не в пятно, а в объёмную фигуру сложной формы, висящую вблизи фокальной плоскости.

Астигматизм – самая сложная для понимания аберрация. Попробуем разобраться по шагам.

Задиафрагмируем объектив до такого малого диаметра входного зрачка, при котором аберрации широких пучков – сферическая аберрация и кома – окажутся пренебрежимо малы. Наклоним падающий на объектив пучок на некий конечный угол ω относительно оптической оси и рассмотрим ход лучей в двух взаимно перпендикулярных сечениях линзы: одно – в плоскости рисунка (меридиональное сечение), и другое – в плоскости, перпендикулярной рисунку (сагиттальное сечение). Окажется, что сечение пучка в плоскости рисунка имеет фокус в точке m, тогда как сечение пучка во второй плоскости, перпендикулярной рисунку, имеет фокус в точке s. Эти две точки – астигматические фокусы линзы. Из-за астигматизма наклонные пучки лучей не имеют единого фокуса.

Придавая углу ω разные значения, мы найдём, что геометрические места точек m и s в пространстве представляют собой поверхности вращения MOM и SOS вокруг оптической оси объектива. Эти поверхности близки к сферическим:

На рисунке ниже наглядно показана суть астигматизма: на проекциях спереди и слева кажется, что красный пучок лучей фокусируется в точках m или s, однако на изометрии видно, что на самом деле пучок не фокусируется в точку нигде, а области m и s разнесены в пространстве:

И это не компьютерная графика, это скриншот из земакса, программы для расчёта оптики. В реальной линзе наклонные лучи (грубо говоря, те, которые рисуют изображения на краях кадра) идут именно так, без фокусировки в точку.

Что мы увидим, если поставим за объективом сенсор? Как отмечено в определении астигматизма, наклонные пучки не могут построить изображение точки в виде точки же. Предположим, мы хотим получить изображение точки (например, звезды) на краю поля зрения. Тогда вступает в действие астигматизм, и в точке m получится изображение в виде тонкой прямой линии, перпендикулярной плоскости чертежа. В точке s также получится изображение прямой линии, но уже лежащей в плоскости чертежа: на рисунке выше видно, что в точке s изображение занимает некоторую малую хорду поверхности SOS. На рисунке выше эти изображения показаны жёлтым цветом.

Полный вид пучка лучей при астигматизме при движении слева направо показан на рисунке ниже в рамочке в виде нескольких сечений. Если за линзой поставить матрицу и начать приближать её к объективу, одновременно следя за изображениями точек на краях поля зрения, то их изображения будут последовательно принимать вид фигур-сечений, показанных в рамочке:

На рисунке выше изображены пятна рассеяния бесконечно узких пучков при чистом астигматизме, не смешанном с другими аберрациями. Сначала дан вид пятен рассеяния на матрице, затем – как пятна рассеяния изменяются при приближении матрицы к объективу. На самом большом угле поля зрения (красные лучи) хорошо видны астигматические линии в точках s (зона 2) и m (зона 3).

Количественно, астигматизм – расстояние между астигматическими фокусами m и s для данного угла поля зрения. Астигматизм вызывает нерезкость изображения по краям, причём направления размытия может изменяться в зависимости от фокусировки матрицы на зону 2 или зону 3.

Если матрица сфокусирована на точку m, то на краях возникнет эффект кручения:

Если матрица сфокусирована на точку s, то возникнет эффект расхождения:

Кривизна изображения (field curvature)

Самая неприятная аберрация, потому что и первые стеклянные фотопластинки, и плёнка, и современные сенсоры – плоские. Суть: наиболее резкое изображение лежит не на плоскости, а на вогнутой поверхности.

Посмотрим ещё раз на рисунок астигматизма (самый первый в предыдущей главе). Обратим внимание, что между поверхностями МОМ и SOS лежит ещё одна поверхность: КОК. Изображения точки на ней представляют собой небольшие круглые пятнышки; при удалении от поверхности КОК в любую сторону габаритные размеры пятнышек возрастают и превращаются в линии или овалы. Это не точки – из-за астигматизма объектив не может построить точечное изображение нигде, кроме центральной области кадра. Однако, эти кружки лучше всего имитируют изображения точки из-за симметричности и минимальных габаритных размеров. Это значит, что наиболее резкое изображение лежит не в фокальной плоскости ГОГ, а на вогнутой поверхности, которая касается фокальной плоскости лишь около оптической оси:

Поверхность КОК – не сферическая, но при небольших полях мало отличается от сферы.

Кривизна изображения, как и астигматизм, зависит от величины поля зрения и вызывает падение резкости на краях кадра, поскольку наиболее резкая область (поверхность КОК) не лежит на плоскости матрицы.

Кривизну изображения обычно рассматривают вместе с астигматизмом, т.к. они связаны: наиболее резкая поверхность изображения КОК лежит между астигматическими поверхностями МОМ и SOS. При этом в некоторых частных случаях объектив может быть свободен отдельно от астигматизма или отдельно от кривизны изображения.

Два скриншота из Zemax. Ось ординат – фокальная плоскость.

Если поверхность SOS совпадает с поверхностью МОМ, то в объективе исчезает астигматизм, но остаётся кривизна изображения:

Если поверхность SOS симметрична поверхности МОМ относительно фокальной плоскости ГОГ, то в объективе исчезает кривизна изображения, но остаётся астигматизм:

Дисторсия (distortion)

Самая известная аберрация. От лат. distorsio – искривление. Суть: нарушение подобия между предметом и изображением.

При положительной дисторсии изображение при движении от центра кадра к краю увеличивается, а при отрицательной – уменьшается.

Дисторсия – единственная из аберраций, не вызывающая потерю резкости изображения. Дисторсию несложно выправить методами компьютерной обработки изображений, существуют готовые решения типа калибровки по «шахматной доске», ищите в библиотеках OpenCV.

Заметная дисторсия встречается в основном в широкоугольных объективах и сверхширокоугольных объективах типа «рыбий глаз» (fisheye). В них сильная бочкообразная дисторсия задаётся специально при расчёте для того, чтобы уместить сверхширокое поле зрения на матрицу ограниченного размера. За счёт этого возможны объективы с полем зрения, превышающим 180⁰. Однако, при этом неприменимы формулы подобных треугольников и арктангенса из первой статьи (именно потому, что дисторсия слишком сильно нарушает тангенциальную зависимость).

График дисторсии часто приводится в спецификации на объектив. На графике по оси Y откладывается угловое поле зрения объектива, а по оси Х – дисторсия в процентах:

Вместе с графиком у производителя объективов иногда удаётся запросить и табличные данные дисторсии, которые сразу позволяют на 100% устранить дисторсию компьютерной обработкой без всякой калибровки.

Хроматические аберрации

Все предыдущие аберрации назывались монохроматическими. Мы не уточняли, лучи какого цвета проходят через линзу. Однако каждый цвет – это своя длина волны, например: синий ~0,45 мкм, зелёный ~0,55 мкм, красный ~0,65 мкм. Белый цвет получается при смешении всех цветов спектра. Показатель преломления стекла зависит от длины волны, потому любое преломление на границе двух оптически прозрачных сред раскладывает белый свет обратно в спектр по цветам. Это явление называется дисперсия света (от лат. dispersio «рассеяние»). Сильнее всего преломляется фиолетовый свет (короткие длины волн), а слабее всего – красный (длинные волны):

Линзу можно представить как пирамиду из призм, или даже как призму, плоские грани которой заменены радиусами:

Таким образом, линза, подобно призме, раскладывает белый цвет в спектр, однако, в большинстве линз эффект заметно слабее: у призм преломляющий угол (угол между гранями) больше.

В итоге, изображение при переходе от монохроматических аберраций к реальному белому свету дополнительно усугубляется хроматическими аберрациями или хроматизмом.

Всё множество проявлений дисперсии в линзе можно описать в удобной форме, используя всего лишь два типа хроматизма. Рассмотрим их подробнее.

Хроматизм положения (longitudinal chromatic aberration / chromatic focal shift)

Суть: луч белого спектра после прохождения линзы из-за дисперсии распадается на спектр лучей разных цветов, которые пересекают оптическую ось на разных расстояниях от задней поверхности линзы. В итоге изображения разных цветов формируются в разных местах оптической оси.

Иными словами, фокусное расстояние линзы для каждого цвета немного разное:

В итоге на матрице получается смеси разных цветов, представленная на картинке ниже.

На рисунке выше представлен вид пятна рассеяния пучка белого света в фокальной плоскости линзы – наложение хроматизма положения на сферическую аберрацию. При перемещении матрицы вдоль оптической оси в любую сторону от фокуса (при дефокусировке) пятна одних цветов становятся больше, других – меньше. В итоге изображение вблизи оптической оси не только становится расплывчатым, как при сферической аберрации, но также меняет цвет и окрашивается симметричными разноцветными ореолами.

В отличие от сферической аберрации, хроматизм положения проявляется даже для бесконечно узких пучков лучей, но существование хроматизма положения усугубляет сферическую аберрацию дополнительной потерей резкости и окраской изображения в центре поля зрения:

Хроматизм увеличения (lateral color)

Хроматическая аберрация величины изображения. Суть: для одного и того же поля зрения лучи разных цветов из-за дисперсии идут после линзы под немного разными углами. Это приводит к размазыванию цветов в спектр по направлению от центра кадра к краям и появлению несимметричных ореолов: цветных каёмок на краях снимков в фотографии.

Красные каёмки появляются ближе к краю поля зрения, а синие – ближе к центру.

Хроматические аберрации существуют только в линзовых объективах. При отражении от зеркал дисперсии нет.

Общий вид аберраций

Для иллюстрации аберраций представим на рисунке влияние каждой из семи аберраций в отдельности на качество изображения. Предположим для каждого случая, будто бы данная аберрация проявляется в чистом виде, а остальные аберрации отсутствуют. В качестве предмета для каждой аберрации возьмём квадратную сетку из светящихся точек и представим её изображение:

Коррекция аберраций или почему в объективах много линз?

Как бы формировал реальное изображение идеальный объектив?

Взглянем на картинку выше. Легко заметить, что чем выше разрешение картинки, тем она лучше или, выражаясь научным языком, несёт больше информации об объекте.

Представим теперь, что мы стали уменьшать размер пикселей в левой части картинки. В процессе уменьшения пикселей картинка становилась бы всё резче и информативнее. В тот момент, когда пиксели в левой части уменьшатся до такого размера, что мы перестаём замечать пикселизацию, обе половинки картинки сравняются по качеству. Выражаясь языком математики, мы рассматриваем изображение как массив единичных площадок с размерами ∆х и ∆у, а затем задаём условие (∆х, ∆у)→0.

Так вот, идеальный объектив изобразил бы бесконечно малую точку предмета такой же бесконечно малой точкой в плоскости изображения. С технической точки зрения это означает, что идеальный объектив сфокусировал бы любой пучок лучей в идеальную точку, лежащую строго на матрице. Изображение получилось бы абсолютно резким.

Теперь снова взглянем на рисунок любой из аберраций. Пучки лучей фокусируются реальной линзой далеко не в точки, а в большие пятна рассеяния. С технической точки зрения это означает, что изображение получится совершенно нерезким, и единичную линзу нельзя использовать как объектив.

Каким же образом объективы дают высокое качество изображения? Проанализируем формулу реальной линзы в воздухе:

Предположим, мы выбрали конкретную марку оптического стекла и толщину линзы. Тогда n и d –константы, и фокусное расстояние линзы зависит только от её радиусов. Выбрав необходимое значение f’, мы получим бесконечное количество пар R₁ и R₂, комбинации которых дают искомое фокусное расстояние. Линза, сохраняя фокусное расстояние неизменным, будет менять свою форму, так называемый «прóгиб» линзы:

Так вот, линзы с одинаковым фокусным расстоянием, но разной формой имеют разные параметры аберраций, включая изменение знака аберраций с положительного на отрицательный и обратно. Комбинируя нескольких линз, а также управляя дополнительно их толщинами d и марками оптических стёкол n, в итоге получают некую комбинацию линз, аберрации которых суммарно находятся в допустимых пределах. Эта комбинация и называется объектив.

Чем более высокие требования задаются к качеству изображения, относительному отверстию и угловому полю, тем больше необходимо линз, чтобы найти удачную конфигурацию, и тем сложнее становится объектив:

Для современной оптики радиусов не хватает, приходится вводить асферический поверхности и даже поверхности свободной формы (freeform):

Иногда, у особо сложных объективов, количество линз вырастает до удивительных значений. Вот. например, объективы для фотолитографии в глубоком ультрафиолете, далеко не самые новые:

Расчётом объективов, количества линз их радиусов, положения, марок стёкол и т.д. занимаются оптики-расчётчики (подкласс оптиков).

Качество изображения в разных частях поля зрения

Какие значения аберраций являются допустимыми?

Полностью уменьшить аберрации до нуля невозможно. Уменьшение одних аберраций приводит к увеличению других. В итоге расчётчик оптической системы занимается балансировкой аберраций, стремясь уменьшить их суммарное воздействие до допустимых пределов, при этом не увеличивая сверх меры количество линз (то есть габариты, массу, сложность сборки и цену объектива).

Вооружившись знаниями об аберрациях, проанализируем их влияние на изображение в разных точках кадра. Сначала рассмотрим таблицу зависимости аберраций от светового диаметра и поля зрения:

Сферическая аберрация пропорциональна кубу диаметра входного зрачка. При увеличении диаметра диафрагмы вдвое пятно рассеяния на матрице увеличивается в 2³=8 раз. Сферическая аберрация не зависит от углового поля, так как рассматривается для точки на оптической оси.

Кома пропорциональна квадрату входного зрачка и первой степени углового поля зрения. При увеличении диаметра диафрагмы вдвое пятно рассеяния на матрице под влиянием комы увеличивается в 2²=4 раза. При увеличении углового поля кома растёт прямо пропорционально удалению от центра поля зрения к краям.

Астигматизм пропорционален первой степени входного зрачка и квадрату углового поля. При увеличении диаметра диафрагмы вдвое пятно рассеяния на матрице под влиянием астигматизма увеличивается в 2¹=2 раза. При увеличении углового поля астигматизм растёт пропорционально квадрату углового поля, то есть приблизительно пропорционально квадрату удаления от центра кадра к краям.

Кривизна изображения как аберрация, прямо вытекающая из астигматизма, имеет аналогичные астигматизму свойства.

Дисторсия пропорциональна кубу углового поля. При увеличении углового поля дисторсия растёт пропорционально кубу углового поля, то есть приблизительно пропорционально кубу удаления от центра поля зрения к краям. Дисторсия не зависит от диаметра входного зрачка, так это аберрация изменения размера изображения, а размер изображения из светового пучка любого диаметра определяет только один центральный луч.

Рассмотрим произвольный кадр с точки зрения теории аберраций. Центр поля зрения – точка, где оптическая ось пересекает матрицу. Полевые аберрации зависят от углового поля, то есть от удаления от оптической оси, так что в каждой точке, равноудалённой от центра, качество изображения будет одинаковое. Так что кадр можно мысленно разделить на произвольное количество кольцевых зон, в каждой из которых по мере удаления от центра качество изображения будет хуже, чем в предыдущей.

В центре поля зрения – в области, близкой к оптической оси – качество изображения наивысшее, потому как отсутствует влияние полевых аберраций и наименьшее виньетирование (об этом в следующей статье). Чем дальше от оптической оси, тем качество изображения и разрешающая способность ниже: всё сильнее начинает сказываться влияние полевых аберраций и падение контраста от виньетирования. Реальное рабочее поле зрения объектива ограничивается именно допустимым падением качества изображения.

Рассмотрим это на графике ЧКХ объектива (частотно-контрастная характеристика, оптический вариант функции передачи модуляции, modulation transfer function). Чем выше на графике линия, тем лучше качество. Черная линия – дифракционный (теоретический) предел объектива, синяя линия – осевой пучок (угол 0 градусов), красная пара линий – угол 2 градуса, зелёная пара – 4 градуса. Полевые пучки (красный и зелёный) расщепляются на две линии из-за астигматизма, и на графике указаны контрасты отдельно для меридионального и сагиттального сечений:

Как мы видим, чем больше угол поля зрения, тем ниже контраст и ниже качество изображения. Нигде по кадру качество изображения не дотягивает до окрестности оптической оси (центра кадра).

Графики могут быть в разном виде (разные зависимости одной величины от другой). Об их понимании есть подробная статья Карл Цейсс: How to read MTF Charts. На русский язык её ещё не перевели. Можно запомнить простое правило: чем линия выше – тем качество лучше.

Область интереса в техническом зрении (да и в бинокле) следует по возможности держать в центре поля зрения. 

Почему же на реальных фотографиях мы не видим ощутимого падения качества на краях? Причин несколько, рассмотрим на примере фотоснимков, благо, они всем знакомы:

• Высокое качество расчёта объективов, благодаря которому аберрации минимизированы и уравновешены для всего поля зрения (увеличения качества по полю за счёт снижения на оси).

• Разрешающая способность приёмников (зерно фотоэмульсии в прошлом и размер пикселя сейчас) дискретна, и на этой дискретности теряется много следов аберраций. При использовании объектива и сенсора сходного «ценового сегмента» разрешающая способность объективов обычно выше, чем позволяет засечь матрица. Кто хочет изучить вопрос поглубже, ужаснуться можно здесь (кликнув на кнопку «PDF полного текста»).

• Часто фотографируемый объект не имеет достаточно мелкой структуры, чтобы визуально заметить разницу. Потому качество объективов измеряют на специальном оборудовании типа ЧКХ-метров (сейчас цена установок такого класса ушла за 100 млн. рублей за штуку), а не на глазок.

• Фотографии делаются обычно при хорошей освещённости, прозрачности атмосферы и прочих условиях наблюдения, за счёт чего фотоснимки несут некий запас по качеству.

Тезисы (стоит запомнить)

1. Аберрации реальных объективов снижают качество изображения.

2. Изображение в центре кадра всегда лучше, чем по краям.

Список литературы

Для тех, кто хочет нырнуть в вопрос поглубже:

1. Д.Д. Максутов, Астрономическая оптика,1979 – тут расписано простым и популярным языком.

2. В.Н. Чуриловский, Теория оптических приборов, 1966 – тут посерьёзнее и посложнее.

3. Б.Н. Бегунов, Н.П. Заказнов, Теория оптических систем, 1973 – тут много о практическом приложении к разным типам оптических систем.