Теория броуновского движения основана на использовании стохастического уравнения Ланжевена. Как обсуждалось в предыдущих статья, физическая теория придает смысл проводимым экспериментам. В этом случае формальный ответ на вопрос, вынесенный в заголовок, звучит следующим образом: броуновская частица движется случайным образом, но это все, что можно сказать, и мы не знаем траекторию движения броуновской частицы. Цель настоящей статьи заключается в более подробном рассмотрении происходящего при экспериментальном изучении движения броуновской частицы.

Вначале разобрано безынерционное стохастическое уравнение Ланжевена, а затем рассмотрено, каким образом математический формализм выглядит в глазах математика и физика. Формально физическая величина (коэффициент диффузии) связана с моментом случайной величины (средним квадратом смещения броуновской частицы). Таким образом, экспериментально измеряемое положение броуновской частицы является испытанием случайной величины, а выборка измерений позволяет провести оценку физической величины как момента случайной величины.

Проведенный анализ раскрывает озвученный вывод — теория задает вероятность перехода броуновской частицы, поэтому без проведения измерений можно только говорить о вероятности нахождения частицы. Далее в обсуждении затрагивается вопрос связи случайной величины с миром и о достоверности проводимых экспериментов. В случае броуновского движения механизм связан с наличием флуктуаций. Переход к квантовой статистической механике сдвигает вопрос о появлении стохастичности на другой уровень, но в то же время это не влияет на обсуждение достоверности экспериментальных результатов.

• Введение

• Стохастическое уравнение Ланжевена

• Движение броуновской частицы глазами математика

• Движение броуновской частицы глазами физика

• Обсуждение

• Список литературы

Введение

Экспериментальное изучение броуновского движения показало реальность флуктуаций и тем самым сыграло немалую роль в признании реальности атомов в начале 20-го века. Хороший анализ этих событий проведен в книге Смита и Сета 'Броуновское движение и молекулярная реальность'. Проводимые эксперименты опирались на теорию броуновского движения, развитие которой началось в работах Мариана Смолуховского и Альберта Эйнштейна и было завершено Полем Ланжевеном. В Википедии есть рисунок траекторий движения броуновских частиц на основе наблюдений Жана Перрена (рис. 1). Прямая линия соединяет измеренные положения броуновской частицы, проводимые каждые 30 секунд. Прямую линию следует трактовать не как траекторию движения броуновской частицы, а как связь между предыдущим и последующим измерением положения броуновской частицы.

В предыдущей статье 'Математика, физика и мир: Проблема координации' рассматривались взаимоотношения теоретической и эксперимен­тальной физики на основе детерминированных физических теорий. Рассмотрение упрощенного стоха­стического уравнения Ланжевена расширяет это обсуждение на случай использования вероятности и случайных величин. Вероятности появились в молекулярно‑кинетической теории во второй половине 19-го века, но теория использовалась для объяснения экспериментов на уровне механики сплошных сред, в которых вероятности появлялись только как ошибки воспроизводимости. Экспериментально измеряемые величины, связанные с вероятно­стями на уровне физической теории, впервые появились при рассмотрении броуновского движения.

Стохастическое уравнение Ланжевена

Эйнштейн связал средний квадрат проекции смещения броуновской частицы x = x₁ ‐ x₀ на заданную ось (в дальнейшем просто смещение) за время t = t₁ ‐ t₀ с коэффициентом диффузии D:

Индекс 0 относится к положению броуновской частицы в начальный момент времени, а 1 — в момент проведения следующего измерения. Коэффициент диффузии связан с постоянной Больцмана k_B, температурой жидкости T, в которой находится броуновская частица, радиусом частицы r и динамической вязкостью жидкости η:

Это позволяет в итоге из среднего квадрата смещения получить постоянную Больцмана.

Уравнение Эйнштейна неявно подразумевает, что смещение броуновской частицы является случайной величиной. Рассмотрение упрощенного уравнения Ланжевена для безынерционного движения броуновской частицы позволяет более детально разобрать это обстоятельство. При движении броуновской частицы есть характерное время релаксации, оно зависит от жидкости и радиуса броуновской частицы, но скажем, что оно меньше одной микросекунды. Для простоты ниже будет считаться, что 2D=1, это всегда можно достигнуть сменой единиц измерения. Поэтому в дальнейших уравнениях присутствует только время без коэффициента диффузии.

При измерении положения броуновской частицы через интервалы времени, гораздо большими чем время релаксации, движение броуновской частицы описывается упрощенным уравнением Ланжевена без использования слагаемого, учитывающего инерцию частицы:

X — это случайная величина, связанная со смещением броуновской частицы, а ξ — это случайная сила, действующими на броуновскую частицу в жидкости из‑за флуктуаций. Модель случайной силы ξ в виде белого шума приводит к хорошему описанию проводимых измерений.

Решением безынерционного уравнения Ланжевена с ξ в виде белого шума является винеровский процесс (см. лекции Дёринга 'Математические основы стохастических процессов'):

Винеровский процесс задается распределением вероятности перехода броуновской частицы из состояния 0 в состояние 1:

Дисперсия этой величины, то есть, средний квадрат смещения, равен t = t₁ ‐ t₀, и с учетом пропущенного 2D мы получаем описание стохастического процесса, который приводит к уравнению Эйнштейна для броуновской частицы.

Рисунок 2 показывает изменение распределения вероятности со временем. В момент t₀ положение частицы было равно x₀=0. Если взять время t₁=t₀, то распределение вероятности превратится в дельту функцию — частица находилась в x₀=0 при t₀ с вероятностью единица. Через некоторое время распределение броуновской частицы описывается нормальным распределением с дисперсией равной t₁ ‐ t₀. Таким образом, с течением времени вероятность обнаружения броуновской частицы на более далеких расстояниях от x₀ увеличивается. Если частица находится в закрытом сосуде, то введение отражающих граничных условий на границе сосуда приводит к тому, что распределение при увеличении времени стремится к равномерному: вероятности обнаружения броуновской частицы в любом месте сосуда становятся одинаковыми.

Пусть через некоторое время проведено новое измерение положения броуновской частицы. В этом момент распределение вероятности превращается в дельту функцию с измеренной координатой, а далее по‑прежнему используется приведенное распределение вероятности, где только требуется замена индексов 0 и 1 на 1 и 2. Винеровский процесс является марковским процессом без памяти, и вероятность перехода из заданного состояния в последующее определяется уравнением выше, которое остается неизменным в ходе всего процесса.

Измерения, проведенные Перреном и показанные на рис. 1, представляют собой винеровский процесс с интервалом измерения в 30 с. Можно аналогичным образом провести винеровский процесс при использовании генератора псведослучайных чисел. На рисунке 3 показаны пять таких траекторий, а серым на рисунке показано изменение стандартного отклонения для начальной координаты:

Для построения графика выбирается интервал времени, а далее генератор псевдослучайных чисел с использованием приведенного распределения вероятности выдает численные значения новой координаты. Кривая не показывает траекторию между двумя точками, в ходе винеровского процесса частица просто переходит из состояния {t_i, x_i} в {t_i+1, x_i+1}. Можно уменьшить интервал времени, но перемещение частицы с меньшими интервалами времени будет напоминать показанную кривую. Говорится, что процесс Винера самоподобен, и в статье Википедии Wiener process есть видео на эту тему.

Последнее замечание. Интервал времени не следует делать слишком маленьким. Математически это возможно, но если выбранный интервал времени будет меньше времени релаксации броуновской частицы, то теряется физическая сторона дела. В этом случае требуется полное уравнение Ланжевена, что, однако, приводит к более сложным распределениям вероятности.

Движение броуновской частицы глазами математика

Дальнейшее внимание будет уделено вопросу о связи математики и физики при экспериментальном исследовании броуновского движения. Случайный процесс отличается от случайной величины введением времени. Распределение вероятности становится функцией времени, как показано на рис. 2, и тем самым вероятность смещения броуновской частицы зависит от выбранного интервала времени. Для простоты рассмотрим вначале винеровский процесс с точки зрения математики в случае постоянства времени между проводимыми измерениями; t_n+1 — t_n = const. Это соответствует вопросу, каким будет смещение броуновской частицы за заданный интервал времени, а ответ задается случайной величиной с одинаковым распределением вероятности для всех шагов.

Получение определенного численного значению для случайной величины называется испытанием случайной величины. Повторение этого процесса приводит к появлению выборки значений, аналогично тому, что было в эксперименте Перрена. Вероятность выпадания численного значения для непрерывного распределения считается равным f(x)dx. Можно приближенно разбить функцию распределения на конечное число интервалов, а в качестве вероятности взять среднее значение функции распределения в этом интервале. В этом случае испытание случайной величины будет аналогично броску игрального кубика специальной формы с числом граней, равным выбранному числу интервалов, когда выпадание той или иной грани связано с соответствующей вероятностью.

Выборку можно использовать для оценки моментов случайной величины, например, ее дисперсии. Так, в уравнении Эйнштейна выборка смещений используется для оценки дисперсии и тем самым коэффициента диффузии. Обращу внимание на разницу между случайной величиной и численными значениями, получаемыми в ходе испытаний. Случайная величина не меняется в ходе испытаний, поскольку распределение вероятности остается без изменений. В метафоре с бросанием кубика это означает, что кубик не меняется, но каждый бросок приводит к новому численному значению.

Как уже говорилось, винеровский случайный процесс является марковским процессом без памяти. Это означает, что для любого выбора дискретизации во времени, например, {t₀, t₁, t₂, t₃,...}, вероятность перехода из предыдущего состояния в последующее задается распределением вероятности из предыдущего раздела, в котором только требуется изменение значения индексов. Итак, с точки зрения математики существует случайная величина, распределение которой является функцией времени. Далее предполагается, что можно провести испытание случайной величины, например, при проведении измерений в физическом процессе или при использовании генератора псевдослучайных чисел. Однако нельзя сказать, что получится в ходе испытания случайной величины до проведения испытания.

Движение броуновской частицы глазами физика

В физике проводятся реальные эксперименты и к созданию выборки приводят природные явления. Так, траектории движения броуновских частиц в экспериментах Перрена получены путем проведения измерений. Разберем этот вопрос более внимательно. Траектория движения броуновской частицей является непрерывной, поскольку винеровский процесс, а также полное стохастической уравнение Ланжевена соответствует непрерывной траектории.

Процесс измерения положения броуновской частицы не входит в теорию броуновского движения. Обычно измерение связано с физикой взаимодействия света с броуновской частицей. Так, Перрен наблюдал движение броуновской частицы в жидкости под микроскопом. Акт измерения занимает определенное время и при этом существует погрешность измерения, но для простоты эти эффекты в дальнейшем не учитываются. Теория броуновского движения используется при обсуждении вопроса, каким образом движется броуновская частица. На этом этапе появляется распределение вероятности; оно отражает случайный характер локальных флуктуаций, которые приводят к отличию равнодействующей силы от нуля и тем самым к движению броуновской частицы.

Таким образом, измерение положение броуновской частицы является испытанием случайной величины, заданной распределением вероятности, представленным выше. Повторение измерений во времени соответствует одной из реализаций винеровского процесса. Другими словами, с точки зрения теории броуновского движения измерение положения броуновской частицы играет роль бросания кубика в метафоре испытания случайной величины.

Этот утверждение играет важную роль в последующем рассмотрении. В измерении положения броуновской частицы в рамках теории взаимодействия света с броуновской частицей нет элемента случайности за исключением погрешности измерения. Случайность, обсуждаемая в этой статьи, появляется при рассмотрении вопроса, как движется броуновская частица в промежутке времени между двумя последовательными измерениями. Теория броуновского движения задает распределение вероятности, и поэтому можно сказать, что мы не знаем траекторию движения броуновской частицы, но мы можем предсказать вероятность нахождения частицы в пространстве через заданное время.

В книге Баса ван Фраассена 'Научное представление' при обсуждении связи между физической теорией и реальными измерениями вводятся два критерия:

• Определенность значения: Каждая физическая величина в любой момент времени имеет некоторое значение, а в измерении может быть найдено одно из этих значений.

• Достоверность измерения: измерение величины приводит к ее действительному значению.

В таком виде критерии без проблем подходят для проведения обычных экспериментов на базе детерминированной физической теории. Первый критерий выполняется автоматически. В то же время теория задает концептуальную модель идеального эксперимента, при этом достоверность измерений (второй критерий) проверяется путем сравнения условий реального эксперимента с идеальной моделью. В случае необходимости, когда концептуальная модель не позволяет учесть что‑то в реальном эксперименте, в результаты измерений вводятся поправки (см. предыдущую статью 'Математика, физика и мир: Проблема координации').

Как уже отмечалось, экспериментальное исследование движения броуновской частицы опирается на две разные теории. Проведение измерение опирается на теорию взаимодействия света с броуновской частицей. В данном случае оба критерия остаются без изменения. С другой стороны, необходимо обсуждение критериев с точки зрения теории броуновского движения, поскольку ей принадлежит экспериментальное определение коэффициента диффузии.

В теории броуновского движения первый критерий (Определенность значения) выполняется, поскольку траектория броуновской частицы является непрерывной. Следует отметить неудачные попытки физиков конца 19-го века измерения скорости движения броуновского частицы. Решающим шагом для успеха экспериментальных исследований явился отказ от этих попыток и переход к измерению смещения броуновской частицы (см. книгу Гельфера). Из теории следует простое объяснение: производная траектории винеровского процесса не определена ни в одной точке, поскольку это один из примеров непрерывной, но недифференцируемой функции.

Теперь рассмотрим второй критерий ван Фраассена (Достоверность измерения) с точки зрения теории броуновского движения. Движение броуновской частицы описывается стохастическим уравнением, но из проводимых измерений можно определить постоянную Больцмана. Это обстоятельства требует другой интерпретации второго критерия ван Фраассена, поскольку теперь достоверность связана с тем, что измерение положения броуновской частицы содержит информацию о свойствах случайной величины. Концептуальная модель броуновского движения связывает физические величины с моментами случайной величины. Таким образом, теория задает распределение вероятности, а измерения приводят к оценкам свойств этого распределения, что в свою очередь приводит к оценкам физических величин.

Таким образом, достоверность измерений в теории броуновского движения отличается от таковой на базе детерминированных теорий. В теории броуновского движения достоверность относится к факту, что выборка проведенных измерений позволяет сделать достоверную оценку требуемого момента случайной величины.

Вспомним о наличии ошибок воспроизводимости в обычных экспериментах. Это приводит к необходимости повторных измерений, и, как следствие, к использованию формализма математической статистики. Однако ошибки воспроизводимости не входят в детерминированную теорию, и используемая теория не может объяснить наличие ошибок измерения. Физическая величина отождествляется с математическим ожиданием проводимых измерений, но остальные моменты случайной величины связаны с погрешностями воспроизво­димости и не имеют аналогов в используемой физической теории.

Распределение вероятности в теории броуновского движения не связано с наличием ошибок воспроизводимости, оно принадлежит самой теории. Таким образом, выборка измерений положения броуновской частицы существенно отличается от выборки измерений физической величины в рамках детерминированной теории. В случае теории броуновского движения достоверность относится к возможности оценки моментов распределения вероятностей, задаваемой физической теорией.

Обсуждение

В настоящее время проводится много экспериментов по изучению движения броуновских частиц в поле внешних сил с использованием стохастического уравнения Ланжевена (см. обзор Зайферта 'Стохастическая термодинамика'). Получаемые результаты хорошо согласуются с предсказаниями, то есть, получаемые выборки подтверждают распределения вероятности из теории броуновского движения. Предложенная интерпретация второго критерия ван Фраассена о достоверности измерения хорошо подходит к проводимым экспериментам, когда достоверность связывается с оценкой моментов случайной величины, определяемой физической теорией.

Появляется вопрос, что означает распределение вероятности при описании природных явлений. Другими словами, что можно сказать о мире на основе успеха использования стохастического формализма уравнения Ланжевена в экспериментальных исследованиях броуновской частицы. В броуновском движении есть физический механизм появления стохастичности — это флуктуации. На начальном этапе развития теории броуновского движения флуктуации объяснялись в рамках детерминированных уравнений классической статистической механики.

Можно отметить определенную иронию судьбы — эксперименты с броуновскими частицами послужили подтверждением реальности атомов в молекулярно‑кинетической теории, но параллельно стало понятно, что классическая статистическая механика неверна. Реальное положение дел в микромире связано с квантовой механикой и квантовой статистикой. Классическую статистическую механику можно по‑прежнему использовать в ряде случаев, но она уже не отражает реальное положение дел в микромире.

Таким образом, в настоящее время уже невозможно сказать, что за случайной величиной в уравнении Ланжевена скрывается детерминированный переход всей системы из предыдущего состояния в последующее. Источник случайности переходит на уровень квантовой механики, но при этом среди физиков нет согласия по поводу механизма случайности в квантовой механике. Однако можно оставить вопрос о происхождении распределения вероятности открытым, но признать, что это не мешает обсуждению достоверности экспериментальных исследований. Теория броуновского движения задает распределение вероятностей, а проведение экспериментов приводит к выборкам положения броуновской частицы, которые согласуются с теоретическими распределениями вероятности.

Список литературы

Предыдущие статьи:

Математика, физика и мир: Проблема координации
Исследовательская программа: Теория и эксперимент
Физика, математика и мир: Неподдающаяся проблема математики

G. E. Smith and R. Seth, Brownian Motion and Molecular Reality, 2020.

C. Doering, Mathematical Foundations of Stochastic Processes, Lecture 1 and 2, 2015, in 2 015 Program of Study: Stochastic Processes in Atmospheric and Oceanic Dynamics.

B. C. van Fraassen, Scientific Representation: Paradoxes of Perspective, 2008, Part II: Windows, Engines, and Measurement.

Я. М. Гельфер, История и методология термодинамики и статистической физики, 2-е изд., 1981. Глава XII. Открытие и исследование броуновского движения. Дальнейшее развитие статистической теории Больцмана.

U. Seifert, Stochastic thermodynamics, fluctuation theorems and molecular machines. Rep. Prog. Phys. 2012. V. 75. 126001. P. 1–58.