7. Точность систем автоматического регулирования (ч. 2) / forpes.ru

Главная
7. Точность систем автоматического регулирования (ч. 2)

7. Точность систем автоматического регулирования (ч. 2) +13

29.10.2023 18:50

petuhoff 13 2600 Источник

7.4 Точность по возмущающему воздействию

Рассмотрим замкнутую САР, на которую может воздействовать возмущающее входное воздействие .

Рисунок 7.4.1 Схема САР с возмущающим воздействием

Предположим, что , т.е. управляющее воздействие отсутствует. В этом случае САР обязана поддерживать на выходе (с некоторой степенью точности)

В этом случае $\varepsilon(t)=-y(t)\Rightarrow E(s)=-Y(s)$ , поэтому установившуюся ошибку $\varepsilon_{уст}=\lim_{t\rightarrow\infty}\varepsilon(t)$ можно вычислить как:

$\varepsilon_{уст}=\lim_{s\rightarrow0}s\cdot E(s)=-\lim_{s\rightarrow0}s\cdot Y(s) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.4.1)}$

Используя передаточную функцию замкнутой САР по возмущающему воздействию $\Phi_f(s)$ , имеем:

$\varepsilon_{уст}=-\lim_{s\rightarrow 0}s\cdot\Phi_f(s)\cdot F(s) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.4.2)}$

7.4.1 Ступенчатое возмущающее воздействие

Пусть ступенчатое возмущение $f(t)=f_0\cdot1(t)\Rightarrow F(s)=\frac{f_0}{s}$

Передаточная функция $\Phi_f(s)$ равна:

$\Phi_f(s)=\frac{Y(s)}{F(s)}=\frac{M(s)\cdot L(s)}{L(s)+k\cdot N(s)}=\frac{R(s)}{D(s)}\Rightarrow$ $\varepsilon_{уст}=-\lim_{s\rightarrow0}s\cdot \frac{R(s)}{L(s)+k\cdot N(s)}\cdot f_0=-\lim_{s\rightarrow0}\frac{R(s)}{L(s)+k\cdot N(s)}\cdot f_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.4.3)}$

Анализ соотношения (7.4.3) показывает, что:

- если САР – статическая (т.е. полином имеет свободный член, равный 1), то:

$\left\{ \begin{align} \varepsilon_{уст}&=-\frac{f_0\cdot b_0}{k+1}, если \ \ полином \ R(s) \ имеет \ свободный \ член \ b_0;\\ \varepsilon_{уст}&= 0, если \ полином \ R(s) \ не имеет \ свободного \ члена. \end{align} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.4.4)}$

- если САР – астатическая (степень астатизьма $v\ge1$ ), то:

$\left\{ \begin{align} \varepsilon_{уст}&=-\frac{f_0\cdot b_0}{k}, если \ \ полином \ R(s) \ имеет \ свободный \ член \ b_0;\\ \varepsilon_{уст}&= 0, если \ полином \ R(s) \ не имеет \ свободного \ члена. \end{align} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.4.5)}$

Графическая иллюстрация переходного процесса:

Рисунок 7.4.2 Переходной процесс при ступенчатом возмущающем воздействии

Кривые 1 на рисунках соответствуют случаям, когда полином имеет свободный член, равный (причем для данных рисунков ), а кривые 2 соответствуют случаям, когда полином не имеет свободного члена.

Случай, когда полином не имеет свободного члена принято называть астатизмом по возмущающему воздействию.

7.4.2 Линейное возмущающее воздействие

Пусть возмущающее воздействие $f(t)=f_0\cdot t$ перейдем в изображение $F(s)=\frac{f_0}{s^2}$

Подстановка в формулу (7.4.2) показывает, что если САР не имеет астатизм по возмущающему воздействию, то:

$\varepsilon_{уст}=-\lim_{s\rightarrow0} s\cdot\frac{R(s)}{L(s)+k\cdot N(s)}\cdot \frac{f_0}{s^2}=\infty$

Если САР имеет астатизма по возмущающему воздействию $v_f\ge2$ , то $\varepsilon_{уст}=0$ .

Рисунок 7.4.3 Переходной процесс при линейном возмущающем воздействии

В завершении обсуждения рассмотренных подразделов сделаем некоторые заключающие выводы:

Система автоматического регулирования называется астатической по управляющему воздействию, если при воздействии, стремящемся к установившемуся значению ошибка (рассогласование) стремится к нулю независимо от величины управляющего воздействия.

Система автоматического регулирования называется астатической по возмущающему воздействию, если при его приложении ошибка (рассогласование) стремится к некоторому установившемуся значению, зависящему от величины установившегося значения возмущающего воздействия.

Хорошей практикой при проектировании САР является придание ей свойства астатизма как по управляющему воздействию $(L(s)=s^v\cdot L_1(s))$ , так и по возмущающему воздействию $(R(s)=s^{v_f}\cdot R(s))$ .

Анализ подраздела (7.3) показывает, что астатизм по управляющему воздействию обеспечивается за счет астатических регуляторов (структура которого содержит интегрирующие звенья) – например ПИ-регуляторов.

Наряду со статическими и астатическими САР различают статические и астатические регуляторы.

Статический регулятор при ступенчатом управляющем воздействии на его входе обеспечивает на выходе (регулятора) асимптотически-устанавливающиеся значения.

У астатических регуляторов при ступенчатом входном сигнале выходной сигнал (регулятора) линейно (или нелинейно) нарастает без ограничений по уровню.

Пример

Определить установившиеся ошибки по управляющему и возмущающему воздействиям, если $x(t)=0.1 \cdot t$ и $f(t)=0.05\cdot t$ для следующей САР:

Найдем $\varepsilon_{уст}$ по управляющему воздействию, выполним преобразования к общей передаточной функции.

$W_4=\frac{W_2}{1-W_2\cdot W_3}=\frac{10\cdot(s+1)}{(s^2+2\cdot s+4)\cdot \left[1+\frac{10\cdot(s+1)}{s^2+2\cdot s+4}\cdot0.2\right ]}\Rightarrow$

$W_4=\frac{10\cdot(s+1)}{s^2+4\cdot s+6}$

Передаточная функция разомкнутой САР $W_{экв}=W_1\cdot W_4 \Rightarrow$

$W_{экв}(s)=\frac{120\cdot(s+1)}{s^3+4\cdot s^2+6\cdot s}=\frac{120\cdot(s+1)}{s\cdot(s^2+4\cdot s+6)}$

Рисунок 7.4.5 Эквивалентная САР по управляющему воздействию

Легко видеть, что данная САР устойчива

Т.к. система астатична по управляющему воздействию, то $\varepsilon_{уст}=\frac{x_0}{k}=\frac{0.1}{k}$

Найдем . Преобразуем к свободным членам, равным единице:

$\lim_{s\rightarrow0}W_{экв}(s)=\lim_{s\rightarrow0}\frac{120\cdot(s+1)}{6\cdot s\cdot \left [ \frac{1}{6}\cdot s^2+\frac{2}{3}\cdot s+1 \right ]}=20\Rightarrow k=20$ $\varepsilon_{уст}=\frac{0.1}{20}=0.005$

Найдем $\varepsilon_{уст}^e$ - установившуюся ошибку по возмущающему воздействию.

Используя замену цепи с местной обратной связью $W_4=\frac{W_2}{1-W_2\cdot W_3}$ , получаем следующую структурную схему:

Рисунок 7.4.6 Эквивалентная САР по возмущему воздействию

Найдем передаточную функцию по возмущающему воздействию (для замкнутой САР):

$\Phi_f(s)=\frac{Y(s)}{F(s)}\Rightarrow Y(s)=W_4(s)\cdot[F(s)+Y_1(s)]=W_4(s)\cdot[F(s)+E(s)\cdot W_1(s)]=$ $=W_4(s)\cdot F(s)-W_1(s)\cdot W_4(s)\cdot Y(s)\Rightarrow$ $\left[1+W_1(s)\cdot W_4(s) \right]\cdot Y(s)=W_4(s)\cdot F(s)$ $\Phi_f(s)=\frac{Y(s)}{F(s)}=\frac{W_4(s)}{1+W_1(s)\cdot W_4(s)}=\frac{10\cdot(s+1)}{(s^2+4\cdot s+6)\cdot \left [ 1+\frac{12}{s}\cdot \frac{10 \cdot (s+1)}{s^2+4\cdot s+6}\right ] }$ $\Phi_s(s)=\frac{10\cdot s \cdot (s+1)}{s^3+4\cdot s^2+126\cdot s+120}$

Замечаем, что САР астатична по возмущающему воздействию, т.к. числитель не имеет свободного члена.

Используя первую предельную теорему:

$\varepsilon_{уст}^f=-\lim_{s\rightarrow 0}s\cdot Y(s)=-\lim_{s\rightarrow0}s\cdot \Phi_f(s)\cdot F(s)=\\=-\lim_{s\rightarrow0}s\cdot\frac{10\cdot s \cdot (s+1)}{s^3+4\cdot s^2+126\cdot s+120}\cdot \frac{0.05}{s^2}=-\frac{0.05}{12}\approx-0.00416$ $\varepsilon_{уст}^f=-0.00416$

7.5 Установившаяся ошибка при медленно изменяющемся произвольном воздействии (коэффициенты ошибок)

Сначала прокомментируем название данного раздела:

1. произвольное воздействие – форма воздействия не соответствует любому типовому воздействию:

Причем закон изменения - не известен.

2. Медленно изменяющееся – подразумевает, что скорость протекания собственной части переходного процесса намного больше (т.е. характерная постоянная времени существенно меньше), чем скорость (относительная) изменения входного воздействия. Например, если $x(t)=a\cdot e^{\frac tT}$ , где – период разгона, причем $T>>T_{пп}$ , где $T_{пп}$ – например, время переходного процесса при подаче на вход САР ступенчатого воздействия.

Поскольку входное (управляющее) воздействие и непосредственно САР имеют значительно различающиеся постоянные времени, в первом приближении можно считать, что САР почти без инерции «отслеживает» управляющее воздействие, т.е. рассогласование $\varepsilon(t)$ можно считать приблизительно «установившимся»:

$\varepsilon (t) \approx \varepsilon_{уст}(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.5.1)}$

По аналогии с предыдущими подразделами:

$\varepsilon (t) \approx \varepsilon_{уст}(t)=\lim_{t\rightarrow0}\varepsilon(t) \Rightarrow$

Учитывая, что $E(s)=\Phi_\varepsilon(s)\cdot X(s)$ , используем обратное преобразование Лапласа:

$\varepsilon_{уст}=\lim_{t\rightarrow\infty}[w_\varepsilon(t)\cdot x(t)] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.5.2)}$

где $w_\varepsilon(t)$ - весовая функция замкнутой САР для ошибки; $w(t)\cdot x(t)$ - свертка.

Раскрывая свертку с помощью интеграла Дюамеля-Карсона (смотри раздел 2.9), получаем:

$\varepsilon_{уст}(t)=\int_0^\infty x(t-\tau)\cdot w_{\epsilon}(\tau)\cdot d\tau \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.5.3)}$

Если $\tau>t$ , то аргумент функции $x(t-\tau)$ - отрицателен, следовательно $x(t-\tau)<0$

Разложим $x(t-\tau)$ в ряд Тейлора:

$x(t-\tau)=x(t)-\frac{1}{1!}\cdot \tau \cdot x'(t)+\frac{1}{2!}\cdot\tau^2\cdot x''(t)-\frac{1}{3!}\cdot\tau^3\cdot x'''(t)+....\mathbf{(7.5.4)}$

Напомним сведения из математики:

Если - действительная функция, имеющая на интервале $a\le x<b$ n-ю производную, то значение функции можно расчитать по выражению:

$f(x)=f(a)+\frac{1}{1!}\cdot f'(a)\cdot(x-a)+\frac{1}{2!}\cdot f''(a)\cdot(x-a)^2+\frac{1}{3!}\cdot f'''(a)(x-a)^3\cdots$

В нашем случае в качестве переменной выступает $(t-\tau)$ ; в качестве - время ; в качестве - переменная $(-\tau)$ .

Подставляя выражение (7.5.4) в соотношение (7.5.3), получаем:

$\varepsilon_{уст}=\int_0^\infty x(t)\cdot w_\varepsilon(\tau)\cdot d\tau+\int_0^\infty[-\tau\cdot x'(t)]\cdot w_\varepsilon(\tau)\cdot d\tau+\\+\int_0^\infty\left [\frac{1}{2!}\cdot\tau^2 \cdot x''(t) \right ]\cdot w_\varepsilon(\tau)\cdot d\tau +...\Rightarrow$ $\varepsilon_{уст}=С_0\cdot x(t)+\frac{C_1}{1!}\cdot x'(t)+\frac{C_2}{2!}\cdot x''(t)+\frac{C_3}{3!}x'''(t)+... \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.5.5)}$

где:

$С_0=\int_0^\infty w_\varepsilon(\tau)\cdot d\tau; \ \ \ \ C_1=\int_0^\infty(-\tau)\cdot w_\varepsilon(\tau)\cdot d\tau; \ \ \ C_2=\int_0^\infty \tau^2\cdot w_\varepsilon(\tau)\cdot d\tau$ $C_3=\int_0^\infty-\tau^3\cdot w_\varepsilon(t)\cdot d\tau; \ \ \cdots \ \ \ C_n=\int_0^\infty(-\tau)^n\cdot w_\varepsilon(\tau)\cdot d\tau.$

Коэффициенты $C_0,C_1,C_2,\cdots,C_n$ - называются коэффициентами ошибок.

Если аналитическое выражение $\Phi_\varepsilon(s)$ - известно, то «нетрудно» рассчитать $w_\varepsilon(t)$ и, соответственно, рассчитать значения коэффициентов ошибок по выше приведенным интегралам.

Если известна экспериментально-определенная весовая $w_\varepsilon(t)$ (или переходная $h_\varepsilon(t)$ ), то расчет коэффициентов ошибок тоже не представляет проблем.

Второй способ определения установившейся ошибки при произвольном воздействии, отталкиваясь от формулы $E(s)=\Phi_\varepsilon(s)\cdot X(s)$ , разложим $\Phi_\varepsilon(s)$ в ряд Тейлора (а точнее в ряд Маклорена):

$\Phi_\varepsilon(s)=\Phi_\varepsilon(0)+\frac{1}{1!}\left [ \frac{d\Phi_\varepsilon(s)}{ds}\right ]_{s=0}\cdot s+\frac{1}{2!} \left [ \frac{d^2\Phi_\varepsilon(s)}{ds^2} \right ]_{s=0}\cdot s^2+\\+\frac{1}{3!}\left [\frac{d^3\Phi_\varepsilon(s)}{ds^3} \right]_{s=0}\cdot s^3+... \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(*)}$

Подставляя последнее соотношение в формулу для рассогласования , имеем:

$E(s)=\Phi_\varepsilon(0)\cdot X(s)+\frac{1}{1!}\cdot\Phi_\varepsilon'(0)\cdot s\cdot X(s)+\frac{1}{2!}\cdot \Phi_\varepsilon''(0)\cdot s^2+\\+\frac{1}{3!}\cdot \Phi_\varepsilon'''(0)\cdot s^3\cdot X(s)+\cdots$

Замечая, что оригиналы равны:

$\begin{align} E(s)\rightarrow\varepsilon(t)\cdot s\cdot X(s)\rightarrow x'(t), \\X(s)\rightarrow x(t)\cdot s^2\cdot X(s)\rightarrow x''(t), \\. . . \end{align}\Rightarrow$ $\varepsilon(t)=\Phi_\varepsilon(0)\cdot x(t)+\frac{1}{1!}\cdot\Phi_\varepsilon'(0)\cdot x'(t)+\frac{1}{2!}\cdot\Phi_\varepsilon''(0)\cdot x''(t)+. . . \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.5.6)}$

Окончательно:

$\varepsilon(t)=C_0\cdot x(t)+\frac{C_1}{1!}\cdot x'(t)+\frac{C_2}{2!}\cdot x''(t)+\frac{C_3}{3!}x'''(t)+... \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.5.7)}$

где: $С_0=\Phi_\varepsilon(0), \ \ \ \ C_1=\Phi_\varepsilon'(0), \ \ \ \ C_2=\Phi_\varepsilon''(0), \ \ \ \ \ C_3=\Phi_\varepsilon'''(0), .....$

Второй способ вывода явно более простой.

Коэффициенты ошибок могут быть определены и путем деления полином числителя $\Phi_\varepsilon(s)$ на полином знаменателя и сравнением полученного ряда с выражением (*).

Для систем с различным порядком астатизма первые три коэффициента ошибок принимают следующие значения:

для статической САР $C_0=\frac{1}{k+1};$

для астатической САР 1^-го порядка $(\nu=1) \Rightarrow C_0=0,\ \ \ C_1=\frac{1}{k}$ ;
для астатической САР 2^-го порядка $(\nu=2)\Rightarrow C_0=0,\ \ \ C_1=0, \ \ \ C_3=\frac{1}{k}$ .

Пример 3

Найти установившуюся ошибку для САР, замкнутой единичной обратной связью, если разомкнутая САР состоит из последовательно-соединенных идеального интегрирующего звена $k_1=1; \ \ T_1=1 \ \ сек)$ и апериодического звена первого порядка $(k_2=10; \ \ T_2=0.1),$ а входное управляющее воздействие $x(t)=1-e^{-t};$ где возмущающее воздействие $f(t)=f_0\cdot sin(\omega\cdot t)$ , где .

Рисунок 7.5.3 САР для анализа возмущения

Численное решение данной задачи в видео:

Аналитическое решение

Сначала рассмотрим первую часть задачи, когда возмущающее воздействие отсутствует.

$\varepsilon_{уст}=C_0\cdot x(t)+\frac{C_1}{1!}\cdot x'(t)+\frac{C_2}{2!}\cdot x''(t)+\frac{C_3}{3!}\cdot x'''(t)+....$

Очевидно, что данная САР имеет астатизм 1-го порядка, следовательно $C_0=0;C_1=\frac{1}{k}$ Тем не менее проведем эти вычисления:

$\Phi_\varepsilon(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{1+W_1\cdot W_2}=\frac{T_1\cdot s\cdot(T_2\cdot s+1)}{T_1\cdot s\cdot (T_2\cdot s+1)+k_1\cdot k_2}=\frac{s\cdot(T\cdot s+1)}{s\cdot (T\cdot s+1)+k}$

где новые переменные $T=T_2; k=\frac{k_1\cdot k_2}{T_1}$

Найдем коэффициенты ошибок: $C_0=\Phi_\varepsilon |_{s=0}=0\Rightarrow C_0=0;$

$C_1=\frac{d\Phi_\varepsilon(s)}{ds}|_{s=0}=\frac{(2\cdot T\cdot s+1)(s^2\cdot T+s+k)-(2\cdot T\cdot s+1)(T\cdot s^2+s)}{(T\cdot s^2+s+k)^2}=$ $=\frac{(2\cdot T\cdot s+1)\cdot k}{(T\cdot s^2+s+k)^2}=k\cdot\frac{2\cdot T\cdot s+1}{(T\cdot s^2+s+k)^2}$ $\Phi_\varepsilon'(s)=k\cdot\frac{2\cdot T\cdot s+1}{(T\cdot s^2+s+k)^2}$ $C_1=\Phi_\varepsilon'(0)=\frac{1}{k}$

Найдем коэффициент $C_2 =\Phi_\varepsilon''(s)|_{s=0}$ :

$\Phi_\varepsilon''(s)=k\frac{2\cdot T\cdot(T\cdot s^2+s+k)^2-(2\cdot T\cdot s+1)\cdot 2\cdot(T\cdot s^2+s+k)(2\cdot T\cdot s-1)}{(T\cdot s^2+s +k)^4}=$ $=2\cdot k\cdot\frac{T\cdot(T\cdot s^2+s+k)-(2\cdot T\cdot s+1)^2}{(T\cdot s^2+s+k)^3}\Rightarrow\Phi_\varepsilon''(0)=2\cdot k\frac{T\cdot k-1}{k^3}$ $C_2=\frac{2\cdot(T\cdot k-1)}{k^2}$

Аналогичным путем можно найти , , и т.д.

Вычислим значения и подставля занчения

$C_1=\frac{T_1}{k_1\cdot k_2}=\frac{1}{1\cdot 10}=0.1; \\ C_2=\frac{2\cdot(0.1\cdot10-1)}{10}=0;$ $\varepsilon_{уст}=С_1\cdot x'(t)+C_2\cdot x''(t)+C_3\cdot x''(t)+...$

Пренебрегая в первом приближении составляющими высокого порядка ( $\ge 3$ ), получаем: $\varepsilon_{уст}\approx C_1\cdot x'(t)$

Пусть $x(t)=1-e^{-t}$ , тогда $x'=e^{-t}\Rightarrow x'(t)=e^{-t}$ подставляем в $\varepsilon_{уст}(t)\approx0.1\cdot e^{-t}$

Рисунок 7.5.5 Перходной процесс и установившиеся отклонения

Если учесть член $C_3\cdot x'''(t)$ проведя вычисления

$C_3=6\cdot\frac{(1-2\cdot k\cdot T)}{k_3}=6\cdot\frac{1-2\cdot10\cdot 0.1}{10^3}=-0.006$

Дифференцируя $x(t)\Rightarrow x'''(t)=e^{-t}\Rightarrow \varepsilon_{уст}=0.1\cdot e^{-t}\cdot-\frac{0.006}{3!}\cdot e^{-t}=0.099\cdot e^{-t}$

Анализ показывает, что учитывать члены более высокого порядка нет смысла, т.к. они очень малы.

Теперь рассмотрим 2-ю часть задачи: найдем установившиеся отклонения $\varepsilon_{уст}(t)$ при возмущающем воздействии $f(t)=0.1 \cdot sin(\omega\cdot t)$ где $\omega = 1 \ \ c^{-1}$ и нулевым входным воздействием

Найдем передаточную функцию системы для ошибки по воздействию:

$\Phi_\varepsilon^f(s)=\frac{E(s)}{F(s)}$ $E(s)=-Y(s)=-[F(s)\cdot W_2(s)+E(s)\cdot W_1(s)\cdot W_2(s)] \Rightarrow$ $\Rightarrow \Phi_\varepsilon^f(s)=-\frac{W_2}{1+W_1\cdot W_2}=-\frac{k_2\cdot s}{T_2\cdot s^2+s+\frac{k_1\cdot k_2}{T_1}}=-\frac{k_2\cdot s}{T\cdot s^2+s+k}$

где новые переменные $T=T_2; k=\frac{k_1\cdot k_2}{T_1}$

Найдем коэффициент ошибок:

$C_0=\Phi_\varepsilon^f(0)=0$ - это означает, что рассматриваемая САР имеет астатизм по возмущающему воздействию.

Найдем :

$C_1=\frac{d}{ds}\Phi_\varepsilon^f(s)|_{s=0}=-\frac{k_2\cdot(T\cdot s^2 +s+k)-k_2\cdot s\cdot(2\cdot T\cdot s+1)}{(T\cdot s^2+s+k)}|_{s=0}=\\=k_2\frac{T\cdot s^2-k}{(T\cdot s^2+s+k)^2}|_{s=0}=-\frac{k_2\cdot k}{k^2}=-1;$

Найдем :

$C_2=\frac{d^2}{ds^2}\Phi_\varepsilon^f(s)|_{s=0}=\\=k_2\cdot\frac{2\cdot T\cdot s\cdot(T\cdot s^2+s+k)^2-(T\cdot s^2-k)(T\cdot s^2+s+k)(2\cdot T\cdot s+1)}{(T\cdot s^2+s+k)^4}|_{s=0}=\\=-2\cdot k_2\cdot\frac{T^2\cdot s^3-3\cdot k\cdot T\cdot s-k}{(T\cdot s^2+s+k)^3}|_{s=0}\Rightarrow\\ \Rightarrow C_2=\frac{2\cdot k_2\cdot k}{k^3}=\frac{2\cdot k_2}{k^2}=0.2$

Найдем :

$C_3=\frac{d^3}{ds^3}\Phi_\varepsilon^f(s)|_{s=0} =\\=-2 k_2\frac{(3 T^2 s^2-3 k T)(T s^2+s+k)^3-3(T^2 s^3-3 k T s)(2Ts+1)}{(Ts^2+s+k)^6}|_{s=0}=\\-6k_2\frac{(T^2s^2-kT)(Ts^2+s+k)-(T^2s^3-3kTs-k)(2Ts+1)}{(Ts^2+s+k)^4}|_{s=0}=\\=-6k_2\frac{(-kT)\cdot k-(-k)\cdot1}{k^4}=6k_2\frac{1-kT}{k^3}=0$

Члены более высокого порядка не учитываем, т.к. они второго порядка малости.

$\varepsilon_{уст}(t)=С_1\cdot f'(t)+\frac{C_2}{2!}\cdot f''(t)+...$ - подставляя значения $C_1,C_2,f'(t),f''(t)\Rightarrow$

$\varepsilon_{уст}(t)=-0.1\cdot cos(t)-\frac{0.2}{2!}\cdot sin(t)=-0.1(cos (t)+0.1\cdot sin(t))\approx\\ \approx-0.1\cdot cos(t-0.1)$

В заключение пример анализа САР по возмущающему воздействию.

В предыдущих сериях:

1. Введение в теорию автоматического управления.2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13.

3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ. 3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ. 3.2. Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья. 3.3. Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора. 3.4. Апериодическое звено 2-го порядка. 3.5. Колебательное звено. 3.6. Инерционно-дифференцирующее звено. 3.7. Форсирующее звено. 3.8. Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением). 3.9. Изодромное звено (изодром). 3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья. 3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности.

4. Структурные преобразования систем автоматического регулирования.

5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР).

6. Устойчивость систем автоматического регулирования. 6.1 Понятие об устойчивости САР. Теорема Ляпунова. 6.2 Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР. 6.3 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. 6.4 Частотный критерий устойчивости Михайлова. 6.5 Критерий Найквиста.

Точность систем автоматического управления (ч.1)

Комментарии (13)

sim31r
29.10.2023 19:29
#26105158
+1
Для какого-нибудь DIY проекта (квадракоптер какой-нибудь), мне кажется, проще нейросеть простенькую обучить по примерам, чем настолько сложный матан анализировать )
1. IvanPetrof
  29.10.2023 19:29
  #26105634
  +1
  меня всё чаще не покидает ощущение, что не далёк тот день, когда школьники будут делать первые шаги в ~~квантовой~~ электронике, мигая "лампочкой" используя нейро-чип с али..
  1. sim31r
    29.10.2023 19:29
    #26108108
    +1
    Так уже как-то так и есть.
    
    Нейронные сети, как и нечёткая логика, используются в ПИД регуляторах двумя путями: для построения самого регулятора и для построения блока настройки его коэффициентов. Особенностью нейронной сети является способность к «обучению», что позволяет передать нейронной сети опыт эксперта. Регулятор с нейронной сетью похож на регулятор с табличным управлением, однако отличается специальными методами настройки («обучения»), разработанными для нейронных сетей, и методами интерполяции данных.
1. petuhoff Автор
  29.10.2023 19:29
  #26105670
  +1
  это не сложный материал вообще то это база теории системы управления для не специалистов по системам управления.
  1. sim31r
    29.10.2023 19:29
    #26108086
    +1
    Картинки и структура простые и интуитивно понятные, а математическое описание нет, преобразование Лапласа, критерий Найквиста... это именно специалистам.
    
    Вот ПИД регулятор понятен, вот тут даже без слов поясняют несколькими крутишками:
    
    https://youtu.be/qKy98Cbcltw?si=Qha53rCIHdFvWnlW
    
    in 1 minute and 28 seconds, without saying a single word, you have explained how PID tuning works better than any other article or video I have ever seen
1. FGV
  29.10.2023 19:29
  #26105696
  +1
  ...проще нейросеть простенькую обучить...
  
  Нейросеть еще на чем то запускать надо, а регулятор посчитанный матаном даже на 8051 работать будет.
  1. RichardMerlock
    29.10.2023 19:29
    #26105972
    +1
    Если одеть свитер подлиннее, то и на транзисторах заработает!
    
    FGV
    29.10.2023 19:29
    #26106002
    +1
    Дык оно раньше на них и работало, это сейчас проще воткнуть микроконтроллер.
    
    sim31r
    29.10.2023 19:29
    #26108126
    +1
    У нас киповцы меняли контроллер Шнайдер для управления насосной станцией на горсть реле из магазина электротоваров за углом. Подрядчики по ТЗ написали программу на ПЛК, по ТЗ было 3 насоса включающихся циклически по данным от поплавков. Потом проект урезали и ставить третий насос не стали. Подрядчик не дал исходники программы, за изменение прошивки запросил неприемлемую сумму. Местные киповцы за день собрали шкаф управления на реле, может штук 10 реле, имитирующих RS триггер и всё работает лет 10 уже как.
    
    Из плюсов решения ремонтопригодность, если реле выходит из строя, работа там в тяжелых условиях, пары кислот в воздуха, купить замену можно в любом магазине электротоваров, это обычное промежуточное реле.
1. YourgenAP
  29.10.2023 19:29
  #26107230
  +1
  Нет, для квадрокоптера это не сработает. Тут нужны матан и теория систем управления с пониманием PT1, PT2, PTn систем и как чем управлять. А вот для умного дома включать батарею на заданное значение для поддержания той или иной температуры можно вполне и без теории автоматического управления
  1. sim31r
    29.10.2023 19:29
    #26108052
    +1
    для квадрокоптера это не сработает.
    
    Вот не факт. Начиная с малого по шагам можно и без матана дойти до нормальных результатов. В качестве хобби проекта без ограничения по финансам и времени нормально вполне. Каждый шаг вполне по силам. Управлением мотором по скорости от 0-100%. Подъем квадракоптера на 10 мм и посадка (ограничения механические, чтобы не улетел неуправляемо). Анализ перекоса, вращения, опрокидывания, доработка кода. Подъем на 10 см, анализ сноса по XYZ, стабилизация. Далее управление по шагам, вращение в горизонтальной плоскости, полет вперед-назад и минимальный код готов. Может пригодится при не стандартном расположении винтов. Трикоптер какой-нибудь не стандартной конструкции (в данном случае тремя крыльями).
    
    https://habr.com/ru/articles/227425/
    
    НЕТ №1!
    Не беритесь писать собственную программу для полетного контроллера, пока не попробуете готовые решения, которых сейчас достаточно много (Ardupilot, MegapirateNG, MiltiWii, AeroQuad и т.п.). Во-первых, это опасно! Чтобы управлять квадрокоптером без GPS и барометра нужна практика, а тем более, когда он глючит, переворачивается, летит не совсем туда, куда надо — а этого почти не избежать во время первых тестов. Во-вторых, вам будет во много раз легче программировать понимая, что нужно программировать и как оно должно работать в итоге. Поверьте: математика полета — лишь малая часть кода программы.
    
    НЕТ №2!
    Не беритесь писать собственную программу для полетного контроллера, если вас не преследует академический интерес и вам нужно только то, что уже давно умеют готовые решения (летать, фотографировать, снимать видео, летать по заданию и т.п.) Пока вы сами все напишите, пройдет немало времени, даже если вы не один.
    
    YourgenAP
    29.10.2023 19:29
    #26111124
    +1
    Для хобби проекта можно взять ArduPilot или PX4 и быть довольным как слон.
    
    А вот когда серьезные проект, то там знания теории автоматического управления, механики полета очень помогают. На собственном опыте знаю. Да и управлять любым решением не из коробки всегда достаточно сложно.
    
    И стоит сказать, что те же ArduPilot или PX4 совсем не панацея. В лучшем случае перепишешь половину кода, как делают приличные компании, которые хотя бы полагаются на эти решения в качестве основы.

igord1960
29.10.2023 19:29
#26113892
+1
Здорово! Обычно ограничиваются динамическими ошибками по входу, а тут еще и по возмущающему воздействию. Картинки и в предыдущей лекции и сейчас замечательные.

7. Точность систем автоматического регулирования (ч. 2) +13

7.4 Точность по возмущающему воздействию

7.4.1 Ступенчатое возмущающее воздействие

7.4.2 Линейное возмущающее воздействие

Пример

7.5 Установившаяся ошибка при медленно изменяющемся произвольном воздействии (коэффициенты ошибок)

Пример 3

Комментарии (13)

petuhoff Автор