8. Качество переходного процесса ч.1 / forpes.ru

Главная
8. Качество переходного процесса ч.1

8. Качество переходного процесса ч.1

30.12.2023 21:05

petuhoff 0 1600 Источник

8.1 Требования качества управления и основные характеристики переходного процесса.

Качество управления состоит из трех основных частей:

устойчивость;
точность;
качество переходного процесса.

Причем главным – несомненно является устойчивость систем автоматического регулирования (САР), т.к. если САР – неустойчива, то говорить о точности и тем более, о качестве переходного процесса нет смысла. Не случайно большой раздел лекций посвящен именно анализу устойчивости:

Устойчивость мы рассматривали в 4 лекциях раннее: 6 Устойчивость систем автоматического регулирования. Теоремы Ляпунова. Критерий устойчивости Гурвица. 6.4 Устойчивость систем автоматического регулирования. Частотный критерий устойчивости Михайлова. 6.5. Частотный критерий Найквиста. 6.6 Понятие об областях устойчивости.

Поэтому анализ САР начинают всегда с определения условий устойчивости САР (в том числе и запасов устойчивости), затем оценивается (определяется) точность САР и затем анализируется качество переходного процесса.

Точность мы рассмаривали в двух лекциях Точность систем автоматического регулирования часть 1 и часть 2

Если САР – устойчива, то при подаче управляющего воздействия система управления должна с какой-то степенью точности за какое-то время «отработать» управляющее воздействие.

Пусть САР замкнутая, тогда управляюще воздействие сутпенчатое воздействие $x(t)=a\cdot1(t)$ должно приводить выход к величине е $y\approx a$ c некоторой задержкой и возможно некторой погрешностью для $\varepsilon_{уст}$ статических САР (см. Рисунок 8.1.2).

С точки зрения практики, требуется, чтобы переход к установившемуся состоянию регулируемой величины (выходного воздействия), во-первых, проходил быстро, во-вторых, плавно, в-третьих, отклонения (колебания) регулируемой величины от заданного закона управления были минимальными.

Обычно качество переходного процесса оценивают по реакции САР на ступенчатое воздействие (в том числе и единичное). Рассмотрим некоторую САР, которая при $t\le0$ находилась в состоянии равновесия (покоя) и при подаче управляющего ступенчатого воздействия должна перейти в новое установившееся $y_{уст}$ (равновесное) состояние.

Рисунок 8.1.3 Характеристики переходного процесса

Обозначение на рисунке:

$y_{уст}\equiv y_{\infty}$ - Установившиеся значение выхода при $t\rightarrow\infty$

$y_{уст}\equiv y_{\infty}=\lim_{t\rightarrow\infty}y(t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.1)}$

$\sigma$ - Перерегулирование превышение максимального значения выхода в переходном процессе над установившемся значением выхода.

$\sigma =\frac{y_{max}-y_{\infty}}{y_\infty}=\frac{y_{max}-y_{уст}}{y_{уст}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.2)}$

$T_{ПП}$ - время переходного процесса, т.е. то значение $t=T_{ПП}$ при котором «входит в полосу» шириной $2\cdot \Delta$ , где $\Delta$ - допуск на точность нового значения регулируемой величины.

Главными характеристиками переходного процесса принято считать:

$\sigma$ - перерегулирование;

$T_{ПП}$ - время переходного процесса;

чем меньше $\sigma$ и $T_{ПП}$ - тем обычно САР лучше.

Обычно при проектировании САР стремятся снизить величину $\sigma$ однако стремление свести $\sigma$ к нулю обычно приводит к увеличению (зачастую резкому) времени переходного процесса.

При проектировании обычно САР заранее «рисуют» «поле» переходного процесса:

Обычно, считается неплохим, если перерегулирование $\approx10 -30 \%$ , т.е. $\sigma\approx0.1\div0.3\%$ ;

В реакторных САР требования существенно более жесткие: $\sigma\approx1\div2\% \leftrightarrow 0.01\div0.02$

В некоторых САР (общетехнического назначения) считается вполне приемлимым перерегулирование и в 50÷70 %.

Время переходного процесса определяется из условия:

$\frac{|y(t)-y_{\infty}|}{y_\infty}=\frac{|y(t)-y_{уст}|}{y_{уст}}\le\Delta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.3)}$

Часто характеристикой переходного процесса является и число колебаний, т.е. количество колебаний относительно (или ). Нередко используется понятие плавность переходного процесса, т.е. ограничения по скорости и ускорению.

8.2 Интегральные оценки качества переходного процесса.

Для количественной и качественной оценки качества переходного процесса используют следующие оценки:

- интегральные;

- корневые;

- частотные;

Наиболее простой и наиболее наглядной оценкой качества переходного процесса является интегральная оценка: с помощью одного числа, вычисленного одинаковым способом для сравниваемых систем, можно сказать, какая система имеет лучшее качество переходного процесса.

Введем новую функцию, отклонение от установившегося заначения $y_1(t)=y_\infty-y(t) \equiv y_{уст}-y(t)$

Рисунок 8.2.2 Функция отклонения в разных переходных процессах

Существуют несколько типов интегральных оценок:

Простая:

$J_1=\int^{\infty}_0 y_1(t)dt=\int^{\infty}_0[y_\infty-y(t)]dt \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.2.1)}$

Данная оценка наиболее справедлива для монотонных переходных процессов чем меньше , тем САР имеет «лучший» переходный процесс, т.е. динамическая погрешность меньше и время переходного процесса меньше.

Однако для колебательных переходных процессов такая оценка не совсем корректна, т.к. в принципе, для незатухающего колебательного переходного процесса можно получить и нулевую оценку .

Рисунок 8.2.3 Возможная ошибка простой оценки

Более предпочтительно в этом случае использовать улучшенную простую оценку

$J^*_1=\int_0^\infty|y_1(t)|\cdot dt=\int_0^\infty[y_\infty-y(t)]\cdot dt\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.2.2)}$

Более часто для колебательных переходных процессов используют либо квадратичную оценку, либо улучшенную квадратичную оценку. Квадратичная оценка:

$J_2=\int^\infty_0y_1^2(t)\cdot dt=\int_0^\infty[y_\infty-y(t)]^2\cdot dt\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.2.3)}$

Улучшенная квадратичная оценка:

$J_2^*=\int_0^\infty \left\{y_1^2(t)+ [\tau\cdot y'_1(t)]^2 \right\}\cdot dt \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.2.4)}$

/- производная по времени; $y_1'(t)=\frac{dy_1(t)}{dt}$

$\tau$ - желаемое время переходного процесса.желаемое время переходного процесса.желаемое время переходного процесса.

Первое слагаемое в подынтегральной функции – учитывает величину динамической ошибки, а второе слагаемое – учитывает плавность переходного процесса. Данная оценка учитывает одновременно и быстроту переходного процесса, и его плавность.

Чем меньше - тем переходный процесс лучше.

8.3 Связь переходного процесса с частотными характеристиками замкнутой САР

Как упоминалось в п.8.2 качество переходного процесса можно оценивать с помощью частотных свойств (характеристик) замкнутой САР.

Рассмотрим некоторую линейную (или линеаризованную) САР

Рисунок 8.3.1 Типовая линеаризованную САР

Главная передаточная функция замкнутой САР: $\Phi(s)=\frac{W(s)}{1+W(s)}$

где: - передаточная функция разомкнутой САР,

причем для статических САР передаточная функция: $W(s)=\frac{K\cdot N(s)}{L_1(s)}$ ,

для астатических САР передаточная функция: $W(s)=\frac{K\cdot N(s)}{s^v\cdot L_1(s)}$

где:
- порядок астатизма; многочлены , и имеют свободные члены, равные 1 (Подробнее про статические и астатические САР см. Точность система автоматического регулирования ч.1)

Рассмотрим переходный процесс в замкнутой САР при ступенчатом входном управляющем воздействии . Если $x(t)=a\cdot1(t)$ - идея выводов принципиально не изменится.

$1(t)= \left \{ \begin{align} 1,если \ \ t>0\\0, если \ \ t\le0 \end{align} \right.$

Используя преобразования Лапласа, имеем:

$Y(s)=\Phi(s)\cdot X(s)=\frac{\Phi(s)}{S}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.3.1)}$

где: $y(t)\rightarrow Y(s); x(t)\rightarrow X(s)=\frac{1}{s}$ .

Если замкнутая САР – устойчива, то переходный процесс имеет примерно следующий вид, как на рисунке 8.3.2.

Рисунок 8.3.2 Переходной процесс устойчивой системы

Для строгости выкладок используем двухстороннее преобразование Лапласа согласно справочникам по математике:

$Z_B\left[f(t)\right]=\int_{-\infty}^\infty f(t)\cdot e^{-s\cdot t}dt \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.3.2)}$

где: $t\in]-\infty;\infty[;\ \ \ \ \ S=c+i\cdot\omega;\ \ \ \ \ \ \ \ f(t)$ - функция времени в области R (действительных числе).

Учитывая, что в рассматриваемом случае (см рисунок) , если $t\le0$ , то получим:

$Z_B\left[f(t)\right]=\int_{-\infty}^\infty f(t)\cdot e^{-s\cdot t}dt\equiv Z[f(t)]=\int_0^\infty f(t)\cdot e^{-s\cdot t}dt \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.3.3)}$

Т.е. двухстороннее преобразование Лапласа совпадает с обычным преобразованием Лапласа (односторонним).

Соотношение, аналогичное (8.3.3) можно записать и для обратных преобразований Лапласа, если при $t\le0$ .

$Z_B^{-1}[F(s)]=Z^{-1}[F(s)]+\frac{c}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.3.4)}$

где: - абсцисса абсолютной сходимости. Подробнее про преобразование Лапласа здесь...

Подставляя в соотношение (8.3.4) вместо выражение для получаем:

$y(t)=Z_B^{-1}[Y(s)]=Z_B^{-1}\left [\frac{\Phi(s)}{s}\right]=Z^{-1}\left[\frac{\Phi(s)}{s}\right]+\frac{c}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.3.5)}$

Прежде чем преобразовывать выражение (8.3.5), получим ряд соотношений и упрощающих допущений:

Во первых найдем $\lim_{t\rightarrow0}y(t):$

$\lim_{t\rightarrow0}y(t)=\lim_{s\rightarrow0}s\cdot Y(s)=\lim_{s\rightarrow 0}s\cdot\frac{\Phi(s)}{s}=\Phi(0)$ $y_{\infty}=y_{уст}=\Phi(0)=P(0)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.3.6)}$

где: - значение вещественной части АФЧХ при $\omega =0$ . Поскольку: $\Phi(i\cdot\omega)=P(\omega)+i\cdot Q(\omega)$ (см. АФЧХ САР)

Рисунок 8.3.3 Вещественная и мнимая часть АФЧХ

Следовательно, установившееся значение регулируемой величины числено равно - значение вещественной части АФЧХ замкнутой САР при $\omega=0$ .

Поскольку подинтегральная функция в (8.3.5) имеет нулевой полюс (), то нахождение обратного преобразования Лапласа нужно делать «осторожно», т.к. при имеет место разрыв подынтегральной функции. Сделаем некоторые преобразования:

$y(t)=Z^{-1}\left[\frac{\Phi(s)}{s}\right]+\frac{c}{2}=Z^{-1}\left[\frac{\Phi(s)-\Phi(0)}{s}\right]+Z^{-1}\left[\frac{\Phi(0)}{s}\right]+\frac{c}{2} \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.3.7)}$

Покажем, что нахождение составляющей (*) не представляет «опасности» при .

1 случай статическая САР:

Пусть: $W(s)=\frac{k\cdot N(s)}{L(s)}$

где: $N(s)=b_m\cdot s^m+\cdots+b_1\cdot s+1;$ $L(s)=a_n\cdot s^n+\cdots+a_1\cdot s+1$

Тогда $\lim_{s\rightarrow0}\left[\frac{\Phi(s)-\Phi(0)}s{}\right]$ - получаем неопределенность типа $\frac{0}{0}$ .

Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя: "Предел отношения функций, стремящихся одновременно к бесконечности или к нулю (являющихся одновременно бесконечно большими или бесконечно малыми), равен пределу отношения их производных."

$\lim_{s\rightarrow0}\left[\frac{\Phi(s)-\Phi(0)}{s}\right]=\lim_{s\rightarrow0}\frac{\Phi'(s)}{1}=\Phi'(0), где \ \ \Phi'(s)=\frac{d\Phi(s)}{ds};$ $\Phi'(s)=\left [\frac{W(s)}{1+W(s)} \right]'=\left[\frac{k\cdot N(s)}{L(s)+k\cdot N(s)}\right]'$ $\Phi'(s)=k\cdot\frac{d}{ds}\left[\frac{b_m\cdot s^m+\cdots+b_1\cdot s+1}{a_n\cdot s^n+\cdots+a_1\cdot s+1+k\cdot(b_m\cdot s^m+\cdots+b_1\cdot s+1)}\right]\Rightarrow$ $\left . \frac{d\Phi(s)}{ds} \right | _ {s=0} =\Phi'(0)=k\cdot\frac{b_1\cdot(1+k)-(a_1+k\cdot b_1)}{(1+k)^2}=k\cdot\frac{b_1-a_1}{(1+k)^2}\Rightarrow$

т. е. предел существует, причем если , то $\lim_{s\rightarrow0}\Phi'(s)\rightarrow0$

2-й случай астатическая САР:

Пусть $W(s)=k\cdot\frac{N(s)}{s^\nu\cdot L_1(s)}$ , где $L_1(s)=a_{n-\nu}\cdot s^{n-\nu}+\cdots+a_1\cdot s+1$

Используя то же правило Лопиталя:

$\lim_{s\rightarrow 0}\left[\frac{\Phi(s)-\Phi(0)}{s}\right]= \lim_{s\rightarrow0}\frac{\Phi'(s)}{1}=\left. \frac{d\Phi(s)}{ds}\right|_{s=0}=$ $=\frac{d}{ds}\left[\frac{W(s)}{1+W(s)}\right]=\frac{d}{ds}\left[\frac{k\cdot N(s)}{L(s)+k\cdot N(s)}\right]=$ $=\left.k\cdot\frac{d}{ds}\left[\frac{b_m\cdot s^m+\cdots+b_1\cdot s+1}{s^{\nu}\cdot(a_{n-\nu}\cdot s^{n-\nu}+ \cdots+a_1\cdot s+1)+k\cdot(b_m\cdot s^m+\cdots+ b_1\cdot s+1)}\right]\right|_{s=0}$

Даже при $\nu=1$ , $\lim_{s\rightarrow 0}\left[\frac{\Phi(s)-\Phi(0)}{s}\right]=k\cdot\frac{b_1\cdot k-(1+k\cdot b_1)}{k^2}=-\frac{1}{k}$ - предел существует!

Поскольку подинтегральная функция в (8.3.5) не имеет особой точки (разрыва при ), то можно воспользоваться обычной формулой обратного преобразования Лапласа:

$Z^{-1}\left[\frac{\Phi(s)-P(0)}{s}\right]=\lim_{\omega\rightarrow\infty}\frac{1}{2\cdot\pi\cdot\ i}\int_{c-i\cdot\omega}^{c+i\cdot\omega}\frac{\Phi(s)-P(0)}{s}e^{s\cdot t}ds$

Т.к. можно принять, что (обычно в УТС), то:

$Z^{-1}\left[\frac{\Phi(s)-P(0)}{s}\right]=\lim_{\omega\rightarrow0}\frac{1}{2\cdot\pi\cdot i}\int_{-i\cdot \omega}^{+i\cdot\omega}\frac{\Phi(i\cdot\omega)-P(0)}{i\cdot\omega}e^{i\cdot\omega\cdot t}di\omega=$ $=\frac{1}{2\cdot \pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\Phi(i\cdot\omega)-P(0)}{i\cdot\omega}e^{i\cdot \omega}d\omega$

Учитывая, что $e^{i\cdot \omega \cdot t}=cos(\omega\cdot t)+i\cdot sin(\omega\cdot t)$ , получаем:

$y(t)=P(0)\cdot1(t)+\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P(\omega)+i\cdot Q(\omega)-P(0)}{i\cdot\omega}\cdot(cos(\omega t)+i\cdot sin(\omega t))d\omega$

Раскрывая скобки получаем по 6 отдельных интегралов см. рисунок 8.3.3:

$y(t)=P(0)\cdot 1(t)+\frac{1}{2\cdot\pi}\left \{ \int_{-\infty}^\infty\frac{P(\omega)\cdot cos(\omega\cdot t)}{i\cdot\omega}d\omega+\int_{-\infty}^{\infty}\frac{P(\omega)\cdot i\cdot sin(\omega\cdot t)}{i\cdot \omega}d\omega+\\ +\int_{-\infty}^\infty\frac{i\cdot Q(\omega)\cdot cos(\omega\cdot t)}{i\cdot \omega}d\omega+\int_{-\infty}^\infty\frac{i\cdot Q(\omega)\cdot i\cdot sin(\omega\cdot t)}{i\cdot \omega}d\omega- \\-\int_{-\infty}^\infty\frac{P(0)\cdot cos(\omega\cdot t)}{i\cdot \omega} d\omega-\int_{-\infty}^\infty\frac{P(0)\cdot i\cdot sin(\omega\cdot t)}{i\cdot\omega}d\omega\right \}$

Сокращаем во всех дробях и анализируем функции на их четность и нечетность, при этом первый, четвертый и пятый интегралы равны нулю, т.к. подынтегральные функции – нечетные, а в трех оставшихся – четные см. рис. 8.3.3:

$y(t)=P(0)\cdot 1(t)+\frac{1}{2\cdot\pi}\left \{ \underbrace{\int_{-\infty}^\infty\frac{P(\omega)\cdot cos(\omega\cdot t)}{i\cdot\omega}d\omega}_0+\int_{-\infty}^{\infty}\frac{P(\omega)\cdot sin(\omega\cdot t)}{ \omega}d\omega+\\ +\int_{-\infty}^\infty\frac{ Q(\omega)\cdot cos(\omega\cdot t)}{ \omega}d\omega+\underbrace{ \int_{-\infty}^\infty\frac{i\cdot Q(\omega)\cdot sin(\omega\cdot t)}{ \omega}d\omega}_0- \\-\underbrace{\int_{-\infty}^\infty\frac{P(0)\cdot cos(\omega\cdot t)}{i\cdot \omega} d\omega}_0-\int_{-\infty}^\infty\frac{P(0)\cdot sin(\omega\cdot t)}{\omega}\right \}$

Для четных функция, можно интегрировать от 0 до $\infty$ и результат умножить на 2:

$y(t)=P(0)\cdot 1(t)+\frac{1}{\pi}\left \{ \int_{0}^{\infty}\frac{P(\omega)\cdot sin(\omega\cdot t)}{ \omega}d\omega +\int_{0}^\infty\frac{ Q(\omega)\cdot cos(\omega\cdot t)}{ \omega}d\omega- \\-P(0)\cdot\int_{0}^\infty\frac{ sin(\omega\cdot t)}{\omega}d\omega\right \}$

"Легко" видеть, что мы получили интеграл Дирихле в третьем слагаемом:

$\int_{0}^{\infty}\frac{sin(\omega\cdot t)}{\omega}d\omega=\frac{\pi}{2}$

Доказательства этого равенства в видео Интеграл Дирихле. С учетом данного интеграла получаем, а так же выражения для :

$P(0)\cdot 1(t)=\left\{ \begin{align} P(0),если \ \ t <0;\\0,если\ \ t\le 0. \end{align} \right.$

То получаем, для :

$y(t)=P(0)+\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{P(\omega)\cdot sin (\omega\cdot t)}{\omega}d\omega+\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{Q(\omega)\cdot cos(\omega\cdot t)}{\omega}d\omega -\frac{P(0)\cdot \pi}{\pi\cdot 2}$

Упрощая получаемя для

$y(t)=\frac{1}{2}P(0)+\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{P(\omega)\cdot sin (\omega\cdot t)}{\omega}d\omega+\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{Q(\omega)\cdot cos(\omega\cdot t)}{\omega}d\omega \ \ \mathbf{(8.3.9)}$

Если $t\le0$ , то $y(t)=0 \Rightarrow$

$0=\frac{1}{2}P(0)-\frac{1}{\pi}\int_0^\infty\frac{P(\omega)\cdot sin(\omega\cdot t)}{\omega}d\omega+\frac{1}{\pi}\int_0^\infty\frac{Q(\omega)\cdot cos(\omega \cdot t)}{\omega}d\omega \ \ \mathbf{(8.3.10)}$

Складываем 8.3.9 и 8.3.10 получаем выражение переходного процесса через мнимую часть АФЧХ:

$y(t)=P(0)+\frac{2}{\pi}\int_0^\infty\frac{Q(\omega)\cdot cos(\omega\cdot t)}{\omega}d\omega \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.3.11)}$

Вычитаем из 8.3.9 выражением 8.3.10 получаем выражение переходного процесса через вещественную часть АФЧХ:

$y(t)=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty\frac{P(\omega)\cdot sin(\omega\cdot t)}{\omega}d\omega \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.3.12)}$

Формула (8.3.12) является более предпочтительной (более удобной) и поэтому в практике используют, в основном, выражение для через вещественную часть АФЧХ замкнутой САР.

Необходимо заметить, что формула (8.3.12) описывает переходный процесс при , т.е. $y(t)\equiv h_x(t)$ , где - переходная функция замкнутой САР.

Если на вход САР подано воздействие $\delta(t)$ то выражение переходного процесса:

$y_{\delta(t)}\equiv w_x(t)=\frac{d}{dt}h_x(t)=\frac{d}{dt}\left [ \frac{2}{\pi}\int_0^\infty\frac{P(\omega)\cdot sin (\omega\cdot t)}{\omega}d\omega \right]\Rightarrow$

весовая функция замкнутой САР:

$\omega_x(t)=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty P(\omega)cos(\omega\cdot t)d\omega \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.3.13)}$

Если на вход системы подано ступенчатое воздействие $x(t)=a\cdot1(t)$ , то:

$y(t)=\frac{2\cdot a}{\pi}\int_0^\infty\frac{P(\omega)\cdot sin(\omega\cdot t)}{\omega}d\omega\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.3.14)}$

При расчете по формуле (8.3.12) необходимо учитывать ряд особенностей:

Рисунок 8.3.4 Зависимость вещественной части от частоты

где: н.ч. – область низких частот; ср.ч. – область средних частот; выс.ч. – область высоких частот.

Область высоких частот (выс.ч.) «отвечает» (определяет) вид переходного процесса при очень малых t.

Область низких частот (н.ч.) – определяет переходный процесс при очень больших t ( $\rightarrow\infty$ ).

Область средних частот (ср.ч.) – определяет основную часть переходного процесса (например перерегулирование).

Рисунок 8.3.5. Переходный процесс по частотны областях

вычисление по формуле (8.3.12) с использованием численных алгоритмов (например метода трапеций и т.д.) приводит к следующим преобразованим:

$y(t_*)=\frac{2}{\pi}\left \{ P_1\int_0^{\omega_1}\frac{sin(\omega\cdot t_*)}{\omega}d\omega+P_2\int_{\omega_1}^{\omega_2}\frac{sin(\omega\cdot t_*)}{\omega}d\omega+..\\..+P_j\int_{\omega_{j-1}}^{\omega_j}\frac{sin(\omega\cdot t_*)}{\omega}d\omega\right \}$

Можно заменить домножить числитель изнаметатель на и перейти к интегралу по $\omega\cdot t_*$ :

$\int_0^{\omega_1}\frac{sin(\omega\cdot t_*)}{\omega}d\omega=\int_0^{\omega_1\cdot t_*}\frac{sin(\omega\cdot t_*)}{\omega\cdot t_*}d(\omega\cdot t_*)\equiv\int_0^{Z_1}\frac{sin(Z)}{Z}dZ=Si(Z_1)$

Где:

$Z =\omega\cdot t$ - новая переменная;

- интегральный синус.

Для функции интегральный синус существуют таблицы (см. справочники по математике). Как правило в этих таблицах аргумент только до $\approx 20$ . Если , то необходимо проанализировать и скорее всего пренебречь этим слагаемым. Поскольку наша задача определить качество переходного процесса, малые отклонения при завершении нас не сильно интересуют. Вид функции представлен на следующем рисунке:

Рисунок 8.3.6 Вид функции интегрального синуса

При использовании интегрального синуса, для оценки качества переходного процесса путем численного интегрирования достаточно использовать частоты до средних и отбрасывать более высокие частоты.

Рисунок 8.3.7 Функция значение вещественной части АФЧХ разделенная по частотам

Пример

Определить перерегулирование САР, при единичном ступенчатом воздействии если замкнутая и устойчивая САР, имеет вещественную часть АФЧХ - $P(\omega)$ - представленную на рисунке:

$P(\omega)=\left\{ \begin{align} P_0, если \ \ \omega\le\omega_*;\\0,если \ \ \omega>\omega_*. \end {align} \right.$

Используя формулу 8.3.14, выражающую переходную функцию замкнутой САР через $P(\omega)$ для ступенчатого воздействия:

$y(t)\equiv h_x(t)=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty\frac{P(w)}{w}sin(\omega\cdot t)d\omega=\frac{2\cdot P_0}{\pi}\int_0^{\omega_*}\frac{sin(\omega\cdot t)}{\omega}dt$

Введем новую переменную $Z=\omega\cdot t$ тогда $d\omega =\frac{1}{t}dZ\Rightarrow$

$y(t)=\frac{2\cdot P_0}{\pi}\int_0^{\omega_*\cdot t}\frac{sin(\omega\cdot t)}{\omega\cdot t}d\omega=\frac{2\cdot P_0}{\pi}\int_0^{Z_*}\frac{sin(Z)}{Z}dZ=\frac{2\cdot P_0}{\pi}Si(Z_*)$

- интегральный синус (см. справочники по математике).

Легко видеть, что подынтегральная функция $\frac{sin(Z)}{Z}$ на интервале $Z\in[0;\pi]$ положительная, а при $Z\in[\pi;2 \pi]$ - отрицательна и т.д.

Тогда вид функции после интегрирования будет как на рисунке 8.4.3

Согласно рисунку 8.4.3 у функции для будет максимум при $Z_*=\pi$ , а следовательно время максимального отклонения $t_{max}$ можно выразить как:

$Z_*=\omega\cdot t\Rightarrow t=\frac{Z_*}{\omega}\Rightarrow t_{max}=\frac{\pi}{\omega_*}$

Максимальное отклонение:

$\sigma=\frac{y_{max}-y_{\infty}}{y_{\infty}}=\frac{y_{max}}{y_\infty}-1=\frac{2\cdot1.85}{\pi}\approx0.18;$ $\mathbf{\sigma=18\%}$

Более интересный пример рассмотрен в этом видео:

Архив с моделью из видео можно взять здесь...