03.02.2026 15:36
sansan57 5 8900 Источник

В моей практике метод наименьших квадратов Гаусса используется в двух случаях.

Когда производится измерение, для корректировки полученной величины.

Когда необходимо задать ток или напряжение, для вычисления требуемого значения кода, заносимого в ЦАП (цифро-аналоговый преобразователь).

В качестве примера возьму измерение МДС (магнитодвижущая сила) срабатывания геркона.

Согласно ГОСТ 25810 «Контакты магнитоуправляемые герметизированные. Методы измерения электрических параметров» МДС срабатывания определяется по значению тока, про­текающего через измерительную катушку в момент срабатывания геркона.

Если упрощенно, в катушке создается нарастающий со скоростью 1A/мc ток до срабатывания геркона. Величина этого тока и есть МДС срабатывания.

Графически корректировку результатов измерения можно представить следующим образом.

Ось X – то, что измерено, ось Y – то, что должно быть.

В метрологической службе берутся эталонные герконы. Эталонный геркон – это геркон с измеренной метрологами МДС.

Y_1,Y_2 ,Y_3,Y_4 ,Y_5  – МДС 1, 2, 3, 4, 5-го эталонных герконов.

Измеряем 5 эталонных герконов.

X_1,X_2 ,X_3 ,X_4 ,X_5   – измеренная МДС 1, 2, 3, 4, 5-го геркона.

Для справки. Метод наименьших квадратов Гаусса позволяет заменить кривую результатов прямой (рис. 1).

Рисунок 1. Прямая, вычисленная по методу Гаусса
Рисунок 1. Прямая, вычисленная по методу Гаусса

Уравнение прямой:

Y=aX+b

Коэффициенты a, b однозначно определяют прямую.

Формулы Гаусса для a, b:

a=\frac{n\sum{Y_iX_i}-\sum{X_i}\sum{Y_i}}{n\sum{X_i^2}-(\sum{X_i})^2}b=\frac{\sum{Y_i}-a\sum{X_i}}{n}

В нашем примере n=5,X_i  – измеренная МДС,Y_i  - эталонная.

Таким образом, измерив МДС герконаX_i , вносим поправку, получаем  скорректированное значение:

Y(X_i)=aX_i+b

В другом случае, при задании, к примеру, тока, решаем обратную задачу.  Если необходимо задать токY_k , тогда в ЦАП заносим код тока равного:

X_k=\frac{Y_k-b}{a}

Вернемся к измерению МДС.

Погрешность измерения за счет влияния внешних элек­трических и магнитных полей не должна превышать 0.5А, и не должна быть более 2%.

Практика показала, что чем меньше величина МДС, тем меньшая погрешность допускается.

Моя идея – это ввести весовые коэффициенты отклонений в формулу критерия Гаусса. При этом функцияK(X_i) , весовых коэффициентов измерений – это тоже прямая.

Тогда получаем.

Критерий метода наименьших квадратов Гаусса:  сумма квадратов отклонений точек кривой от точек прямой минимальна.

F(a,b)=\sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} }(Y_i-\overline{Y_i})^2

ГдеY_i  – эталонная величина,\overline{Y_i} – точка на прямой Гаусса.

Если определить K_i , как вес отклонения дляX_i , то уравнение Гаусса примет вид:

F(a,b)=\sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} }K_i(Y_i-\overline{Y_i})^2

Получаем уравнения для a, b прямой:

a=\frac{\sum{K_i}\sum{K_iY_iX_i}-\sum{K_iX_i}\sum{K_iY_i}} {\sum{K_i}\sum{K_iX_i^2}-(\sum{K_iX_i})^2}b=\frac{\sum{K_iY_i}-a\sum{K_iX_i}} {\sum{K_i}}

Пример. ДопустимK(X_i)  - линейная функция:

K(X_i)= cX_i+d

Пусть для двух крайних точек прямой:

X_1=8AX_5=65A

Весовые коэффициенты заданы как:

K_1-100\%=1K_5-20\%=0.2

Тогда получаем c, d прямой весовых коэффициентов по двум точкам:

c=\frac{K_5-K_1} {X_5-X_1}=\frac{0.2-1}{65-8}\approx-0.014d=K_1-cX_1=1+0.014*8\approx1.112

Калькулятор (рис. 2) и тексты макросов демонстрируют идею метода наименьших квадратов  Гаусса с весовыми коэффициентами отклонений. 

Рисунок 2. Калькулятор
Рисунок 2. Калькулятор

Private Sub CommandButton1_Click()

    MNK

    MNKk

End Sub

 ' Метод наименьших квадратов Гаусса

Sub MNK()

 Dim i

Dim n

Dim ny, nx, nyx, nx2

Dim a, b

n = 5

ny = 0

nx = 0

nyx = 0

nx2 = 0

For i = 3 To n + 2

    ny = ny + Cells(i, 2)

    nx = nx + Cells(i, 3)

    nyx = nyx + Cells(i, 2) * Cells(i, 3)

    nx2 = nx2 + Cells(i, 3) * Cells(i, 3)

Next

a = (n nyx - nx ny) / (n nx2 - nx nx)

b = (ny - a * nx) / n

 Cells(3, 5) = a

Cells(3, 6) = b

End Sub

' Метод наименьших квадратов Гаусса с весовыми коэффициентами отклонений

Sub MNKk()

 Dim i

Dim n

Dim nk, nky, nkx, nkyx, nkx2

Dim a, b

 n = 5

nk = 0

nky = 0

nkx = 0

nkyx = 0

nkx2 = 0

 For i = 3 To n + 2

    nk = nk + Cells(i, 15)

    nky = nky + Cells(i, 15) * Cells(i, 13)

    nkx = nkx + Cells(i, 15) * Cells(i, 14)

    nkyx = nkyx + Cells(i, 15) Cells(i, 13) Cells(i, 14)

    nkx2 = nkx2 + Cells(i, 15) Cells(i, 14) Cells(i, 14)

Next

 a = (nk nkyx - nkx nky) / (nk nkx2 - nkx nkx)

b = (nky - a * nkx) / nk

 Cells(3, 17) = a

Cells(3, 18) = b

End Sub

Приложение №1. Метод наименьших квадратов Гаусса

F(a,b)=\sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} }(Y_i-\overline{Y_i})^2=\sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} }(Y_i-(aX_i+b))^2=\sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} } (Y_i^2-2Y_i(aX_i+b)+(aX_i+b)^2)=\sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} } (Y_i^2-2Y_iaX_i-2Y_i b+a^2X_i^2+2aX_ib+b^2)\frac {\partial F(a,b)} {\partial a} =\sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} } (-2Y_iX_i + 2aX_i^2 + 2X_ib) = 0- \sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} } Y_iX_i + \sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} } aX_i^2 + \sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} } X_ib = 0 \frac {\partial F(a,b)} {\partial b} = \sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} } (-2Y_i + 2aX_i + 2b) = 0\sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} } (-Y_i + aX_i + b) = 0\sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} } -Y_i + \sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} } aX_i + \sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} } b = 0\sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} } -Y_i + a\sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} } X_i + nb = 0b = \frac {\sum Y_i -a\sum X_i } {n}na\sum X_i^2 – a(\sum X_i)^2 = n\sum Y_iX_i - \sum X_i \sum Y_ia = \frac {n\sum Y_i X_i - \sum X_i \sum Y_i} {n\sum X_i^2 – (\sum X_i)^2}

Приложение №2. Метод наименьших квадратов Гаусса с весовыми коэффициентами отклонений

F(a,b)=\sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} } K_i(Y_i-\overline{Y_i})^2

K_i   – вес отклонения для  X_i

=\sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} } K_i(Y_i – (aX_i+b))^2=\sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} } (K_iY_i^2 –2K_iY_iaX_i-2K_iY_ib+K(i)a^2X_i^2+2K_iaX_ib+K_ib^2 )\frac {\partial F(a,b)} {\partial A} = \sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} } (-2K_iY_iX_i + 2K_iaX_i^2 + 2K_iX_ib) = 0-\sum K_iY_iX_i + a\sum K_iX_i^2 + b\sum K_iX_i = 0\frac {\partial F(a,b)} {\partial b} = \sum^{\substack{n}}_{\substack{i=1} } (-2K_iY_i + 2K_iaX_i + 2K_ib) = 0\sum –K_iY_i + a\sum K_iX_i + b\sum K_i = 0b = \frac {\sum K_iY_i - a\sum K_iX_i } {\sum K_i}a = \frac {\sum K_i \sum K_iY_iX_i - \sum K_iX_i \sum K_iY_i} {\sum K_i \sum K_iX_i^2 – (\sum K_iX_I)^2}

Комментарии (5)


  1. doxidus
    03.02.2026 17:41
    #29478096

    Вот, даже, как-то непонятно.
    То ли эта статья - стёб, то ли это студент первого курса написал.

    ТС, вы можете дать ссылку на описываемый вами "метод наименьших квадратов Гаусса"?

    Ну, либо вы смешали два вычислительных метода.
    Первый, собственно, сам метод наименьших квадратов (МНК).
    Второй - метода Гаусса, которым решаете систему уравнений. Хотя, в случае линейной аппроксимации? этот метод не требуется, так как для этого есть прямые формулы вычисления коэффициентов уравнения
    y = kx + b

    "Для справки. Метод наименьших квадратов Гаусса позволяет заменить кривую результатов прямой"
    По сути это аппроксимация экспериментальных данных линейной функцией с применением МНК.

    "Моя идея – это ввести весовые коэффициенты отклонений в формулу критерия Гаусса."
    Вы определитесь - у вас "метод наименьших квадратов Гаусса", "уравнение Гаусса" или "формулу критерия Гаусса".

    Ну, и с весовыми коэффициентами. Т.е. вы их задаёте от балды, а потом рассчитываете некоторое значения K(x_i) от ваших x_i?
    Если так, то ваше "уравнение Гаусса" должно описывать некоторую ломаную. Тогда как на графике это прямая.
    Или значения настолько малы, что не видно, как меняется ваша прямая на каждом участке вашего разбиения?

    Крайне странное и непонятное повествование. Что вы тут описываете?
    Ytrbq yjds


  1. sansan57 Автор
    03.02.2026 17:41
    #29478206

    Я специально дал краткое объяснение МНК Гаусса для несведущих. В конце приложил вывод Гаусса и вывод МНК с весовыми коэффициентами. В обоих случаях это прямая (см. рис 2. Калькулятор). Весовые коэффициенты определяются на практике в каждом конкретном случае.


  1. buratino
    03.02.2026 17:41
    #29479728

    кажется, была сделана попытка переоткрыть взвешенный МНК.... Справедливости ради сходу гуглится какая-то заумая голубая муть, особенно в Википедии
    Кроме того, нигде не дается формула для вычисления среднего Yi, а ведь если мы даем вес каждому измерению, то и среднее должно бы сместиться


    1. sansan57 Автор
      03.02.2026 17:41
      #29479816

      "заумная голубая муть" - точно такое же ощущение испытал, когда искал метод решения описанной проблемы. Весовые коэффициенты известны давно, вопрос в виде функции этих весов. Прямая оказалась самым простым и легким в реализации вариантом.


  1. ALexKud
    03.02.2026 17:41
    #29480900

    Весовые коэффициенты имеют смысл, когда у вас несколько уравнений для регресионного анализа. Каждый, даже не математик понимает, что если умножить все части уравнения на константу, то результат решения не изменится. Но получаемые коэффициенты при решении по методу наиеменьнших квадратов будут отличаться если вы для одного уравнения добавите допустим коэфф. 100 а для других 10. Это может быть различные способы решения, Гаусса, Гивенса и т п. То есть там где будут весовые коэффициенты больше точность вычисления коэффициентов регресии будет выше, то есть в этих точках отклонения от линейного закона будут меньше. Это если кратко и без воды.