22.03.2026 09:49
drzewo 3 7600 Источник

В этой статье речь пойдет об элементарных функциях с позиций современного анализа. Это — рассказ в духе двухтомника Феликса Клейна «Элементарная математика с точки зрения высшей».

Дисклеймер: в данной статье, как и в других публикациях автора, не обсуждается методика преподавания физики и математики в средней школе.

Определение. Экспонентой называется функция

\exp(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{k!},\quad z=t+i\tau\in\mathbb{C}.

Экспонента — функция целая, радиус сходимости её ряда равен бесконечности; она ставит в соответствие действительному аргументу действительное значение.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что экспонента удовлетворяет следующей задаче Коши:

\frac{dw}{dz}=w,\quad w(0)=1,\quad w(z)=\exp(z).\qquad(1)

В силу группового свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений имеем:

\exp(z_1+z_2)=\exp(z_1)\exp(z_2).\qquad(2)

Из этой формулы ясно, что экспонента не обращается в ноль ни в одной точке \mathbb{C}, так как если бы она обращалась в ноль в какой-нибудь точке z_1, то она была бы тождественно равна нулю.

Следовательно, функция \exp(t) положительна и монотонно возрастает на действительной прямой t\in\mathbb{R}, что непосредственно вытекает из (1).

Определение. Число e определяется как \exp(1).

Из определения экспоненты следует, что e>1.

Из формулы (2) находим:

\exp(m/n)=\sqrt[n]{e^m},\quad m\in\mathbb{Z},\quad n\in\mathbb{N}.\qquad(3)

Следовательно, \lim_{t\to\infty}\exp(t)=\infty,\quad \lim_{t\to-\infty}\exp(t)=0.

Формула (3) оправдывает обозначение: e^z:=\exp z.

Определение. Натуральным логарифмом называется функция, обратная к экспоненте:

\ln:(0,\infty)\to\mathbb{R},\quad \ln\exp t=t,\quad \exp\ln\xi=\xi,\quad\xi>0.

Кроме того,

\log_a \xi:=\frac{\ln \xi}{\ln a},\quad a^t:=\exp(t\ln a),\quad a>0,\quad a\ne 1.

Перейдем к тригонометрии.

Определение.

\cos z:=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\quad \sin z:=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.

Отсюда и из (1), (2) следует, что

\cos^2z+\sin^2z=1,\quad \frac{d}{dz}\cos z=-\sin z,\quad \frac{d}{dz}\sin z=\cos z.\qquad(4)

Также непосредственно из определений синуса и косинуса вытекает формула Эйлера:

e^{iz}=\cos z+i\sin z.

Чтобы связать построенную теорию с элементарными наглядными представлениями о синусах и косинусах в терминах единичной окружности, введем на евклидовой плоскости \mathbb{R}^2 декартовы координаты (x,y) и рассмотрим кривую

x(t)=\cos t,\quad y(t)=\sin t.\qquad(5)

Из формул (4) получаем:

x^2(t)+y^2(t)=1,\quad \dot x^2+\dot y^2=1,\quad \begin{vmatrix}x(t)&y(t)\\\dot x(t)&\dot y(t)\end{vmatrix}=1.

Точкой сверху здесь обозначена производная по t.

Из этих формул вытекает следующая теорема.


Теорема. Функции (5) представляют собой параметрическое уравнение окружности радиуса 1 c центром в нуле, причем t -- натуральный параметр. Увеличению t соответствует обход окружности против часовой стрелки.

Через \pi обозначим половину длины единичной окружности. Из доказанной теоремы вытекают следующие формулы:

\cos(t+2\pi)=\cos t,\quad \sin(t+2\pi)=\sin t.

В заключение напомним определение длины дуги кривой, которое мы здесь используем. Зададим параметрически кривую\gamma:

\gamma(t)=(x(t),y(t)),

где

x(\cdot),y(\cdot)\in C^1[t_1,t_2],\quad \dot\gamma=(\dot x,\dot y)(t)\ne 0,\quad t\in[t_1,t_2].

Длиной кривой называется число

\ell=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\dot x^2(t)+\dot y^2(t)}dt.

Параметр t называется натуральным, если подкоренное выражение в этом интеграле тождественно равно единице. Натуральный параметр отсчитывает длину дуги вдоль кривой.

Комментарии (3)


  1. Naf2000
    22.03.2026 17:58
    #29706482

    Надо сначала доказать, что ряд, который вы написали в определении экспоненты, сходится при любом значении аргумента. Потом его непрерывность и дифференцируемость


  1. odietproieci
    22.03.2026 17:58
    #29706508

    Не очень понятен смысл текста. Как бы все эти закономерности и свойства знакомы всем кто изучал комплексный анализ на достаточном уровне для понимания текста. А те кто не изучал те как бы и вряд-ли поймут.

    Даже проскальзывают слова о какой-то построенной теории, но теории то тут нет. Просто из определения комплексной экспоненты выводится все то что мы и так знаем, но в этом и не было сомнений потому что комплексная экспонента это расширение обычной. В общем странно.


    1. drzewo Автор
      22.03.2026 17:58
      #29707180

      В тексте есть методические нюансы, которые те, кто действительно <<изучал комплексный анализ на достаточном уровне>>, поймут. А те, кто просто прослушал стандартный курс матана, вполне могут разобраться непосредственно в процессе чтения статьи. В этом и состоит смысл текста.