Перед вами головоломка по эпистемической логике. Для ее решения не требуется знакомства с предыдущими публикациями. Материал продолжает перевод статьи Джоэла Дэвида Хэмкинса «Epistemic Logic and the Problem of Common Knowledge». Ранее вышли:
Задача про голубоглазых островитян
На отдалённом острове живут сто безупречно логичных жителей с отличным зрением, и каждый из них знает, что все остальные обладают такими же способностями. Кроме того, у всех них яркие, насыщенно‑голубые глаза.
Однако по их культурным обычаям цвет глаз никогда не обсуждается. Если кто‑либо из жителей узнает, что у него голубые глаза, он обязан на следующем рассвете покинуть остров, устроив перед уходом эффектное представление, заметное всем остальным жителям. Поэтому на острове нет ни зеркал, ни камер, а сами островитяне никогда не смотрят на собственное отражение. И действительно, никто из них не знает цвета собственных глаз.
Однажды на остров приезжает гостья, которой все доверяют, и приятно проводит там некоторое время. В конце своего визита, перед отъездом, когда всё сообщество собирается её проводить, она замечает:
«По крайней мере у одного из вас голубые глаза».
Ровно через сто дней происходит следующее: на рассвете все островитяне устраивают большое эффектное представление и покидают остров.
Почему? Можете объяснить, каким образом каждый из островитян именно в этот день пришёл к знанию того, что у него голубые глаза?
Отступление
Давайте решим эту задачу вместе. Для начала полезно разобрать несколько более простых случаев.
Сначала рассмотрим тривиальный случай, когда голубые глаза есть только у одного жителя острова, а не у ста. Когда гостья, которой все доверяют, говорит: «По крайней мере у одного из вас голубые глаза», единственный голубоглазый островитянин, естественно, заключает, что речь может идти только о нём. Поэтому на рассвете следующего дня он устраивает эффектное представление перед уходом и покидает остров.
Теперь рассмотрим случай, когда на острове всего два жителя и у обоих голубые глаза. Каждый из них, разумеется, знает, что у другого голубые глаза, но поначалу не знает цвета собственных глаз. Услышав от гостьи, что по крайней мере у одного из них голубые глаза, каждый рассуждает следующим образом: «Если у меня глаза не голубые, то другой островитянин это знает. А поскольку он только что узнал, что по крайней мере у одного из нас голубые глаза, он поймёт, что голубые глаза именно у него. Тогда на следующем рассвете он устроит эффектное представление и покинет остров».
Когда на следующий день никакого представления не происходит, оба продолжают рассуждать: «Раз другой островитянин не устроил эффектного представления и не покинул остров, значит, причина в том, что у меня самого голубые глаза, а он, в свою очередь, ждал, не устрою ли такое представление я».
Таким образом, установив цвет собственных глаз, оба островитянина на рассвете второго дня устраивают эффектное представление и покидают остров.
В случае трёх островитян каждый из них рассматривает возможность того, что у него самого глаза не голубые. Поскольку у двух остальных глаза голубые, при таком предположении каждый ожидал бы, что эти двое пройдут через рассуждение из случая с двумя островитянами. А именно, каждый из них видел бы одного другого голубоглазого островитянина и задавался бы вопросом, голубые ли глаза у него самого. Если бы нет, то другой островитянин устроил бы эффектное представление уже на первом рассвете. Но этого не происходит, поскольку на самом деле каждый видит двух людей с голубыми глазами. Следовательно, оба должны были бы понять, что у них голубые глаза, и устроить эффектное представление на втором рассвете.
Однако и этого не происходит, поскольку все трое ждут, не поступят ли так двое остальных. Поэтому теперь каждый из них понимает, что у него самого тоже голубые глаза. В результате все трое устраивают эффектное представление на третьем рассвете после объявления.
И так далее для большего числа островитян. Общее утверждение, которое я докажу по индукции, состоит в следующем: если на острове есть n голубоглазых жителей и, возможно, некоторое число жителей с глазами другого цвета, то все голубоглазые жители узнают цвет своих глаз к рассвету n‑го дня после объявления, устроят эффектное представление и покинут остров в этот день.
Мы уже показали, что это верно при n = 1. Предположим теперь, что утверждение верно для n, и рассмотрим случай с n + 1 голубоглазыми островитянами. Каждый из них допускает, что его собственные глаза, возможно, не голубые. Тогда на острове было бы ровно n голубоглазых жителей, а значит, каждый ожидал бы, что все остальные голубоглазые жители устроят эффектное представление и покинут остров на n‑й день.
Но этого не происходит, поскольку каждый из них сам ждёт, не сделают ли это остальные. Поэтому каждый островитянин заключает, что его глаза всё‑таки голубые. Поскольку все n + 1 голубоглазых жителей независимо приходят к такому выводу, на рассвете (n + 1)‑го дня они все устраивают эффектное представление и покидают остров.
Следовательно, по индукции утверждение доказано для всех n, и в частности для n = 100, как в нашей задаче. Таким образом, задача решена.
Тонкий парадокс
Обратите внимание, что утверждение гостьи: «По крайней мере у одного из вас голубые глаза» — к тому моменту уже было известно каждому из островитян. Но как получается, что публичное объявление факта, который и без того известен каждому, запускает сложную цепочку рассуждений, в конечном счёте приводящую к их печальному изгнанию?
Дело в том, что для рассуждений островитян важен не только сам факт, высказанный гостьей, но и то, что каждый островитянин знает, что остальные тоже знают этот факт, а также знает, что все знают, что все его знают, и так далее — с повторением этой вложенности сто раз. Иными словами, существенным оказалось то, что факт наличия голубых глаз по крайней мере у одного из островитян стал общим знанием.
следующая статья: «Я знаю, что ты не знаешь»: задача про пиратов
Комментарии (24)
zakker
31.08.2026 22:27Иными словами, существенным оказалось то, что факт наличия голубых глаз по крайней мере у одного из островитян стал общим знанием.
Но ведь они и так все знали, что "факт наличия голубых глаз по крайней мере у одного из островитян" - это общее знание. А если каждый из них не был уверен, что остальные видели голубые глаза своих... гм... соостровитян, тогда и фраза гостьи не стриггерила бы 100-дневный обратный отсчет.
Иными словами: необходимым и достаточным условием для срабатывания триггера является уверенность каждого, что все другие видели глаза всех. А гостья вообще никак не влияла на итоговый результат.
khdavid Автор
31.08.2026 22:271) Прошу прощения, я случайно ваш коммент заминусовал. К сожалению, обернуть не получается
2) Тут под "общим знанием" имеется ввиду не просто, что все про это знают. А более строгая штука - подробно описанная в первой статье (ссылка в начале статьи). В двух словах, это значит, что все знают, что все знают, что все знают.... [и так бесконечно раз].
avshkol
31.08.2026 22:27К этой строгой штуке полагается ещё одна - абсолютное незнание островитян о вероятности. Если у всех 100 жителей голубые глаза, то почему у меня должны быть иные?
Аналогично, зная, что у всех два лёгких, сложно предполагать человека без расстройства психики, который на полном серьёзе считает, что именно у него одно...
Wesha
31.08.2026 22:27Однажды на остров приезжает гостья, которой все доверяют, и приятно проводит там некоторое время. В конце своего визита, перед отъездом, когда всё сообщество собирается её проводить, она замечает: «По крайней мере у одного из вас голубые глаза».
Проведя ночь в глубоких раздумьях, утром следующего дня седой старый философ Ыыы станцевал перед остальными островитянами зажигательную джигу и уплыл на старой пироге, оставив им на прощание загадочное изречение: «Счастье многих важнее счастья одного. Я спасаю вас всех!»
tmaxx
31.08.2026 22:27“… Возможно, я спасаю вас всех!” Если у философа карие глаза - никого он не спасает
Wesha
31.08.2026 22:27Над этим философ размышлял вторую половину ночи (первую — над тем же, над чем и аффтар), и пришёл к выводу, что вероятность, что у него не голубые глаза, составляет (100-99/100) = 1%, и что с такими шансами можно и рискнуть, тем более, что он и так скоро помре.
tmaxx
31.08.2026 22:27Так если они все безупречно логичные философы, они и все вместе могут утром джигу станцевать
Bumerang7
31.08.2026 22:27По моему, в первый же день они все должны были уехать. В условии сказано, что у всех на острове голубые глаза. Каждый видит, что глаза голубые у всех и не знает цвет только своих глаз. Таким образом, каждый должен сразу подумать: "Только у меня могут быть карие глаза, если на острове есть 1 такой, то это я. Срочно уезжаю."
khdavid Автор
31.08.2026 22:27Если вы допускаете, что у вас могут быть карие глаза. И знаете, что ваши соседи логики-философы, то обязаны предположить, что ваш сосед смотрит на вас, видит, что у вас карие глаза, и точно также задумывается и допускает, что у него тоже могут быть карие глаза.
Bumerang7
31.08.2026 22:27Ели я задумаюсь о мыслях соседа, видящего мои карие глаза, я подумаю, что сосед видит 98 человек с голубыми глазами и одного меня с карими, он может сомневаться в цвете своих глаз т.к. не знает, 1 или 2 человека с карими глазами. Но у меня нет сомнений, т.к. я вижу 99 человек с голубыми глазами, значит я точно с карими и мне необходимо срочно уехать.
Так в первую же секунду после объявления должен подумать каждый.khdavid Автор
31.08.2026 22:27Представьте ту же самую задачу где на острове 100 человек, и только двое из них голубоглазые, остальные кареглазые. В такой ситуации намного проще понять, почему эти двое через два дня должны уйти, а не через день.
Bumerang7
31.08.2026 22:27В этом случае, чтобы эти двое начали вообще размышлять на тему отъезда, девушка должна заявить следующее: "На этом острове по крайней мере 99 человек с карими глазами".
А "я" вижу 98 с карими и одного с голубыми, значит, у меня точно карие и я должен немедленно уехать. Так же подумает и второй. Оба сразу уезжают. Остальные сразу после заявления пребывают в недоумении т.к. каждый из 98 кареглазых видит 2 годубоглазых и понимает, что заслуживающая доверия девушка, лжет.
Bumerang7
31.08.2026 22:27Прошу извинить, я невнимательно прочел условие задачи. Но теперь у меня другие возражения. Житель острова должен уехать не на сотый день от объявления девушки, а на n-ый день от момента, как как он узнал о условиях отъезда.
Как только житель узнает об условиях, он должен запустить цепочку рассуждений.
Deosis
31.08.2026 22:27Как раз объявление девушки и становится всеобщей точкой отсчета.
Жители могли узнавать условия как в один день, так и в разные.
Bumerang7
31.08.2026 22:27Однако, девушка не сообщала им условия отъезда. Если жители в разное время узнают эти условия, то часть из них может не знать о них и после заявлений девушки. В этом случае нельзя делать предположения о мыслях других жителей.
tmaxx
31.08.2026 22:27Не понял, почему “срочно уезжаю”? Уехать должны голубоглазые, а не кареглазые. Просто узнать о цвете своих глаз нельзя, его надо логически вывести
Bumerang7
31.08.2026 22:27Прошу простить, перепутал условия задачи.
Но теперь я возражаю, против того, что сообщение всем известного факта, запускает процесс отъезда. Процесс отъезда запускается сообщением жителям условий отъезда.khdavid Автор
31.08.2026 22:27процесс уезда запускается, только после этого события, потому что только после него все жители
знают что у всех остальных голубые глазазнают что все знают что у всех остальных голубые глаза
знают что все знают что все знают что у всех голубые глаза
..... [и так до бесконечности]
До провозглашения у них этого общего знания не было. Это общее знание и запускает уезд через сто дней.
Bumerang7
31.08.2026 22:27Почему жители не стали думать о возможности своего отъезда после того, как узнали об условиях отъезда?
"(1)знают что у всех остальных голубые глаза, (2)знают что все знают что у всех остальных голубые глаза..."
Каждый из них и до девушки знал, что (1) у всех остальных голубые глаза. Но знания (2) вообще нет, никто из них не может думать, что остальные знают, что у всех голубые глаза т.к. остальные видят и его глаза, которые могут быть не голубыми.khdavid Автор
31.08.2026 22:27до отъезда у них не было глубины знания 100, достаточного для отъезда. Максимум, несколько уровней. На практике, когда девушка сообщила им знание, довольно сложно добиться >100-уровня знания, но по условиям задачи оно достигло.
В первой части перевода очень подробно про такие тонкости рассказыватся. Советую почитать. Ссылка в начале статьи.
Andriuxa
31.08.2026 22:27это развитие старой задачи про трех мудрецов, три белых и два черных колпака.
Wizard_of_light
31.08.2026 22:27по их культурным обычаям цвет глаз никогда не обсуждается
"Ничего не скажу про твои глаза, но лучше бы тебе свалить с этого острова!".
codecity
Подобная загадка-парадокс - Парадокс неожиданной казни.
Нужно попробовать это запрограммировать в виде объектов.