В моей прошлой статье https://habr.com/ru/articles/1090172/ мной был предложен и реализован программно алгоритм полного перебора всех схем степени 8. https://gitverse.ru/mshshukin2005/real-schemes-degree8. Свой результат я оформил как препринт и опубликовал его здесь: https://zenodo.org/records/23240531 .

С учётом более позднего обзора О. Виро https://www.math.stonybrook.edu/~oleg/math/papers/1989-PloVeAlgKr-postr.pdf и работ Оревкова (S. Yu. Orevkov. Classification of flexible M-curves of degree 8 up to isotopy // Geom. Funct. Anal. — 2002. — Vol. 12, no. 4. — P. 723–755.) верхняя оценка была уменьшена до 2861 схемы степени 8. Таким образом, учитывая результат Z. Geiselmann, M. Joswig, L. Kastner et al. Limits of combinatorial patchworking https://arxiv.org/pdf/2602.06888 — 2026. в 2367 схем Т-кривых, для полной систематизации октан остаётся реализовать (либо запретить) не более 494 схем.

Алгоритм полного перебора с учётом ограничений обобщается на произвольную степень. Опираясь на статью Ю. Численко Chislenko, Y.S. M-curves of degree 10. J Math Sci 26, 1689–1699 (1984). https://doi.org/10.1007/BF01106447  , мне удалось реализовать его для М-кривых степени 10 (это только предварительный подсчёт). (https://gitverse.ru/mshshukin2005/real-schemes-M-curves-degree10). Контроль корректности подсчёта: перебор выполнен двумя путями — прямым порождением комбинаторных формул и развёрткой полного списка полиномов с последующей канонизацией (устранение дубликатов); Только для М-кривых степени 10 получается точная верхняя оценка в 71592 схемы, что отлично согласуется с приближённой оценкой Численко в "около 70000". Полный перебор полученных комбинаторных формул совпал с результатом для списка с дубликатами. Полный прогон с верификацией для степени 10 планируется выполнить; результаты будут опубликованы в репозитории по мере готовности.

В этой статье мы сделаем упор на шестую и седьмую степени. Напомним, что для них полная классификация уже завершена:

Олег Виро в 1980 году опубликовал полную классификацию кривых степени 7 — 121 вещественная схема (Источник [3] https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dan&paperid=43983&option_lang=rus).Позднее для кривых степени 7 (септики) построены 4 триангуляции, удовлетворяющие всем 121 схемам, для каждой схемы приведены сертификат и знаковое распределение, из которых явный полином выписывается формулой патчворка, однако готовых таблиц полиномов публикация не содержит. (источник [7]: Z. Geiselmann, M. Joswig, L. Kastner et al. Limits of combinatorial patchworking https://arxiv.org/pdf/2602.06888— 2026.)

Источник: https://habr.com/ru/articles/1090172/

Во-первых, нетрудно заметить,что значительная часть схем степени 7 легко строится при помощи прямого произведения ( то есть перемножением двух и более полиномов более маленьких степеней. Они называются распадающимися). Опираясь на готовые формулы из классификации степени 6 https://arxiv.org/pdf/1703.01660, можно построить 56 из 121 схемы степени 7 (то есть чуть меньше половины списка), просто умножая соответствующую секстику на прямую, подобранную так, чтобы она не пересекалась с овалами.

Ниже- картинки, полученные из явных формул для классификации 6 степени. Авторы оригинальной статьи [14]: Nidhi Kaihnsa, Mario Kummer, Daniel Plaumann, Mahsa Sayyary Namin, and Bernd Sturmfels Источник:https://arxiv.org/pdf/1703.01660

Насколько мне известно, полный визуальный атлас всех 64 представителей из статьи [14] не публиковался: авторы [14] использовали точную классификацию (программа-классификатор топологического типа без визуализации) и рисовали лишь возмущённые выборки из каждого класса. Полный атлас для степени 6, воспроизводящий все формулы [14] независимым рендерингом, у меня есть; сверка транскрипции полиномов с таблицей представителей [14] показала дословное совпадение.

Для седьмой степени построим аналогичные картинки (для самых простых случаев) самостоятельно.

Ниже- картинки для самых тривиальных случаев от нуля до трёх овалов:

0 овалов:

1 овал:

2 овала:

3 овала:

Также для одной схемы с 4 овалами всё получается без использования списка секстик:

Все остальные схемы требуют списка из 56 схем кривых 6 степени https://arxiv.org/pdf/1703.01660 (построение описано выше), либо алгоритма patchworking. Его полное описание есть в статье О. Виро 1980 года https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dan&paperid=43983&option_lang=rus и Z. Geiselmann, M. Joswig, L. Kastner et al. Limits of combinatorial patchworking https://arxiv.org/pdf/2602.06888 — 2026. (приведены полные таблицы сигнатур и описаны 4 триангуляции, которые реализуют все схемы 7 степени.)

Опираясь на работу немецкой группы авторов Z. Geiselmann, M. Joswig, L. Kastner et al. Limits of combinatorial patchworking https://arxiv.org/pdf/2602.06888— 2026.), мной была предпринята попытка (на мой взгляд, неудачная), реализовать алгоритм patchworking и воспроизвести некоторые схемы для кривых 7 степени.

Вот что получилось:

Таким образом, в данной статье приведён обзор по алгебраическим кривым седьмой степени, указан и частично реализован метод получения изображений (атласа) и явных формул для полиномов.

Следует добавить, что для распадающихся кривых степени 8 в 2020 году математиками И. М. Борисовым, Г. М. Полотовским было проведено исследование: https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/370616196.pdf

Поскольку обзор относится к очень узкой области математики, то практическое применение всех результатов ограничено.

Статья носит чисто обзорный и систематизирующий характер.

Список литературы

[1] D. Hilbert. Mathematische Probleme // Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. — 1900. — S. 253–297. https://de.wikisource.org/wiki/Mathematische_Probleme

[2] https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dan&paperid=34492&option_lang=rus

[3] О. Я. Виро. Кривые степени 7, кривые степени 8 и гипотеза Рэгсдейл // Докл. АН СССР. — 1980. — Т. 254, № 6. — С. 1306–1310. https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dan&paperid=43983&option_lang=rus

[4] https://www.researchgate.net/publication/230998196_REAL_PLANE_CURVES_OF_DEGREES_7_AND_8_NEW_PROHIBITIONS

[5] https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=faa&paperid=2426&option_lang=rus

[6] S. Yu. Orevkov. Classification of flexible M‑curves of degree 8 up to isotopy // Geom. Funct. Anal. — 2002. — Vol. 12, no. 4. — P. 723–755.

[7] Z. Geiselmann, M. Joswig, L. Kastner et al. Limits of combinatorial patchworking // https://arxiv.org/pdf/2602.06888— 2026.

[8] OEIS Foundation Inc. Entry A001399: Number of partitions of n into at most 3 parts [Электронный ресурс] // The On‑Line Encyclopedia of Integer Sequences.

[9] Z. Geiselmann, M. Joswig, L. Kastner et al. Fast isotopy computation for T‑curves // arXiv:2604.09221 [math.AG]. — 2026. https://arxiv.org/pdf/2604.09221

[10] https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=ivm&paperid=4418&option_lang=rus

[11] https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=faa&paperid=2536&option_lang=rus

[12]https://www.math.stonybrook.edu/~oleg/math/papers/1989-PloVeAlgKr-postr.pdf

[13]https://arxiv.org/pdf/math/0002213

[14] https://arxiv.org/pdf/1703.01660

[15] https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/370616196.pdf