Постановка задачи(официальная)

Вы посещаете ферму, на которой деревья выстроены в один ряд слева направо. Деревья представлены целочисленным массивом fruits, где fruits[i] — это тип фруктов на i-ом дереве.

Вы хотите собрать как можно больше фруктов, но владелец фермы установил следующие правила:

1. У вас есть две корзины, каждая из которых может содержать только один тип фруктов.

2. В каждой корзине может быть неограниченное количество фруктов.

3. Начиная с любого дерева, вы должны собирать фрукты с каждого дерева (включая стартовое), двигаясь вправо.

4. Если вы встречаете дерево, фрукты которого не могут поместиться в ваши корзины, вы должны остановиться.

Задача состоит в том, чтобы найти максимальное количество фруктов, которые можно собрать, соблюдая эти правила.

Упрощенная версия постановки

Дан массив fruits, где каждый элемент представляет дерево, а его значение указывает тип фрукта, который растет на этом дереве. У нас есть две корзины, каждая из которых может содержать неограниченное количество фруктов одного типа(к примеру, в одну корзину можем положить все фрукты типа 4, а во вторую корзину положить все фрукты типа 7). Наша цель — собрать как можно больше фруктов, непрерывно двигаясь слева направо от любого начального дерева, пока не встретим тип фрукта, который не помещается в корзины(к примеру, в одной корзине фрукты типа 4, в другой корзине фрукты типа 7, а сейчас мы рядом с деревом на котором растет фрукт типа 2, мы не можем добавить этот тип ни в одну корзину, т.к. в корзине может находиться фрукты только одного типа).

Подход к решению

Для решения задачи мы будем использовать технику "скользящего окна" (sliding window) и хэш-таблицу для отслеживания количества каждого типа фруктов в текущем окне.

Почему именно этот подход?

1. Эффективность: Метод скользящего окна позволяет пройти по массиву всего один раз, что обеспечивает линейную временную сложность O(n). Это оптимально для больших массивов.

2. Отслеживание состояния: Хеш-таблица помогает быстро проверять и обновлять количество типов фруктов в текущем окне.

3. Гибкость: С помощью сдвига границ окна можно динамически адаптироваться к изменениям типов фруктов и корректировать размер окна.

Алгоритм

1. Инициализация переменных:

   • res для хранения результата (максимальное количество фруктов).

   • type_counter для отслеживания количества каждого типа фруктов в текущем окне.

   • left для обозначения левой границы окна.

2. Проход по массиву fruits:

   • Используем переменную right для обозначения правой границы окна.

   • Увеличиваем счетчик для текущего типа фрукта right_fruit.

3. Проверка условия допустимости окна:

   • Если количество типов фруктов в окне становится больше двух (len(type_counter) == 3), сдвигаем левую границу окна left вправо, уменьшая счетчики для фруктов и удаляя типы фруктов с нулевым счетчиком.

4. Обновление результата:

   • На каждой итерации обновляем res, вычисляя длину текущего окна.

Код решения

from collections import defaultdict
from typing import List

class Solution:
    def totalFruit(self, fruits: List[int]) -> int:
        res = 0
        type_counter = defaultdict(int)
        left = 0

        for right in range(len(fruits)):
            right_fruit = fruits[right]
            type_counter[right_fruit] += 1

            while len(type_counter) == 3:
                left_fruit = fruits[left]
                type_counter[left_fruit] -= 1
                if type_counter[left_fruit] == 0:
                    del type_counter[left_fruit]
                left += 1

            res = max(res, right - left + 1)

        return res

Объяснение кода

1. Инициализация:

   • res - переменная для хранения максимального количества фруктов.

   • type_counter - хэш-таблица для отслеживания количества каждого типа фруктов в текущем окне.

   • left - индекс левой границы окна.

2. Основной цикл:

   • Проходим по массиву fruits с правой границей окна right.

   • Увеличиваем счетчик для текущего типа фрукта right_fruit.

3. Уменьшение окна:

   • Если количество типов фруктов в окне превышает два (len(type_counter) == 3), сдвигаем левую границу окна вправо до тех пор, пока количество типов фруктов не станет допустимым (два или меньше).

4. Обновление результата:

   • На каждой итерации обновляем res, вычисляя текущую длину окна (right - left + 1).

Визуализация решения

Рассмотрим массив fruits = [1, 2, 1, 2, 3, 3, 2, 1] и визуализируем шаги решения задачи, показывая текущее состояние скользящего окна.

Шаги выполнения:

Итерация 0:

• Текущий фрукт: 1

• Окно: [1], 2, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 2

• type_counter: {1: 1}

• Длина окна: 1

Итерация 1:

• Текущий фрукт: 2

• Окно: [1, 2], 1, 2, 3, 3, 4, 1, 2

• type_counter: {1: 1, 2: 1}

• Длина окна: 2

Итерация 2:

• Текущий фрукт: 1

• Окно: [1, 2, 1], 2, 3, 3, 4, 1, 2

• type_counter: {1: 2, 2: 1}

• Длина окна: 3

Итерация 3:

• Текущий фрукт: 2

• Окно: [1, 2, 1, 2], 3, 3, 4, 1, 2

• type_counter: {1: 2, 2: 2}

• Длина окна: 4

Итерация 4:

• Текущий фрукт: 3

• Окно: [1, 2, 1, 2, 3], 3, 4, 1, 2

• type_counter: {1: 2, 2: 2, 3: 1}

• Длина окна: 5

• Сокращение окна:

  • left: 1

  • Окно после сокращения: 1, [2, 1, 2, 3], 3, 4, 1, 2

  • type_counter: {1: 1, 2: 2, 3: 1}

  • Длина окна: 4

  • left: 2

  • Окно после сокращения: 1, 2, [1, 2, 3], 3, 4, 1, 2

  • type_counter: {1: 1, 2: 1, 3: 1}

  • Длина окна: 3

  • left: 3

  • Окно после сокращения: 1, 2, 1, [2, 3], 3, 4, 1, 2

  • type_counter: {2: 1, 3: 1}

  • Длина окна: 2

• Окно после обновления результата: 1, 2, 1, [2, 3], 3, 4, 1, 2

• Текущий максимум: 4

Итерация 5:

• Текущий фрукт: 3

• Окно: 1, 2, 1, [2, 3, 3], 4, 1, 2

• type_counter: {2: 1, 3: 2}

• Длина окна: 3

Итерация 6:

• Текущий фрукт: 4

• Окно: 1, 2, 1, [2, 3, 3, 4], 1, 2

• type_counter: {2: 1, 3: 2, 4: 1}

• Длина окна: 4

• Сокращение окна:

  • left: 4

  • Окно после сокращения: 1, 2, 1, 2, [3, 3, 4], 1, 2

  • type_counter: {3: 2, 4: 1}

  • Длина окна: 3

• Окно после обновления результата: 1, 2, 1, 2, [3, 3, 4], 1, 2

• Текущий максимум: 4

Итерация 7:

• Текущий фрукт: 1

• Окно: 1, 2, 1, 2, [3, 3, 4, 1], 2

• type_counter: {3: 2, 4: 1, 1: 1}

• Длина окна: 4

• Сокращение окна:

  • left: 5

  • Окно после сокращения: 1, 2, 1, 2, 3, [3, 4, 1], 2

  • type_counter: {3: 1, 4: 1, 1: 1}

  • Длина окна: 3

  • left: 6

  • Окно после сокращения: 1, 2, 1, 2, 3, 3, [4, 1], 2

  • type_counter: {4: 1, 1: 1}

  • Длина окна: 2

• Окно после обновления результата: 1, 2, 1, 2, 3, 3, [4, 1], 2

• Текущий максимум: 4

Итерация 8:

• Текущий фрукт: 2

• Окно: 1, 2, 1, 2, 3, 3, [4, 1, 2]

• type_counter: {4: 1, 1: 1, 2: 1}

• Длина окна: 3

• Сокращение окна:

  • left: 7

  • Окно после сокращения: 1, 2, 1, 2, 3, 3, 4, [1, 2]

  • type_counter: {1: 1, 2: 1}

  • Длина окна: 2

• Окно после обновления результата: 1, 2, 1, 2, 3, 3, 4, [1, 2]

• Текущий максимум: 4

После всех итераций максимальное количество фруктов, которые можно собрать, равно 4.

Асимптотическая сложность

Сложность по времени: O(n)

• Мы проходим по массиву fruits один раз с помощью правой границы окна (right).

• В худшем случае левая граница окна (left) также проходит по каждому элементу массива один раз.

• В результате, каждый элемент массива обрабатывается не более двух раз, что приводит к линейной временной сложности O(n), где n — длина массива fruits.

Сложность по памяти: O(1)

• Мы используем хэш-таблицу type_counter для хранения количества каждого типа фруктов в текущем окне.

• Максимальное количество различных типов фруктов в хэш-таблице ограничено двумя, так как у нас есть только две корзины.

• Следовательно, количество памяти, необходимой для хранения данных в хэш-таблице, не зависит от размера входного массива и остается постоянным.

• Это приводит к постоянной сложности по памяти O(1).