Гипотеза Коллатца (также известная как сиракузская проблема) — одна из самых известных нерешённых задач в теории чисел. Она формулируется следующим образом:

Возьмём любое натуральное число. Затем будем применять к нему следующие правила рекуррентно:

- если число чётное — разделим его на 2;

- если число нечётное — умножим его на 3 и прибавим 1.

Повторяя этот процесс, гипотеза утверждает, что независимо от начального значения последовательность неизбежно достигнет числа 1, после чего зациклится в последовательности 4 → 2 → 1 → 4 → …

Несмотря на простоту формулировки и огромное количество численных проверок (вплоть до чисел, превышающих 2⁶⁸), строгое математическое доказательство этого утверждения до сих пор не найдено.

Эта задача известна с 1 июля 1932 года и считается одной из старейших нерешенных задач теории чисел. Несмотря на простоту формулировки, гипотеза Коллатца оказалась чрезвычайно устойчивой к попыткам доказательства или опровержения. Были проведены различные исследования и проверки с целью доказательства гипотезы Коллатца, включающие:

·             эмпирические исследования и вычислительные подходы, например, подход включает в себя проверку гипотезы Коллатца для огромного количества чисел с помощью компьютеров, хотя такие проверки могут подтвердить гипотезу для определенных диапазонов чисел, они не могут предоставить общего доказательства;

·             аналитические подходы, например, метод включает в себя использование инструментов математического анализа, таких как теория чисел, динамические системы и математическая индукция, для доказательства гипотезы, но такие подходы до сих пор не привели к полному доказательству гипотезы;

·             вероятностные и статистические подходы, например, подход использует вероятностные и статистические методы для анализа поведения последовательностей Коллатца, где пытаются показать, что вероятность того, что последовательность достигнет 1, близка к 1. Такие методы не предоставляют строгого доказательства гипотезы;

·             использование машинного обучения и анализа данных, например, метод  с применением машинного обучения для выявления скрытых закономерностей и структур в данных, сгенерированных последовательностями по гипотезе Коллатца. Однако, такой подход не предоставляет математического доказательства.

В данной статье предлагается доказательство гипотезы Коллатца (сиракузской проблемы), основанное на:

- подмножествах вычетов по модулю шесть;

- параметризации нечетных чисел;

- ориентированном графе переходов под действием функции f(n);

- закономерности последовательностей четных чисел;

- единственном цикле в системе под действием функции f(n).

Параметризация нечётных чисел на основе подмножеств вычетов по модулю шесть

Ранее в статье «Параметризация нечётных чисел на основе подмножеств вычетов по модулю шесть» было подробно рассказано о:

·       подмножествах вычетов по модулю шесть;

·       параметризации нечетных чисел.

Сделано это было умышлено, так как в совокупности весь материал довольно большой, а эти две части возможно было представить, как отдельные пункты. Главное, что нужно понять в изложенном материале:

- числа представленные, как подмножества вычетов по модулю 6, за счет представленной формулы параметризации нечетных чисел имеют фрактальную структурную детерминированность;

- числа от 1 до 384 описывают 98, 4375% уровня масштабирования во фрактальной структуре. Так на «кадрах повторения» представлены расположения нечетных чисел на одном уровне масштабирования и их взаимосвязь с подпространствами. Диапазон в 384 числа получается от наибольшего значения периода изменения индекса внутри уровня для «кадров повторения» (6*64);

- числа от 1 до 24576 описывают 100% уровня масштабирования во фрактальной структуре. Так на «фрагментах повторения» представлены расположения «исключительных» элементов для нечетных чисел на одном уровне масштабирования и их взаимосвязь с подпространствами. В совокупности с описанными «кадрами повторения» «фрагменты повторения» помогают полностью описать один из уровней масштабирования. Диапазон чисел до 24576 получается от наибольшего значения периода изменения индекса внутри уровня для «кадров повторения» с учетом «исключительных» элементов (6*64*64);

Ориентированный граф переходов под действием функции f(n)

Граф рассматриваемой числовой системы, состоящей из подмножеств вычетов по модулю шесть, является связным.

G = (V, E)

где V = {0,1,2,3,4,5} – вершины, соответствующие классам вычетов по модулю 6, то есть множествам чисел вида 6*k+r, где r ϵ V,

E – ребра отражают возможные переходы между классами под действием функции f(n).

Анализ действия функции на каждом из классов вычетов позволяет построить следующую таблицу переходов (Таблица 1).

Таблица 1 – Переходы между классами вычетов по модулю 6.

 На основе этой таблицы строится граф G, визуализированный на рисунке 1. Граф является связным: из любой вершины существует ориентированный путь в вершину 4, а оттуда — в вершину 2, затем в 1 и, в конечном счёте, в цикл, ассоциированный с последовательностью, соответствующей завершающему циклу гипотезы Коллатца.

Таким образом, структура графа отражает глубокую внутреннюю упорядоченность динамики отображения Коллатца на уровне классов вычетов. Связность графа указывает на то, что все классы вычетов по модулю 6 взаимодействуют в единой динамической системе и, следовательно, ни один из них не может порождать изолированных или расходящихся траекторий.

Рис. 1- Граф связанности подмножеств вычетов по модулю шесть числовой системы.

Необходимо уточнить, что:

·       из подмножества 0 система всегда ведет в подмножество 3;

·       все нечетные подмножества (1, 3, 5) напрямую ведут в подмножество 4;

·       после выхода из подмножеств 0 и 3 вернуться в них обратно нельзя;

·       четные подмножества (0 и 2) тоже через несколько шагов ведут в подмножество 4;

·       из подмножества 4 система движется к магистрали, а следовательно, к числу 1.

В подтверждение утверждений о переходах между подмножествами в таблицах 3,4,5 показаны примеры переходов от начальных чисел в подмножествах, где показана четкая структурированность и полное покрытие чисел рассматриваемой числовой системы.

Таблица 2 –Переходы из подмножества 3

Таблица 3 –Переходы из подмножества 0

Таблица 4 –Переходы из подмножества 2

Таблица 5 –Переходы из подмножества 4

Таблица 6 –Переходы из подмножества 1

Таблица 7 –Переходы из подмножества 5

Закономерности последовательностей четных чисел

Последовательность четных чисел. Любое четное число n можно представить как n=m*2^k, где m — стартовое нечётное число, а k≥1. Такой набор {m, 2m, 4m, 8m, ...} называется последовательность четных чисел, начинающимся с m.

Главная последовательность четных чисел — это множество всех натуральных чисел 2^s, где

которые сводятся к числу 1, то есть

Единственность последовательности четных чисел. Каждое число принадлежит ровно одной последовательности четных чисел. Для любого

существует одно и только одно нечетное число m, такое что:

где T(m) – последовательность четных чисел, имеющих одно стартовое нечетное число.

Это следует из того, что:

·             любое четное число n можно представить, как n=m*2^k

·             m – уникально для данного n.

Следовательно последовательности четных чисел не пересекаются.

Полнота последовательных четных чисел. Объединение всех последовательностей четных чисел исчерпывает все множество четных чисел:

где

Таким образом:

·             все четные числа организованы в последовательности четных чисел;

·             каждый последовательность четных чисел имеет свое начало – нечетное число;

система последовательностей четных чисел полностью покрывает четные N.

Доказательство

1)          Любое нечетное число из подмножеств 1, 3, 5 в соответствии с графом связанности выводит систему к подмножеству 4;

2)          В соответствии с графом связанности только из 4 подмножества возможен вход в главную последовательность четных чисел, а попадание в главную последовательность четных чисел, приведет к циклу 4→2→1.

3)          Рассмотренные последовательности четных чисел непересекающиеся и исчерпывающе покрывают все четные числа, сводя их к нечетным числам под действием функции f(n);

4)          Параметризация нечетных чисел на основе подмножеств вычетов по модулю шесть подтверждает их фрактальную структурную детерминированность. Полное разнообразие расположения нечетных чисел в одном уровне масштабирования помещается в диапазоне значений 24576.

5)          Существует единственный цикл под действием функции f(n), так как в противном случае нетривиальный цикл должен был бы содержать нечетное число:

·             но тогда оно было бы из одного из подпространств k=1..6 подмножеств 1,3,5, так как в соответствии с последовательностями четных чисел, все они выводят к нечетным числам;

·             и под действием функции f(n) в соответствии с графом связанности система перейдет к подмножеству 4, а после чего к главной последовательности четных чисел, а следовательно, к циклу 4→2→1;

В соответствии с указанными пунктами, доказав, что все числа меньше числа 24576 по гипотезе Коллатца под действием функции f(n) (в соответствии с одним уровнем масштабирования) попадут в главную последовательность четных чисел, а следовательно, спустятся к единственно возможному циклу 4→2→1, мы докажем, что все остальные натуральные числа также сделают это, так как они являются частью последующих уровней масштабирования в фрактальной структуре и ведут себя подобно первому уровню в диапазоне чисел от 1 до 24576.

Методом перебора такая задача для существующих ЭВМ решается довольно быстро. И для таких чисел (меньше 24576) это было сделано уже давно, как было сказано в начале публикации, в настоящее время проверено более 2⁶⁸ чисел.

Таким образом, за счет: подмножеств вычетов по модулю шесть, графа связанности, последовательностей чётных чисел, параметризации нечетных чисел и единого цикла мы смогли свести доказательство гипотезы Коллатца к перебору конечного числа значений, показав поведение системы на одном из уровней масштабирования.

Спасибо за внимание!