Честный ответ: писать sin(x) руками в работе приходится далеко не всем. Подавляющему большинству — вообще никогда. И даже там, где синус трудится явно — в DSP, графике, геодезии — он давно спрятан за библиотеками: вы вызываете fft(), rotate(), routeTo(), а тригонометрию за вас написали тридцать лет назад.

Так что если вопрос — «набирал ли ты когда-нибудь s-i-n на клавиатуре за деньги», у тригонометрии всё плохо.

Но есть второй вопрос: сколько раз в день вы синусом пользуетесь? И тут выясняется неприятное для скептика: шага ступить нельзя. Буквально — сам шаг это уже маятник, то есть синус. Вы открыли утром дверь — синус. Надели поляризационные очки — косинус, в квадрате. Этот текст доехал до вас по радиоканалу или оптоволокну — синусы, упакованные в синусы.

Ниже — короткая экскурсия по одному дню, прожитому внутри тригонометрии. Все картинки живые: крутите ползунки.

Синус — не просто функция, а тень.

Возьмите стрелку, равномерно крутящуюся по окружности, и спроецируйте её на ось: тень ездит туда-сюда, и её график во времени — синусоида. Проекция на вторую ось — косинус. В математике эта стрелка записывается одной формулой — формулой Эйлера:

Сама картинка не нова, и я не претендую: крутящуюся стрелку прекрасно показывал 3Blue1Brown, мелькала она и на Хабре — в статьях про колебания и Фурье. Но там она обычно живёт в учебных местах: осциллограф, ряд Фурье — и конец урока. Тезис этой серии сильнее: из этой стрелки собран ваш день. Шаг — это она. Деньги, которые вы платите за электричество, разница между гласными «а» и «и», восьмёрка, которую Солнце рисует в небе за год, — тоже она. А в финале серии она дотянется туда, где её не ждёт уже никто, — до причины, по которой нельзя обогнать свет. И всё по дороге можно будет пощупать руками.

И вся тригонометрия вокруг нас — это несколько режимов одной стрелки. Главных, бытовых — три:

1. Заморозить — и спросить, какая доля смотрит вдоль оси. Это проекция.

2. Пустить во времени — и следить за тенью. Это колебание.

3. Сложить несколько — и получить волны.

Всего дверей пять плюс бонусная — полная карта будет во второй статье. Здесь — три главные: за ними почти весь быт. Пошли.

Дверь 1. Проекция: «сколько попало, сколько рассеялось»

Замороженная стрелка отвечает на один вопрос: вектор пришёл под углом θ — какая доля работает в нужную сторону? Вдоль — cos θ, поперёк — sin θ. И cos² + sin² = 1: что отняли у косинуса, ровно столько отдали синусу. Ничего не исчезает — перераспределяется.

Удар. Боксёр уводит корпус не чтобы «погасить силу» — силу нельзя погасить. Он увеличивает угол. По нормали входит F·cos θ, вскользь уходит F·sin θ (θ здесь — угол от нормали, перпендикуляра к поверхности): угол вырос — косинус упал — удар «не зашёл». Та же физика у шайбы от борта и бильярдного шара от резины.

Дверь и гаечный ключ. Крутит только поперечная доля силы: τ = r·F·sin θ. Поэтому ручка — у дальнего края двери, ключ жмут перпендикулярно, а удлинить его трубой — народная мудрость. И поэтому педаль велосипеда «мёртвая» в верхней точке: нога давит вдоль шатуна, sin ≈ 0.

Экран, в который вы смотрите. Каждый пиксель ЖК-дисплея — закон Малюса I = I₀·cos² θ: жидкий кристалл поворачивает поляризацию света, а выходной поляроид по косинусу решает, сколько выпустить. Ваши поляризационные очки срезают блики с воды по той же формуле.

Дверь 2. Вращение: почему всё качается одинаково

Теперь стрелку отпускаем: угол становится временем, φ = ωt. Тень крутящейся точки — универсальная форма любого колебания. Качание — это вращение, увиденное сбоку.

Шаг. Нога при ходьбе — маятник с собственной частотой √(g/L). Идти в своём темпе — значит качать ногу на её частоте, почти даром; чужой навязанный темп выматывает именно поэтому. Малыши семенят не из вредности — у них L меньше.

Качели. Толкать нужно в такт — на собственной частоте. Это резонанс, и он же: стиральная машина, прыгающая на разгоне отжима (проходит резонанс подвески), разболтанное колесо, бьющее ровно на 90 км/ч, солдаты, которым командуют сбить шаг на мосту, и радиоприёмник, выхватывающий одну станцию из эфира.

Розетка. Ток в сети — синус 50 Гц не по чьей-то прихоти: его форму рождает буквально вращение катушки генератора в магнитном поле. Электростанция — место, где круговое движение турбины превращают в синус и разливают по проводам. А доля мощности, доходящая до полезной работы, — это cos φ, и промышленные предприятия за плохой косинус получают вполне реальные штрафы. Деньги за косинус.

Карман. Кварц в часах и в каждом компьютере колеблется 32768 раз в секунду (это 2¹⁵ — удобно делить пополам до секунды). Wi-Fi — стрелка, делающая 2.4 миллиарда оборотов в секунду. Вибромотор — эксцентрик на оси: вы носите с собой генератор синуса и зовёте его «беззвучным режимом».

Дверь 3. Суперпозиция: волны складываются

Теперь стрелок несколько. Волны в одной точке суммируются: в фазе — усиление, в противофазе — тишина. И эта дверь открывается в обе стороны: любую форму можно разобрать на синусы.

Шумодав. Наушники с активным шумоподавлением слушают гул и излучают его копию в противофазе: синус плюс минус-синус — тишина. Вы покупаете за деньги деструктивную интерференцию.

MP3, JPEG и Shazam. Ряд Фурье: любой сигнал — сумма синусов. MP3 раскладывает звук на гармоники и выкидывает неслышимые — минус 90% размера. JPEG делает то же с картинкой. Эквалайзер — ручки громкости отдельных синусов вашей музыки. Shazam узнаёт трек по «созвездию» пиков в спектре. Гласные «а» и «и» на одной ноте отличаются только набором громких гармоник — на этом стоит распознавание речи.

Сирена скорой. Приближается — тон выше, проехала — ухнул вниз: волны спереди сжаты, сзади растянуты. Тот же Доплер — в радаре ГИБДД (сдвиг частоты отражённого сигнала = ваша скорость) и в УЗИ кровотока. Красное смещение далёких галактик — близкая родня: спектр сдвинут так же, но тянет его уже не движение источника, а растяжение самого пространства; по этому сдвигу и поняли, что Вселенная расширяется. От штрафа до космологии — один спектральный сдвиг. (Строгий читатель заметит: Доплер — не сложение волн, а сжатие одной волны движением источника. Так и есть — он в этой двери гость, поселённый к остальным

Так пригодились или нет?

Сформулируем честно. Синус как навык письма — почти никому. Синус как закон, внутри которого вы существуете, — без вариантов и без выходных:

• открыли дверь — момент силы, sin θ;

• сделали шаг — маятник, √(g/L);

• врубили музыку — Фурье, сумма синусов;

• глянули в телефон — поляроид (cos² θ), кварц (колебание), радиоканал (2.4 миллиарда оборотов в секунду), а любой поворот в интерфейсе — матрица из синусов;

• сердце стукнуло — и в межударных интервалах синусоидой записано ваше дыхание: дыхательная аритмия, один из вкладов в HRV, который ловят ваши часы.

Школьный вопрос «зачем мне это в жизни» был задан не в ту сторону. Правильный вопрос — «есть ли в моей жизни хоть что-нибудь, кроме этого». Где что-то поворачивается, качается или складывается из волн — там крутится одна и та же стрелка, у которой синус и косинус — просто две тени.

Вы не пользуетесь синусом. Вы в нём живёте.

Это первая статья серии. Дальше — полный каталог «Карта синуса» (сорок с лишним мест, где прячется синус) и отдельный разбор синуса мнимого угла: из sin(ix) = i·sinh(x) вырастают геометрия Лобачевского и теория относительности. Все примеры этой статьи собраны вживую на одной интерактивной карте.