Математика в AI моделях / forpes.ru

Главная
Математика в AI моделях

Математика в AI моделях +1

28.08.2026 11:15

sad__sabrina 1 5200 Источник

Привет, друзья! Меня зовут Сабрина!

Одним из двигателей моей любви к моделям, к исследованиям и ко всему, чем я сейчас занимаюсь, является математика. Математические структуры удивительны — открыли ли мы математику или создали — слишком сложный вопрос. Я верю, что открыли и мне очень нравится наблюдать, как математика возникает в моделях.

Так появилось это исследование и так появилась карта. И именно по ней я постараюсь провести вас в этой статье :)

Задача, которую я поставила на входе «Оценить насколько воспроизводима и эквивалента в LM‑моделях математика», где:

Воспроизводимость	Эквивалентность
Результат описан в нескольких $N: N \geq 2$ статьях	Результат появляется на разных модальностях данных
Результат описан несколькими $N: N \geq 2$ исследовательскими группами	Результат появляется в разных семействах моделей
—	Результат появляется в разных классах архитектур моделей

Посмотрим, что из этого получилось.

Заглавная страница, https://ai-math-map.vercel.app — *Заглавная страница,* *https://ai‑math‑map.vercel.app*

Критерий попадания в карту

Про то, что структуры возникают в моделях сами по себе — линейные направления, окружности, симплексы, многообразия — написано правда безумно много сотни статей. Однако, математическую структуру описывают не все, так что, чтобы понять карту, как объект, давайте зафиксируем, что я не брала, что брала и как.

Направления, симплекс, многообразия, окружность — определения

Линейное направление.
Определение: единичный вектор $r_f \in \mathbb{R}^d$ такой, что проекция $r_f \cdot x$ монотонно отражает значение признака в контексте, породившем активацию $x$.

Интуиция: числовая ось внутри модели. Двигаясь дальше вдоль этой оси, получаешь «больше» признака, и неважно, где точка находится по остальным координатам. В карте: 288 статей, самый плотный узел.

Окружность.
Определение: $S^1 = \{(x,y) : x^2+y^2=1\}$ , параметризованная углом $\theta$ по модулю $2\pi$ ; вложена в‑мерное пространство как $(a\cos\theta,\, a\sin\theta)$ вдоль выбранной ортонормированной парынаправлений, остальные $d-2$ координаты свободны.

Интуиция: циферблат. Одна переменная наматывается на одну петлю, и, пройдя достаточно далеко в одну сторону, возвращаешься в начало. Для циклического понятия близость надо мерить вдоль петли, а не по прямой сквозь середину. В карте: 33 статьи.

Многообразие.
Определение: топологическое пространство размерности, у каждой точки которого есть окрестность, гомеоморфная открытому шару в $\mathbb{R}^n$. Пара «окрестность + гомеоморфизм» — карта (chart), набор карт, покрывающий $M$, — атлас.

Интуиция: Земля (классика). Локально вокруг любой точки она выглядит плоской — план города и есть карта, — но глобально это сфера, и ни один плоский лист не покроет её без разрывов и искажений. Многообразие — ровно этот компромисс между локально плоским и глобально изогнутым.

Зачем это в работах про модели: пространство активаций — это $\mathbb{R}^d$ , но активации, которые сеть реально порождает, не обязаны его заполнять. Они могут концентрироваться на многообразии $M \subset \mathbb{R}^d$ гораздо меньшей размерности. Окружность, сфера, тор, аффинное подпространство — всё это многообразия, различающиеся кривизной и топологией. В карте: 33 узла.

Симплекс.
Определение: для категориального понятия с k взаимоисключающими значениями и векторным представлением каждого значения их выпуклая оболочка генерически (то есть в общем случае, за исключением пограничных случаев) образует (k-1)‑мерный симплекс. Вид:

$\mathrm{conv}\{\bar\ell_{w_0}, \ldots, \bar\ell_{w_{k-1}}\} = \Big\{\sum_i c_i \bar\ell_{w_i} : c_i \geq 0,\ \sum_i c_i = 1\Big\}$

Интуиция: это треугольник для трёх значений, тетраэдр для четырёх. Бинарный признак («это про еду или нет»)кодируется одним направлением; категориальный («млекопитающее / птица / рептилия / рыба») одним направлением не обойдётся — нужна отдельная точка с величиной на каждое значение, чтобы разности между значениями оставались осмысленными. Вершины — чистые значения, точки внутри — их смеси. Симплекс не является многообразием — у него углы и край.

1. Объект — обученная модель. Брались только статьи, вносящие утверждения об активациях, весах или градиентах модели, которую реально обучили. Любая модальность, любая архитектура, любой масштаб. Аналитические модели (не то, что мы считаем AI) и синтетические облака точек объектом не считаются.

2. Claim — конкретная математическая структура. В статье всегда описаны форма, оператор, порядок или измеримое структурное свойство представления — то, что называется на языке математики и в принципе фальсифицируемо (то есть можно доказать, что оно есть или что его нет). Оценка на бенчмарке, дельта точности или ранжирование «какой концепт закодирован сильнее» структурой не являются и они не брались.

3. Доказательство — оригинальное измерение или вмешательство в самой статье. Пересказ чужого измерения не делает статью записью карты — он делает её контекстом.

Типы доказательств

(a) Измерение формы. Количественное измерение геометрической формы или свойства на активациях или весах реальной обученной модели. Например: окружность для дней недели; симплекс состояний убеждений; размерность линейного концептного подпространства.

(b) Причинное вмешательство, привязанное к геометрии. Вмешательство, объектов которого является геометрический объект, дающее измеримое поведенческое или репрезентационное изменение. Например: стиринг вдоль направления; абляция подпространства; проектор, применённый на слое; rank‑one правка весов.

© Структурная характеризация. Измеренная структурная, спектральная или динамическая характеристика, которая не сводится к одной статичной форме и не является причинной. Например: спектры ковариации эмбеддингов; профили внутренней размерности и кривизны по глубине; геометрия разбиения входного пространства; нейронный и размерностный коллапс; латентные метрики и геодезические; как геометрия меняется в ходе обучения; сходимость независимо обученных моделей.

Типы доказательств — классические. Карта НЕ исключает других способов доказать.

4. Нашлось И не навязалось. Если геометрия навязана архитектурой или функцией потерь, наблюдение отклоняется. Круг, который получился потому, что его закодировали синусами и косинусами, — не наблюдение в смысле карты.

На этих четырех правилах в корпус собралось к концу августа: 700 статей, 703 наблюдений, 52 структуры, 14 гипотез (итого 66 единиц тут в статье), 816 моделей. Они отобраны из 1047 просмотренных кандидатов. Все кандидаты проходились так, что читалась вся статья. Получился красивый граф! В нём существует порядок.

Основной граф карты, https://ai-math-map.vercel.app/map — *Основной граф карты,* *https://ai‑math‑map.vercel.app/map*

Ортогональная классификация

Каждый математический объект в карте классифицирован на две оси — роль (type, 11 значений) — и набор фасетов, которые узел получает независимо от роли.

Роль — ответ на вопрос чем объект является в математическом смысле. Она всегда одна, обязательна, назначается упорядоченным списком вопросов. Она здесь также первичная ось: по ней карта делится на непересекающиеся части.

Фасет — ответ на вопрос какой объект. Фасетов в карте не ограниченное количество.

Роли карты таковы:

Роль	Описание
`geometric-object`	геометрический объект в ℝᵈ (носитель / подмножество / вложенное множество / направление)
`configuration`	упорядоченный кортеж из нескольких точек
`operator`	отображение или матрица, действующая на облако
`metric-model`	метрика, полунорма или выученная модель расстояния
`distribution-property`	неконтролируемое свойство распределения
`labeled-data-property`	свойство размеченных множеств
`measurement`	вычисленная величина или профиль
`dynamical-object`	объект, определённый относительно динамической системы
`combinatorial-object`	порядок, решётка, граф, матроид, комплекс
`empirical-pattern`	наблюдённая организация данных в конкретной модели
`hypothesis`	фальсифицируемое общее утверждение

Фасеты — это характеристики: кривизна, топология, гладкость, линейность, размерность, объемлющее пространство, способ задания, выпуклость, гомологии, вид объекта, проходит ли через ноль.

Чтобы это всё не сваливалось в кучу, объекты идут по классификации по упорядоченному списку вопросов. Порядок вопросов важен.

Это фальсифицируемое утверждение, постулирующее объект? → hypothesis
Определено динамической системой и свойствами устойчивости? → dynamical-object
Порядок / решётка / граф / матроид / комплекс? → combinatorial-object
Отношение между кортежем точек? → configuration
Отображение или матрица, действующая на облако? → operator
Вычисленное свойство, а не форма? → по источнику: из меток → labeled-data-property, свойство распределения → distribution-property, вычисленная величина → measurement, наблюдённая организация → empirical-pattern
Иначе это просто множество точек → geometric-object + фасеты

Порядок снимает наложения.

Примеры наложений

Линейный аттрактор — и одномерное многообразие, и аттрактор. Формально: у рекуррентной сети с правилом обновления $h_{t+1}=F(h_t,x_t)$ неподвижные точки при нулевом входе выстраиваются вдоль почти одномерной кривой. Поперёк неё они притягивающие, а вдоль — нейтральные: старшее собственное число якобиана $\lambda_1 \approx 1$ , то есть возмущение вдоль кривой не затухает и не растёт.

Интуиция: шарик в длинном пологом жёлобе. Толкнёшь поперёк — скатится обратно; толкнёшь вдоль — идет куда толкнули. Это и есть память на непрерывную величину: сеть копит текущую сумму — скажем, перевес позитивных свидетельств над негативными — не забывая её и не улетая в бесконечность.

Концептор — и оператор, и эллипсоид. Формально: по облаку активаций с корреляционной матрицей $R = X^\top X / n$ и апертурой $\alpha$ строится $C = R(R + \alpha^{-2}I)^{-1}$ — положительно полуопределённая матрица.

Интуиция: фейдеры (плавная смена состояний) вместо тумблеров (резкий преключатель). Проекция на подпространство — это набор тумблеров: направление либо сохраняется целиком, либо обнуляется, собственные числа ровно 0 или 1. Концептор приглушает каждое направление тем сильнее, чем меньше у концепта дисперсии вдоль него. Апертура — как параметр: выкрутить вниз — отфильтровано всё, выкрутить вверх — получается обычная проекция. Объект здесь — отображение, а эллипсоид ${x : x^\top C^{\dagger} x \le 1}$ всего лишь его линия уровня.

Концептная решётка — и решётка, и набор конусов. Формально: атрибуту отвечает направление, а концепту, заданному набором атрибутов, — область $mathcal R(Y) = \{v : v \cdot d_m \ge 0$ для всех $m \in Y\}$ , то есть полиэдральный конус. Упорядоченные по вложению, эти области образуют полную решётку: у любой пары концептов есть точная нижняя грань (объединить атрибуты) и точная верхняя (наименьшее общее обобщение).

Интуиция: Каждый атрибут разрезает пространство полуплоскостью; концепт — клин, где выполнены все его атрибуты, и каждый новый атрибут этот клин сужает. Но, в отличие от дерева, у любых двух веток есть и обобщение, и общее пересечение.

Роли получаются взаимно исключающими именно благодаря порядку.

Нюансы

Отдельно пришлось поставить запрет на добавление: geometric-object без различающего фасета. Если про множество установлено только «это какое‑то многообразие», это не взято как объект.
Структура в терминах — это математическая форма: роль плюс фасеты. Направление, подпространство, аффинная функция, конус, тор, открытое одномерное многообразие, иерархия. Таких узлов в карте на начальный выпуск в конце августа 65.
Наблюдение — это конкретное измерение: структура × модель × метод × статья. Наблюдение отвечает на вопрос «что за структура И кто, в чём и чем её померил». Поэтому наблюдений 703, а форм 65: одна и та же форма может быть измерена много раз, разными людьми, в разных моделях.

Отсюда:
- Когда статьи согласны о форме, но расходятся о причине или расширяют её на новый домен — это одна запись структуры, напримерrippled-1d-continum.Одно наблюдение, две статьи.
- Когда статьи делают конкурирующие утверждения о форме данные разделены. refusal-single-direction, refusal-affine-function и refusal-concept-cone — три отдельных наблюдения (направления отказов разных типов) со ссылкой на одну структуру.
Полностью ортогональной схемы не вышло и, наверное, не выйдет. Например, из 65 узлов роль есть у всех — это единственное поле со стопроцентным покрытием. А вот единичные фасеты — нет, так как свойства паттерны и гипотезы не имеют дполнительных структурых характеристик.

Что если классификацию убрать и сделать просто ключевые слова?

Пробовала. Вышла мешанина, 2275 ключевых слова. Тоже симпатично, но нет.

Почему именно такой вид?

В моделях, как в саду — растет всякой разное. Например, линейное подпространство является многообразием — разделы не параллельны, один вложен в другой.

Конус и политоп, наоборот, многообразиями не являются: у конуса особая точка в вершине, у политопа углы. А анизотропия и линейная разделимость — вообще не формы: первое свойство распределения, второе свойство размеченного множества, и ни то, ни другое не живёт в разделе «какая это фигура».

Поэтому пришлось пытаться ортогонализовывать и соглашаться на нюансы.

Что трекается по статьям

Основное.

Во‑первых, я собираю структуры, а во‑вторых — методы, которыми эти структуры были извлечены. Отсюда карта не только красивая, но и полезная — можно искать новые для себя методы.

Карточки методов, https://ai-math-map.vercel.app/methods — *Карточки методов,* *https://ai‑math‑map.vercel.app/methods*

Для методов, как и объектов, можно оценить не только факт существования, но и популярность в виде простых визуализаций по группам методов.

Популярность методов по статьям, https://ai-math-map.vercel.app/landscape — *Популярность методов по статьям,* *https://ai‑math‑map.vercel.app/landscape*

Деталь 1. Реплицируемость.

Карта состоит из гипотез и наблюдений (если убрать глубину по фасетам и структурам). Но каждая из них может быть воспроизведена и нет. Это вычисляется по карте, благодаря, опять же, классификации. Здесь две категории:

breadth — по оси набралось два и больше различных значения. Скажем, структуру видели на двух классах архитектур.
replication — те же два значения пришли из статей, не имеющих общих авторов.

Проверка независимости идет фамилиям, отсюда есть погрешность и ошибка, когда идёт, идёт в сторону «независимость не доказана».

Репликация из 66 всего возможных. Подробнее про карту на страничке Why https://ai-math-map.vercel.app/why — Репликация из 66 всего возможных. Подробнее про карту на страничке Why https://ai‑math‑map.vercel.app/why

Деталь 2. Контекст о найденном объекте.

Вид модальность данных x структура, https://ai-math-map.vercel.app/map — *Вид модальность данных x структура,* https://ai‑math‑map.vercel.app/map

Для объектов трекается класс архитектуры модели, домен данных, семейство/семейства моделей, где объект найден. На самом деле их легко достать из данных благодаря собираемой инфы по каждой статье. Это тоже все можно фильтровать и анализировать на странице главного графа.

Фильтры расположены слева. Справа отображается документация и мини‑контекст по узлам.

Как этим пользоваться и какие вопросы можно задать?

Предварительный анализ данных

Конечно, помимо сносочки выше, карта анализируема и чем она будет больше, тем больше вопросов и ответов она породит. Что есть сейчас:

Частота использования методов имеет длинный хвост. В карте 249 методов, причем 158 методов использованы только в какой‑то одной статье. Методов, имеющих большой вес всего 8:

метод	статей
causal‑interventions	154
linear‑probing	144
pca	89
steering	77
geometric‑analysis	72
diff‑in‑means	64
sparse‑autoencoders	46
activation‑patching	41

Грубо говоря, мы работаем в анализе внутренностей восемью инструментами и периодически изобретаем тот‑самый‑девятый. Это не орошо и не плохо, но забавно.

2. 35 узлов из 66 — держатся только на одной статье. Среди всех структур отсюда реплицировать хоть как‑то удалось только 31.

ось	breadth	replication
статьи без общих авторов	—	31
классы архитектур	38 (статьи, как правило, дают несколько архитектур)	29
домены	33	28
семейства моделей	48 (статьи, как правило, дают также несколько семейств)	30

3. Из 816 моделей в карте 477 — языковые (58%), 216 — зрение, 39 — аудио, 30 — управление, 30 — алгоритмические задачи, дальше белки, молекулы, настольные игры, музыка. По архитектурам: 331 модель — трансформер‑декодер, 117 — трансформер‑энкодер, 57 — CNN, 55 — диффузия, 42 — RNN.

Скошена карта или скошена область в этих статистиках пока открытый вопрос — сейчас в ней наблюдения с перекосом на 2026 год, и все другие я ещё добираю.

Планы и ограничения проекта

Перекос по годам. 65% корпуса — 2025–2026. Проход до 2020-го не сделан целиком (пока, но я в процессе).
arXiv‑монокультура. 96% статей — препринты (в планах добавить venue или просто масштабировать корпус на иные источники). Я не определила.
Ссылки на код есть у 87 статей из 700 — 12%. Воспроизводимость в инженерном смысле в корпусе (пока) не отслеживается.
Human‑verification. Я делала вычитку 100 примеров глазами, когда отлаживала свой оркестр агентов, но меня одной — мало. В планах набор команды и оценка людьми.

Раз я сказала про агентов, тут детали про них.

1. Pipeline

Задача основных агентов живет в осуществлении 6 шагов:

Discovery → Paper → Verification → Observation → Nodes → Replication

Discovery. Проход по arXiv, OpenAlex и ACL Anthology, разметка кандидатов по критериям (a), (b), © по названию и абстракту. Кандидаты нумеруются в одном сквозном журнале, поэтому ничего не просматривается дважды и ничего не исчезает.
Paper. Фиксация статьи и чтение её полного pdf.
Verification. Идентификатор резолвится, название сходится, читается полный текст. Выписываются точный claim, модель, слой/место, метрика и условия.
Observation. Вытаскивается измеренная claim: структура × модель × метод × статья. Из одной статьи может выйти несколько.
Nodes. Наблюдение связывается со структурой, методом, моделью, семейством — и с гипотезой, если оно её касается.
Replication. Широта и независимость выводятся из записей.

На первом шаге работает один агент. На шагах 2–6 агент с саб‑агентами. Помимо этого отдельный агент проверяет работу по каждой статье, делая ревью. Ещё есть агент, которые отвечает за помощь с сайтом, ибо у меня «лапки» — я Data scientist (здесь должен быть мем «ты че, пес, я математик».

Правила агентов

Читать первоисточник целиком, не абстракт и не пересказ. Не полагаться на память о статье и на то, как её описывает другая статья, которая на неё ссылается.
Каждый тег структуры — только с текстовым подтверждением. Нужна конкретная цитата, раздел или рисунок, где статья прямо заявляет именно эту форму.
Каждый тег метода — метод, которым статья пользуется сама, а не тот, который она упоминает как чужую работу.
Каждая модель — точный чекпоинт, а не семейство на глаз: base против instruct, открытая против проприетарной.
Проверить пересечение с существующими наблюдениями перед тем, как заводить новое.
Звать человека, если
- не удаётся достать полный текст (пейволл, битая ссылка, только абстракт);
- заявленная геометрия пограничная между двумя существующими узлами
- статья вроде бы подтверждает существующее наблюдение, но не на 100% та же форма — неясно, мёрджить или заводить отдельную запись;
- похоже, что нужен новый узел, но неочевидно, отличается ли он генуинно от существующего или это другое название того же самого;
- статья на грани критериев включения;
- любое место, где пришлось бы написать в данные что‑то не подкреплённое прямой цитатой

Что ещё: двойные проверки

Валидатор. validate-content.cjs гоняется перед тем, как правка считается готовой. Он проверяет, что каждый файл соответствует схеме, что каждый id, на который ссылается наблюдение (структура, модели, методы, статьи), действительно существует в своей коллекции, что родитель каждого метода существует, что семейство каждой модели существует, что нет дублей id.

Логи. Каждая правка логируется в structures-log.md / methods-log.md: что сделано, что проверено. Без записи в лог правка не считается завершённой.

Аудит. 15 июля 2026 года я сверила все статьи (около 400), которые тогда были в карте, с исходными PDF. Они породили баги и я их фиксиля перед добором до 700. Так появились, например, чекпойнты моделей и цитаты из текста.

Да корпус НЕ безошибочен. Но в кажддой системе есть доля....: ) И я стараюсь сделать лучше.

В общем, я всё всё улучшаю и пока я не открываю репо, иначе умру под баг‑репортами. Но мне очень поможет фидбек, распространение и идеи — их лучше всего писать мне на почту (sadsobr7@gmail.com) или в чат канала.

Полезнее всего структурный фидбек:

структура под неправильной ролью или типом;
две записи об одном объекте под разными именами;
класс, под который в дереве нет слота;
статья, которая проходит правило отбора и отсутствует;
утверждение, приписанное статье, которого в ней нет;
вы готовы чет предложить поделать;
пропущенные работы (лучше списком) — особенно до 2020, не с arXiv и вне языковых моделей.

Надеюсь, она найдет использование, а я буду улучшать.
Огромное спасибо Олегу Смирнову, Михаилу Бурцеву, Елене Еричевой и Чирагу Агарвал за то, что потратили время на ревью карты и фидбек по первому приближению.

Карта: ai‑math‑map.vercel.app

До новых встреч, и не кидайте много помидорок!

Всем математики и красоты,
Ваш Дата-автор!

Комментарии (1)

ToxaBes
28.08.2026 14:29
#30375022
Классная работа, отдельный респект за то, что replication считается не просто по факту нескольких статей, а с проверкой на отсутствие общих авторов.

Хочу предложить одно уточнение к критерию независимости.

Сейчас есть проверка того, что нет общих авторов между статьями. Но отсутствие общих авторов не гарантирует независимость наблюдения: статья B может не иметь общих авторов со статьёй A и при этом прямо ссылаться на A, и по сути наследовать её интерпретацию структуры, а не открывать её заново. Это скорее подтвержденное распространение находки, а не два независимых открытия. По текущей метрике оно попадёт в replication наравне с действительно несвязанными группами.

Сам шерстю ArXiv практически каждый день, но я практик и ищу применительно к конкретным задачам. Написал плагин в харнесс своему Карасику и он уже сам занимается.