12.09.2017 11:50
rezerford 8 4800 Источник
В продолжение предыдущей статьи «Есть ли плазма в космосе?» я хотел бы в познавательных целях рассказать об уравнениях, которые применялись при выводе уравнения Дебая-Хюккеля. Это уравнение Пуассона и распределение Больцмана.

Уравнение Пуассона

Мы выяснили, что плазма квазинейтральна в равновесном состоянии и что под действием электрического поля от движущихся зарядов, заряженные частицы смещаются на дебаевскую длину и поле в пределах этой длины затухает. В электростатике взаимодействие заряженных частиц описывается кулоновским уравнением:

$F = k \frac{q_1 q_2}{r^{2}_{12}}$


где $q_1, q_2$ – величины взаимодействующих точечных зарядов, $r^{2}_{12}$ – квадрат расстояния между зарядами. Коэффициент k является константой. Если мы используем систему в электростатических единицах СГС, обозначаемых СГСЭq, то k = 1. Если используется система СИ, то $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon \epsilon_{0}}$, где $\epsilon$ – диэлектрическая проницаемость среды, в которой расположены заряды, $\epsilon_0$ – электрическая постоянная, равная 8,86 • $10^{-12} м^{-3} кг^{-1} c^4 F^2$.

В физике непосредственно силой не пользуются, а вводят понятие электростатического поля распределённых зарядов и измеряют поле величиной напряженности электрического поля. Для этого в каждую точку поля мысленно помещают единичный пробный заряд и измеряют силу, с которой поле зарядов действует на пробный заряд:

$E = \frac{F}{q_0}$


Отсюда, если подставить в это уравнение силу Кулона, то получим:

$E = \sum_{j=1}^N{\frac{q_j}{r^2_{0j}}}$


Но и этим физики не ограничиваются, для того чтобы описать полноценно электрическое поле. Рассмотрим единичный заряд, помещённый в электростатическое поле. Поле выполняет работу по перемещению этого заряда на элементарное расстояние ds из точки P1 в точку P2:

$\phi_{21} = - \int_{p1}^{p2} Eds (*)$


Величину $\phi_{21}$ называют разностью потенциалов или напряжением. Напряжение измеряется в Вольтах. Знак минус говорит нам о том, что само поле выполняет работу для переноса единицы положительного заряда. Силы, перемещающие заряды являются консервативными, так как работа по замкнутому пути равна всегда нулю, независимо от того, по какому пути перемещается заряд.

Отсюда следует глубокий смысл разности потенциалов. Если зафиксировать точку Р1 и перемещать заряд в переменную точку Р2, то работа зависит только от положения второй точки Р2. Таким образом мы можем ввести понятие потенциала. Потенциал – это силовая функция, показывающая какую необходимо выполнить работу полю, чтобы переместить заряд из бесконечности в данную точку P2, где условно принимают потенциал в бесконечности равным нулю.

Чтобы понять уравнение Пуассона, необходимо разбираться в «особой» векторной математике. Я вкратце расскажу про такие понятия как градиент поля и дивергенции (подразумевается, что читатель знаком с математическим анализом)
Пусть f(x,y,z) является некоторой непрерывной дифференцируемой функцией координат. Зная её частные производные $\partial f/ \partial x, \partial f /\partial y, \partial f / \partial z$ в каждой точке пространства можно построить вектор, компоненты которого x, y, z равны соответствующим частным производным:

$\nabla f = \vec{x} \frac{\partial f}{\partial x} + \vec{y} \frac{\partial f}{\partial y} + \vec{z} \frac{\partial f}{\partial z}$


где $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ – единичные векторы соответствующих осей x, y, z. Значок $\nabla$ читается «набла» и является дифференциальным оператором

$\nabla = \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z}$


Этот оператор ввёл в математику Гамильтон. С набла можно выполнять обычные математические операции, такие как обычное произведение, скалярное произведение, векторное произведение и так далее.

Теперь вернёмся к электростатическому полю E. С одной стороны изменение потенциала при переходе из одной точки в другую имеет следующий вид:

$d \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} dx + \frac{\partial \phi}{\partial y} dy + \frac{\partial \phi}{\partial z} dz$


С другой стороны, согласно формуле (*)

$d \phi = - E ds$


Применяя только что введённое понятие градиент, эта формула преобразуется в:

$E = - \nabla \phi (**)$


Теперь разберёмся с таким понятием, как дивергенция поля. Рассмотрим конечный замкнутый объем V произвольной формы (см. рис. ниже). Обозначим площадь этой поверхности S. Полный поток вектора F, выходящего из этого объема по определению равно

$Ф = \int_S Fda$


, где da является бесконечно малым вектором, величина которого равна площади малого элемента поверхности S, а направление совпадает с наружной нормалью к этому элементу.
Возьмём этот поток вектора F поделим на объём $V_i$ и найдём предел при $V_i$ стремящейся к нулю, т.е. будем стягивать объём в бесконечно малую точку.

$div F = \lim_{V_i \to 0} \frac{1}{V_i} \int_S Fda$


image

Мы подошли к понятию дивергенции. Обозначается дивергенция символом div и является отношением потока вектора F к объёму V, при V стремящейся к нулю.

Прежде чем показать, как получается уравнение Пуассона, важно знать закон Гаусса и теорему Гаусса. Представим себе сферу, внутри которой находится заряд q. Заряд создаёт вокруг себя электрическое поле напряжённости E. Возьмём поток вектора E

$Ф = (E, S) $


где S площадь нашей сферы равная $4\pi r^2$. Следовательно

$Ф = \frac{q}{r^2} 4\pi r^2 = 4\pi q$


Это и есть закон Гаусса, утверждающий, что поток электрического поля E через любую замкнутую поверхность равен произведению $4\pi$ на полный заряд, охватываемый поверхностью:

$\int_S E da = 4\pi \sum_i q_i = 4\pi \int \rho dv$


где $\rho$ – плотность объёмного заряда, т.е. величина электрического заряда в единице объёма, и $dv$ – элементарный объём, выделенный внутри нашего замкнутого объёма.

Теорема Гаусса (полное название теорема Гаусса-Остроградского) чисто математическая теорема о дивергенции. Перепишем полный поток вектора F следующим образом:

$\int_S F da = \sum_{i=1}^N \int_{S_i} F da_i = \sum_{i=1}^N V_i \frac{\int_{S_i} F da_i}{V_i}$


В пределе, когда N > ?, $V_i$ >0 величина в скобках становится дивергенцией и сумма переходит в объёмный интеграл:

$\int_S Fda = \int_V div F dv$


Это и есть теорема Гаусса, и является поистине самой важной формулой полевой теории. Применим эту теорему к электростатическому полю. С одной стороны, согласно закону Гаусса

$\int_S Eda = 4\pi \int \rho dv$


А с другой стороны, согласно теореме Гаусса (только не путайте теорему с законом Гаусса):

$\int_S Eda = \int_V div E dv$


Комбинируя два последних уравнения, получим:

$div E = 4\pi \rho$


Вспомним формулу (**) и подставим сюда вместо E потенциал поля

$div \nabla \phi = - 4\pi \rho$


Дивергенция градиента это новый оператор, который в математике называют оператор Лапласа, или сокращённо лапласиан. Лапласиан обозначается значком набла следующим образом $\nabla ^2$ и равен

$\nabla ^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$


Перепишем предыдущую формулу в форме лапласиана:

$\nabla^2 \phi = - 4\pi \rho$


Наконец мы получили уравнение Пуассона. В первой статье это уравнение было немного в другой форме, с учётом диэлектрической проницаемости среды. Вспомните силу Кулона в системе СИ, там константа $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon \epsilon_0}$. Соответственно в законе Гаусса будет не $4 \pi$, а коэффициент $\frac{1}{\epsilon \epsilon_0}$. Таким образом получаем уравнение Пуассона в форме представленной в предыдущей статье

$\nabla^2 \phi = - \frac{1}{\epsilon \epsilon_0} \rho = - \frac{1}{\epsilon \epsilon_0} \sum_i q_i n_i$


Таким образом по сути уравнение Пуассона – это закон Кулона (а точнее закон Гаусса) переписанный в другой форме, в обозначениях векторного дифференциального анализа.

В следующей статье мы разберём важное распределение из математической статистики — распределение Больцмана.

Комментарии (8)


  1. tronix286
    12.09.2017 19:14
    #10308575
    +1

    Очень много матана, но хвала богам, хотя-бы интегралы обычные, без кружочков. Но все равно не понятно, профит то какой?


    1. rezerford Автор
      13.09.2017 08:24
      #10309321

      В статье указано, что читатель должен быть знаком с матаном, т.е. расчитано на более менее подготовленного читателя. И что именно не понятно, математическая часть или физическая?


      1. willmore
        13.09.2017 09:25
        #10309383
        +2

        Думаю, тут вопрос по целевой аудитории. Если человек знает матан, статья ему ничего не даст, открываем книжку по физике и получаем больше и подробнее. Если матана не знает, то с такого «галопом по Европам» он тоже никакой пользы не вынесет.


        1. maxzhurkin
          13.09.2017 20:53
          #10311109

          Не совсем так: на самом деле, можно, например, знать матан достаточно, чтобы понять эту статью, но на учебниках засыпать, имея при этом возможность через некоторые усилия справиться и с учебником, но для такого подвига нужна мотивация, более сильная, чем для этой статьи.
          Так что, уверен, что статья найдёт своего читателя.


  1. rezerford Автор
    13.09.2017 09:40
    #10309405

    Цель статьи не рассказать про всю электродинамику, в подробностях (т.к., согласен, в учебнике по физике можно понятнее и шире раскрыть суть вопроса), а как бы в продолжение предыдущей моей статьи раскрыть с какого потолка берутся некоторые уравнения. Чтобы не копать в ста учебниках откуда всё происходит, а в едином месте, на одном подносе преподнести читателю весь пирог. Но в общем то можно поспорить, надо ли всё это, но из своего опыта скажу, что какую научную статью не читаешь, не понимаешь ничего, так как нету никаких элементарных выкладок. По моему мнению этого всегда не хватает, по крайней мере в современных статьях. Всегда приходится прибегать к дополнительной литературе, чтобы объединить всё воедино. Другое дело раньше в научных журналах и статьях, всегда шли от элементарного к сложному, впринципе также как я изложил в этой статье.


    1. qbertych
      13.09.2017 11:02
      #10309563

      Какие к черту "сто учебников"? Сивухин, том "Электричество", начало первой главы.


      1. rezerford Автор
        13.09.2017 11:41
        #10309663

        «Сто учебников» надо понимать не в прямом смысле, а в переносном. Иногда одного и даже трёх учебников не достаточно, чтобы например понять векторный или тензорный анализ и как его применить к разделу физики «Электричество». Это если уже очень строго подходить к вопросу. Но а так да, для понимания физических процессов достаточно Сивухина. Но я предпочитаю Фейнмановские или Берклеевский курсы по физике. Не сочтите это за рекламу, просто заметка.


    1. Chingiss
      14.09.2017 13:51
      #10312273

      Скажу как человек, который всё это изучал в универе, как правило проблема не в том, что материал размазан по множеству источников, а в отсутствии наглядности, «бытовых» аналогий, растолковывающих какой смысл несёт в себе тот или иной символ, уравнение, система.