Упражнения в чистой математике привели к созданию масштабной теории об устройстве мира

Где-то в середине лета 2016 года венгерский математик Габор Домокош взошёл на крыльцо дома Дугласа Джерольмака, геофизика из Филадельфии. С собой у Домокоша были дорожные чемоданы, сильная простуда и жгучая тайна.

Чуть позже двое мужчин гуляли по гравийной дорожке на площадке за домом, где жена Джерольмака держала тележку для продажи тако. Под их ногами хрустел измельчённый известняк. Домокош указал под ноги.

«Сколько граней у каждого из этих камушков?» – спросил он. Затем он ухмыльнулся. «Что, если я скажу вам, что их количество обычно равно шести?» А затем он задал ещё более общий вопрос, который, как он надеялся, надолго поселится в мозге его коллеги. Что, если мир состоит из кубов?

Джерольмак сначала возразил: может, дома и строятся из кирпичей, но Земля состоит из камней. А форма у камней, очевидно, разная. Слюда крошится на чешуйки, кристаллы ломаются по жёстко определённым осям. Однако Домокош утверждал, что из одной лишь чистой математики следует, что любые камни, ломающиеся случайным образом, будут порождать формы, имеющие в среднем по шесть граней и восемь вершин. Если взять среднее по всем им, оно будет стремиться к некоему идеальному кубу. Домокош сказал, что доказал это математически. Теперь ему нужно было, чтобы Джерольмак помог ему показать, что это происходит и в природе.

«Это было чёткое геометрическое предсказание, порождённое природой, причём без какой-либо физики», — сказал Джерольмак, профессор из Пенсильванского университета. «Как, чёрт возьми, природа это вообще допустила?»

В последовавшие несколько лет парочка изучала свою геометрическую идею, исследуя всё, от микроскопических фрагментов камней до обнажения геологических пород, поверхностей планет и даже диалога Платона "Тимей". Всё это покрывало проект налётом мистицизма. Один из величайших философов примерно в 360 году до н.э. сопоставил пять платоновых тел с пятью «элементами» мироздания: землёй, воздухом, огнём, водой и звёздной материей. По удачному совпадению и/или предвидению Платон сопоставил кубы, которые лучше всего складываются в штабеля, с землёй. «И я подумал – ладно, вот мы уже слегка зашли и на территорию метафизики», — сказал Джерольмак.


Габор Домокош и Дуглас Джерольмак

Однако они продолжали находить средние кубоиды в природе, а также несколько форм, не похожих на кубы, но подчинявшихся той же теории. В итоге они создали новую математическую платформу: описательный язык, выражающий, как всякие вещи распадаются на части. Опубликованная в этом году их совместная работа названием напоминала эзотерический том из серии про Гарри Поттера: «Куб Платона и естественная геометрия фрагментации».

Несколько геофизиков, с которыми связалась редакция журнала, говорят, что ту же математическую платформу можно использовать и для других задач, вроде изучения эрозии разломов скал, или предотвращения опасных оползней. «Это очень интересно», — сказал геоморфолог Микаэль Аттал из Эдинбургского университета, один из двух рецензентов этой работы. Другой рецензент, геофизик Дэвид Фёрбиш из университета Вандербильта, сказал: «Подобные работы заставляют меня задуматься: не могу ли я как-то воспользоваться этими идеями?»

Все возможные разломы

Задолго до визита в Филадельфию у Домокоша возник более безобидный математический вопрос.

Допустим, вы раскрошили нечто на множество кусочков. Теперь у вас есть мозаика – набор фигур, которые можно составить вместе безо всяких наложений и разрывов, как пол в древнеримской бане. Также допустим, что все фигуры – выпуклые.

Сначала Домокошу стало интересно, можно ли только средствами геометрии предсказать, из каких фигур в среднем будет состоять подобная мозаика. Затем он захотел научиться описывать все остальные возможные наборы таких фигур.

В двух измерениях для изучения этого вопроса ничего разбивать на кусочки не потребуется. Возьмите лист бумаги. Разрежьте его случайным образом, разделив лист на две части. Потом сделайте по одному разрезу на каждом из этих многоугольников. Повторите процесс несколько раз. Подсчитайте среднее число вершин у каждого из кусочков бумаги.

Для человека, изучающего геометрию, найти ответ на этот вопрос будет не так уж и сложно. «Ставлю ящик пива, что смогу помочь вам вывести эту формулу за пару часов», — сказал Домокош. В среднем у кусочков должно быть по четыре вершины и четыре стороны, а средняя форма у них будет прямоугольной.

Эту же задачу можно рассматривать и в трёх измерениях. Лет 50 назад русский физик-ядерщик, лауреат нобелевской премии мира, и позднее – диссидент, Андрей Дмитриевич Сахаров задумался над такой же проблемой, когда со своей женой резал кочаны капусты. Сколько вершин в среднем будет у каждого из полученных кусочков? Сахаров передал эту задачу легендарному советскому математику Владимиру Игоревичу Арнольду и его студенту. Однако полного решения они не нашли, и их попытки по большей части были забыты.


Валуны Моераки в Новой Зеландии

Домокош, не знавший об их работе, написал доказательство, ответом которого стали кубы. Но он захотел проверить его правильность. Он решил, что если ответ к этой задаче уже существует, то он должен быть спрятан в непостижимом труде немецких математиков Вольфганга Вайля и Рольфа Шнайдера – 80-летнего титана из области геометрии [в оригинале не указано название – видимо, имеется в виду книга "Стохастическая и интегральная геометрия" / прим. пер.]. Домокош – профессиональный математик, но текст книги оказался тяжеловат даже для него.

«Я нашёл человека, согласившегося прочесть мне нужную часть книги, и перевести её обратно на человеческий», — сказал Домокош. Он нашёл там теорему для любого количества измерений. Она подтвердила, что в трёх измерениях в ответе действительно фигурируют кубы.

Теперь Домокош нашёл усредненные фигуры, которые получаются при разрезании плоской поверхности или трёхмерного кирпичика. Появился более общий вопрос. Домокош понял, что он также мог разработать математическое описание не только средних фигур, но и потенциально любых: какой набор фигур в принципе можно получить при разделении предмета?

Вспомним, что фигуры, получающиеся после распада предмета, представляют собой мозаику. Их можно составить вместе без перекрытий и разрывов. Прямоугольники, на которые мы разрезали лист, легко можно составить так, чтобы они заполнили двухмерную мозаику. Способны на такое и шестиугольники – в идеализированном случае набора, который математики называют "диаграмма Вороного". А вот пятиугольниками или восьмиугольниками плоскость не замостить.


Геометрия Марса. Для анализа поверхности – в данном случае, поверхности кратера Марса, похожей на соты – исследователи размечают все вершины и стороны. Они подсчитывают количество вершин для каждой из ячеек и количество ячеек, для которых каждая из вершин является общей.

Чтобы правильно классифицировать мозаики, Домокош начал описывать их двумя числами. Первое – среднее число вершин на ячейку. Второе – среднее количество разных ячеек, для которых есть одна общая вершина. Так, к примеру, в мозаике из шестиугольных плиток у каждой из них есть шесть вершин. А каждая вершина является общей для трёх шестиугольников.

В мозаиках работают только определённые комбинации из двух этих параметров, что даёт небольшой диапазон фигур, на которые что-то может в принципе распасться.

Опять-таки, этот диапазон достаточно легко найти в двух измерениях, но гораздо труднее – в трёх. В трёхмерном пространстве кубы очень хорошо складываются вместе, но есть и другие виды фигур – в том числе, формирующие трёхмерные версии диаграммы Вороного. Чтобы не переусложнять задачу, Домокош ограничился мозаикой из правильных выпуклых ячеек с общими вершинами. В итоге они с математиком Жолтом Ланги вывели новую гипотезу, набросав кривую, в которую укладываются все возможные трёхмерные мозаики. Они опубликовали работу в журнале Experimental Mathematics, «а потом я отправил всё это Рольфу Шнайдеру, нашему божеству», — сказал Домокош.


Пространство кубов. В трёх измерениях большинство камней разбиваются на кубы с восемью вершинами на ячейку. Карта допустимых мозаик из выпуклых фигур с правильными ячейками, имеющими общие вершины, укладывается в узкую полосу. Красным выделена область кубоидных форм.
По вертикали: количество вершин на ячейку
По горизонтали: количество общих ячеек у каждой вершины

«Я спросил его, нужно ли объяснять, как я пришёл к такой гипотезе, но он сказал, что он знает об этом, — смеётся Домокош. – Для меня это было в сто раз более важным, чем принятие статьи любым журналом мира».

Что важнее, теперь у Домокоша была платформа. Математика давала способ классификации всех способов разбиения поверхностей и блоков. А геометрия предсказывала, что если разбить плоскую поверхность случайно, она будет разделяться на нечто вроде прямоугольников. В трёх измерениях разбиение приведёт к появлению чего-то, похожего на кубы.

Но чтобы всё это имело значение для кого-то, кроме небольшой группки математиков, Домокош должен был доказать, что этим правилам подчиняется и реальный мир.

От геометрии к геологии

К тому времени, как в 2016 году Домокош оказался в Филадельфии, в решении задачи применительно к реальному миру он уже кое-чего достиг. Они с коллегами из Будапештского технологическо-экономического университета собрали осколки доломита, отколовшиеся от скалы Хармашхатар-хедь, находящейся в Будапеште. Несколько дней сотрудник лаборатории без всякого предубеждения насчёт кубов усердно подсчитывал количество граней и вершин сотен кусочков. Какие средние показатели он получил? Шесть граней, восемь вершин. Домокош совместно с Яношом Тёроком, специалистом по компьютерным симуляциям, и Ференцем Куном, экспертом по фрагментационной физике, обнаружили, что средние кубоиды появлялись и в породах другого типа – например, в гипсе и известняке.

Вооружившись математикой и ранними физическими свидетельствами, Домокош выдал свою идею поражённому Джерольмаку. «Он будто загипнотизировал меня, и всё остальное на какое-то время просто исчезло», — сказал Джерольмак.

Их альянс был не нов. Много лет назад Домокош обрёл известность, доказав существование гёмбёца – забавной трёхмерной фигуры, упорно переворачивающейся в определённую позицию равновесия. Чтобы узнать, может ли гёмбёц существовать в реальности, он привлёк Джерольмака, помогшего применить эту концепцию для объяснения круглой формы гальки на Земле и Марсе [Владимир Арнольд приложил руку и тут, впервые поставив вопрос о существовании подобных тел / прим. пер.]. Теперь Домокош снова просил помочь превратить некие теоретические математические концепции в осязаемый камень.


Гёмбёц – выпуклая трёхмерная однородная фигура, имеющая ровно одну точку устойчивого равновесия и одну – неустойчивого

Парочка договорилась о новом плане. Чтобы доказать наличие платоновых кубов в природе, им нужно было показать нечто большее, чем просто случайное совпадение геометрии и горсточки камешков. Им нужно было рассмотреть все камни, а потом набросать убедительную теорию того, как абстрактная математика может проникнуть в беспорядочную геофизику, а потом – в ещё более беспорядочную реальность.

Сначала «всё вроде бы работало», сказал Джерольмак. Математика Домокоша предсказывала, что осколки камней в среднем должны быть кубами. Всё большее число реальных осколков вроде как укладывалось в эту теорию. Однако вскоре Джерольмак понял, что для доказательства теории необходимо разобраться и с исключениями из правил.

Ведь та же самая геометрия даёт возможность описать множество других мозаичных рисунков, существование которых допускается и в двух, и в трёх измерениях. Джерольмак прямо сразу мог назвать несколько типов реальных камней, не похожих на прямоугольники и кубы, которые всё же можно было уложить в эту более обширную классификацию.

Возможно, эти примеры полностью опровергли бы теорию кубического мира. А возможно, что было бы интереснее, они появлялись бы только в особых случаях, из которых геологи смогли бы извлечь новые уроки. «Я сказал, что знаю, что это работает не везде, и мне нужно знать, почему», — сказал Джерольмак.

В следующие несколько лет Джерольмак с командой, работая по обе стороны Атлантики, начали размечать, куда именно на платформе Домокоша попадают реальные примеры кусочков камней. Исследуя, по сути, двумерные поверхности – растрескавшуюся вечную мерзлоту на Аляске, обнажение пород доломита, трещины на гранитном блоке – они находили многоугольники, у которых в среднем было четыре стороны и четыре вершины, как и на разрезанной бумаге. Каждое из этих геологических явлений, казалось, проявляло себя там, где камни просто трескались. В этой области предсказание Домокоша сбылось.


Вселенная плиток. Все возможные выпуклые плитки, полностью закрывающие плоскость, можно нанести на график соответствия среднего числа вершин у плитки (ось y) и среднего количества клеток, делящих одну вершину (ось х). Примеры из реального мира:
6 – мостовая гигантов, 7 – вечная мерзлота на Аляске, 8 – высохшая грязь, 9 – поверхность гранита.

Но был один тип плоской поверхности, оправдавший надежды Джерольмака: он был исключением со своей собственной историей. Покрытые грязью плоские поверхности высыхают, растрескиваются, намокают, затягиваются, и потом снова растрескиваются. У ячеек на таких поверхностях в среднем по шесть сторон и шесть вершин – примерно шестиугольная диаграмма Вороного. Похожий вид имеет каменистая поверхность, появившаяся после застывания лавы, которая отвердевает от поверхности и вниз.

Интересно, что именно такие системы формируются под воздействием иных сил, которые выдавливают их наружу, вместо того, чтобы вдавливать внутрь. Геометрия раскрывает геологические своства. Джерольмак и Домокош считали, что такая диаграмма Вороного, пусть и встречается довольно редко, также может появляться на куда более крупных масштабах, чем они изучали ранее.


Диаграмма Вороного делит плоскость на отдельные участки, каждый из которых состоит из всех точек, ближе всего расположенных к начальной.

Подсчёт корки

В процессе разработки команда встретилась в Будапеште и три безумных дня лихорадочно старалась включить в модель больше примеров из реальной жизни. Вскоре Джерольмак вывел на экран компьютера новый узор: мозаику тектонических плит Земли. Плиты располагаются на литосфере, почти двумерной коже на поверхности планеты. Узор выглядел знакомым, и Джерольмак подозвал других, чтобы полюбоваться им. «Мы все были потрясены», — сказал он.

На первый взгляд кажется, что плоскостные рисунки тяготеют к диаграмме Вороного, а не к квадратной сетке. А потом команда произвела подсчёты. В идеальной мозаике Вороного из шестиугольников на плоскости у каждой ячейки должно быть по шесть вершин. У реальных тектонических плит в среднем оказалось по 5,77 вершин.

На этом месте геофизик уже мог бы праздновать победу. Но математика это не устраивало. «Настроение Дага поднималось. Он работал, как заведённый, — сказал Домокош. – А на следующий день я расстроился, поскольку размышлял об этом разрыве».

Вечером Домокош отправился домой, всё ещё снедаемый этой разницей. Он вновь записал все числа. И вдруг на него снизошло откровение. Мозаика из шестиугольников может замостить плоскость. Но Земля не плоская – по крайней мере, за пределами некоторых одиозных уголков на YouTube. Представьте себе футбольный мяч, состоящий из пятиугольников и шестиугольников. Домокош обработал данные с учётом сферической поверхности и обнаружил, что на шаре у ячеек мозаики Вороного в среднем должно быть по 5,77 вершин.

Эта идея помогла исследователям решить один из важных и открытых вопросов в геофизике: как формируются тектонические плиты Земли? Одни считают, что эти плиты – побочный продукт движущихся глубоко в мантии конвекционных потоков. Их противники полагают, что земная кора является отдельной системой. Она расширялась, стала хрупкой и сломалась. Соответствие плит диаграмме Вороного, напоминающей грязевую корку, может поддержать вторую теорию, сказал Джерольмак. «А ещё это дало мне понять, насколько важной была та работа, — сказал Аттал. – Феноменально».

Переломный момент

В трёх измерениях же исключений из правила кубов встречалось достаточно мало. И их тоже можно было объяснить при помощи симуляции необычных сил, давящих наружу. Одна явно некубическая формация находится на побережье Северной Ирландии, где волны бьются о десятки тысяч базальтовых колонн. На ирландском языке это называется Clochan na bhFomhorach, дорога из камней для сверхъестественных существ. По-английски это называется "мостовой гигантов".

Важно, что эти колонны и другие похожие вулканические формации шестиугольные. Однако судя по симуляциям Тёрока, мозаики, похожие на эту мостовую, представляют собой просто трёхмерные структуры, выросшие из двумерной базы диаграмм Вороного после охлаждения вулканической породы.


Мостовая гигантов в Северной Ирландии

Команда утверждает, что если взять картину в целом, большую часть мозаик растрескавшегося камня можно классифицировать при помощи платоновых прямоугольников, двумерных диаграмм Вороного, а всё вместе – платоновыми кубами в трёх измерениях. Каждый из узоров может рассказать свою геологическую историю. И, да, с учётом некоторых особенностей, можно сказать, что мир состоит из кубов.

«Они должным образом проверили свою модель на соответствие реальности, — сказала Марта-Кэри Эппс, специалист по естественным наукам из университета Северной Каролины. – Мой изначальный скептицизм угас».

«Математика говорит нам, что если мы будем дробить камни, как угодно, случайно или специально, у нас всё равно окажется ограниченный набор возможностей, — сказал Фёрбиш. – Разве это не умно?»

Возможно, у вас получится взять для примера реальное место, состоящее из расколотой породы, подсчитать вершины и грани, и потом сделать вывод о шедших там геологических процессах.

«Для некоторых мест у нас есть данные, позволяющие взглянуть на этот вопрос с такой стороны», — сказал Роман Дибайас, геоморфолог из Пенсильванского государственного университета. «Было бы круто, если бы мы могли делать выводы не из таких очевидных вещей, как мостовая гигантов – просто ударив молотком по камню, и посмотрев, на что похожи осколки».

Джерольмак же, сначала считавший, что связь с платоновыми телами может быть случайной, теперь принял эту гипотезу. Ведь, в конце концов, греческий философ считал, что правильные геометрические формы необходимы для познания Вселенной, хотя сами невидимы глазу, и проявляются только в виде искажённых теней.

«Это буквально самый очевидный из примеров, которые можно придумать. Статистическое среднее всех этих наблюдений представляет собой куб, — сказал Джерольмак. – Но такого куба не найти».