Пусть у нас есть цепочка длины l и массой M, подвешенная за один конец, как показано на рисунке. Здесь мы будем предполагать, что цепочка однородна и силами трения можно пренебречь. Построим систему координат таким образом, чтобы начало координат совпадало с точкой подвеса, ось X направлена вниз, а ось Y, перпендикулярная оси X, будет отвечать за отклонение цепочки от вертикали. Фактически, необходимо определить функцию Y(x,t).
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/76727/76727_900.png)
Чтобы найти Y(x,t) распишем силы, действующие на небольшой участок цепочки как показано на следующем рисунке.
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/63238/63238_900.png)
Из рисунка видно, что сила натяжения T является касательной к цепочке. Следовательно, тангенс угла наклона T к оси X будет равен производной dY(X)/dX. Известно, что если колебания небольшие, то тангенс примерно равен самому углу в радианах. Силу натяжения T можно рассчитать по формуле
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/77009/77009_900.png)
где l — длина цепочки, g — ускорение свободного падения, и
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/77526/77526_900.png)
масса на единицу длины цепочки.
Запишем уравнение исходя из второго закона Ньютона
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/64179/64179_900.png)
В правой части уравнения подставим значение натяжения T пока без соответствующего коэффициента
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/64423/64423_900.png)
Заменим значение производной в точке x+dx через вторую производную
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/64764/64764_900.png)
Раскроем скобки
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/64827/64827_900.png)
и сократим соответствующие слагаемые, убирая также слагаемое второго порядка малости.
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/65208/65208_900.png)
Подставим полученную формулу в уравнение движения
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/65340/65340_900.png)
Сокращаем на dx и удельную массу.
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/65536/65536_900.png)
Заметим, что это уравнение не зависит от удельной массы, стало быть, все веревки и цепочки равной длины будут колебаться одинаково, независимо от массы. Для того, чтобы решить это уравнение, будем искать решение в виде
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/81430/81430_900.png)
Подставив его в уравнение движения, получим
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/66146/66146_900.png)
Разделив его на g и саму функцию, получим, что одна часть зависит только от времени, а другая только от X. Стало быть, их можно приравнять некоторой константе.
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/66488/66488_900.png)
Рассмотрим сначала ту часть, которая зависит только от X
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/66611/66611_900.png)
Чтобы решить это уравнение сделаем замену переменной
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/81172/81172_900.png)
Тогда первая производная примет следующий вид
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/67293/67293_900.png)
а вторая производная такой
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/67565/67565_900.png)
а уравнение перепишется в виде
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/67737/67737_900.png)
Нетрудно заметить, что это уравнение можно переписать в виде
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/81043/81043_900.png)
Поскольку пока непонятно, что это за уравнение, попробуем привести его к какому-нибудь известному дифференциальному уравнению.
Для этого сделаем замену
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/80423/80423_900.png)
При этом первая производная примет следующий вид
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/68592/68592_900.png)
а само уравнение такой
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/68613/68613_900.png)
Выносим n в квадрате из под производной
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/69042/69042_900.png)
и сокращаем
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/69340/69340_900.png)
Производим дифференцирование и получаем следующее уравнение
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/69386/69386_900.png)
Подберем n таким образом, чтобы при старшей производной не было свободной переменной
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/80132/80132_900.png)
Получим следующее уравнение
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/69973/69973_900.png)
Домножаем на 4 и z в квадрате и получаем
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/70328/70328_900.png)
Это уже похоже на известное уравнение Бесселя, необходимо только избавиться от множителя у самой функции. Для этого делаем еще одно преобразование переменной
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/79696/79696_900.png)
При этом первая производная станет равной
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/80116/80116_900.png)
а вторая производная
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/71088/71088_900.png)
Подставляя в уравнение, получаем
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/71207/71207_900.png)
Если мы возьмем
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/79562/79562_900.png)
то получим уравнение Бесселя нулевого порядка
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/71683/71683_900.png)
Решение такого уравнения имеет вид
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/72144/72144_900.png)
где A и B — константы, а J и Y — функции Бесселя нулевого порядка. Подставляя обратно переменную z, получим
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/72398/72398_900.png)
После подстановки переменной u, имеем следующе решение
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/72519/72519_900.png)
и, наконец, возвращаясь к переменной x, имеем
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/72930/72930_900.png)
Используем тот факт, что наша функция должна быть конечной в точке x=l. Поскольку функция Y(x) бесконечна в нуле, B должно равняться нулю и наше решение будет иметь следующий вид
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/73121/73121_900.png)
Теперь воспользуемся тем условием, что в точке подвеса значение нашей функции должно равняться нулю, то есть y(0)=0.
Из этого следует, что
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/79280/79280_900.png)
где j — нули функции Бесселя нулевого порядка. Отсюда можно определить значение лямбда
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/79096/79096_900.png)
Подставляя лябда, получим
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/78632/78632_900.png)
Что после сокращения дает собственные функции
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/78527/78527_900.png)
Дадим графики для первых пяти
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/74443/74443_900.png)
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/74668/74668_900.png)
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/74963/74963_900.png)
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/75240/75240_900.png)
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/75420/75420_900.png)
Вернемся теперь к той части начального уравнения, которая отвечает за зависимость от времени. Зная значения лямбда, можно вычислить собственные частоты
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/78167/78167_900.png)
Извлекая корень, получим
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/78021/78021_900.png)
Соответствующие периоды будут равны
![image](https://ic.pics.livejournal.com/andyplekhanov/66030250/77599/77599_900.png)
Сравните это выражение с периодом колебаний математического маятника.
На этом наше исследование колебаний свободно висящей цепочки окончено. Спасибо за внимание.
UncleAndy
Я в свое время сделал для Quake I веревку в виде цепочек спрайтов. Математика там была несложная, но вела она себя очень реалистично.