Давайте знакомиться: я Меликян Маргарита, кандидат физико-математических наук, уже 4й год работаю на мехмате МГУ и кафедре высшей математики МФТИ, а также несколько лет как преподаю в ШАД Helper. Преподаю я как разнообразные курсы из блока анализа, так и вероятностного блока, и сегодня я хочу немного поговорить о том, каково это – осваивать математический анализ и каких ошибок следует избегать, какие лайфхаки применить.
Первая препона, с которой сталкивается человек в самом начале освоения новой дисциплины, даже если он это делает “под присмотром” преподавателя – это литература. На что нужно обращать внимание и ориентироваться при выборе?
В первую очередь на то, какую литературу предлагает сам преподаватель. Если он ее предлагает, то скорее всего его подход в изложении материала будет близок тому, что вы увидите в соответствующих книжках, однако на самом деле списки литературы часто бывают шире и разнообразнее, и отсюда произрастает необходимость второго пункта ⇒
Я очень не советую новичкам пользоваться большим количеством литературы одновременно! Во-первых, от обилия информации и осознания количества того, что надо освоить, ваш запал может иссякнуть гораздо раньше, чем вы хоть сколько-нибудь продвинетесь в изучении. Во-вторых, что страшнее, вы можете попасть в неприятные “циклы”:
В книге А: доказали теорему 1, из нее следует теорема 2.
В книге Б: доказали теорему 2, а из нее теорему 1.
А теперь задумайтесь, что получается, если вы решили взять, скажем, доказательство теоремы 1 из книжки Б, а доказательство теоремы 2 из книжки А... Впрочем, если вы решили, что вам не сильно-то интересны и нужны доказательства и строгое пирамидное развитие теории, то это может быть не так уж страшно, кроме того, что породит у вас искаженное представление о “действительности”. Тут же замечу, что полностью игнорировать изучение доказательств так себе идея ввиду того, что некоторые из них используют приёмы и идеи, полезные для решения задач. А нас же в конечном итоге интересует совершенствование в этом плане, да?)Конечно же, учитывая всё вышесказанное, выбирать стоит из предложенного того автора, чье изложение материала показалось вам ближе всего (т.е. понятнее и доступнее). Для определения фаворита можно почитать одну и ту же тему в разных учебниках и прислушаться к себе ;)
И специально для студентов ВУЗов: С БОЛЬШОЙ ОСТОРОЖНОСТЬЮ ПОЛЬЗУЙТЕСЬ “МЕТОДИЧКАМИ” от старшекурсников. Обязательно сверяйтесь с учебниками касательно написанного. Потому как это тот тип литературы, который просто кишит неточностями, ошибками и совсем уж невероятными фактами. Их можно читать только уже разобравшись в предмете, как научпоп или фантастику.
Впрочем, всё изложенное выше можно отнести не только к математическому анализу, но и к любой другой математической дисциплине (а может, и не только математической, вот за это не ручаюсь).
Второй момент, который оказывается на первом курсе затруднительным, это гениальный аппарат – “эпсилон-дельта определения” и иже с ними. Определения, заключающие в себе набор символов, среди которых понакиданы кванторы (порой до 3х разных типов в одной математической “фразе”!) вперемежку с множествами/пространствами, их элементами и еще бог знает чем вызывают нереальные трудности при запоминании! Что очень часто демонстрируют студенты на коллоквиумах, зачётах, экзаменах... Кто виноват? И что делать?
Ответ прост и сложен одновременно – не механически “заучивать” (я искренне считаю, что просто запомнить такой объём информации нереально, да и излишне), а попробовать ПОНЯТЬ, “что хотел сказать автор”. Понять, почему темы изучаются именно в таком порядке, обычно это обусловлено некоторой логикой усложнения понятий. Собственно, за что обожаю математику: объём информации, требуемой к запоминанию, выгодно отличается от гуманитарных направлений :) Если вы понимаете, “чувствуете”, что там происходит, можете сами написать на математическом языке нужное определение или вывести нужное утверждение, вам становится гораздо, нет, не так, ГОРАЗДО легче!
Хорошо, тезис, думаю, ясен, а как понять-то? Приведу парочку лайфхаков:
Раз уж мы начали с “эпсилон-дельта определений” и аналогичного, то давайте про них и поговорим. Первое, что вам может помочь – попробуйте попереставлять кванторы всевозможными способами или заменить их на другие, “забыть” вовсе (одним словом, смоделировать реальный ответ недоучившего на экзамене), и посмотреть, что из этого получится. Возможно ли подобрать такой объект? а если возможно, то будет ли это то, чего нам хотелось изначально?
Например, вы пытаетесь разобраться с критерием Коши сходимости последовательности. Один из вариантов написания условия Коши фундаментальности последовательностивыглядит так:
Что будет, если мы переставим один из кванторов в начало? То есть
Даст ли нам это сходящуюся последовательность? Или нет?Второй лайфхак удаётся применить не везде, но тоже довольно важен – это попытка понять, а есть ли геометрическая или физическая интерпретация того или иного понятия/свойства? Эти интерпретации также порой помогают понять, возможно ли то, про что спрашивают в задаче, что вероятнее: обладает функция тем или иным свойством или нет?
Например, производная одномерной функции (можно считать, что от времени) – это мгновенная скорость траектории точки в данный момент времени. Может ли точка начать движение с положительной скоростью, двигаться гладко, сменить скорость на отрицательную, обойдя стороной момент остановки?
А что для функции означает то, что она непрерывна? А равномерно непрерывна?Большое количество утверждений с самыми разными требованиями к объектам в них тоже могут вызывать затруднения. Как помочь себе запомнить, что где требовать? Да и вообще, какие из условий являются техническими (т.е. без них доказательство становится в разы сложнее), а какие по существу (то есть выкину и всё, найдётся контрпример)? Хороший способ – попробовать повыкидывать условия и попридумывать контрпримеры.
Пример. Рассматриваете теорему об обратной функции. Самый простой вариант: вам дают функцию на отрезке и требуют там её непрерывности и строгой монотонности. Что будет, если убрать одно из условий? Всегда ли получится ввести обратную функцию? А бывают ли функции, не удовлетворяющие одному из условий, но тем не менее имеющие обратную?Этот момент в целом можно было озвучить еще при обсуждении литературы, но мне захотелось его выделить особенно, так как на мой взгляд он архиважен. А именно:
при изучении утверждений обращайте внимание на принятые в соответствующем источнике определения объектов и обозначения. Под словом “гладкая” могут скрываться функции разной степени “хорошести”, или, например, у одного автора в утверждении дополнительно указано, что функция должна быть ограничена, у другого нет, кто прав? Да, возможно, оба, просто один понимает, скажем, интеграл Римана как предел интегральных сумм, и тогда ограниченность функции – необходимое условие интегрируемости, а другой ввёл его через суммы Дарбу, для чего ограниченность пришлось “вшить” в определение. И тогда в утверждении вновь подчеркивать ограниченность нет никакой нужды. Оба определения при этом приводят к рассмотрению одного и того же объекта в итоге, но чисто формально утверждения будут отличаться. Отличная ловушка для читателя!
На этом на сегодня всё, удачи вам в познании!
P.S. И не расстраивайтесь, если при применении некоторых лайфхаков поставите себе задачи, на которые не получается дать ответы, да и даже загуглить не удаётся – это нормально, порой задачам надо дать время осесть... или же обсудить с товарищами по несчастью :) Или же просто отпустить (ситуацию)).
P.P.S. Ответы на вопросы в тексте:
Критерий Коши. Нет, не даст. Рассмотрите последовательность
или
.
Про точку: нет, не может (теорема о нулях функции).
Непрерывность в точке: при рассмотрении графика исследуемой функции получается, что сколь малый эпсилон мы бы ни взяли (это будет половиной высоты прямоугольника без границы, который мы строим, отступив вверх и вниз от уровня, равного значению функции в рассматриваемой точке), для него всегда найдётся дельта (половина ширины прямоугольника), такое что, взяв произвольный аргумент со стороны прямоугольника, параллельной оси абсцисс, я обнаружу, что значение функции в этом аргументе попадает вовнутрь построенного прямоугольника. В равномерной непрерывности мы построение чуть видоизменяем: выбрать дельта можно так, что прямоугольник со сторонами дельта и эпсилон можно двигать по всему множеству, на котором функция претендует на равномерную непрерывность, и при этом функция не будет пересекать стороны прямоугольника, параллельные оси абсцисс.Не всегда, рассмотрите функцию
Существуют:на отрезке [−1; 1].
Комментарии (58)
NeoCode
30.01.2023 15:35+5Завидую людям которые в этом хорошо разбираются) А вообще, существуют ли какие-то учебники или онлайн ресурсы для обучения высшей метаматике? Здесь смысл в том, что все книги - это в основном поток формул, изредка разбавленный словами "давайте рассмотрим", "следовательно", "что и требовалось доказать":) А хочется большего. Во-первых, каждое понятие должно сопровождаться наглядными примерами. Во-вторых, иллюстрации, цветные и даже анимированные/интерактивные. Чтобы вот прямо буквально словами расписано и на картинках разрисовано как та или иная формула работает. В третьих, чтобы было показано как формула НЕ работает, если в ней допустить ошибки (переставить те же кванторы). По возможности, смысл каждой теоремы должен также выражаться не только формулой, но и словами, т.е. что означает та или иная теорема "на пальцах", на уровне ассоциаций. Пусть с упрощениями (о чем конечно нужно предупредить). Но мозг - не точный процессор, а нейросеть, и ему так легче.
GospodinKolhoznik
30.01.2023 15:46+8Ну так Фихтенгольц тем и хорош, что читается захватывающе, как детектив. Правда есть мнение, что он уже устарел. Не в том смысле, что там неправильная информация, а в том смысле, что сейчас модно строить систему аксиоматики немного по другому. Ну большинству людей, если они не занимаются поисками противоречий в основаниях теории множеств и т.п. заморочками абсолютно без разницы, какая там в начале книги аксиоматика.
DvoiNic
30.01.2023 17:12+3Фигтенгольца не читал, но выскажусь:
видимо, человек хочет что-то «неакадемичного».
Для примера, мне несколько лет назад попалась книжка Ю.Сато «Цифровая обработка сигналов.». Комиксы, конечно, но если бы она была бы в мои студенческие времена, то гарантирую, что из нашей пары групп ЦОС знало бы не десяток человек, а десятка три. Ну сравните ее и «классических» (для нас) книг Гоулда, или Гольденберга.
Portnov
31.01.2023 08:58+1Плюсую Фихтенгольца. Его сейчас не любят скорее работающие математики, чем педагоги. Т.к. он подходит к изложению математики из "дидактических" соображений, а не научных, т.е. "как лучше объяснить ребёнку", а не "как добиться строгого аксиоматического изложения, причём так, чтобы из этих аксиом не только матанализ следовал, а ещё и общая топология заодно". Диаметральная противоположность Фихтенгольца — курсы типа Вербицкого: всё строго выводится из очень общих аксиом, но обычному первокурснику (без физматшколы) не по зубам.
SerjV
30.01.2023 15:47+2Здесь смысл в том, что все книги - это в основном поток формул, изредка разбавленный словами "давайте рассмотрим", "следовательно", "что и требовалось доказать":) А хочется большего. Во-первых, каждое понятие должно сопровождаться наглядными примерами. Во-вторых, иллюстрации, цветные и даже анимированные/интерактивные. Чтобы вот прямо буквально словами расписано и на картинках разрисовано как та или иная формула работает.
Проблема в том, математика примерно так и выглядит, а вот все эти красивые-цветные-анимированные-загогулины - это попса популяризаторская :)
Хотя определённой аудитории реально было бы проще понять это всё, если бы оно не было потоком формул... Просто "вошедшие в предмет" забывают о том, что простым смертным еще только надо войти в неё, простые смертные не думают формулами, как математики.
DvoiNic
30.01.2023 17:24+1Да, именно о «входе в предмет» и идет речь.
правда, будет возражение от профессиональных математиков, что «науку свели к комиксам». И от «профессиональных педагогов» — что после «веселых картинок» они не будут понимать «сухие формулы» (что, на мой взгляд, неверно).SerjV
31.01.2023 16:20правда, будет возражение от профессиональных математиков, что «науку свели к комиксам».
Не факт. Скорее "прикольно, да, но нам неинтересно".
И от «профессиональных педагогов» — что после «веселых картинок» они не будут понимать «сухие формулы»
С педагогами самая большая проблема. Во-первых, профессиональный математик может побить, может даже ногами, за то, что формулы "сухими" обозвали :)
Во-вторых, у педагогов проблема "вписаться в методику", см. историю про то, что 2 куска сахара * 5 чашек != 5 чашек * 2 куска сахара (а всё потому, что надо было донести до школьника разницу между "пять раз по два" и "два раза по пять", но получился в итоге методический идиотизм, т.к. методисты сами не понимают, что пишут, какой-то карго-культ у них).
А за нестандартную методику и огрести от руководства можно.
SerjV
02.02.2023 13:34правда, будет возражение от профессиональных математиков, что «науку свели к комиксам».
Дополню мысль. Тут идёт речь о проблеме "Наглядно-образное мышление VS абстрактно-логическое мышление".
"Комиксы" работают через наглядно-образное мышление, которое для научных целей считается "поверхностным и вредным" (да и вообще соответствует развитию ребенка в возрасте от 2-3 до 6-7 лет), т.к. связано со всевозможными когнитивными искажениями.
В то время как оно действительно проще для "вхождения" в тему и запуска того самого "правильного" логического мышления, но математики реально "думают формулами", потому вопрос "вхождения в тему" в силу своей примитивности им просто непонятен. Они даже могут не понимать, где на практике используются соответствующие разделы математики - им это просто не интересно ;)
Ну а про педагогов там рядом уже сказал, у педагогов совсем другие проблемы, к сожалению (если говорить о российском образовании, про иностранное не скажу, тк. не знаю).
Ahuromazdie
30.01.2023 16:17+4Матан это
модно стильно молодежнопросто красиво. Я сломался на уравнениях мат.физики. Это был уже вроде 4 курс, мне было уже не до того... В марте я женился...
j_aleks
31.01.2023 02:23После институтов и первой работы было по кайфу, аж щекотка в мозгах такая приятная образовывалась, а потом 30+ лет разных госслужб и все, как баран на новые ворота, так что если еще что то понимаете, тренеруйтесь по чуть чуть...
Ahuromazdie
31.01.2023 09:59Через год после окончания помог коллеге разобраться с вышкой (он на заочке учился) так, что он решал контрольные всей группе и неплохо на этом зарабатывал:) Еще через пару лет пришлось попросить принести лекции для освежения и помощи в решении контрольных заочнику (преобразования и интеграрование), еще через пару лет пришлось покопаться в учебной литературе.... Мозг без практики все забывает...
myxo
30.01.2023 20:15+5Могу посоветовать только замечательный канал www.youtube.com/c/3blue1brown
Вроде его автор в таком же стиле делал полноценный курс.
artemisia_borealis
30.01.2023 20:17Что-то типа такого?Ставил тут детям смотреть, на одно дыхании, не оторвать.
Мне кажется, тоже. Тем более сейчас это возможно и в принципе появляется материал.
Хотя у самого никогда не было проблем с матаном, линейкой, ТФКП, и даже тензорным анализом, но вот уже вещи посложнее явно требовали какого-то иного подхода, которого раньше просто не было.
shaykemelov
30.01.2023 20:20Попробуйте почитать "Математика в огне"
https://www.litres.ru/jason-wilkes/matematika-v-ogne-neskuchnyy-neuchebnik-58155368/
flx0
30.01.2023 19:44+2Первая препона, с которой сталкивался я при
изучениисдаче матана на первом курсе, это необходимость запоминать фамилии. Ну на кой хрен вы в билете спрашиваете "доказательство теоремы Вейерштрасса" или "второй признак сходимости"? Причем, по именам названы тривиальнейшие факты, над доказательством которых даже думать не надо, а вот соотнести название теоремы с ее формулировкой без гугла невозможно.На старших курсах эти проблемы исчезают потому что наконец-то можно нормально общаться с преподами (и то не со всеми), но на первых подобные "экзамены" сильно огорчают. А вот с тем что у вас в статье проблем никогда никаких не было.
GospodinKolhoznik
30.01.2023 21:35+1Обычно теоремы с названиями авторов не такие уж и простые, как может показаться. Раз уж их назвали в честь человека, то было за что, и просто так за доказательство очевидной вещи твоим именем теорему не назовут. Та же самая лемма Больцано-Вейерштрасса вроде простая, но в ней есть один совсем неочевидный момент. Там есть бесконечная система вложенных отрезков и надо доказать, что в них существуетхотя бы одна общая точка. Без аксимы выбора (или какого ни-будь её аналога) этого не зделаешь, а обычносу студенту первокурснику, который ещё далеко не профессиональный математик, а простой вчерашний школьник, практически невозможно так с ходу догадаться до "а тут мы воспользуемся аксиомой выбора".
eugensk
31.01.2023 07:10+1По вашему получается, если рассматривать отрезки в множестве рациональных чисел, аксиома выбора не выполняется, в множестве вещественных чисел -- выполняется. Скоре вы имели ввиду какую-нибудь аксиому непрерывности вещественных чисел (она же будет теоремой, когда в курсе вещественные числа строятся из рациональных).
firegurafiku
30.01.2023 21:51+3Ну на кой хрен вы в билете спрашиваете "доказательство теоремы Вейерштрасса" или "второй признак сходимости"?
Потому что студенты должны знать общепринятые терминологию, обозначения и имена, это часть профессиональной квалификации.
И ещё потому, что развёрнутый вопрос содержит в себе половину ответа. Если студент забыл, какой из признаков сходимости второй, пусть напишет все, какие знает.
Margaret1618 Автор
01.02.2023 16:56Зачем в литературе помнить имена авторов, названия произведений и тп?) Есть традиции, есть выказывание уважения к великим умам предыдущих поколений, есть просто необходимость кратко ссылаться на факты, которыми хочешь воспользоваться... + те, которые названы выше... причин много. Да, это тоже может вызвать затруднение, но всё же это затруднение не математического характера, понимать тут нечего)
DvoiNic
01.02.2023 17:19Зачем в литературе помнить имена авторов, названия произведений и тп?)
А ведь и правда — зачем? кроме «традиций» такой надобности не вижу
TheHangedKing
01.02.2023 21:36Дело не в традициях. Порядок преемственности идей, художественных подходов и т. п. это живая ткань Истории. Притом Истории сразу в двух смыслах, как свидетельства ушедших эпох и как наглядного отображения культурно-исторического процесса. История же полна уроков, и кто её уроками пренебрегает, вынужден учиться на своих ошибках. Это как минимум трудоёмко, а как максимум травматично.
erogov
30.01.2023 20:05+8По воспоминаниям, главной трудностью было отсутствие ответа на вопрос «зачем я это учу, что мне это даст, к чему это можно применить?». А сами-то по себе кванторы, эпсилоны и дельты логичны и красивы. ВМК.
myxo
30.01.2023 20:13+1У меня, кстати, другие ощущения от п.2. Мне при обучении очень помогало чтение нескольких учебников. От корки до корки я их не читал, скорее если не было понятно доказательство какой-то теоремы, я смотрел как она доказывается одновременно в разных источниках. Все авторы смотрели на док-во чуть-чуть по другому и собирая эти разные стороны, мне было проще осознать суть теоремы.
ps. Но, как было указано в статье, очень важно убедится, что все определения соответствуют друг другу.Margaret1618 Автор
01.02.2023 16:59Несколько - это хорошо, а когда человек пытается одновременно читать штук 5... продуктивным действием это назвать трудно
18741878
30.01.2023 21:41+1Сколько голов, столько и умов :) Мне из академических нравится упомянутый уже Фихтенгольц. Почему? А не знаю, но это и неважно.
Но еще мне нравится пара книг академика Н.Н.Лузина "Дифференциальное исчисление" и "Интегральное исчисление". В них доказательств немного. Это даже не столько учебники, сколько обьяснения. Чуточку старомодные, но очень ясные и предельно понятные. К сожалению, последний раз они издавались очень давно: лет 60 назад. Экзамен по матану на мехмате или физфаке по ним не сдашь (для этих факультетов они явно недостаточно строгие и систематичные). Но дьявольски интересные
Newm
31.01.2023 09:19+1Типичные взгляды "педагога".
Для студента все должно быть построено по другому. Примем за факт, что в реальной жизни высшая математика студенту не потребуется. Тот же, кто понимает, что пойдет по этой стезе, должен разобраться в нужном ЕМУ разделе. Отсюда следует, что целью студента становится сдача экзамена с минимальными затратами.
Не знаю, как сейчас, но в наше время на мехмате давали списывать без проблем. Правда часто не смотрели, что там студент написал, а сразу лезли задавать дополнительные вопросы из других билетов. Немного подумав можно сделать вывод по правильной подготовке для сдачи экзамена:
1) Выписываем все определения и формулировки теорем курса. Идеально, если во время семестра, тогда оно сильно упрощает сдачу зачета, но ничего страшного, если на это убит остаток дня после предыдущего экзамена. И далее по 30-60 минут утром, днем и вечером убиваем на выучивание выписанного наизусть.
2) Находим материал, с которого будем списывать на экзамене.
3) Делим материал равномерно так, чтобы освободить последние полдня перед экзаменом.
4) Делим день на утро и после обеда и выполняем план по "выученным" билетам. А именно... Нам надо просто прочитать доказательства (даже пытаться их выучить - это бред) и во время прочтения мы должны просто понять, что и откуда следует, опираясь на знание определений и теорем. Если нужное определение еще не выучили, то просто смотрим его дополнительный раз и убеждаемся, что нам не соврали при доказательстве.
Последние полдня перед экзаменом ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ отдых. Можно повторить только определения и теоремы.
Понятное дело, что статфизику вы знать не будете при такой учебе, а сдать мне ее удалось так только на трешник, но вы реально думаете, что она когда-нибудь будет нужна? Лично мне, столкнувшемуся с необходимостью матстата, теории случайных процессов, ТФФА, ну и разделов моей специализации, даже в диких мечтах не виделось использование статфизики. И я уверен, что большинству не потребуется даже то, что использовал я.
Студент! Помни: ЛЕНЬ - ДВИГАТЕЛЬ ПРОГРЕССА!!!
Margaret1618 Автор
01.02.2023 17:12И как типичному педагогу мне жаль видеть подобное отношение к обучению. Понятно, что не все подряд предметы в ВУЗе будут интересны, это нормально, но если так относиться ко всему подряд, то вообще неясно, зачем тогда продолжать обучение (ради "корочки" разве что).
"Нужно" или "не нужно" - субъективная оценка. Кому-то нужно будет для работы или сдачи экзамена на курсы доп.образования, кому-то "для души", саморазвития, повышения квалификации, а кто-то просто не представляет свою жизнь без этого... неважно, какая мотивация для изучения. Но если человеку это нужно не только для "галочки", ваши советы будут неактуальны. Я писала именно для этой категории людей. Ну а если для галочки, тогда да, ваш алгоритм в помощь.
twid
02.02.2023 05:00Когда институт выдаст "задачник и полный решебник по мат анализу", "задачник и полный решебник по физике"(есть такой), можно будет говорить о "не списывании".
Можно будет говорить об учебе, а не "игру в угадайку".
Если школьников учить математике, вступительные сдадут не 1000 человек, а 30000. Не в сумме 30000, а на каждый университет.
Если студентов учить матанализу, на олимпиады придет не 10 человек, а 600.
Если студентов учить хорошо, те откроют свои университеты и будут неконтролируемо учить сами не спрашивая старших. Все это категорически неприемлемо.
Студенты испытывают проблемы? Ровно так и должно быть.
F376
31.01.2023 15:14Так-то неплохо, но надо было сразу бахнуть Меликян М.В. «Большая система осцилляторов с ультралокальным воздействием случайного стационарного внешнего поля».
arjunarus
31.01.2023 17:27Не смог постичь чем отличаются две формулировки с переставленным "для любого натурального p", кто-то может прояснить? Мне кажется "любое натуральное p" никак семантически не связано к остальными условиями, это самостоятельное ограничение и его можно поставить как в начало так и в конец, общий смысл как буд-то бы не меняется. Что я упускаю?
arjunarus
31.01.2023 17:35А кажется разобрался, во втором случае мы как-бы p зафиксировали, и условия пишем для фиксированного p и эпсилон, а в первом случае только эпслилон фиксированное, а p "плавает" по всем натуральным. Хотя.. если p любое натуральное, не означает ли это что оно и во втором случае "плавает".. что-то я не до конца разобрался..
Aldrog
31.01.2023 18:22+1Разница в том, как определяется N. В первом случае оно может зависеть только от эпсилон, а во втором — от совокупности эпсилон и p.
0x450x6c
31.01.2023 23:23Можете привести пример?
Не понимаю, что это меняет, кажется, что всё ещё можно подобрать N(epsilon, p)=N(epsilon), такое, что выполняется последная условия.
Aldrog
01.02.2023 00:47Суть в том, что второе условие более слабое: может существовать последовательность, для которой N(ε, p), удовлетворяющее неравенство, найдётся, а N(ε) нет.
Думается, таким свойством может обладать, например, синусоида, увеличивающая период после каждого цикла. Для неё в первом случае, как бы мы ни выбирали N(ε), если ε<1, то для p, равному четверти периода на N-ном элементе, неравенство не выполнится. А во втором случае мы, благодаря гладкости синусоиды и увеличивающемуся периоду, можем подобрать такое N(ε, p), что начиная с N-ного элемента последовательность в пределах p элементов не меняется больше чем на ε.
Но строго математически этот пример мне проверять лень.
Deosis
01.02.2023 08:46В первом случае говорится, что в хвосте расстояние между любыми элементами стремится к нулю.
Во втором случае говорится, что в хвосте расстояние между соседними элементами стремится к нулю.
Зафиксировав p, мы просто разбили оригинальную последовательность на p подпоследовательностей и проверяем условие в них.
sparrowhawk
01.02.2023 17:15Так по какой книге изучать, эта подойдёт -https://libgen.li/edition.php?id=138804553 ?
Зорич Математический анализ
TheHangedKing
01.02.2023 17:18Здравствуйте, Маргарита. Спасибо вам за интересную статью. После школы я нигде не учился, но математику люблю. Осилил диагональный метод Кантора, статью "Величие кодов Рида-Соломона" Криса Касперски и книгу "Гёдель, Эшер, Бах - эта бесконечная гирлянда" Дагласа Хофштадтера. Прекрасные книги, которые принесли мне массу удовольствия, но хотелось бы двигаться дальше и более систематически. Учёбу в вузе не могу себе позволить, поскольку работаю. Посоветуйте пожалуйста, как мне лучше продолжить математическое самообразование. Хотелось бы успеть освоить программу для студентов-математиков. Причина изучения - это красиво.
Margaret1618 Автор
01.02.2023 17:27Здравствуйте! Рада, что статья откликается. Если вам просто интересно самостоятельно что-то изучать, то можно взять программу любого мат.факультета интересного вам ВУЗа и двигаться по ней от курса к курсу. Сейчас довольно многие выкладывают на сайтах программы курсов со списками литературы,так что можно будет двигаться по ним. Часто можно нагуглить и видео-записи лекций и семинаров по тем же курсам.
Пример подобного: https://mipt.ru/education/chair/mathematics/process/programmy-i-zadaniya/
Здесь есть не только программы со списком литературы, но и задачи по каждой теме. А в соседней вкладке "обучающие материалы" вы найдёте еще и методички от преподавателей.
Приятного изучения!TheHangedKing
01.02.2023 21:23Спасибо! Как раз это я и хотел узнать, в каком порядке стоит проходить темы, чтобы было понятно. Видосики не заходят, буду искать материалы в текстовом виде.
nativa_ua3a
01.02.2023 17:28Эх, прочитала и впала в уныние...
Я сейчас прохожу программу data science от ФПМИ, и там серьёзная математика, но в ускоренном режиме типа "вспомнить всё".
Учитывая, что я человек совсем взрослый и вышмат последний раз видела в универе почти 20 лет назад, мне тяжело. Но очень хочется в этом разбираться - мне не близок подход "юзать библиотечки", не понимая зашитого туда мат.аппарата.
Но непонятно, как с этим разбираться, чтобы на выходе суметь ответить на вопросы типа как в статье Маргариты. Уже думаю, может, репетитора взять?Очень рада найти тут рекомендации по книжкам. Скачала Фихтенгольца и уже сижу радуюсь.
Может, кто-то посоветует заодно что-то такое же приятно-понятное, но по теорверу и мат.статистике?Margaret1618 Автор
01.02.2023 17:36Добрый вечер!
Для начала посоветовала бы следующее:Севастьянов Б.А. "Курс теории вероятностей и мат.статистики"
Боровков А.А. "Мат.стат."
Гнеденко Б.В. "Курс теории вероятностей"
Чистяков В.П. "Курс теории вероятностей" (есть еще задачник)
Более обширное в плане материала: Ширяев А.Н. "Вероятность" (но некоторые темы здесь изложены подробнее и сложнее)
Что окажется понятнее - решать вам)
Удачи!
nativa_ua3a
01.02.2023 17:53Добрый вечер! Маргарита, спасибо большое, посмотрю. Как говорится - не догоню, так согреюсь )
Tsimur_S
02.02.2023 13:30Гнеденко Б.В. "Курс теории вероятностей"
Более обширное в плане материала: Ширяев А.Н. "Вероятность" (но некоторые темы здесь изложены подробнее и сложнее)
А можете пожалуйста сравнить с двухтомником Феллера "Введение в теорию вероятностей и её приложения", если сталкивались? В плане простоты понимания и практичности.
Suseika
02.02.2023 05:58Зашёл чтобы узнать, что такое матанализ и с чем его едят, а прочитал что делать, если уже в нём завяз по уши
gmtd
Кто целевая аудитория данной статьи?
Материал перемешан как с 10 класса школы, так и третьего курса мехмата
werymag
Где 3 курс мехмата? Первый семестр матана тут, и рассчитано, судя по всему на эту аудиторию - студенты первых курсов либо те, кто решил освоить матан в зрелом возрасте не имея его в вузе.
Margaret1618 Автор
Добрый вечер. Материала 3го курса мехмата здесь определенно нет - я сама его окончила, знаю точно) Это материал первого семестра анализа, предлагаемый первокурсникам на мехмате МГУ и в МФТИ. Подобный материал в школе вам мог встретиться только в случае, если вы обучались в физмат классе/спец школе и т.п. В обычных общеобразовательных школах подобный материал не проходят. Так что, как вам верно ответили ниже, данная статья рассчитана на людей, владеющих школьными познаниями в математике и приступивших к изучению анализа (самостоятельно или в ВУЗе, неважно).
gmtd
С 3-им курсом погорячился, но разве интегралы - это первый семестр?
Margaret1618 Автор
Зависит от программы, кому-то и в первом семестре дают. В любом случае то, про что я написала, в течение года человек должен освоить при любой интенсивности и разнообразии программы
ivymike
В моей деревенской школе интегралы были в 11м классе
Margaret1618 Автор
Да, производные и интегралы на уровне простого счета в школх сейчас дают. Но обычно особо теорию не объясняют (даже определения не всегда строго дают), а мы сейчас о более серьезном подходе к материалу дискутируем.