В течение полувека математики пытались определить точные условия, при которых чёрной дыре суждено существовать. Новое доказательство показывает, как куб может помочь ответить на этот вопрос.

51-летняя гипотеза гласит, что если материя сжимается в обруч определённого размера, то на этом месте обязательно должна появиться чёрная дыра.

Современное представление о чёрной дыре появилось в феврале 1916 года, через три месяца после того, как Альберт Эйнштейн представил свою теорию гравитации. Именно тогда физик Карл Шварцшильд, сражавшийся в рядах немецкой армии во время Первой мировой войны, опубликовал работу с поразительными выводами: если достаточно большая масса будет заключена в идеально сферическую область (ограниченную «радиусом Шварцшильда»), то ничто не может убежать от гравитационного притяжения такого объекта, даже сам свет. В центре этой сферы находится сингулярность, где плотность приближается к бесконечности и известная нам физика слетает с катушек.

За более чем 100 лет физики и математики изучили свойства этих загадочных объектов с точки зрения теории и экспериментов. Поэтому может показаться удивительным услышать, что «если взять область пространства с кучей материи, распределённой в ней, и спросить физика, сколлапсирует ли эта область, образовав чёрную дыру, то он ответит, что у нас пока нет инструментов для ответа на этот вопрос», — говорит Маркус Хури, математик из Университета Стоуни Брук.

Не стоит отчаиваться. Хури и трое его коллег — Свен Хирш из Института перспективных исследований, Деметре Казарас из Мичиганского государственного университета и Йиюэ Чжан из Калифорнийского университета в Ирвайне — опубликовали новую работу, которая приближает нас к определению наличия чёрных дыр исключительно по концентрации вещества. Кроме того, в работе математически доказывается возможность существования более высокоразмерных чёрных дыр — четырёх, пяти, шести или семи пространственных измерений, о чем раньше нельзя было с уверенностью говорить.

Чтобы представить недавнюю работу в контексте, стоит вернуться к 1964 году, когда Роджер Пенроуз начал вводить теоремы о сингулярности, которые принесли ему часть Нобелевской премии по физике 2020 года. Пенроуз доказал, что если в пространстве-времени будет так называемая замкнутая поверхность-ловушка — поверхность, кривизна которой настолько велика, что исходящий свет заворачивается вокруг неё и обращается внутрь, — то в ней также обязательно будет и сингулярность.

Это был грандиозный результат, в частности, потому, что Пенроуз привнёс новые мощные инструменты из геометрии и топологии в изучение чёрных дыр и других явлений теории Эйнштейна. Однако работа Пенроуза не объясняет, что нужно сделать, чтобы создать замкнутую поверхность-ловушку.

В 1972 г. физик Кип Торн сделал шаг в этом направлении, сформулировав гипотезу об обруче. Торн признавал, что выяснить, будет ли несферический объект, не обладающий симметрией, предполагаемой в пионерских работах Шварцшильда, коллапсировать в чёрную дыру, будет «гораздо сложнее для вычислений [и] действительно далеко выходит за пределы моих талантов». (Торн стал лауреатом Нобелевской премии по физике 2017 г.) Тем не менее, он считает, что его предположение может приблизить задачу к решению. Основная идея состоит в том, чтобы сначала определить массу заданного объекта и на её основе вычислить критический радиус обруча, в который должен поместиться объект, независимо от того, как он ориентирован, чтобы образование чёрной дыры стало неизбежным. Это всё равно что показать, что обруч, который облегает вашу талию, может также, если его повернуть на 360 градусов, облегать всё ваше вытянутое тело, включая ноги и голову. Если объект уместится внутри, то он обязательно схлопнется в чёрную дыру.

«Гипотеза об обруче не имеет чёткого определения, — прокомментировал Казарас. — Торн намеренно использовал расплывчатую формулировку в надежде, что другие выдвинут более точное утверждение».

В 1983 г. математики Ричард Шон и Шинг-Тунг Яу сделали именно это, доказав важную версию гипотезы об обруче, впоследствии названную теоремой о существовании чёрных дыр. Шон и Яу показали с помощью строгих математических рассуждений, сколько материи нужно втиснуть в заданный объём, чтобы вызвать искривление пространства-времени, необходимое для создания замкнутой поверхности-ловушки.

Казарас высоко оценил работу Шона-Яу за её оригинальность и обобщённость; их метод мог показать, что любая конфигурация материи, независимо от симметричности, обречена на превращение в чёрную дыру. Однако в их подходе был существенный недостаток. По словам Казараса, способ измерения размера данной области пространства — определение радиуса самого толстого тора, или пончика, который мог бы вместить заданную массу внутри, — для многих наблюдателей был «громоздким и неинтуитивным», а значит, непрактичным.

Недавно опубликованная статья предлагает альтернативу этому подходу. Одним из главных нововведений Шоена и Яу было признание того, что уравнение, разработанное физиком Пон Су Джангом, которое первоначально не имело никакого отношения к чёрным дырам, может «взорваться» — уйти в бесконечность — в определённых точках пространства. Удивительно, но место «взрыва» совпадает с местом расположения замкнутой поверхности ловушки. Поэтому, если вы хотите найти такую поверхность, сначала выясните, где уравнение Янга уходит в бесконечность. «В средней школе мы часто пытаемся найти решение уравнения, равное нулю, — объясняет математик Му-Тао Ванг из Колумбийского университета. — В данном случае мы пытаемся решить уравнение Джанга так, чтобы решение было бесконечным».

Хирш, Казарас, Хури и Чжан также опираются на уравнение Янга. Но помимо тора они используют куб, который может быть серьёзно деформирован. Такой подход «сродни идее Торна, когда вместо традиционных круглых обручей используются квадратные», — говорит Хури. Он опирается на «кубическое неравенство», разработанное математиком Михаилом Громовым. Это соотношение связывает размер куба с кривизной пространства внутри и вокруг него.

В новой работе показано, что если найти в пространстве такой куб, в котором концентрация материи велика по сравнению с размером куба, то образуется поверхность с ловушками. По словам математика Пенгзи Миао (Pengzi Miao) из Университета Майами, «это измерение гораздо проще проверить», чем измерение с использованием тора, «поскольку все, что вам нужно вычислить, — это расстояние между двумя ближайшими противоположными гранями куба».

Математики также могут строить «пончики» (торы) и кубы в более высоких измерениях. Чтобы распространить своё доказательство существования чёрных дыр на эти пространства, Хирш и его коллеги опирались на геометрические идеи, которые были разработаны за четыре десятилетия, прошедшие с момента выхода работы Шона и Яу в 1983 году. Команда не смогла выйти за пределы семи пространственных измерений, поскольку в результатах стали появляться сингулярности. «Обход этих сингулярностей — обычный камень преткновения в геометрии», — сказал Хури.

По его словам, логичным следующим шагом будет доказательство существования чёрных дыр на основе «квазилокальной массы», которая включает в себя энергию, исходящую как от материи, так и от гравитационного излучения, а не только от материи. Это непростая задача, в частности, потому, что не существует общепринятого определения квазилокальной массы.

Между тем возникает ещё один вопрос: обязательно ли для создания чёрной дыры трёх пространственных измерений сжимать объект во всех трёх направлениях, на чем настаивал Торн, или достаточно сжатия в двух направлениях или даже в одном? По словам Хури, все факты указывают на то, что утверждение Торна верно, хотя оно ещё не доказано. Действительно, это лишь один из многих открытых вопросов, сохраняющихся в отношении чёрных дыр после того, как они впервые теоретически появились более века назад в записной книжке немецкого солдата.