В данной статье описывается решето для поиска составных и простых чисел для рядов А(а) = 2а+1, B(b) = 6b-1 и С(с) = 6с+1. Через выборку решетом раскрывается тайна распределения простых чисел‑близнецов.

Идея работы решета — выбрать составные числа в последовательности — через идентификаторы или порядковые номера их расположения в ряду.

Рассмотрим ряд нечетных чисел, которые образовываются формулой А(а) = 2а+1:

Для примера возьмем первое нечетное число А(а₁) = А(1) = 3, применим к нему наше решето, для этого к идентификатору а₁ = 1, прибавим значение А(а₁) = 3 и через формулу s₁ = А(а) + а = А(1) + 1 = 3 +1 = 4 получим порядковый номер первого составного числа, если посмотрим на таблицу то под порядковым номером четыре будет находиться А(s₁) = А (4) = 2*4+1 = 9.

И если к нашему идентификатору а₁ = 1 повторно прибавить значение А(а₁), получим второй идентификатор s₂ = А(а) + А(а) + а = 2*А(а) + а = 2*А(1) + 1 = 2*3 + 1 = 7, делящегося на три А(s₂) = А(7) = 2*7+1 = 15.

Таким образом можем получить позиции всех чисел, делящиеся на три через формулу s = k * А(а) + а = 3k +1 = 4, 7, 10, 13, 16…, путем перебора коэффициента k = 1, 2, 3, 4 … А через формулу последовательности нечетных чисел А(s) = 2s+1, получить значения всех чисел делящиеся на три. В нашей таблице эти числа будут А(4) = 9, А(7) = 15, А(10) = 21, А(13) = 27, А(16) = 33

Для закрепления понимания, возьмем второе число А(а₂) = 5 при а₂=2. Тогда по формуле решета s = k А(а₂) + а₂ = k 5 + 2, через перебор k = 1, 2, 3, получим идентификаторы s = 7, 12, 17 чисел делящиеся на пять, и через А(s) = 2s+1 получим эти числа 15, 25, 35 в соответствие с нашей таблицей.

Если обобщить распределение составных чисел для данного ряда, то мы получили каждое третье число — составное и оно делиться на три, каждое пятое число будет делиться на пять, и каждое седьмое число делиться на семь и так далее. И положение данных составных определяется по формуле s = k * А(а) + а.

Решето Вдовина (s = k * А(а) + а) в отличие от решета Сундарама (s = a + 2ak + k), позволяет проводить выборку идентификаторов с определенными свойствами, мы выбираем составные числа которые делятся на три, пять и так далее, что упрощает понимания выборки и распределения составных чисел в ряду.

Перейдем к ряду чисел B(b) = 6b-1:

По аналогии для ряда нечётных чисел, мы можем наблюдать зависимость идентификаторов к значениям чисел ряда. Например, для чисел делящиеся на пять В(b) = 6b-1 = В(1) = 5 будут идентификаторы s = k * В(b) + b = 5k +1 = 6, 11, 16 …, что соответствует числам 35, 65, 95… полученные через B(s) = 6s-1

Аналогично для чисел делящиеся на B(2) = 11 можем получить номера их расположения s = k B(b₂) + b₂ = k 11 + 2 = 13, 24, 35, 46…. Продолжая выборку, мы можем выбрать идентификаторы всех составных чисел, а оставшиеся идентификаторы будут определять простые числа, что указано в таблице, как числа без делителей.

Перейдем к ряду чисел С(с) = 6с+1:

Этот ряд уже посложнее, кроме составных чисел, которые получены от идентификаторов и чисел данного ряда (жирный шрифт), есть еще и другие делители (подчеркнутый шрифт), но всё по порядку.

Сначала делители которые мы можем получить, как и в предыдущих рядах через формулу решето s = k * С(с) + с и по формуле ряда С(с) = 6с+1, перебирая идентификаторы и коэффициент k, получаем для чисел делящиеся на С(1) = 7 следующие позиционные обозначения — 8, 15, 22…, для чисел делящиеся на С(2) = 13 получим идентификаторы — 15, 28, 41… Таким образом мы выбрали часть составных чисел, в нашей таблице — они обозначены жирным шрифтом.

Перейдем к другим идентификаторам составных чисел, обозначенные подчеркнутым шрифтом. Но для начала разберемся, а какие делители у составных чисел, если использовать числа из рядов B(b) = 6b-1 и С(с) = 6с+1, то мы увидим, что составные числа ряда С(s) = 6s+1 являются произведением вида (6b₁-1)(6b₂-1) или вида (6c₁+1)(6c₂+1), при этом положение составных чисел получаемые как (6c₁+1)(6c₂+1) уже нами определены через формулу s = k * С(с) + с — они обозначены жирным шрифтом.

Местоположение других составных чисел, получаемые как (6b₁-1)(6b₂-1), такие как С(4) = 25 = 5*5, С(9) = 55 = 5*11, С(14) = 85 = 5*17 по нашей таблице обозначены подчеркнутым шрифтом, будут находиться через формулу s = k В(b) — b, где B(b) = 6b-1. Например числа делящиеся на пять — имеют идентификаторы s = k В(b) — b = k * В(1) — 1 = 5 k — 1 = 4, 9, 14, 19 …

Объединим наши изыскания по распределению составных чисел в ряду С(с) = 6с+1, получаем, что идентификаторы данных чисел определяются формулами s₁ = k₁ С(с) + с и s₂ = k₂ В(b) — b, где С© = 6с+1, B(b) = 6b-1 и k₁, k₂ = 1, 2, 3, 4, 5 … независимые друг от друга коэффициенты повтора.

Тайна чисел‑близнецов:

Числа-близнецы (или простые близнецы) — это пары простых чисел, которые отличаются друг от друга ровно на 2. Например, (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31) и так далее.

Воспользуемся одним из свойств данных чисел — формой представления, где все пары чисел‑близнецов, кроме (3,5), имеют вид (6n-1, 6n+1). Для этого рассмотрим таблицу:

Из таблицы видно, что числа‑близнецы образуются там, где нет составных чисел в одном из рядов 6n-1 и 6n+1 (обозначено жирным шрифтом). А данное распределение составных чисел соответствует ранее исследованным свойствам рядов B(b) = 6b-1 и С(с) = 6с+1, поэтому если мы объединим формулы определения идентификаторов составных чисел для рядов B(b), С(c) мы получим распределение идентификаторов (n) в которых числа‑близнецы не существуют и соответственно исключая их из ряда n получим идентификаторы в которых образуются числа‑близнецы, тем самым мы создадим решето для чисел‑близнецов или решето Yk2ru:

Как работает наше решето, для начала найдем значения идентификаторов при n = 1, перебором коэффициента k₁ в первой формуле s_1,1 = k₁ (6n-1) — n = 4, 9, 14, 19 …, теперь для n=2, получим s_1,2 = 9, 20, 31, 42…, и так далее. Аналогично получим идентификаторы для второй формулы s_2,1 = k₂ (6n-1) + n = 6, 11, 16, 21…, теперь для n=2, получим s_2,2 = 13, 24, 35, 46…, и так далее. Также получим идентификаторы при n = 1 в третье формуле s_3,1 = k₃ (6n+1) + n = 8, 15, 22, 29…, для n=2, получим s_3,2 = 15, 28, 41, 54…, и так далее

Если взять значения n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 для нахождения чисел‑близнецов до 100, и если из данного ряда исключить ранее найденные идентификаторы составных чисел s = 4, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16, получим порядковые номера n = 1, 2, 3, 5, 7, 10, 12, где находятся наши числа‑близнецы (6n-1, 6n+1) = (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73).

Заключение:

1. Решето Вдовина является измененным решетом Сундарама и позволяет находить расположение составных чисел с определенными свойствами.

2. Закономерность расположения составных чисел в рядах B(b) = 6b-1 и С(с) = 6с+1 позволяет создать решето для чисел‑близнецов.

Спасибо за интерес к теме!

P.S. создание решета Вдовина

Для ряда нечетных чисел из формулы решета Сундарама i + j + 2ij, если выделим общий множитель в первом и третьем слагаемом получаем i*(2j+1) + j и если обозначить k = i - как повторы числа А(j) = 2j+1, получим s = k*A(j) + j формулу решета Вдовина для нечетных чисел .

Для ряда B(b) = 6b-1, все составные числа будут определяться как произведение чисел вида (6i +1)(6j - 1), раскроем скобки получим (6i +1)(6j - 1) = 36ij - 6i + 6j - 1 = 6 (6ij - i + j) +1 = 6s -1, где s - определяет расположение составных чисел c идентификатором s = 6ij - i +j = i (6j - 1) + j и если обозначить k = i - как повторы числа В(j) = 6j-1, получим s = k*B(j) + j формулу для ряда B(b) = 6b-1.

Для ряда С(с) = 6с+1, составные числа будут определяться как произведение чисел вида (6i +1)(6j + 1), раскроем скобки получим (6i + 1)(6j + 1) = 36ij + 6i + 6j +1 = 6 (6ij + i + j) +1 = 6s₁ + 1, где s₁ - определяет расположение составных чисел c идентификатором s = 6ij + i + j = i (6j+1) + j и если обозначить k = i - как повторы числа С(j) = 6j+1, получим s₁ = k*С(j) + j формулу для ряда С(с) = 6с+1.

Также для ряда С(с) = 6с+1, составные числа будут определяться как произведение чисел вида (6i - 1)(6j - 1), раскроем скобки получим (6i - 1)(6j - 1) = 36ij - 6i - 6j +1 = 6 (6ij - i - j) +1 = 6s₂ + 1, где s₂ - определяет расположение составных чисел c идентификатором s = 6ij - i - j = i (6j-1) - j и если обозначить k = i - как повторы числа В(j) = 6j-1, получим s₂ = k*В(j) - j вторую формулу для ряда С(с) = 6с+1.