14.03.2021 13:59
daifu 9 3900 Источник

Я преподаю курс экспериментальной оптики в одном из российских университетов. Складывается ощущение, что развитие вычислительной техники и программного обеспечения не оказывает влияния на ожидаемый прогресс в удобстве проведения измерений и качестве представления результатов лабораторных работ. Думаю, причина состоит в том, что офисные приложения для работы с электронными таблицами воспринимаются студентами как единственный подходящий инструмент для решения подобных задач.  Чтобы развеять это сверхпопулярное заблуждение, я на простом примере расскажу об использовании пакета gnuplot.

Установка gnuplot

Gnuplot – высокоуровневый язык команд и сценариев, предназначенный для построения графиков математических функций и работы с данными, активно развивающийся с 1986 года. Исходный код gnuplot защищён авторским правом, но распространяется как свободное программное обеспечение и способен работать на  Linux, OS/2, MS Windows, OSX, VMS и многих других платформах. Для установки gnuplot на компьютер с MS Windows наиболее удачным решением будет обратиться к официальному сайту gnuplot.info,  перейти по ссылке «Download» и загрузить актуальную версию с ресурса sourceforge.net. Размер скачиваемого файла  – около 30 Мб, после установки пакет занимает примерно 100 Мб дискового пространства. 

Установщик задаст несколько простых вопросов о конфигурации (на английском языке), одно из окошек будет называться «Select Additional Tasks», в нем я рекомендую выбрать тип терминала wxt, а также поставить галочку в последнем пункте «Add application directory to your PATH environment variable». После установки в меню запуска программ появятся два новых пункта, кажется они называются «gnuplot» и «gnuplot console version». Если выбрать второй вариант, появится черное окно с командной строкой, как показано на рисунке:

Если ввести командуpwd, вы увидите директорию, в которой запускается gnuplot. Команда
plot sin(x)откроет графический терминал wxt и нарисует в нем график функции \sin(x).

Если запускать просто gnuplot (не консоль), окно для ввода команд будет белое с черным текстом, при этом в нем будет отображаться верхнее меню с многочисленными командами. В gnuplot есть команда help для быстрого получения справки по любой из команд. Для облегчения работы с gnuplot пользователям MS Windows настоятельно рекомендую обзавестись нормальным текстовым редактором (я не очень в курсе текущей ситуации с Notepad).

Эксперимент

В качестве примера для настоящей заметки выберем простой опыт, относящийся к теме «поляризация света». Пусть у нас есть направленный источник линейно-поляризованного света, луч от которого проходит через линейный поляризатор и попадает на фотодетектор.

Измеряем напряжение на фотодетекторе, которое пропорционально мощности прошедшего через поляризатор излучения. Поляризатор представляет из себя тонкую пластинку, плоскость которой перпендикулярна лучу света. Поляризатор установлен в оправу, позволяющую вращать его вокруг направления луча, изменяя угол между плоскостью поляризации света и оптической осью поляризатора. Угол поворота оси поляризатора считывается со шкалы на оправе.

Теоретическая зависимость измеряемого напряжения U от угла поворота поляризатора \thetaописывается законом Малюса:

U(\theta) = U_0\cos^2(\theta-\theta_0),

где U_0 – максимальное значение напряжения, \theta_0– угол между плоскостью поляризации света и оптической осью поляризатора.

Моделирование 

Применим gnuplot для моделирования возможных результатов эксперимента, в котором измеряется зависимость U от угла поворота \theta. Стоит отметить, что в реальных экспериментах моделирование изучаемого явления широко используется для создания и тестирования средств анализа результатов измерений. Отличие наблюдаемых величин от модельных данных заставляет исследователей проверять и совершенствовать модель, добавляя в нее уже известные науке эффекты. Ситуация, в которой результаты эксперимента невозможно описать известными явлениями называется открытием. Итак, создадим текстовый файл model.gpl со сценарием из gnuplot-команд и комментариев к ним:  

reset # сбрасываем все ранее определенные переменные среды gnuplot
set angles degrees    # используем градусы как единицу измерения углов
set xrange [0:350]    # диапазон изменения угла поворота поляризатора
set samples 36        # число точек для вычисления значений функции
set format x "%5.1f"  # формат вывода значения угла  
set format y "%5.3f"  # формат вывода величины напряжения
# Применим преобразование Бокса-Мюллера для моделирования 'ошибки' 
# измерения угла, которая описывается нормальным распределением 
# с нулевым средним и дисперсией D. Воспользуемся имеющимся в
# gnuplot генератором псевдо-случайных чисел, функцией rand(x):
err(D) = D * cos(360*rand(0))*sqrt(-2*log(rand(0))) 
# Создадим функцию для описания закона Малюса:
U(x) = Uo * cos(x + err(D) - To)**2 + B 
Uo = 0.65  # параметр Uo
To = 71.   # параметр ?o
B  = 0.02  # напряжение на фотодетекторе при выключенном источнике света 
D  = 1.0   # ошибка считывания значения угла со шкалы на оправе
set table "exp.dat" # имя текстового файла для вывода результатов 
plot U(x)           # записываем результаты в файл
unset table         # закрываем файл

В окне gnuplot набираем командуload 'model.gpl'.Подразумевается, что созданный нами файл находится в рабочей директории, в противном случае директорию можно сменить, введя команду cd 'your_path'. После выполнения скрипта мы получим текстовый файл cрезультатами моделированияexp.dat, который выглядит примерно так:

# Curve 0 of 1, 36 points
# Curve title: "U(x)"
# x y type
  0.0 0.089  i
 10.0 0.176  i
 20.0 0.283  i
 30.0 0.395  i
 40.0 0.505  i
 50.0 0.595  i
 60.0 0.643  i
 ...

Анализ данных

Начнем обработку данных с построения графика данных моделирования (или измерений). Также используем метод наименьших квадратов для сравнения полученных результатов с теорией. Редуцированное значение взвешенного параметра хи-квадрат определяется так:

\chi_{\nu}^2 = \frac{\chi^2}{\nu} = \frac{1}{\nu}\sum_i \frac{(Y_i - f(X_i))^2}{\sigma_i^2}.

  • \nu называется числом степеней свободы алгоритма поиска минимального значения \chi^2и определяется как число измерений (точек на графике) минус количество свободных параметров функции f(x),

  • X_i– точки на оси x, в которых проведены измерения,

  • Y_i – результат измерения в точке X_i,

  • f(X_i)– значение теоретической функции в точке X_i,

  • \sigma_i – среднеквадратическое отклонение измеренного значения величины Y_iот ее среднего значения \langle Y_i \rangle.

В gnuplot отношение \chi^2/\nuиз последней формулы обозначается как WSSR / NDF, что является аббревиатурой от фраз «Weighted Sum of Squared Residuals» и «Number of Degrees of Freedom».

Рассматриваемый здесь пример лабораторной работы является частным случаем обширного класса задач, в которых есть набор данных измерений/моделирования и теоретическая функция, которая «должна» описывать изучаемое явление. Для проверки соответствия между теорией и экспериментом мы будем варьировать свободные параметры функции так, чтобы минимизировать величину \chi^2. Для этого в gnuplot есть команда fit, изпользующая алгоритм Левенберга — Марквардта. На русский язык фраза «fit function to data» переводится как «подогнать функцию к данным».

Создадим текстовый файлlook.gpl со сценарием для gnuplot.

reset
set angles degrees
f(x) = Uo * cos(x-To)**2 + B            # определение теоретической функции
Uo  = 0.6                               # параметр Uo
To = 10                                 # параметр To
B  = 0.05                               # параметр B
set fit nolog         # отмена опции записи логов процесса подгонки в файл
# Запускаем алгоритм поиска минимума хи-квадрат, используя 1 колонку файла
# "exp.dat" в качестве X[i], а вторую - в качестве Y[i]. При поиске минимума
# алгоритм варьирует значения свободных параметров Uo, B, To
fit f(x) "exp.dat" using 1:2  via Uo, To, B
# Среднее квадратичное отклонение эксперимента и теории в милливольтах
L = sprintf("Закон Малюса: {/Symbol s} = %.2f [мВ]", 1000*FIT_STDFIT) 
# Найденное значение угла поворота оси и оценка его точности
T = sprintf("Поворот оси поляроида {/Symbol q_0} = %.2f° ± %.2f°", To, To_err)
set title T # Название для получившегося графика
set grid    # Указание рисовать сетку на графике
set key box width -14 # прямоугольник для отображения подписей к графикам
set xlabel 'угол поворота поляризатора {/Symbol q} [ ° ]'
set ylabel 'напряжение на фотоприёмнике U [ В ]'
set yrange [0:0.8] # диапазон графика по вертикальной оси
set terminal png size 800, 600 # выбираем тип терминала - png файл
set out 'look.png' # имя файла для записи графика
# Рисуем функцию и точки из файла:
plot f(x) with line title L ls 3 lw 2, "exp.dat" u 1:2 title 'эксперимент' with points ls 7 ps 1.5 
set out # закрываем файл

Символ «\» используется в сценариях для переноса длинных строк и должень быть последним символом в своей строке. В окне gnuplot вводим команду load 'look.gpl', в результате выполнения которой у нас появится файл look.png с построенными графиками данных и теоретической функции:

Итак, мы видим, что «на глазок» данные хорошо совпадают с теорией. Нам даже удалось правильно измерить угол \theta_0с точностью 0.2 градуса. Однако, мы имеем среднеквадратическое отклонение теории от моделирования \sigma \simeq 9милливольт. Что бы это могло означать?

Если посмотреть на использование команды fit (строка №11 в файле look.gpl), можно заметить, что мы не передаём процедуре подгонки никаких данных об ошибках измерений, т. е. алгоритм ничего «не знает» о величинах\sigma_i из последней формулы. Что же он (алгоритм) делает в таком случае? А вот что: все \sigma_i считаются равными безразмерной единице и мы получаем невзвешенное значение редуцированного параметра хи-квадрат, квадратный корень из которого является размерной величиной, описывающей среднеквадратическое отклонение функции от экспериментальных точек – те самые 8.88 милливольт, приведённые на графике.

Если в процессе измерений текущее наблюдаемое значение напряжения в каждой точке ведет себя достаточно стабильно, можно предположить, что отличие теории и эксперимента может быть связано с неточностью отсчета угла по шкале оправы с вращающимся поляризатором. Чтобы преобразовать ошибки отсчета угла в эквивалентные ошибки измерения напряжения, продифференцируем функцию U(\theta)и назовем получившуюся функцию V(\theta):

V(\theta) \equiv \frac{\partial U(\theta)}{\partial \theta} = U_0 \sin(2(\theta_0-\theta)) .

В нашем моделировании (см. файлmodel.gplв начале этого текста) мы «учли» погрешность измерения угла, добавив его к закону Малюса как случайную величину с нормальным распределением и среднеквадратическим разбросом в 1 градус. Чтобы учесть погрешности измерений, создадим усовершенствованный скрипт для обработки данных. Заодно, нарисуем графики в полярных координатах (удобных для визуализации поляризационных явлений), а также сохраним картинку в формате pdf. 

reset
set angles degrees
f(x) = Uo * cos(x-To)**2 + B      # определение теоретической функции
v(x) = Uo * sin(2*(To-x))*pi/180  # производная f(x)
Uo  = 0.6                         # параметр Uo
To = 10                           # параметр To
B  = 0.05                         # параметр B
dT = 1.0                          # ошибка измерения угла
set fit nolog
#  Запускаем алгоритм поиска минимума (не-взвешенный хи-квадрат)
fit f(x) "exp.dat" using 1:2             via Uo, To, B
#  Запускаем алгоритм поиска минимума (взвешенный хи-квадрат)
fit f(x) "exp.dat" using 1:2:(dT*v($1)) via Uo, To, B
L = sprintf("Теория: {/Symbol c^2}/NDF = %.1f/%2d\n Вероятность: %.2f \%", FIT_WSSR, FIT_NDF, 100*FIT_P) 
T = sprintf("Поворот оси поляроида {/Symbol q_0} = %.2f° ± %.2f°", To, To_err)
set title T # Название для получившегося графика
set key box left opaque  width -12 spacing 2
unset border # не рисовать рамку
unset xtics  # не показывать ось x
unset ytics  # не показывать ось y
set polar    # рисуем графики в полярных координатах
set grid polar linetype 2 lc rgb 'black' lw 0.25 dashtype 2
set rtics 0.1 format '%.1f'
unset raxis
Umax = 0.76  # максимальное значение напряжения
set rrange [0:Umax]
set rlabel 'U_{ФД} [В]'
set trange[0:360]
set for [i=0:330:30] label at first Umax*cos(i), first Umax*sin(i) center sprintf('%d°', i)
set terminal pdf background rgb '0xFFFFF0' size 5, 5 # тип терминала - pdf файл
set out 'closelook.pdf' # имя файла для записи графика
plot f(t) with line title L ls 3 lw 2, "exp.dat" u 1:2:(dT*v($1)) title 'эксперимент' with err ls 7 ps 0.5 
set out # закрываем файл

Следующее изображение - скриншот получившегося файла closelook.pdf.

В результате применения алгоритма подгонки мы получили редуцированное значение взвешенного параметра хи-квадрат \chi^2/\text{NDF}=33.9/33. Используя распределение хи-квадрат с соответствующим числом степеней свободы gnuplot находит значение вероятности (p-value) получения наблюдаемого результата в предположении, что исходная теоретическая гипотеза верна. В нашем случае эта вероятность довольно высока - 42%.

Заключение

Изучение пакета gnuplot, как и многих других инструментов, целесообразно начинать на примере решения какой-нибудь простой задачи. Существование готовых сценариев позволяет в дальнейшем легко адаптировать и видоизменять их под свои нужды. Открытость и мультиплатформенность программы и языка сценариев обеспечивает легкий обмен знаниями, данными, навыками и результатами работы.