18.06.2022 02:19
EmMur 5 1500 Источник

Этот пост является выжимкой из моей курсовой работы по исследованию броуновского движения. Хотя задание было сформулировано как простое написание программы для одномерного и двумерного случаев броуновского движения, мне показалось интересным рассмотреть простейшую дискретную аппроксимацию броуновского движения - одномерное случайное блуждание - через фрактальную геометрию и определить его фрактальную размерность.

Историческая справка

Само понятие броуновского движения датируется 1827 годом, когда шотландский ботаник Роберт Броун исследовал движение пыльцевых зерен в жидкости. Исследуя пыльцу под микроскопом, он установил, что в растительном соке плавающие пыльцевые зерна двигаются совершенно хаотически, зигзагообразно. Он посчитал, что эти частички живые. Истинную же причину броуновского движения объяснили Альберт Эйнштейн (в 1905 году) и Мариан Смолуховский (в 1906). Ученые использовали существенно отличающиеся методологические подходы, которые, тем не менее, часто приводили к полностью или частично совпадающим результатам, а иногда дополняли друг друга. В своей работе Эйнштейн получил формулу для зависимости смещения броуновской частицы от времени:

\langle r^2\rangle=6\kappa TBt,

гдеk- постоянная Больцмана,T- температура, t - время, аB- подвижность частицы.

После получения формулы Эйнштейна в научном сообществе XX века встал вопрос о строгой математической теории броуновского движения. Так в 1923 году Норберт Винер построил первую удовлетворительную с математической точки зрения модель выборочных реализаций и доказал их почти наверное непрерывность.

Почти наверное здесь - это математический термин обозначающий, что если какое-либо свойство выполняется для каждой точки данного множества, исключая, быть может, множество меры нуль, то говорят, что это свойство выполняется на данном множестве почти наверное или почти всюду.

Простейшая реализация броуновского движения

Простейшей дискретной аппроксимацией броуновского движения служит одномерное случайное блуждание. Мы располагаем частицу в точкеx(t=0)=0. Далее частица совершает шаг влево или вправо в зависимости от случайного выбора. Случайное блуждание происходит итеративно. Для каждого шагаn=1,2,3,...положим

x_{n}=x_{n-1}\pm 1.

Далее будем называть такую реализацию броуновского движения простейшей.

Броуновское движение и распределение Гаусса

Броуновское движение по сути своей имеет гауссовскую природу. Но всегда ли возможно такое обобщение?
Для начала дадим определение одномерному броуновскому движению как гауссовскому процессу.
Итак, гауссовский процессX(t)называется одномерным броуновским движением, или винеровским процессом на интервале[a,b], если он обладает следующими свойствами:

  • X(0)=0и функцияX(t)почти всегда непрерывна.

  • Свойство гауссовости приращений: случайная величина

\Delta X=X(t_{2})-X(t_{1}),\ t_{2}>t_{1},

имеет гауссовское распределение с математическим ожидание 0 и дисперсией\sigma^2(t_{2}-t_{1}), где\sigma- положительная константа.

То есть

P(\Delta X < x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2 (t_{2}-t_{1})}}\int_{x}^{-\infty}exp\Big(-\frac{u^2}{2\sigma^2 (t_{2}-t_{1})}\Big)du

Впоследствии будем называть данное броуновское движение классическим.

Как видим, ответ на наш вопрос уже содержится в определении. Да, действительно такое обобщение не находит примера-контраргумента по определению. Тогда перефразируем и уточним свой вопрос: Любая ли модель броуновского движения является гауссовой?

Фрактальное броуновское движение

Для ответа на вопрос из предыдущего раздела дадим определение более широкому классу гауссовских процессов таких как фрактальное броуновское движение.

Так гауссовский процесс X(t) называется одномерным фрактальным броуновским движением, или винеровским процессом на интервале[a,b], если он обладает следующими свойствами:

  • X(0)=0 и функция X(t) почти всегда непрерывна.

  • Свойство гауссовости приращений: случайная величина

\Delta X=X(t_{2})-X(t_{1}),\ t_{2}>t_{1}

имеет гауссовское распределение с математическим ожидание0и дисперсией\sigma^2(t_{2}-t_{1})^{2H}, где\sigma- положительная константа.

То есть

P(\Delta X < x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma (t_{2}-t_{1})^{H}}\int_{x}^{-\infty}exp\Big(-\frac{u^2}{2\sigma^2 (t_{2}-t_{1})^{H}}\Big)du P(\Delta X < x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma (t_{2}-t_{1})^{H}}\int_{x}^{-\infty}exp\Big(-\frac{u^2}{2\sigma^2 (t_{2}-t_{1})^{H}}\Big)du

Как видно из определения фрактальное броуновское движение с параметромH=1/2совпадает с классическим броуновским движением. Также как и в предыдущем разделе ответ на наш вопрос лежит в самом определении и он вновь положителен. Но самый интересный вопрос на который получилось найти ответ звучит так: является ли простейшее броуновское движение классическим? Для ответа на этот вопрос был реализован алгоритмHCALC.

Получение фрактальной размерности

График зависимости координаты частицы от времени в одномерном случае
График зависимости координаты частицы от времени в одномерном случае

Назначение алгоритмаHCALCвычислять параметрHдля одномерного фрактального броуновсrого движения (далее ФБД). На вход ему будет подается вектор, представляющий ФБД и его длина, на выходе получимH. Все данные мы получим из графика. Чтобы определить фрактальную размерность для одномерного случая нужно из двойки вычестьH. То естьD=2-H. В нашем случаеH \approx 0.84при1000итераций и лучимD\approx1.16. Это говорит о том что простейшая модель броуновского движения является гауссовским процессом, так как условие0<H<1выполняется. Но простейшая модель броуновского движения не является классическим броуновским движением.

Еще на что стоит обратить внимание так это то, что фрактальная размерность не всегда постоянная величина. Существуют так называемые масштабно-неразмерные фракталы, фрактальная величина которых зависит от масштаба. В нашем случае масштаб определяется количеством итераций. В проведенных мною экспериментах при1000 итераций фрактальная размерность, как уже было сказано выше была около величины 1.16 (2-H, при H\approx0.84). Но с ростом числа итераций, примерно при13000, она стала примерно1.37. Это приводит нас к выводу о том, что простейшая модель броуновского движения есть масштабно-неразмерный фрактал.

Всем интересующимся небольшой список литературы:

  • Р.М.Крономер. ФРАКТАЛЫ И ХАОС в динамических системах. Основы теории. 2000г.

  • Б.Мондельброт. ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРИРОДЫ. 2010г.

  • Д.В.Сивухин. ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ.Т.2 ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА.1984г.

Буду рад вашим комментариям и идеям по данной тематике.

Ссылка на GitHub

Комментарии (5)


  1. Schokn-Itrch
    18.06.2022 03:01
    #24449670

    Хотя задание было сформулировано как простое написание программы для одномерного и двумерного случаев броуновского движения

    Единственной во вселенной частицы? Не требовалось определить вероятность столкновения с другими частицами (идентичными и различными) и поведение после? Кроме того, вселенная имеет определенно фиксированно-матричный характер. Прямо доска шахматная с отклонением в фиксированную величину.


    1. Schokn-Itrch
      18.06.2022 06:55
      #24449782

      Терпел-терпел, но не вытерпел. В 1-мерном пространстве, столкновение с идентичными частицами "идеально" вообще без проблем реализуемо. Броуновское столкновение почти идеально, практически одним операндом.

      В 2N, при условии что реальность это шашечки, столкновение с аналогично идеальными реализуется одной переменной.

      С вариативностью... тут сложнее, но, по сути очень просто. Для каждой частицы нужно задать единицу "энергии". Я, в одном из дипломников, назвал это "температурой".

      И сразу:

      1. Чем выше "температура" - тем больше вектор отклонения равен 0.

      2. Чем выше "температура" - тем больше снижается скорость при столкновении.

      3. Чем ближе модуль "температур" - тем больше скорость отталкивания.


  1. Alek_roebuck
    18.06.2022 04:36
    #24449708
    +8

    Если б вы ввели слова hausdorff dimension brownian motion в гугл, то обнаружили бы, что вопрос изучен аналитически давным-давно.


    1. hurtavy
      18.06.2022 14:12
      #24450570

      но курсовые то всё равно надо писать :) А так - я лет 25 назад похожее в курсовой делал. Вернее, моделировал рост кристалла в растворе. Ну там, осаждение и слипание частиц-ионов, электростатическое взаимодействие... Естественно, трехмерный случай. И показал, что при упрощении модели на определенном этапе как раз фрактальная геометрия и получается


  1. Tzimie
    18.06.2022 20:11
    #24451338

    А почему считалось только 1000 итераций?Ограниченное машинное время на ЕС-1022?