Всем привет. Сегодня хочу затронуть тему матана, чтобы показать как его можно применять на реальных задачах. Думаю каждый, кто учил матан часто задавался вопросами: «Где это вообще пригодится?», «Зачем это нужно?», «Как это может помочь?» и т. д. Так вот, чтобы эти вопросы отпали раз и навсегда предлагаю свой топ-5 алгоритмов из курса матана с конкретными примерами их применения в работе.

❯ 1. Метод Ньютона (касательных)

Представьте, что вам нужно найти корень уравнения Точный ответ неизвестен, а перебирать числа наугад — слишком медленно. Здесь на помощь приходит метод Ньютона — алгоритм, который используют в машинном обучении, рендеринге 3D-игр и даже при расчёте кредитных ставок. 

Суть метода?

• Геометрическая аналогия: «Метод Ньютона — как навигатор для слепого: он „ощупывает“ кривую касательной и шаг за шагом двигается к корню».

• Формула: 

Всё, что нужно — знать функцию и её производную. Алгоритм напоминает градиентный спуск, но работает точнее.

• Наглядный пример можно увидеть по ссылке: Пример работы метода Ньютона (касательных)

• Пример с кодом:

# Поиск квадратного корня из 2 (≈1.4142)

f = lambda x: x**2 - 2

df = lambda x: 2*x

x = 1.0

for _ in range(5):

    x = x - f(x)/df(x)

print(x)  # Результат: 1.41421356237

Как можно заметить мы сделали всего 5 итераций — и ошибка меньше 0.00001!

В чём преимущество этого метода?

1. Перебор требует 1000 шагов, метод Ньютона — 5, отсюда следует экономия вычислительных ресурсов.

2. В отличие от градиентного спуска, не нужно подбирать learning rate, что делает его более удобным.

Где может пригодиться?

• ML: В логистической регрессии метод Ньютона-Рафсона находит оптимальные веса в 3 раза быстрее, чем SGD.

• Графика: Используется в Unreal Engine для расчёта столкновений частиц.

• Финтех: Банки вычисляют IRR (внутреннюю норму доходности) за миллисекунды.

С какими «подводными камнями» можно столкнуться?

Метод не идеален: если начать с нуля, он сломается (деление на ноль). А для функции может зациклиться. Но эти проблемы решаются выбором „умного“ стартового приближения.

Вывод:

Метод Ньютона — это как швейцарский нож для расчётов: простой, мощный и незаменимый в арсенале разработчика. Попробуйте реализовать его для своей задачи — и убедитесь сами.

❯ 2. Ряды Фурье

Когда вы слушаете музыку в Spotify, делаете МРТ в больнице или загружаете мем в JPEG, в фоне работает математический инструмент, придуманный ещё в 1807 году. Ряды Фурье — это «математический микроскоп», который раскладывает любые сигналы на частоты. Сегодня эта абстракция из курса матана стала основой цифрового мира.

Суть метода:

Главный принцип: Любую периодическую функцию можно представить как сумму простых синусов и косинусов с разными частотами и амплитудами». 

Формула:

Представьте, что вы разобрали аккорд на пианино на отдельные ноты — это и есть преобразование Фурье.

Пример с кодом:

# Генерация сигнала = сумма 2-х синусов (частоты 5 Гц и 20 Гц)

import numpy as np

t = np.linspace(0, 1, 1000)

signal = np.sin(2*np.pi*5*t) + 0.5*np.sin(2*np.pi*20*t)

# Визуализация

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(t, signal)

plt.title("Сигнал = 5 Гц + 20 Гц")

Ряд Фурье „увидит“ обе частоты (5 и 20 Гц) и их амплитуды (1.0 и 0.5)

В чём преимущество?

Ряды Фурье (и их цифровые версии — БПФ/DFT) — это не просто абстрактная математика. Их ключевая сила в том, что они переводят сложные данные в форму, которую легко анализировать, обрабатывать и сжимать.

• Универсальность: Можно разложить что угодно: звук, изображение, биение сердца, курс акций.
  
  Пример: Запись голоса → спектр частот → можно удалить шум (например, фоновый гул).

• Эффективное сжатие данных: Отбрасываем «неважное».

  • Человеческое ухо/глаз не воспринимают все частоты.

  • MP3: Удаляются звуки за пределами 20 Гц – 20 кГц.

  • JPEG: Высокие частоты (мелкие детали) сжимаются сильнее.

• Результат: Файлы в 10–100 раз меньше без заметной потери качества.

• Быстрота вычислений (БПФ): O(n log n) вместо O(n²)

  • Прямое вычисление ряда Фурье для N точек требует ~N² операций.

  • Быстрое преобразование Фурье (FFT) сокращает это до N log N.
    Пример:

    • Анализ аудио в реальном времени (например, Shazam).

    • Мгновенная обработка МРТ-снимков.

Где может пригодиться? 

1. Обработка сигналов

   • Шумоподавление в микрофонах (например, в Zoom).

   • Работа радаров и МРТ (анализ радиочастотных сигналов).

2. Сжатие данных

   • JPEG: Дискретное косинусное преобразование (DCT) — «родственник» Фурье.

   • MP3: Удаление частот, которые не слышит человеческое ухо.

3. Финансы и наука

   • Предсказание циклов на фондовом рынке (анализ временных рядов).

   • Расшифровка ДНК (периодические паттерны в геноме).

С какими «подводными камнями» можно столкнуться?

Ряды Фурье работают идеально только для периодических сигналов. Для реальных данных (например, аудиозаписи) используют:

• Дискретное преобразование Фурье (DFT) для цифровых сигналов.

• Оконные функции (Ханна, Хэмминга), чтобы избежать „утечек“ частот.

Вывод: 

Ряды Фурье — это не просто абстракция из учебника. Каждый раз, когда вы отправляете голосовое сообщение или смотрите стрим, они работают на вас. Попробуйте разложить свой сигнал через numpy.fft — и увидите мир частот!

❯ 3. Градиентный спуск

Каждый раз, когда нейросеть распознаёт ваше лицо в телефоне или сервис доставки прокладывает оптимальный маршрут — в фоне работает алгоритм, придуманный ещё в 1847 году. Градиентный спуск — это „компас“, который помогает компьютерам находить лучшие решения в море данных. 

Суть метода:

Главный принцип: Представьте, что вы спускаетесь с горы в тумане. Самый быстрый путь вниз — идти в направлении наибольшей крутизны. Градиентный спуск делает то же самое с функцией потерь.

Формула:

Пример с кодом:

# Пример: поиск минимума f(x) = x^2 + 5*sin(x)

def gradient_descent(df, x0, eta=0.1, epochs=100):

    x = x0

    for _ in range(epochs):

        x = x - eta * df(x)

    return x

df = lambda x: 2*x + 5*np.cos(x)  # Производная

x_min = gradient_descent(df, x0=10)

print(f"Найден минимум: x = {x_min:.3f}")

В чём преимущество метода?

• работает с функциями от миллионов переменных (например, в GPT-4).

• Вычислительная сложность линейна от числа параметров.

• Применим почти к любой оптимизационной задаче:

  • Обучение нейросетей (backpropagation — это градиентный спуск),

  • Оптимизация бизнес-процессов (минимизация издержек),

  • Настройка гиперпараметров в науке.

Где применяется?

• Машинное обучение: Обучение нейросетей (от линейной регрессии до трансформеров).

• Логистика: Оптимизация маршрутов доставки (например, в Amazon).

• Финансы: Алгоритмический трейдинг (минимизация риска).

• Медицина: Подбор дозировки лекарств (минимизация побочных эффектов).

С какими «подводными камнями» можно столкнуться?

Градиентный спуск — не волшебная таблетка. Вот что может пойти не так:

• Слишком большой шаг (η): алгоритм «перепрыгнет» минимум.

• Локальные минимумы: остановка в субоптимальной точке.

• „Плато“: медленное обучение на пологих участках.

Вывод:

Градиентный спуск — это „кирпичик“ современного ИИ.

❯ 4. Метод наименьших квадратов (МНК)

Когда врач прогнозирует действие лекарства, Netflix советует вам фильм, а биржа пытается угадать курс акций — все они используют метод, придуманный... для расчёта орбит комет. Метод наименьших квадратов (МНК) — это математический „детектор трендов“, который находит закономерности даже в хаотичных данных.

Суть метода:

Главный принцип: Найти линию (или кривую), которая минимизирует сумму квадратов отклонений всех точек данных.

Формула:

Представьте, что вы натягиваете резинку между гвоздиками (точками данных) так, чтобы она была ближе всего ко всем сразу.

Пример с кодом:

# Подгонка прямой к данным (y = ax + b)

import numpy as np

from sklearn.linear_model import LinearRegression

X = np.array([1, 2, 3, 4, 5]).reshape(-1, 1)  # Данные

y = np.array([2, 3, 5, 7, 8])  # Цели

model = LinearRegression().fit(X, y)  # МНК под капотом!

print(f"Уравнение: y = {model.coef_[0]:.2f}x + {model.intercept_:.2f}")

Вывод: «Уравнение: y = 1.60x + 0.20

В чём преимущество метода?

• Даёт точные результаты даже при 20-30% ошибках в данных (например, в экономике).

• Решается аналитически за — быстрее многих альтернатив.

• Коэффициенты a и b имеют понятный смысл (например: «цена растёт на $1.6 за каждый новый признак»)

Где применяется?

• Машинное обучение: Линейная регрессия (предсказание цен, спроса).

• Геодезия: Калибровка GPS/ГЛОНАСС по контрольным точкам.

• Медицина: Анализ «доза-эффект» (подбор безопасной дозы).

• Финансы: Прогноз биржевых трендов (скользящие средние).

С какими «подводными камнями» можно столкнуться?

МНК как и все методы не идеален. Вот где он даёт сбой:

• Выбросы: Один аномальный пункт может исказить всю модель (решение: использовать М-оценки).

• Не линейность: Если данные похожи на синусоиду — нужна полиномиальная регрессия.

• Мультиколлинеарность: Когда предикторы коррелируют (например, «вес» и «калорийность»).

Вывод: 

МНК — это „швейцарский нож“ аналитика. Отлично может найти закономерности даже в хаотичных данных. Можете убедиться сами на своих данных.

❯ 5. Цепи Маркова

Когда вы читаете предложение, дополненное смартфоном, или получаете персональную рекламу — возможно, в этот момент работает модель, созданная русским математиком ещё в 1906 году. Цепи Маркова — это «машина вероятностных переходов», которая легла в основу PageRank, ChatGPT и даже ИИ для игр. Сегодня эта абстракция из теории вероятностей управляет цифровым миром.

Суть метода:

Главный принцип: Следующее состояние системы зависит только от текущего — никакой памяти о прошлом»(свойство марковости).

Представьте пьяного человека, который шагает в случайном направлении, но его следующий шаг зависит только от того, где он стоит сейчас. Так и работают цепи Маркова. 

Пример с кодом (генератор текста):

import random

# Правильная структура цепи Маркова:

# Каждое состояние ведёт к словарю {следующее_состояние: вероятность}

transitions = {

    'start': {'I': 0.6, 'You': 0.4},

    'I': {'love': 0.7, 'hate': 0.3},

    'You': {'win': 0.5, 'lose': 0.5},

    'love': {'Python.': 1.0},  # Конечные состояния должны быть словарями

    'hate': {'homework.': 1.0},

    'win': {'!': 1.0},

    'lose': {'.': 1.0}

}

def generate():

    # Выбираем первое слово на основе 'start'

    current_word = random.choices(

        list(transitions['start'].keys()),

        weights=transitions['start'].values()

    )[0]

    sentence = [current_word]

    

    # Продолжаем, пока не достигнем конечного состояния (точка, воскл. знак)

    while current_word not in ['.', '!', '...']:

        next_words = transitions[current_word]

        current_word = random.choices(

            list(next_words.keys()),

            weights=next_words.values()

        )[0]

        sentence.append(current_word)

    

    return ' '.join(sentence)

print(generate())  # Пример: "You win !" или "I love Python."

Вывод: You win !

В чём преимущество метода?

• Нужны только текущее состояние и матрица переходов (обычная таблица вероятностей).

• Сравните с нейросетями, где требуются тысячи параметров.

• Перемножение матриц — операция, которую GPU выполняет молниеносно.

• Цепь из 1000 состояний хранится как матрица 1000×1000 чисел (вместо гигабайтов весов нейросети).

Где применяется?

• Поиск: Ранжирование в Google/Yandex.

• NLP: Автодополнение в Gmail/iPhone.

• Геймдев: Поведение NPC в Civilization.

• Биология: Моделирование мутаций ДНК.

С какими «подводными камнями» можно столкнуться?

Цепи Маркова — не волшебство. Главные ограничения:

• Нет долгой памяти: Не помнит состояния 2 шага назад

• Стационарность: Вероятности должны быть постоянными

• Проклятие размерности: Для сложных систем нужны огромные матрицы

Вывод:

Цепи Маркова окружают нас — от ленты соцсетей до умных колонок. Они очень практичны и легки в понимании.

В заключение этой статьи хочу напомнить вам, что хороший программист = хороший математик. Можно было рассмотреть ещё тысячи, десятки тысяч очень полезных алгоритмов, но уже на этом этапе можно понять важность матана и в целом всей высшей математики в нашей современной жизни.

Новости, обзоры продуктов и конкурсы от команды Timeweb.Cloud — в нашем Telegram-канале ↩

? Читайте также:

• ➤ Инопланетная математика

• ➤ JavaScript: примеры реализации некоторых математических выражений

• ➤ Учим ЭЛТ-монитор играть музыку

• ➤ IT и ЗОЖ: Как не сгореть за компом? Простые ритуалы для сейва здоровья

• ➤ Самый стильный фильм про виртуальную реальность: TRON

Перед оплатой в разделе «Бонусы и промокоды» в панели управления активируйте промокод и получите кэшбэк на баланс.