Планковская длина – число столь малое, что его трудно вообразить. Если соотнести масштабы «Планковская длина – атом» симметрично, то атом к объекту относится так же, как к атому: получается размер порядка (здесь ​ – это радиус Бора (длина ), то есть около тысячи астрономических единиц – масштаб внешнего Оортова облака. Это на семнадцать с лишним порядков меньше всего, что мы сегодня можем зондировать напрямую с помощью ускорителей. И всё же именно эта ничтожная величина, по-видимому, отмечает фундаментальный предел измеримости – место, где наши классические представления о пространстве и времени перестают работать, а квантовая механика и гравитация неизбежно встречаются.

Но эта ничтожно малая величина может оказаться самым фундаментальным масштабом во Вселенной – масштабом, на котором рушатся наши привычные представления о пространстве и времени, масштабом, где квантовая механика и гравитация, эти два столпа современной физики, должны наконец встретиться.

Удивительно, что путь этой константы от математического курьёза до ключевой величины квантовой гравитации занял более столетия и прошёл через трагические судьбы, забытые открытия и неожиданные прозрения.

Предисловие

Когда я решил разобраться в вопросе появления планковских единиц в физике, меня поразило, насколько неудовлетворительно эта тема освещается в отечественной литературе. Авторы обычно либо ограничиваются сухим размерным анализом (мол, возьмём три фундаментальные константы и составим из них величину с размерностью длины), либо, наоборот, пускаются в спекуляции о «квантовании пространства-времени» без какого-либо строгого обоснования. Между тем, физический смысл планковского масштаба как фундаментального предела измеримости был строго установлен Матвеем Петровичем Бронштейном ещё в 1935–1936 годах – задолго до знаменитых работ Джона Уилера и современных подходов к квантовой гравитации.

Эта статья в значительной мере основана на историко-научных исследованиях Геннадия Ефимовича Горелика, прежде всего на его работах «Первые шаги квантовой гравитации и планковские величины» (Эйнштейновский сборник, 1978–1979) и «Матвей Бронштейн и квантовая гравитация. К 70-летию нерешённой проблемы» (УФН 175 1093–1108, 2005). Тот же материал вошёл пятой главой в книгу Горелика «Размерность пространства» (М.: Наука, 1983) и позднее – в биографическую работу Г.Е. Горелика и В.Я. Френкеля «Матвей Петрович Бронштейн». К сожалению, эти работы на сегодняшний день остаются малодоступными широкой аудитории и вряд ли попадутся в руки рядового читателя Хабра. Мне показалось важным донести эти результаты до технической аудитории – тех, кто интересуется физикой, но не имеет возможности копаться в архивных публикациях.

В отличие от работ Горелика, охватывающих обширную научную биографию Бронштейна и контекст советской физики 1930-х годов, моя статья сосредоточена исключительно на одной линии развития: эволюции понимания планковских масштабов. Это путь от формальной математической конструкции Макса Планка (1899) через физическую интуицию Артура Эддингтона (1918–1932) к строгому обоснованию Бронштейна и дальнейшему развитию этой идеи Уилером в 1950–1960-х годах. Я глубоко признателен Г.Е. Горелику за его подвижническую работу по восстановлению научного наследия Бронштейна – без его исследований эта статья была бы невозможна.

1. Рождение из размерности: Макс Планк, 1899

Идея была проста и элегантна. К тому времени физике были известны три фундаментальные константы природы:

• скорость света c – предельная скорость распространения взаимодействий

• гравитационная постоянная – мера силы гравитации

• постоянная Планка ℏ (которую он только что ввел) – квант действия

Планк задался вопросом: можно ли из этих трёх констант составить комбинации, которые имели бы размерности длины, времени, массы и энергии? Простой размерный анализ дал ответ:

• Планковская длина:

• Планковское время:

• Планковская масса:

• Планковская энергия:

Для Планка это была чистая математика – способ создать систему единиц, в которой все три фундаментальные константы равны единице. Никакого глубокого физического смысла он этим величинам не придавал. Это был просто изящный математический трюк, естественная система координат для описания природы.

Планк не мог знать, что эти "естественные единицы" окажутся пророческими.

2. Первое прозрение: Артур Эддингтон, 1918–1932

Почти двадцать лет прошло, прежде чем в планковских единицах увидели нечто большее, чем математическое удобство. Это сделал Артур Эддингтон – британский астрофизик, один из первых, кто по-настоящему понял и популяризировал общую теорию относительности Эйнштейна.

Артур Стэнли Эддингтон (1882–1944) был не просто популяризатором новой физики – он стал её главным интерпретатором для англоязычного мира. Его работы Space, Time and Gravitation (1920) и особенно The Mathematical Theory of Relativity (1923) на протяжении нескольких поколений служили физикам вторым источником для изучения общей теории относительности.

Именно в этих трудах, размышляя над симметриями природы, Эддингтон обратил внимание на возможность существования фундаментальной длины, образованной из фундаментальных физических постоянных. Он подчёркивал, что такие комбинации «не зависят от произвольно выбранных единиц» и поэтому «принадлежат самой природе». В письме к Герману Вейлю он даже назвал их «числами, которые Бог знает наизусть».

В 1918 году, обсуждая возможные пути объединения квантовой теории и гравитации, Эддингтон писал: «Существует фундаментальная длина, столь малая, что на ней должен измениться сам способ описания пространства». Он не проводил точных расчётов, но оценивал этот масштаб как «квадриллионные или квинтиллионные доли сантиметра» – поразительно близко к современному значению планковской длины.

Эддингтон видел появление такой длины границей применимости континуальной геометрии. Он утверждал, что объединяющая теория не сможет быть «геометрической» в классическом смысле. Тем самым он предвосхитил идею, к которой физика придёт лишь десятилетия спустя: на планковских масштабах само понятие пространства-времени должно утратить привычный смысл.

Это было поразительное предчувствие. В 1918 году квантовая механика только формировалась, квантовая теория поля не существовала, а объединение квантовых и гравитационных эффектов никто всерьёз не рассматривал. Но Эддингтон уже понимал: на планковском масштабе происходит что-то принципиально важное.

К 1932 году его интуиция окрепла. Эддингтон начинает писать о необходимости «слияния» квантовой теории и общей теории относительности в терминах, которые кажутся удивительно современными. Он ясно видел: это не просто техническая задача, а вопрос, требующий концептуального прорыва.

В 1920–1930-е годы Эддингтон разработал собственную программу поиска фундаментальных безразмерных констант. Он стремился вывести все числовые параметры физики – включая постоянную тонкой структуры – из чисто математических принципов симметрии и комбинаторики. Сегодня эта часть его работы выглядит спекулятивной, но в ней виден важный поворот: переход от концепции «измерения» к концепции «структуры» как основы физического мира.

«Ни один эксперимент не может проникнуть внутрь предельной ячейки структуры пространства, так же как микроскоп не может различить атомную решётку, если его длина волны больше межатомных расстояний».

(Эддингтон, Fundamental Theory, 1936)

Однако Эддингтон не предоставил строгого математического анализа проблемы. Его вклад был скорее философским – он первым осознал физическую значимость планковского масштаба. Строгое доказательство этой интуиции предстояло дать другому физику в другой стране и при совсем других обстоятельствах.

Таким образом, Эддингтон первым вывел планковскую длину из области размерностного анализа в область физического смысла. Хотя он не получил строгих соотношений (это позже сделает Матвей Бронштейн), он предугадал три ключевых положения:

• у природы существует фундаментальный масштаб, независимый от выбора единиц;

• этот масштаб связан с объединением квантовых и гравитационных принципов;

• на этом масштабе сама концепция пространства должна измениться.

Поразительнее всего, что это предчувствие родилось в годы, когда квантовая механика только зарождалась, квантовая теория поля не существовала, а квантовая гравитация не обсуждалась. Эддингтон же уже видел в фундаментальной длине черту, за которой кончается классическая геометрия.

Позднее Матвей Бронштейн предоставит строгие расчёты и физическое обоснование этого предела. Но честь первого прозрения принадлежит именно Эддингтону.

3. Первая теория квантовой гравитации: Матвей Бронштейн, 1935–1936

Контекст: рождение проблемы

К середине 1930-х годов в физике сложилась парадоксальная ситуация. Квантовая механика торжествовала – она объясняла строение атома, химическую связь, свойства твёрдых тел. Общая теория относительности Эйнштейна описывала гравитацию как геометрию искривлённого пространства-времени. Но никто всерьёз не задумывался: а что будет, если попытаться объединить эти две теории?

Проблема казалась либо тривиальной ("просто применим стандартное квантование к уравнениям Эйнштейна"), либо чисто академической ("гравитация настолько слаба, что квантовые эффекты никогда не будут заметны"). Правда, ещё в 1916 году Эйнштейн высказал мысль, что "квантовая теория должна модифицировать не только максвелловскую электродинамику, но также и новую теорию гравитации". А в 1930 году Лев Розенфельд рассмотрел систему из квантованных электромагнитного и слабого гравитационного полей. Но это были лишь общие замечания, не вскрывавшие глубину проблемы.

Лишь единицы понимали, что здесь скрывается нечто фундаментальное. Одним из них был 28-летний ленинградский физик Матвей Петрович Бронштейн.

Кто он был

Его отличала необычайная широта интересов и талантов. Корней Чуковский, близко знавший Бронштейна, вспоминал: "За свою долгую жизнь я близко знал многих знаменитых людей: Репина, Горького, Маяковского, Валерия Брюсова, Леонида Андреева, Станиславского, и потому мне часто случалось испытывать чувство восхищения человеческой личностью. Такое же чувство я испытывал всякий раз, когда мне доводилось встречаться с молодым физиком М.П. Бронштейном... Он был блистательный собеседник, эрудиция его казалась необъятной. Английскую, древнегреческую, французскую литературу он знал так же хорошо, как и русскую. В нем было что-то от пушкинского Моцарта – кипучий, жизнерадостный, чарующий ум."

Но Бронштейн был не только физиком-теоретиком. Он стал одним из создателей нового жанра литературы – научно-художественного. Его книги "Солнечное вещество", "Лучи Икс", "Изобретатели радио-телеграфа", "Атомы, электроны, ядра", переиздающиеся через 30-40 лет после выхода, и сегодня поражают читателя драмой идей, столь характерной для науки нашего века.

Докторская диссертация

22 ноября 1935 года в Ленинградском физико-техническом институте (ЛФТИ) состоялась защита докторской диссертации М.П. Бронштейна "Квантование гравитационных волн". Присутствовало более 45 человек. Оппонентами выступили В.А. Фок и И.Е. Тамм.

Фок отметил, что работа Бронштейна – "первая работа по квантованию гравитационных волн, в которой дело доведено до получения физических результатов". Тамм в своём отзыве указал: "Нельзя не отметить чрезвычайную математическую сложность проблемы, которой посвящена диссертация. Успешное разрешение её свидетельствует о значительном математическом искусстве автора."

Но самое важное – Тамм отметил фундаментальный результат Бронштейна: "В своей докторской диссертации, публично защищенной им с большим успехом, М. П. Бронштейн разработал теорию квантования гравитационных волн, имеющую существенное значение для правильного понимания ряда основных положений квантовой электродинамики."

Проблема измеримости гравитационного поля

Работа Бронштейна была инспирирована знаменитой дискуссией Нильса Бора и Леона Розенфельда 1933 года об измеримости электромагнитного поля в квантовой теории. Бор и Розенфельд показали, что электромагнитное поле можно измерить с любой точностью, не нарушая принципов квантовой механики и специальной теории относительности, если правильно учесть соотношение неопределённостей.

Бронштейн поставил вопрос: а что будет, если добавить третью фундаментальную константу – гравитационную постоянную ? То есть рассмотреть не просто квантовую теорию () в релятивистском пространстве-времени (), а квантовую теорию гравитационного поля, где все три константы – – играют роль одновременно.

В статье 1936 года "Квантование гравитационных волн" Бронштейн начинает с классической (неквантовой) теории слабого гравитационного поля как малых возмущений псевдоевклидовой геометрии. Метрический тензор записывается как:

где – метрика Минковского, а все величины малы по сравнению с единицей.

Бронштейн пишет: "Можно было бы думать, что здесь, как и в квантовой электродинамике, получается вполне последовательная квантовомеханическая схема, содержащая величины, которые, правда, не всегда могут быть измеряемы с произвольно задаваемой точностью одновременно, но каждая из них может быть сколь угодно точно измерена в отдельности."

Но оказывается, для гравитации это не так.

Две границы измеримости

Бронштейн рассматривает измерение компоненты гравитационного поля (символ Кристоффеля, играющий роль напряжённости гравитационного поля) в некотором объёме за промежуток времени . Для этого нужно измерить компоненту импульса пробного тела, имеющего объём , в начале и в конце промежутка времени .

Что такое Г (и почему это «гравитационное поле»)

Идея. Символы Кристоффеля – это коэффициенты, которые говорят, как падает свободное тело в искривлённом пространстве-времени. В уравнении геодезической траектории компонента с верхним пространственным индексом и двумя нулями внизу, ​, отвечает за пространственное ускорение в свободном падении.

Ньютоновский предел (медленные скорости, слабое поле). При и слабой гравитации геодезическое уравнение упрощается:

.

То есть ​ фактически равносилен ускорению (с точностью до фактора и знака).

Связь с ньютоновским потенциалом. В слабом поле метрика имеет вид

где – обычный ньютоновский потенциал. Из определения символов Кристоффеля получается простая оценка: (с точностью до знака, зависящего от соглашений).

Тогда

что есть ровно закон Ньютона для ускорения в поле .

Что стоит запомнить

​ – это компонент, который в слабом поле численно пропорционален градиенту ньютоновского потенциала и тем самым задаёт локальное гравитационное ускорение.

Неопределённость импульса состоит из двух слагаемых:

1. Обычный квантовомеханический член (из соотношения Гейзенберга):

   

   , где – неопределённость в координате

2. "Обратное" влияние – от собственного гравитационного поля пробного тела. Из уравнений линеаризованной ОТО следует, что неопределённость компоненты гравитационного поля

где – плотность пробного тела.

Отсюда Бронштейн получает, что "обратное" влияние собственного гравитационного поля пробного тела даёт вклад в неопределённость импульса:

где – ньютоновская гравитационная константа.

Таким образом, общая неопределённость импульса:

Чтобы сделать эту неопределённость минимальной, нужно выбрать:

Тогда минимальная неопределённость импульса:

и соответственно минимальная неопределённость компоненты гравитационного поля:

Но продолжительность измерения ограничивается снизу двумя условиями:

Первое условие (8): , чтобы скорость отдачи, вызванной измерением импульса, была меньше скорости света. Отсюда:

Второе условие (9): Из самого смысла измерения поля в объёме следует, что величина должна быть меньше размеров пробного тела: . Учитывая (6), получим:

Критический момент: две границы сходятся

Получив эти две нижние границы для , Бронштейн отмечает, что отношение первой из них ко второй:

зависит от массы пробного тела , "будучи совершенно ничтожной величиной в случае электрона и становясь величиной порядка 1 в случае пылинки, весящей сотую долю миллиграмма".

Для неопределённостей получаются соответственно две границы (формулы 11 и 11'):

Бронштейн пишет: "Поскольку, как видно отсюда, для возможно более точного измерения в данном объёме следует применять пробные тела возможно большой массы (плотности), то существенной становится только первая граница."

Время реакции T

Параметр введён Бронштейном как характерное время, в течение которого усредняется изменение компонент метрического возмущения ​ и связанной с ним величины ​. Он возникает при переходе от уравнения ​ к оценке неопределённости ​, где поток импульса содержит скорость . Таким образом, характеризует время реакции поля на возмущение, а не интервал между измерениями. Его введение необходимо для корректного учёта динамической связи между изменением импульса пробного тела и индуцированным гравитационным возмущением поля.

Но здесь появляется фундаментальное ограничение! Бронштейн указывает, что предыдущие рассуждения аналогичны соответствующим рассуждениям в квантовой электродинамике, "однако на этом месте приходится принять во внимание обстоятельство, из которого обнаруживается принципиальное различие между квантовой электродинамикой и квантовой теорией гравитационного поля. Различие это заключается в том, что в формальной квантовой электродинамике, не учитывающей структуры элементарного заряда, нет никаких принципиальных причин, ограничивающих увеличение плотности ."

Но в гравитации появляется запрет! В отличие от электромагнитного поля, где заряд и масса могут рассматриваться как независимые параметры, в гравитации они связаны принципом эквивалентности: источник гравитационного поля определяется собственной массой тела. Поэтому при стремлении уменьшить размеры пробного тела вместе с ростом плотности усиливается и создаваемое им гравитационное поле. Это делает невозможным неограниченное уменьшение неопределённости поля при .

Бронштейн выражает это в виде условия, ограничивающего существование пробного тела с размерами, меньшими некоторого предельного масштаба, определяемого его собственной массой:

Это не «гравитационный радиус» в современном смысле (понятие чёрной дыры тогда ещё не существовало), а граница применимости классической теории: при превышении этого предела линейное приближение общей теории относительности перестаёт быть осмысленным.

Если учесть это условие, формула (11) даёт абсолютный минимум неопределённости:

Бронштейн понимает, что этот "абсолютный предел вычислен очень грубо, потому что при достаточно большой массе измерительного прибора начнут, вероятно, играть роль отступления от принципа суперпозиции..."

Однако он считает, что "аналогичный результат сохранится и в более точной теории, так как он нисколько сам по себе не вытекает из принципа суперпозиции, а соответствует лишь тому факту, что в общей теории относительности не может существовать тел сколь угодно большой массы при заданном объеме."

Когда две границы совпадают: рождение планковского масштаба

Чтобы планковские величины "проявились" нужно рассмотреть не только наименьшую неопределённость, но и наименьший возможный объём. Для минимального объёма пробного тела нужно использовать максимально возможную плотность. В силу условия (12) это

.

Тогда границы (8) и (9) превращаются в:

причём уменьшается с уменьшением , а растёт. Поэтому минимальное значение наибольшей из величин достигается при . Тогда:

При этом соответствующие размеры пробного тела:

и его масса:

Планковские величины возникли из условия совпадения двух границ измеримости!

Здесь – гравитационная константа Эйнштейна, входящая в уравнения ОТО. Когда Бронштейн получает комбинации , это эквивалентно планковскому времени, поскольку κ выражается через фундаментальную гравитационную постоянную .

Раскрывая κ через G, получаем классические планковские величины:

Почему бронштейновский предел отличается от планковских констант

Планк впервые получил свои «натуральные единицы» (1899) из размерностного анализа фундаментальных констант – – без обращения к конкретной физической теории. Впоследствии этот способ стал традиционным и закрепился в литературе. Бронштейн, напротив, исходил непосредственно из уравнений линейной гравитации и операционного смысла измерения поля. Его множитель ​ не является произвольным артефактом, а естественно возникает из нормировки гравитационной константы , присутствующей в уравнении Эйнштейна. В линейной теории гравитации коэффициент при удваивается: в уравнениях для возмущения метрики появляется вместо , как в полных уравнениях Эйнштейна. Это техническое следствие выбранных определений и нормировки поля, а не расхождение в физическом содержании теории.
Бронштейновский результат, вероятно, наиболее точно отражает физическую реальность, показывая, как предел применимости классической гравитации следует из самой структуры её уравнений, а не из формальной игры с размерностями.

Философский вывод Бронштейна

Из своего анализа Бронштейн сделал вывод, опередивший время на десятилетия.

"Устранение связанных с этим логических противоречий требует радикальной перестройки теории, и, в частности, отказа от римановой геометрии, оперирующей, как мы здесь видим, принципиально не наблюдаемыми величинами – а может быть, и отказа от обычных представлений о пространстве и времени и замены их какими-то гораздо более глубокими и лишёнными наглядности понятиями. "Wer's nicht glaubt, bezahlt einen Thaler" ("Кто этому не верит, тот платит талер").

Это был 1935-1936 год. Бронштейн предвидел то, о чём физика начала всерьёз говорить только в конце XX века – о необходимости отказа от континуальной структуры пространства-времени на планковских масштабах.

Концептуальный куб cGh

Для систематизации своих идей Бронштейн создал изящную концептуальную схему в статье 1933 года – "куб физических теорий". Три оси куба соответствуют трём фундаментальным константам:

• – конечная скорость света (релятивизм)

• – гравитационная постоянная (гравитация)

• – постоянная Планка (квантовость)

Различные вершины куба – это различные физические теории:

• Начало координат () – классическая механика Ньютона

• Конечное – специальная теория относительности

• Конечное – общая теория относительности

• Конечное – квантовая механика

• Конечные и – квантовая электродинамика

• Конечные и – релятивистская теория гравитации (ОТО)

А дальняя вершина, где все три константы конечны – это неизвестная теория квантовой гравитации.

Эта схема, простая и наглядная, стала классическим способом классификации физических теорий и используется до сих пор.

Историческое значение

Работа Бронштейна была первым строгим доказательством того, что квантовая гравитация – это не техническая проблема, а концептуальная пропасть. Это не просто "ещё одно квантование" по образцу электродинамики. Это требует переосмысления самих основ – природы пространства и времени.

Горелик в своём историческом анализе показал, что Бронштейн первым:

1. Чётко сформулировал проблему принципиальной измеримости в квантовой гравитации

2. Строго вывел фундаментальную роль планковского масштаба как предела измеримости

3. Понял, что принцип эквивалентности создаёт качественное отличие гравитации от электродинамики

4. Предвосхитил необходимость отказа от классических представлений о пространстве-времени

5. Выявил основные идеи, к которым физика пришла лишь в 1960-х–1980-х годах

Трагедия

7 августа 1937 года Матвей Бронштейн был арестован НКВД по обвинению в участии в "контрреволюционной троцкистской организации". В тюрьме он пытался продолжать работу, обдумывая физические проблемы.

18 февраля 1938 года, в возрасте 32 лет, Бронштейн был расстрелян на Левашовской пустоши под Ленинградом. Его работы были забыты на десятилетия.

Западная физика пришла к пониманию проблем квантовой гравитации только в 1950-х–1960-х годах, независимо переоткрывая то, что Бронштейн понял в 1935-1936 годах. Полное признание его приоритета произошло лишь в конце XX века, во многом благодаря работам историка науки Геннадия Горелика, который восстановил и проанализировал научное наследие Бронштейна.

Если бы не трагический обрыв, Бронштейн мог стать основателем целого направления в физике. История квантовой гравитации – и история планковских величин – пошла бы совсем другим путём.

4. Возрождение идеи: 1950-е–1960-е годы

Пока работы Бронштейна оставались погребёнными в немецкоязычных журналах и забытыми в атмосфере сталинских репрессий, на Западе проблема квантовой гравитации медленно вызревала заново.

В 1955 году американский физик Джон Арчибальд Уилер – один из самых влиятельных и эксцентричных теоретиков XX века – предложил концепцию, которая вернула планковский масштаб в центр внимания физиков.

Концепция квантовой пены и геонов

В своей работе 1955 года Уилер рассматривал объекты, которые он назвал геонами (geons) — сгустки гравитационно-электромагнитного излучения, удерживаемые собственной гравитацией. При анализе геонов он пришёл к характерным масштабам:

,

,

.

Уилер показал, что флуктуации метрики становятся существенными (сравнимыми с единицей), когда характерный масштаб

то есть при приближении к планковской длине.
Это и есть квантовая граница применимости классической общей теории относительности — именно тот предел, о котором за двадцать лет до этого писал Бронштейн.

Уилер пришёл к тем же выводам, что и Бронштейн: на планковском масштабе классические представления о геометрии рушатся, требуется радикально новая физика. Но если Бронштейн шёл через анализ измеримости гравитационного поля, то Уилер – через анализ квантовых флуктуаций самой метрики пространства-времени.

Примечательная деталь: как отмечает Горелик, в 1955 году Уилер не знал о планковских единицах как таковых. Он независимо пришёл к пониманию значимости масштаба 10⁻³³ см, анализируя квантовые свойства гравитационного поля. Лишь позднее, в совместной работе с Мизнером 1957 года (Мизнер Ч., Уилер Дж. "Классическая физика как геометрия. Гравитация, электромагнетизм, неквантованные заряд и масса как свойства искривлённого пустого пространства"), появились планковские величины.

Геометродинамика и "It from bit"

Уилер не просто предложил яркую метафору. Он развил целую программу исследований, которую назвал "геометродинамикой" – попытку описать всю физику через динамику искривлённого пространства-времени. В этой программе планковский масштаб играл роль естественной границы, где геометрические представления должны были уступить место чему-то более фундаментальному.

Позднее Уилер выдвинул ещё более радикальную идею: "It from bit" – всё физическое (it) возникает из информации (bit). На планковском масштабе, согласно этой концепции, различие между материей, энергией и геометрией размывается, и остаётся только квантовая информация.

Роль Уилера в популяризации темы

Значение Уилера для развития темы планковского масштаба трудно переоценить. Если Бронштейн заложил строгие основы, но остался неизвестным, то Уилер:

• Популяризировал идеи квантовой гравитации в англоязычном научном мире

• Создал яркие образы и термины (квантовая пена, кротовые норы, чёрная дыра – последний термин тоже принадлежит Уилеру!)

• Воспитал целое поколение физиков-теоретиков, работающих в области квантовой гравитации

• Превратил планковский масштаб из малоизвестной математической конструкции в общепринятый ориентир для любых теорий квантовой гравитации

Оскар Клейн и гравитационная граница

Однако более интересным было его замечание о том, что длина соответствует гравитационной границе области применимости специальной релятивистской квантовой теории. К этому выводу он пришел следующим образом.

Частица, представленная волновым пакетом в объёме , имеет энергию порядка и массу порядка (если , т.е. если частица релятивистская). Тогда разность гравитационных потенциалов в центре и на краю волнового пакета мало изменит метрику, только если (поскольку компоненты метрического тензора ), т. е. если , или

Длина возникла и в связи с проблемами физики элементарных частиц.

Ландау, Абрикосов, Халатников: граница замкнутости

В 1954 году Л.Д. Ландау, А.А. Абрикосов и И.М. Халатников в работе, посвящённой устранению расходимостей в квантовой электродинамике, указали на величину

,

практически близкую к планковской длине (отличающуюся от неё множителем, равным корню из постоянной тонкой структуры ), как на границу области, вне которой квантовая электродинамика не может считаться замкнутой теорией из-за необходимости учёта гравитационного взаимодействия.

Влияние на следующее поколение

Уилер не просто возродил идею – он её популяризировал. Яркий лектор, талантливый популяризатор (именно он придумал термин "чёрная дыра"), Уилер воспитал целое поколение физиков, работающих в области квантовой гравитации и общей теории относительности. Среди его учеников – Кип Торн, Хью Эверетт, Якоб Бекенштейн, и, конечно, Ричард Фейнман.

Благодаря Уилеру и его школе идеи о фундаментальной роли планковского масштаба – те же самые идеи, к которым Бронштейн пришёл в 1936 году, хотя сам Уилер об этом долго не знал – вошли в мейнстрим англоязычной физики. Планковский масштаб перестал быть математическим курьёзом и стал центральной концепцией квантовой гравитации.

Таким образом, только в середине 1950-х годов стало по-настоящему известно квантово-гравитационное значение планковских величин – спустя более полувека после их формального введения Планком и двадцать лет после строгого анализа Бронштейна. Однако не следует думать, что для того, чтобы действительно понять физический смысл планковского масштаба, было необходимо дождаться завершённого аппарата квантовой механики. На самом деле характерные планковские масштабы можно было обнаружить уже с помощью квантового постулата Бора – что и продемонстрировал ещё Эддингтон в 1918 году.

5. Планковский масштаб в современной физике

От истории к современности

Прошло почти 130 лет с того момента, как Макс Планк впервые записал комбинации фундаментальных констант, дающие "естественные единицы" длины, времени и массы. То, что начиналось как математическое любопытство, превратилось в центральную концепцию современной теоретической физики.

Сегодня планковский масштаб – это не просто исторический курьёз и не только граница применимости существующих теорий. Это масштаб, на котором, как мы теперь понимаем, должна проявиться новая физика – физика, объединяющая квантовую механику и гравитацию.

Планковская энергия и физика элементарных частиц

Планковская масса кг может показаться ничтожной в макроскопическом масштабе, но если пересчитать её в энергию через , получается планковская энергия ГэВ.

Это колоссальная энергия по меркам физики элементарных частиц. Для сравнения:

• Масса протона:

• Энергия Большого адронного коллайдера:

• Планковская энергия:

Планковская энергия на 15 порядков превышает всё, что мы можем создать в ускорителях. Это означает, что экспериментальная проверка квантовой гравитации прямыми методами практически невозможна с современными или даже обозримыми будущими технологиями.

Теория струн и планковский масштаб

Со средины 1970-х годов теория струн стала одним из главных кандидатов на роль теории квантовой гравитации. В теории струн элементарные частицы – это не точки, а одномерные объекты (струны), колеблющиеся на характерном масштабе, который естественным образом оказывается близким к планковской длине.

В этом подходе планковский масштаб – это масштаб самих струн. На расстояниях больше планковской длины струна выглядит как точечная частица, но при попытке "рассмотреть" её на меньших масштабах проявляется её протяжённая структура. Именно эта протяжённость "спасает" теорию от ультрафиолетовых расходимостей, которые погубили попытки построить квантовую теорию гравитации традиционными методами.

Планковская длина в теории струн играет роль фундаментального масштаба природы – минимальной длины, имеющей физический смысл.

Петлевая квантовая гравитация

Альтернативный подход к квантованию гравитации – петлевая квантовая гравитация (loop quantum gravity) – приходит к планковскому масштабу другим путём. Здесь пространство-время оказывается не гладким континуумом, а дискретной структурой, "сотканной" из элементарных квантов объёма и площади.

Минимальный квант площади в петлевой квантовой гравитации имеет порядок , а минимальный квант объёма – порядка Само пространство оказывается зернистым на планковских масштабах – реализуется то, что предвидел Бронштейн, говоря об "отказе от римановой геометрии" и "отказе от обычных представлений о пространстве и времени".

Чёрные дыры и планковская масса

Планковский масштаб играет особую роль в физике чёрных дыр. Гравитационный радиус (радиус Шварцшильда) объекта массы равен . Для планковской массы:

.

То есть гравитационный радиус объекта планковской массы сравним с его комптоновской длиной волны . Это как раз та ситуация, когда квантовые и гравитационные эффекты становятся одного порядка – ситуация, которую анализировал Бронштейн.

Планковская масса – это минимальная масса, при которой можно говорить о классической чёрной дыре. При меньших массах квантовые эффекты становятся доминирующими, и понятие классической чёрной дыры теряет смысл.

Космология ранней Вселенной

В космологии планковский масштаб отмечает границу наших знаний о самых ранних моментах существования Вселенной. Планковское время – это момент после Большого взрыва, раньше которого наши современные теории перестают работать.

При (так называемая планковская эпоха) плотность энергии Вселенной была столь велика, что квантовые флуктуации самой геометрии пространства-времени были существенными. Чтобы описать это состояние, нужна полная теория квантовой гравитации, которой у нас пока нет.

Планковская эпоха – это горизонт познания в космологии. Всё, что было до неё, скрыто от нас не техническими ограничениями наших приборов, а фундаментальными ограничениями самой физики.

Проблема иерархии масс

Одна из величайших загадок современной физики элементарных частиц – так называемая проблема иерархии: почему масса бозона Хиггса () на 17 порядков меньше планковской массы?

В квантовой теории поля "естественно" ожидать, что все массы имеют порядок наивысшего доступного масштаба энергии – планковского. Но масса Хиггса, определяющая массы всех известных элементарных частиц, поразительно мала по сравнению с этим масштабом. Это требует невероятно тонкой "подстройки" параметров теории.

Планковский масштаб здесь играет роль естественного масштаба, от которого "отсчитывается" вся эта странная иерархия. Решение проблемы иерархии – одна из главных мотиваций для поиска новой физики за пределами Стандартной модели.

Возможна ли экспериментальная проверка?

Прямая экспериментальная проверка физики планковского масштаба кажется безнадёжной – энергии недостижимы, расстояния неизмеримы. Но физики ищут косвенные проявления планковской физики:

• Модификации дисперсионных соотношений: если пространство-время дискретно на планковском масштабе, скорость света может слегка зависеть от энергии фотона. Наблюдая гамма-вспышки от далёких космических источников, можно искать такие эффекты.

• Квантовые флуктуации метрики: гравитационно-волновые детекторы следующего поколения могут быть достаточно чувствительны, чтобы заметить "шум" от квантовых флуктуаций пространства-времени.

• Космологические наблюдения: отпечатки планковской физики могли сохраниться в реликтовом излучении и в крупномасштабной структуре Вселенной.

Пока все эти поиски не дали результата. Планковский масштаб остаётся недостижимым горизонтом.

Философское значение

Планковский масштаб – это не просто очередная физическая константа. Это фундаментальная граница, отделяющая область, где работают наши физические теории, от области, где они заведомо неприменимы.

Путь планковских величин – от математического курьёза Планка через интуицию Эддингтона и строгий анализ Бронштейна к центральной роли в современной физике – это путь постепенного осознания того, что природа имеет собственный фундаментальный масштаб, определяемый не нашими единицами измерения, а устройством самой реальности.

Как писал Бронштейн в 1936 году, понимание физики на планковском масштабе "требует радикальной перестройки теории, и, в частности, отказа от римановой геометрии... и замены их какими-то гораздо более глубокими и лишёнными наглядности понятиями."

Почти 90 лет спустя мы всё ещё ищем эти "более глубокие понятия". Планковский масштаб остаётся вызовом, манящим горизонтом, напоминанием о том, как много мы ещё не знаем о фундаментальном устройстве реальности.

Заключение

От математического любопытства к горизонту познания – таков путь планковских величин за 126 лет. То, что Макс Планк записал в 1899 году как удобную комбинацию констант, Артур Эддингтон в 1918-м почувствовал интуитивно, Матвей Бронштейн в 1936-м доказал строго, а современная физика признала фундаментальной границей реальности.

История планковской длины – это история о том, как физика постепенно осознаёт собственные пределы и открывает новые горизонты. Это напоминание о том, что самые глубокие истины о природе часто скрыты в простых математических комбинациях, ожидающих своего часа.

И это история о том, что путь к пониманию фундаментального устройства мира проходит через трагедии, забвение и повторные открытия – но истина, в конце концов, всегда находит способ быть услышанной.