Общая теория относительности без координат: революция Туллио Редже / forpes.ru

Главная
Общая теория относительности без координат: революция Туллио Редже

Общая теория относительности без координат: революция Туллио Редже +8

12.12.2025 15:41

kapas19 0 4400 Источник

В начале 1960-х годов общая теория относительности переживала период интенсивных поисков новых формулировок. Спустя почти полвека после создания теории Эйнштейна, физики всё острее ощущали ограничения традиционного координатно-тензорного подхода. Именно в этом контексте итальянский физик Туллио Редже (1931–2014) опубликовал в 1961 году статью, которая навсегда изменила наш взгляд на природу пространства-времени.

Туллио Редже (1931–2014) — итальянский физик-теоретик, внёсший фундаментальный вклад в теорию элементарных частиц (траектории Редже в теории рассеяния, полюса Редже) и квантовую гравитацию. Создатель дискретного подхода через симплициальные комплексы (треугольники Редже), его метод триангуляции пространства-времени стал основой для численного моделирования в ОТО и предвосхитил современные программы квантовой гравитации, включая теорию причинных множеств и спиновые сети. — **Туллио Редже (1931–2014)** — итальянский физик-теоретик, внёсший фундаментальный вклад в теорию элементарных частиц (траектории Редже в теории рассеяния, полюса Редже) и квантовую гравитацию. Создатель дискретного подхода через симплициальные комплексы (треугольники Редже), его метод триангуляции пространства-времени стал основой для численного моделирования в ОТО и предвосхитил современные программы квантовой гравитации, включая теорию причинных множеств и спиновые сети.

Редже поставил перед собой дерзкий вопрос: можно ли описать гравитацию вообще без использования координат? Его ответ оказался не просто утвердительным – он открыл целое направление исследований, которое спустя десятилетия стало фундаментом для численной релятивистики и квантовой гравитации.

Эпоха требовала перемен. С одной стороны, развитие вычислительной техники делало актуальными численные методы решения уравнений Эйнштейна. С другой – попытки построить квантовую теорию гравитации настоятельно требовали новых математических инструментов. Традиционный тензорный формализм, при всей своей элегантности, оказывался слишком громоздким для обеих задач.

Работа Редже «General Relativity without Coordinates», опубликованная в Il Nuovo Cimento, предложила радикально новый подход: заменить гладкое искривлённое многообразие на дискретную структуру из плоских кусков – симплексов. Это было не просто техническое упрощение, а фундаментальное переосмысление того, как можно говорить о геометрии пространства-времени.

1. Мотивация Редже

Редже начинает свою статью с ясного программного заявления:

«The theory of Riemannian manifolds can be formulated without the use of co-ordinates, by approximating curved spaces with simplicial complexes.» (Теорию римановых многообразий можно сформулировать без использования координат, аппроксимируя искривленные пространства симплициальными комплексами.)

В этой фразе содержится суть всего его подхода. Традиционная формулировка общей теории относительности оперирует метрическим тензором $g_{\mu\nu}$ , компоненты которого зависят от выбора системы координат. Хотя физические предсказания теории координатно-инвариантны, сам математический аппарат перегружен координатной избыточностью.

Редже видел две проблемы в классическом подходе:

Концептуальная проблема: координаты – это внешняя надстройка над геометрией. Они не имеют прямого физического смысла, их бесконечно много, и они часто скрывают истинную геометрическую природу явлений. Не лучше ли говорить напрямую о том, что действительно измеримо: о длинах, углах, площадях?
Практическая проблема: для численных расчётов (например, моделирования столкновения чёрных дыр или гравитационных волн) координатный подход создаёт серьёзные вычислительные сложности. Дифференциальные уравнения в частных производных требуют выбора координатной сетки, работы с сингулярностями координат, согласования калибровок.

Редже предложил изящное решение: вся информация о метрических свойствах пространства может быть закодирована в длинах рёбер симплициального комплекса. Не нужны функции $g_{\mu\nu}$ , не нужны символы Кристоффеля – только конечный набор чисел $l_{ij}$ , описывающих длины отрезков между базовыми точками.

Но Редже шёл дальше чисто технических соображений. Он указывал на ещё одно важное преимущество:

«Among the advantages of this procedure we may list the possibility of condensing into a simplified model the essential features of topologies like Wheeler's wormhole and a deeper geometrical insight.» (К преимуществам этой процедуры можно отнести возможность сжатого изложения в упрощенной модели основных черт топологий, таких как червоточина Уиллера, и более глубокое геометрическое понимание.)

Симплициальный подход естественным образом позволяет работать с экзотическими топологиями – червоточинами Уилера, многосвязными пространствами, – которые трудно описывать в координатах. Можно просто «склеить» симплексы нужным образом, получив желаемую топологическую структуру.

Наконец, Редже делает пророческое замечание:

«The approach could be useful for numerical work.» (Такой подход может быть полезен для численных расчетов.)

Эта скромная фраза оказалась невероятно дальновидной. Сегодня методы, выросшие из идей Редже, лежат в основе всей современной численной релятивистики.

Таким образом, мотивация Редже была троякой:
1. Концептуальная чистота – геометрия без координатной избыточности.

2. Наглядность – прямая связь с измеримыми величинами.

3. Практичность – возможность численных вычислений и работы со сложными топологиями.

2. Симплициальная аппроксимация пространства

Центральная идея Редже состоит в том, чтобы аппроксимировать искривлённое пространство-время кусочно-линейным многообразием – симплициальным комплексом.

Что такое симплекс? Это обобщение понятия треугольника на произвольную размерность:

В 1D – отрезок (две точки).
В 2D – треугольник (три вершины).
В 3D – тетраэдр (четыре вершины).
В 4D – 4-симплекс (пять вершин).

Примеры симплексов разных размерностей
Симплициальный комплекс – это множество симплексов различных размерностей, склеенных друг с другом по определённым правилам (грани одного симплекса должны совпадать с гранями других).

Ключевое наблюдение Редже: геометрия внутри каждого симплекса абсолютно плоская. Евклидова геометрия справедлива локально. Искривление возникает только на стыках – там, где симплексы соединяются друг с другом.

Это аналогично тому, как многогранник аппроксимирует искривлённую поверхность: каждая грань плоская, но из-за углов между гранями возникает кривизна. Редже распространил эту идею на 4-мерное пространство-время.

Пример триангуляции плоской поверхности. В методе Редже пространство-время разбивается на симплексы аналогичным образом, но в 4-мерном случае.

Основные переменные в схеме Редже – это длины рёбер ${l_{ij}}$ . Зная их, можно однозначно восстановить:

Площади граней – через формулу Герона (в 2D) или её обобщения (детерминант Грамма)
Объёмы симплексов – через определитель матрицы Кэли-Менгера.
Углы между гранями – через скалярные произведения нормалей, которые выражаются через длины.

Например, для треугольника с рёбрами площадь по формуле Герона:

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},$

где. Для тетраэдра объём выражается через определитель матрицы расстояний между вершинами.

Таким образом, вся геометрия закодирована в конечном наборе чисел – длин рёбер. Никаких непрерывных функций координат, никаких бесконечномерных степеней свободы. Пространство-время становится дискретной структурой с конечным числом параметров.

Это радикальный концептуальный сдвиг: вместо того чтобы думать о пространстве-времени как о гладком континууме, мы представляем его как комбинаторную структуру – сборку из элементарных кусков, подобно молекулам в кристалле или пикселям на экране.

3. Кривизна через дефицитные углы

Как в дискретной геометрии Редже проявляется кривизна? Ведь внутри каждого симплекса пространство плоское. Ответ: кривизна сосредоточена на элементах коразмерности 2.

Что это означает? В-мерном пространстве элемент коразмерности 2 имеет размерность:

В 2D (поверхность) – это точки (0-мерные).
В 3D – это рёбра (1-мерные).
В 4D – это треугольники (2-мерные).

Именно вокруг этих элементов происходит «излом» геометрии, и именно там локализована кривизна.

Центральное понятие – дефицитный угол (angular defect, или deficit angle) $\delta$ .

Для элемента $\sigma^2$ (треугольника в 4D-комплексе):

$\delta(\sigma^2) = 2\pi - \sum_{\sigma^4 \supset \sigma^2} \theta(\sigma^2, \sigma^4)$

Здесь– двугранный угол между двумя тетраэдральными гранями 4-симплекса $\sigma^4$ , которые сходятся на треугольнике.

Дефицитный угол в 3-х мерном пространстве

Геометрический смысл:

Представьте, что вы обходите вокруг треугольника по всем 4-симплексам, которые его содержат. Сумма двугранных углов должна была бы равняться $2\pi$ , если бы пространство было плоским. Если сумма меньше $2\pi$ , то $\delta>0$ – положительная кривизна (пространство «замыкается с дефицитом угла»). Если больше $2\pi$ , то $\delta<0$ –отрицательная кривизна.

Классическая аналогия: на поверхности сферы (положительная кривизна) сумма углов треугольника больше $\pi$ . На седловой поверхности (отрицательная кривизна) – меньше $\pi$ . В дискретной геометрии тот же эффект проявляется через дефицитный угол.

Редже показал, что в непрерывном пределе дефицитный угол напрямую связан со скалярной кривизной:

$\delta(\sigma^2) \cdot A(\sigma^2) \approx R \sqrt{-g}dV$

где – скалярная кривизна Риччи, – определитель метрики.
Это означает, что произведение площади треугольника на дефицитный угол – дискретный аналог плотности кривизны в данной точке.

4. Действие Редже

Имея понятие дискретной кривизны, Редже смог сформулировать дискретный аналог действия Эйнштейна-Гильберта.

Напомним, в континуальной теории действие записывается как:

$S_{EH} = \frac{1}{16\pi G} \int R \sqrt{-g} \cdot d^4x$

где интеграл берётся по всему пространству-времени, – скалярная кривизна.
Для этой величины Редже предложил дискретизацию:

$I = \sum_{\sigma^2} A(\sigma^2) , \delta(\sigma^2)$

Здесь сумма идёт по всем 2-симплексам (треугольникам) в комплексе. Где

– площадь треугольника,
$\delta(σ^2)$ – дефицитный угол вокруг него.

Это прямой дискретный аналог $∫R\sqrt{-g} d^{4}x$ : вместо интеграла – сумма, вместо элемента объёма $\sqrt{-g}d^{4}x$ – площадь треугольника , вместо кривизны – дефицитный угол .

Почему именно такое действие? Это единственный выбор, который:

1. Имеет правильную размерность (площадь $\times$ безразмерный угол = объём $\times$ кривизна).

2. Локализован на элементах, где сосредоточена кривизна.

3. Даёт правильный континуальный предел.

Редже строго показал, что при измельчении триангуляции (когда длины рёбер стремятся к нулю) его дискретное действие сходится к действию Эйнштейна-Гильберта.

Действие Редже обладает замечательными свойствами:

Оно явно геометрично – зависит только от измеримых величин (длин, площадей, углов).
Оно координатно-инвариантно по построению – координат просто нет.
Оно топологически гибко – можно брать комплексы любой топологии.
Более того, можно добавить космологическую константу и материальные поля:

$I_{total} = \sum_{\sigma^2} A(\sigma^2) \delta(\sigma^2) - \Lambda \sum_{\sigma^4} V(\sigma^4) + S_{matter}$

где – объём 4-симплекса, а $S_{matter}$ – вклад материи (скалярных полей на вершинах, калибровочных полей на рёбрах и т.д.).

5. Уравнения движения

Действие Редже – это не просто красивая конструкция. Из него можно вывести уравнения движения – дискретный аналог уравнений Эйнштейна.

Процедура стандартная: варьируем действие по динамическим переменным. В данном случае – по длинам рёбер :

$\frac{\partial I}{\partial l_j} = 0$

Раскрывая производную:

$I=\sum_{\sigma^2}A(\sigma^2)\cdot\delta(\sigma^2)$

Здесь суммы идут по всем треугольникам, содержащим ребро .

Ключевой технический инструмент – тождество Шлефли (Schläfli identity). Оно утверждает, что для любого симплекса справедливо соотношение между вариациями объёмов и двугранных углов:

$\sum_{\sigma^{n-1}\subset\sigma^n}V(\sigma^{n-1}) d\theta(\sigma^{n-1})=0$

Для 4-симплекса это означает:

$\sum_{\sigma^3 \subset \sigma^4}V(\sigma^3)d\theta(\sigma^3)=0$

где – объём тетраэдральной грани.
Благодаря этому тождеству, при вариации действия Редже многие члены взаимно сокращаются, и остаются только те, которые соответствуют физическим уравнениям движения.
Окончательный результат:

$\sum_{\sigma^2 \supset l_j} \frac{\partial A(\sigma^2)}{\partial l_j} \delta(\sigma^2) = 0$

Это и есть дискретные уравнения Эйнштейна. Они утверждают, что конфигурация длин рёбер минимизирует действие тогда и только тогда, когда выполняется определённое балансовое соотношение между площадями и дефицитными углами.

В непрерывном пределе эти дискретные уравнения переходят в:

$G_{\mu\nu}=0$

то есть в вакуумные уравнения Эйнштейна (при отсутствии материи).

Философски это глубокий результат: геометрия пространства-времени определяется минимизацией чисто геометрического действия. Никаких внешних принципов – только внутренняя согласованность дискретной структуры.

6. Непрерывный предел

Критически важный вопрос: действительно ли схема Редже воспроизводит общую теорию относительности при стремлении к континууму?

Редже строго доказал, что ответ – да. При измельчении триангуляции (когда характерная длина рёбер $\varepsilon\to0$ ):

$I_{Regge} \xrightarrow{\varepsilon \to 0} \frac{1}{16\pi G} \int {R \sqrt{-g}\cdot d^4x}$

Доказательство основано на разложении дефицитного угла по степеням $\epsilon$ . Оказывается, в ведущем порядке:

$\delta(\sigma^2) \sim \varepsilon^2 \cdot R + O(\varepsilon^4)$

где – скалярная кривизна в точке, соответствующей . Площадь треугольника масштабируется как $A(σ^2)\sim\varepsilon ^2$ . Поэтому произведение $A·δ\sim \varepsilon^4$ – что и есть элемент 4-объёма, умноженный на кривизну.

$\sum A(\sigma^2) \delta(\sigma^2) \approx \sum \varepsilon^4 \cdot R \to \int R \sqrt{-g} \cdot d^4x$

при $\varepsilon\to0$ переходит в интеграл.

Это означает, что схема Редже – корректная дискретизация общей теории относительности. Она не вносит принципиальных искажений, а лишь аппроксимирует континуальную теорию с точностью .

Более того, при подходящем выборе триангуляции (адаптивном измельчении в областях большой кривизны) можно достичь высокой точности даже на относительно грубых сетках.
Это открыло дорогу для численных расчётов в общей теории относительности: эволюции чёрных дыр, гравитационных волн, космологических моделей. Сегодня прямые потомки метода Редже используются в кодах численной релятивистики.

7. Наследие и развитие идей

Статья Редже 1961 года оказалась семенем, из которого выросло целое дерево идей и направлений.

Численная релятивистика: Уже в 1970-80-е годы методы на основе симплициальных сеток начали применяться для компьютерного моделирования гравитационных систем. Сегодня численное решение уравнений Эйнштейна – огромная область, и детектирование гравитационных волн LIGO/Virgo было бы невозможно без предсказаний, полученных численно.

Квантовая гравитация: Идеи Редже вдохновили несколько подходов к квантованию гравитации:

Динамические триангуляции (DT) и каузальные динамические триангуляции (CDT): пространство-время представляется как ансамбль случайных триангуляций, по которым проводится сумма в духе интеграла по траекториям Фейнмана. Действие – Редже-подобное. Оказалось, что при правильных ограничениях (сохранение каузальной структуры) возникают фазы, напоминающие классическое пространство-время.
Спиновые сети и спиновые пены: В петлевой квантовой гравитации (LQG) геометрия кодируется не длинами рёбер, а квантовыми спинами на рёбрах и гранях. Это алгебраический аналог симплициальных комплексов. Амплитуды переходов (спиновые пены) – прямые потомки идей Редже о дискретной геометрии.
Теория групповых полей (GFT): Ещё более абстрактная формулировка, где квантовые состояния – это «атомы пространства-времени», а взаимодействия между ними описываются полевой теорией на группе. GFT можно рассматривать как «вторичное квантование» спиновых сетей.

Философски все эти подходы объединяет идея дискретности: пространство-время на планковских масштабах не является гладким континуумом, а имеет атомарную структуру. Редже первым показал, как математически работать с такими структурами.

Топология и геометрия: Метод Редже оказался плодотворным в чистой математике – для изучения топологических инвариантов, вычисления объёмов гиперболических многообразий, построения дискретных аналогов дифференциальной геометрии.

Концептуальный сдвиг: Возможно, главное наследие Редже – это изменение нашего взгляда на природу пространства-времени. Вместо «поля на фоновом многообразии» мы начинаем думать о пространстве как о комбинаторной структуре, которая сама является динамической системой. Это ближе к идее Уилера о «пространстве-времени как пене» (spacetime foam) на квантовых масштабах.

Работа Редже показала, что «сборка из кирпичиков» может воспроизвести всю сложность эйнштейновской гравитации. Это открыло возможность того, что на фундаментальном уровне природа действительно дискретна, а континуум – лишь приближение, подобно тому, как жидкость кажется непрерывной, хотя состоит из молекул.

8. Парадокс квантования: почему классический успех не гарантирует квантовую теорию?

Здесь возникает естественный и глубокий вопрос: если Редже уже в 1961 году построил корректную дискретизацию общей теории относительности, которая точно воспроизводит классическую ОТО в непрерывном пределе, – почему до сих пор нет квантовой теории гравитации? Казалось бы, возьми его действие, примени стандартные методы квантования (интеграл по траекториям Фейнмана), и готово!

Реальность оказалась гораздо сложнее. Проблемы начинаются именно при переходе от классики к кванту.

Классика работает, квант – нет

В классической теории всё элегантно:

При измельчении триангуляции (ε → 0) действие Редже сходится к действию Эйнштейна.
Уравнения движения переходят в уравнения Эйнштейна.
Непрерывный предел контролируем и предсказуем.

Но в квантовой теории мы должны вычислять амплитуды перехода через интеграл по траекториям:

$Z = \sum_{\text{all triangulations}} \sum_{{l_{ij}}} e^{iI_{Regge}[{l}]}$

Здесь сразу возникает целый букет проблем:

1. Проблема меры: как правильно суммировать?

В континуальной теории квантовой гравитации мы формально записываем интеграл по траекториям:

$Z=\int Dg_{\mu\nu} e^{iS[g_{\mu\nu}]}$

где $Dg_{\mu\nu}$ обозначает функциональную меру — интегрирование по всем возможным метрикам пространства-времени, а $S[g_{\mu\nu}]$ — действие Эйнштейна-Гильберта. В дискретной версии Редже возникает аналогичная проблема:

По каким именно триангуляциям суммировать? По всем? По классу эквивалентности?
Какой «вес» приписывать каждой триангуляции?
Как учитывать симметрии комплекса?

Без правильного ответа на эти вопросы сумма либо расходится, либо даёт бессмысленный результат.

2. Флуктуации топологии

В классике мы фиксируем топологию пространства-времени (скажем, $\mathbb{R}^{4}$ или $\mathbb{S}^{3}\times\mathbb{R}$ ). В квантовой теории естественно ожидать суммирования по топологиям – пространство-время может испытывать квантовые флуктуации между разными топологическими состояниями (идея «пространственно-временной пены» Уиллера).
В результате возникает топологическая неопределённость: мы не знаем, что именно квантуется.

Но как это делать? Каждая топология даёт свой вклад в амплитуду – и неясно:
Нужно ли суммировать по всем топологиям?
С какими весами?
Как контролировать эту сумму?

3. Расходимости и перенормировка

Даже в простейших моделях (например, 2D квантовая гравитация) сумма по дискретным геометриям содержит ультрафиолетовые и инфракрасные расходимости:

УФ-расходимости: когда появляются очень мелкие симплексы ( $\varepsilon \to 0$ ), вклады растут.
ИК-расходимости: когда симплексов становится бесконечно много, сумма расходится.

В обычной квантовой теории поля мы знаем, как бороться с расходимостями – через перенормировку. Но для гравитации стандартная перенормировка не работает (гравитация неперенормируема в континууме).

В дискретной версии расходимости остаются, и непонятно, как брать непрерывный предел так, чтобы получить конечную, предсказательную квантовую теорию.

4. Проблема времени

В общей теории относительности нет выделенного «времени» – это часть динамической геометрии. В квантовой механике время – параметр эволюции. Как совместить?
В схеме Редже эта проблема проявляется так:

Классически мы варьируем действие и получаем уравнения на геометрию.
В квантовой теории мы должны описать «эволюцию геометрии» – но относительно чего?

Это центральная проблема времени в квантовой гравитации, и дискретизация Редже её не решает автоматически.

5. Несогласованность с другими взаимодействиями

Стандартная модель физики элементарных частиц – это квантовая теория поля на фиксированном фоновом пространстве-времени. В подходе Редже пространство-время само квантуется – нет фона.

Как тогда формулировать квантовую электродинамику, хромодинамику, слабые взаимодействия? Нужна принципиально новая формулировка материи на флуктуирующей квантовой геометрии. Это нетривиально.

Попытки решения: от CDT до спиновых пен

Именно из-за этих проблем возникли модифицированные подходы:

Каузальные динамические триангуляции (CDT): Ограничивают класс триангуляций теми, которые уважают каузальную структуру (есть выделенное «слоение» на пространственные слайсы). Это частично решает проблему меры и даёт более контролируемые результаты. В CDT удалось найти фазу с правильной размерностью пространства-времени!

Спиновые сети и пены: Вместо длин рёбер используются квантовые числа – спины на рёбрах и гранях. Это даёт естественную меру (сумма по спинам), автоматически квантованные площади и объёмы, и обходит некоторые проблемы континуума. Но возникают свои сложности: как восстановить классическую геометрию из квантовых спинов?

Теория групповых полей (GFT): Ещё более абстрактная формулировка, где «атомы пространства-времени» описываются полевой теорией. GFT пытается решить проблему меры через полевые методы (перенормировка, фазовые переходы).

9. Философский вывод: классика ≠ квант

Парадокс Редже учит нас важному уроку: корректная классическая дискретизация не гарантирует корректную квантовую теорию.

Квантование – это не просто «взять классическое действие и проинтегрировать». Это фундаментальная переформулировка теории, где появляются:

Принцип суперпозиции
Амплитуды и интерференция
Операторные наблюдаемые
Измерения и вероятности

Для гравитации, где само пространство-время квантуется, эти вопросы становятся особенно острыми. Мы теряем фоновую структуру, на которой привыкли строить квантовую механику.

Редже дал нам идеальный классический каркас. Но чтобы построить на нём квантовую теорию, понадобилось ещё 60+ лет работы – и мы до сих пор не закончили. Возможно, нужны радикально новые идеи о квантовой реальности самой по себе, или о том, как квантовые и геометрические принципы связаны на фундаментальном уровне.

В этом смысле путь от Редже к квантовой гравитации – это путь от вопроса к ещё более глубоким вопросам.

10. Заключение

В 1961 году Туллио Редже совершил три концептуальных хода, которые изменили ландшафт теоретической физики:

1. Метрика $\to$ длины рёбер: Заменил непрерывную метрику $g_{\mu\nu}$ на дискретный набор длин $l_{j}$ , закодировав всю геометрическую информацию в конечном числе параметров.

2. Кривизна $\to$ дефицитные углы: Показал, что в кусочно-линейной геометрии кривизна локализуется на элементах коразмерности 2 и измеряется дефицитным углом

$δ = 2π-∑_i{θ_i}.$

3. Действие Эйнштейна $\to$ сумма по площадям и углам: Построил дискретное действие $I =∑_k{A_k·δ_k}$ , которое непрерывном пределе точно воспроизводит действие Эйнштейна-Гильберта.

Эти три шага составили «нулевой этаж» для всей последующей дискретной и квантовой гравитации. Динамические триангуляции, спиновые пены, теория групповых полей – все они стоят на фундаменте, заложенном Редже.

Что же предлагал Редже? Он предложил новый язык для гравитации: язык симплексов вместо координат, углов вместо тензоров, комбинаторики вместо анализа. Этот язык оказался не просто технически удобным – он открыл путь к пониманию того, что пространство-время может быть фундаментально дискретным, составленным из элементарных квантов геометрии.

Сегодня, спустя более шестидесяти лет, работа Редже остаётся источником вдохновения. В эпоху, когда мы детектируем гравитационные волны и строим квантовые теории гравитации, его идеи звучат актуальнее, чем когда-либо.

Редже показал, что можно думать о пространстве-времени как о мозаике, где каждый кусочек – плоский симплекс, а искривление возникает лишь на стыках. Эта картина, простая и наглядная, содержит в себе всю глубину общей теории относительности – и, возможно, ключ к её квантовому обобщению.

В конечном счёте, ответ Редже на вопрос «Можно ли описать гравитацию без координат?» был не просто «да» – он показал, что без координат гравитация становится яснее, ближе к своей геометрической сути, готовой к квантовым обобщениям и численным расчётам.

Общая теория относительности без координат – это не ослабление теории Эйнштейна, а её очищение до самой сердцевины: до чистой геометрии длин, углов и площадей. И в этой чистоте – красота и сила идей Туллио Редже.