Российский царь Петр 1 за очень короткий срок правления кардинально изменил Россию. В том числе в надежде создать новый интеллектуальный центр он основал Академию наук в только что созданном им городе Санкт-Петербург. В Академию были приглашены видные европейские ученые, среди которых были гениальные швейцарцы Эйлер и два представителя семьи Бернулли.
Плодами работы Эйлера мы начали пользоваться еще в школе. Многие помнят про «число Эйлера» 2,7, вторую по известности константу после «числа Пи». Или обозначение функции f(x), тоже введенную в обиход Эйлером.
Однако речь пойдет о Данииле Бернулли. В 1738 г. он опубликовал влиятельную статью, названную «Изложение новой теории измерения риска» (Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk), в которой описал так называемый Санкт-Петербургский парадокс. Статья стала одним из наиболее значительных из когда-либо написанных текстов по проблемам как риска, так и человеческого поведения при принятии решений вообще.
Но прежде чем разобраться, что такое Санкт-Петербургский парадокс, пусть каждый для себя решит на какую кнопку он нажмет:
С одной стороны, математически выбор зеленой кнопки выгоднее – математическое ожидание выигрыша в случае выбора зеленой кнопки выше в 5 раз (10 млн*0,5 > 1 млн* 1).
С другой стороны, как показывают опросы, большинство людей выбрали бы красную кнопку, потому что хотят избежать риска «возврата к нулю», связанного с зеленой кнопкой. Просто потому, что их страх потерять все (или не получить ничего) сильнее, чем желание получить больший, но негарантированный выигрыш.
Над похожей задачкой задумался и Бернулли, который предположил, что расчет ожидаемой ценности с помощью математического ожидания может быть недостаточным для описания процесса принятия решений в реальной жизни. Потому что оно учитывает только факты и игнорирует поведение человека при принятии решений в условиях неопределенности. Бернулли полагал, что, хотя факты и одинаковы для всех, полезность в каждом отдельном случае зависит от личности, делающей оценку. И нет оснований предполагать, что риск, воспринимаемый каждым по-своему, может оцениваться одинаково.
Бернулли предложил игру. Вступая в нее, вы платите некоторую сумму за участие, а затем подбрасываете монету, пока не выпадет орёл. При выпадении орла вы получаете $2 и игра заканчивается. Если же решка, монету снова подбрасываете. Если при втором броске выпадет орел, вы получаете $4, если решка — игра продолжается. Для каждого следующего круга приз за орла удваивается в два раза (то есть $2, $4, $8, $16 и т. д.), вы переходите на следующий круг, пока не выпадет орел.
Нужно определить, какой размер вступительного взноса за участие в игре делает такую игру справедливой или приемлемой для игрока. Говоря проще, надо найти математическое ожидание выигрыша игрока. Парадокс заключается в том, что вычисленное значение этого справедливого взноса равно бесконечности, то есть выше любого возможного выигрыша. Иными словами, суть парадокса: индивиды готовы заплатить относительно небольшую сумму денег (в среднем называют 20-30 долл.) за участие в игре, в которой математическое ожидание выигрыша бесконечно велико.
Посмотрите сами, каждый круг приносит ожидаемый выигрыш в $1, а сам ряд выглядит следующим образом: $2×1/2+$4×1/4+$8×1/8 и т.д. до бесконечности. Следовательно, математическое ожидание выигрыша игрок�� = $1 + $1 + $1 + $1… = ∞.
Бернулли предположил, что в повседневной жизни индивиды стремятся не к математической максимизации возможного денежного выигрыша, а скорее максимизации ожидаемой полезности или степень удовлетворения. Ожидаемая полезность вычисляется с использованием тех же методов, что и математическое ожидание, но оценивается с учетом весомости фактора полезности.
Представим, что ваш должник вместо того, чтобы вернуть вам 1 млн руб., предлагает бросить монету. Если вы выиграете, то получите не 1, а 2 млн руб., но, если проиграете – не получите ничего, т.е. теряете свой 1 млн руб. Математическое ожидание в этом случае составит: 0,5*1 + 0,5*(–1) = 0.
Рассмотрим другой пример, предположим, что у вас есть 100 долл. Вы можете сыграть в рулетку и поставить «на красное» 50 долл. В случае выигрыша у вас будет 150 долл.: 50 долл., которые вы не ставили, плюс 50 долл.*2 – ваш выигрыш. Таким образом, вы увеличите свое первоначальное богатство, равное 100 долл., на 50 долл. В случае проигрыша у вас останется всего 50 долл., т.е. вы уменьшите свое первоначальное богатство на 50 долл. Математическое ожидание выигрыша в денежном выражении составит: 0,5* 50 + 0,5 * (–50) = 0.
Математическое ожидание в представленных играх равно нулю – не имеет значения играть или не играть. Однако большинство все-таки отказываются от участия в таких играх. Практика показывает, что в основной своей массе люди не склонны к рисковой деятельности. Такое поведение обычно объясняется, помимо особенностей человеческой психики, чисто экономической причиной, а именно: действием закона убывающей предельно�� полезности.
На рисунке ниже дается объяснение этому. Предельная полезность, как видно из графика общей полезности, убывает, и поэтому в условных единицах полезности ожидаемая полезность описанных выше игр будет иметь не нулевое, а отрицательное значение. Для примера на рисунке это выглядит так: 0,5*(–2) + 0,5*1 = –0,5.
В случае проигрыша ваши убытки будут в условных единицах полезности больше, чем ваше приобретение в случае выигрыша. Таким образом, в категориях полезности ситуация выглядит иначе, чем в денежном исчислении через математическое ожидание в наших примерах выше, и вы не будете склонны рисковать. Именно к этому и призывал Бернулли – различать математическое ожидание денежной суммы выигрыша и ее ожидаемую полезность. Выражаясь более простым языком, можно сказать, что, конечно, нам доставит радость получить больше того, что мы имеем, но для нас гораздо ощутимее будет потеря того, к чему мы уже привыкли. В поведенческой экономике данный феномен получил название Эффекта владения. Эффект владения заключается в том, что люди гораздо выше оценивают то, чем они владеют чем то, что пока им не принадлежит.
Один из создателей поведенческой экономики Амос Тверски как-то сказал про Закон убывания предельной полезности: «Чем больше у кого-то денег, тем меньше он ценит каждое дополнительное приращение. Или полезность любого дополнительного доллара уменьшается с увеличением капитала.»
То есть мы ценим вторую полученную нами тысячу меньше, чем первую, третью меньше, чем вторую и т.д.
Возвращаясь к Санкт-Петербургскому парадоксу, можно теперь сказать, что индивиды, отказываясь от игры в подбрасывание монеты, несмотря на бесконечно большое значение математического ожидания, руководствуются, согласно гипотезе Бернулли, прежде всего ожидаемой полезностью выигрыша. А предельная полезность дохода с каждым его приростом снижается.
Бернулли также показал, что люди оценивают один и тот же риск по-разному. Он попробовал объяснить этот парадокс предельной полезностью денег, в рамках которой польза от приращения богатства обратно пропорциональна первоначальному богатству. То есть процесс вычисления вероятностей Бернулли превратил в процедуру подключения субъективных соображений к процессу принятия решений в ситуациях с неопределенными исходами.
Впервые в истории Бернулли применил измерение к чему-то, чего нельзя сосчитать. Он соединил интуицию с измерением. Кардано, Паскаль и Ферма создали теорию вероятности и метод математического вычисления риска при бросании костей, но Бернулли подвел нас к рискующему человеку, к игроку, решающему сколько поставить и ставить ли вообще. Если теория вероятностей рационализирует выбор, то Бернулли определяет мотивацию личности, которая делает выбор. Фактически он указал на новый предмет изучения и заложил интеллектуальные основы того, что позднее нашло применение не только в экономической теории, но и в общей теории принятия решений в разных жизненных ситуациях.
Понятие полезности оказалась столь продуктивным, что в последующие двести лет превратилось в основной инструмент объяснения процесса принятия решения и теории выбора. К примеру, в Теории игр, изобретенном в середине 20 века Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном подходе к системному принятию решений в войне, политике и бизнесе и др. областях. В Теории игр они показали, что в условиях неполной информации рациональным выбором индивида будет выбор с максимальной ожидаемой полезностью.
Даниила Бернулли можно также считать и основоположником Поведенческой экономики и финансов, появившихся через два с лишним века после его смерти в 1970-х на стыке традиционных финансов и психологии. Психологи Канеман и Тверски начали изучать особенности мышления и поведения людей, принимающих решения в условиях неопределенности. Они доказали, что на человеческие мышление и действия влияют, так называемые, когнитивные и эмоциональные искажения, которые мешают нам принимать оптимальные рациональные решения и ведут к ошибкам. Эти искажения, которые принято объединять под названием «поведенческие искажения», подчинены определенным закономерностям, которые на сегодня выявлены и хорошо экспериментально обоснованы исследователями.
В своих исследованиях Канеман и Тверски установили, человек принимает во внимание не только финансовые последствия, но и эмоциональные. Оказалось, что на принятие решений в том числе влияет предчувствие сожалений, вместе с ожиданием других последствий. Принимая решение, человек стремится не максимизировать полезность, а минимизировать сожаления. Так ими была сформулирована Теория сожаления.
Одно из правил Теории гласит: чем ближе вы подходите к достижению цели, тем большее сожаление испытываете, если достичь ее не удастся. Второе правило: сожаление тесно связано с чувством ответственности. Чем лучше вы можете контролировать исход ситуации, тем большее сожаление испытываете, если ситуация складывается неудачно.
И если возвратиться к началу поста, к вопросу о выборе красной и зеленой кнопки, то Теория сожаления объясняет выбор красной кнопки. Выбирая гарантированный 1 млн долл., люди стараются минимизировать сожаления, в обмен на отказ от ставки с более высокой ожидаемой полезностью.
Также большинство людей, к примеру, поступает после роста акций из их портфеля на 100 или 200%. Нам эмоционально легче зафиксировать прибыль, чем продолжать владеть перспективной акцией. Так было и с владельцами акций Amazon или той же Nvidia и многих других компаний, которые продали акции несколько лет назад после сильного роста.
Такова цена, которую люди платят, чтобы избежать сожаления.
С праздниками! заходите на тг канал https://t.me/TradPhronesis
Комментарии (101)
materiatura
10.01.2026 19:52В этой игре, называемой Петербургским парадоксом, у ожидаемого выигрыша нет конечного математического ожидания. В современном понимании его просто не существует. Тем не менее Феллер предложил его решение и оно, хоть и не применимо для практики, безупречно математически - взнос не фиксированный, а зависит от количества проведенных бросков монеты.
st---v
10.01.2026 19:52"Бернулли предложил игру............ вы получаете $2"
режет ухо. Бернулли не мог предложить игру на доллары, т.к. он умер за десять лет до появления данной денежной единицы.
bear11
10.01.2026 19:52Тут как раз был бы кстати символ знака абстрактной валюты ¤,
который изображался вместо доллара на советских терминалах ЭВМ.
GidraVydra
10.01.2026 19:52Слово "доллар" применяли для обозначения различных денежных единиц ещё до рождения Бернулли. Например, доллары упоминались в "Макбете".
rublcarson
10.01.2026 19:52Там везде талеры.
Впрочем, Ньютон в русском языке тоже Невтоном был аж до середины прошлого века.
konst90
10.01.2026 19:52Он хотя бы Исаак, а вот Азимов вообще как-то в Айзека превратился
Darkness_Paladin
10.01.2026 19:52Есть такой обычай — русская транскрипция имён собственных закрепляется по правилам транскрипции, действующим в момент вхождения в обиход. Иеремия Бентам и Джереми Кларксон — тёзки, но правила транскрибирования сильно изменились. Доктор Ватсон и Эмма Уотсон — однофамильцы, но опять же, правила изменились.
funca
10.01.2026 19:52Правила транскрипции имен это современная бюрократия. Имена инностранцев часто поросто адаптировались под местные традиции. Даниил Бернулли в оригинале Daniel, а его брат Николай был Nicolaus.
konst90
10.01.2026 19:52Самое забавное в случае Азимова, что при рождении в (Смоленской Губернии) он таки был записан как Исаак, потом уехал в США (где стал Isaac), а при обратном переводе стал Айзек.
dmiitriiy
10.01.2026 19:52С нынешним британским монархом та же история. Когда юный принц Чарльз всё-таки стал королём, в российской транскрипции он стал называться Карлом, так как у нас до сих пор принято королей называть на немецкий манер.
nicknamenull
10.01.2026 19:52Вам показывают математическую модель, где валюта - это просто
var currency, условная переменная, не влияющая на результат рассуждений. Но нет, местный кружок юных краеведов не может пройти мимо. Одному "режет ухо", у второго флешбеки с советских ЭВМ, третий вообще Шекспира приплел.Бернулли умер до появления доллара, да. Но если бы он увидел, что потомки вместо обсуждения парадокса матожидания со всей серьёзностью выясняют этимологию талеров в "Макбете", он бы умер второй раз, от испанского стыда за вашу мелочность
Darkness_Paladin
10.01.2026 19:52Очень даже влияющая! Если речь о долларах США, я нажму красную кнопку и заберу миллион. Если речь о долларах Зимбабвы, я обругаю "организатора игры" нехорошим словом, развернусь и уйду, не тронув кнопок -- 10М зимбабвийских фантиков не стоят ничего, на них даже одну спичку не купишь.
nicknamenull
10.01.2026 19:52Не могли бы вы провести сравнительный анализ валют 18 века, чтобы помочь установить истину, что же там на самом деле мог написать Бернулли? Или, хотя бы, провести сравнительный анализ валют современности, чтобы найти такие, при которых задача не теряет смысла?
funca
10.01.2026 19:52Однако, наблюдение с локализацией валюты интересное. В русскоязычной вики, посвященной парадоксу, считают дукаты, в английский - доллары, в польской - злотые, а в немецкой или испанской версиях вообще евро. Украинцы сохраняют нейтралитет, говоря просто о некой сумме.
nicknamenull
10.01.2026 19:52Класс. Спасибо вам за вашу исследовательскую деятельность, это очень ценно для дискуссии.
sanalex76
10.01.2026 19:52Португальские экшуду так же обозначались. А в Кабо Верде до сих пор обозначаются.
Та же ситуация с Песо: Испания перешла на евро, а Латинская Америка до сих пор использует.
Если не ошибаюсь, сам знак как раз и возник из объединения двух букв "Р" и "S".
MountainGoat
10.01.2026 19:52¤ Ну набирается он на клавиатуре не как объединение P и S, как объединение O и Х увы. На P и S не назначено вообще ничего.
sanalex76
10.01.2026 19:52Я имел в виду этот знак: $
Знак возник очень задолго до появления самого понятия клавиатура.
OlegMax
10.01.2026 19:52статью, названную «Изложение новой теории измерения риска» (Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk)
Мне режет глаз, что название статьи зачем-то приведено на английском, хотя очевидно, что международным языком науки тогда был французский, на крайний случай немецкий
sic
10.01.2026 19:52И все же тема, почему этот парадокс называется Санкт-Петербургским раскрыта недостаточно, может есть какой-то лор?
А вообще парадокс с монеткой становится интереснее со стороны "казино". Допустим казино берет как взнос 1024 рубля, и у нас играет 1024 человека. Бюджет 2^20. Вероятность того, что хотя бы один игрок выбъет весь бюджет казино, подкинув 19 решек подряд 1 - (1 - 2^(-19))^1024 ~= 0.195%
Есть еще сценарий где два игрока выбивают по 2^19, но лень точно считать, интуитивно это на порядок меньшая вероятность, чем один, выбивший 2^20 и ей можно просто пренебречь, а во всех остальных случаях казино будет в плюсе.
Вот это как парадокс меня еще больше впечатляет. То есть при этих конкретных вводных, шанс для казино не заработать денег всего 0.2%
Если еще посчитать матожидание его выигрыша
(что уже немного тяжело стало под вечер, а чатик тупит),да нет, оно минус бесконечность, то я думаю можно на ровном месте еще раз удивиться.Но! Если отмести исходы, когда игрок более 399 раз подряд выбрасывает решку, как физически невозможные, тут спасибо чатик напомнил:
В физике условно невероятными (и потому игнорируемыми) считаются события с вероятностью меньше примерно 10^−120 — предела, связанного с максимальным числом квантовых операций во Вселенной.
То все прекрасно с матожиданием выигрыша казино, оно будет аж 638 976 рублей.
P.S. Ну да, и не казино, а игорный дом, конечно.
mayorovp
10.01.2026 19:52Нельзя так считать вероятности, и матожидания тоже. Если матожидание выигрыша игрока бесконечно, то для казино это бесконечный проигрыш.
sic
10.01.2026 19:52Теоретически да, но я специально добавил абзац про то, что считать выкидывание 399 решек подряд можно физически невозможным. А тогда никакого бесконечного матожидания выигрыша для игроков нет.
Вот история (в основном что бы самому разобраться, хотелось без квантовых операций, а бытовухой):
Скрытый текст
В Тома, прямо на его 17-ый день рождения, попадает молния, однако его не убивает, а ровно через 2 минуты его подхватывает торнадо, в которое так же попадает машина человека, который первый раз приехал в страну на отпуск, доверху наполненная лотерейными билетами (деньги на отпуск и билеты он получил в свою очередь из-за того, что месяцем ранее его сын сам сорвал джекпот в той же лотерее); Том на высоте 30 метров хватает первый попавшийся билет, и он тоже оказывается джекпотом! Торнадо очень быстро заканчивается, Том падает на землю вообще невредимым, но тут же прилетает метеорит весом более 10 кг неподалёку, и ударной волной сбивает Тома, он роняет лотерейный билет, который тут же уносит ветром (скорее ударной волной) в направлении горящей бензоколонки — билет сгорает в полете без остатка. (изначально я надеялся, что уже этого хватит, но как же я был не прав)
Примечательный факт 1: хоть и в округе 2км от места происшествия живет более 15000 человек, никто не был свидетелем этой истории, так что рассказам Тома с тех пор никто не поверил никогда.
Примечательный факт 2: этот (впоследствии известно) выигрышный билет был напечатан на станке, который сломался сразу же после этого. Станок повторил печать последнего билета после починки по ошибке в софте, и этот билет как трофей забрал мастер-наладчик. Но ровно в ту же секунду, как сгорал билет Тома, мастер ехал домой и в его машину врезалась грузовая фура. Машина загорелась, и в ней сгорело практически все. Но билет-двойник в нагрудном кармане мастера все же уцелел (но не сам мастер, увы).
Примечательный факт 3: бенозоколонка загорелась вовсе не от погодных явлений (они как-то обошли ее стороной), а из-за того, что не пьющий вот уже 40 лет, заправщик сорвался именно в этот день, и напился в стельку и закурил у колонки, для взрыва хватило первой сигареты.
Признаться, я не ожидал сам насколько 2^-399 малая вероятность, еще куда ниже, чем я предполагал изначально, поэтому этот нарратив кажется попросту абсурдом, хотя, когда начинал, думал смешно получится. Еле-еле добил до примерно нужной вероятности дополнительными деталями, и все равно, прогнав в разных LLM-ках получаю ответ близкий к нужной вероятности, только если "пальцем тыкать" в то, где они пропускают события с низкой вероятностью, или сильно завышают их вероятность.
gaussssss
10.01.2026 19:52Интересно что в статье ни слова нет о том, что все эти мат ожидания верны для больших чисел, а ставя конкретную ставку человек не обладает возможностями повторять её многократно в случае проигрыша.
И сожаления с когнитивными искажениями тут ни при чем. Разве что вера в собственную удачу.
Femistoklov
10.01.2026 19:52Для двух кнопок да, но в описанной игре Бернулли (видать, умный был чел) этой проблемы нет - можно хоть сколько угодно раз играть, и всё равно очевидно, что разумный вступительный взнос не просто "меньше бесконечности", но и вообще нет смысла много платить за неё.
Статье плюс: полезная инфа, которой раньше я почему-то не знал. Думал, что при принятии решений всегда стоит руководствоваться мат. ожиданием.
Маленько поразмыслил и понял: завуалированная суть парадокса в том, что мы добавляем "чёрного лебедя" с колоссальным выигрышем. Это задирает мат. ожидание, но по факту никакой реальной пользы не приносит. Получается, на практике надо отсекать (игнорировать, уменьшать) значения на слишком длинных хвостах, т.к. простое умножение там не очень подходит.
Zoolander
10.01.2026 19:52Да, тут все рассуждения про поведение - чушь. Люди поступают абсолютно рационально, минимизируя черного лебедя.
Возможно, для обеспеченного математика, которого приглашает император, это его кажется странным, но большинству людей нужны гарантированные деньги. Тот, у кого уже есть гарантированное обеспечение, может позволить себе поиграть в лрел решку.
Поэтому для академиков это парадокс, а для хотя бы аспиранта матфака - это самое железное и логичное решение.
konst90
10.01.2026 19:52Самый простой пример подобной игры, в которую играют миллионы людей - страховка. Только там игра с другим знаком: вы можете гарантированно проиграть сто тысяч (купив страховку), а можете с вероятностью 1% проиграть двадцать миллионов (не купив).
И вот на больших числах может быть выгодно страховку не покупать, а если квартира одна - лучше всё-таки купить.
nin-jin
10.01.2026 19:52А потом все равно потерять квартиру из-за «не страхового случая».
xSVPx
10.01.2026 19:52Или нет. Качество страховки отдельная песТня.
Я не страхую почтовые отправления. Хотя отсылаю их сотнями в год. Иногда что-то теряют. Но стоимость страховки за год гораздо больше стоимости потерянного за год. И иначе это никогда работать не будет, страховой тожеж жрать надо :).
Ну и с учетом отсутствия необходимости разбираться со страховой при потере еще и нервы экономятся.
И да, одну квартиру яб застраховал. Ну т.е. от суммы премии конечно зависит.
nin-jin
10.01.2026 19:52Лучше быть самому себе страховщиком и самому на себе зарабатывать. Тогда через 10 лет будет не менее 1 квартиры с учетом любых форс мажоров.
BugM
10.01.2026 19:52Это так не работает. Страховые случаи с квартирой происходят явно реже раза в 10 лет. И стоимость страховки явно меньше 10 процентов от того что страховая выплатит в случае чего.
xSVPx
10.01.2026 19:52Это где страховая премия на квартиру в 10% за год ?
Вы можете сами себе страховать квартиру если это скажем 1% вашего имущества. Ну т.е. если у вас есть денег на сто квартир. А иначе увы не получится.
konst90
10.01.2026 19:52Я не страхую почтовые отправления. Хотя отсылаю их сотнями в год
Так вы их не страхуете именно потому, что отсылаете их сотнями в год. На вас уже работает закон больших чисел (вы сами себе страховая получаетесь).
А вот если я отправляю одну очень ценную посылку в год, то страховать её уже есть смысл.
celen
10.01.2026 19:52Да, в статье плохо раскрыты математические аспекты происходящего.
Я думал раскрыть их здесь комментарием, но в итоге написал более полную с математической точки зрения статью: https://habr.com/ru/articles/984276/
D_T
10.01.2026 19:52Таким образом, вы увеличите свое первоначальное богатство, равное 100 долл., на 50 долл. В случае проигрыша у вас останется всего 50 долл., т.е. вы уменьшите свое первоначальное богатство на 50 долл. Математическое ожидание выигрыша в денежном выражении составит: 0,5* 50 + 0,5 * (–50) = 0.
Тут не учитывается случай когда эти 100 последние, т.е. потеряв 50 вернуть их становится вдвое сложнее делая ставки половиной остатка.
Zoolander
10.01.2026 19:52для академиков это парадокс, а для хотя бы аспиранта матфака - это самое железное и логичное решение
Потому что нужны деньги гарантированно.
VAF34
10.01.2026 19:52Хотелось бы понять: кривые полезности рассчитываются или это просто иллюстрация наших размышлений.
StjarnornasFred
10.01.2026 19:52Мне кажется, рассчитываются. Например, по логарифмической шкале или как-то схоже. Вариант - как отношение к существующему "достатку". Например, если у вас есть 1000 рублей и вам дают ещё 1000, то полезность этого составляет 1 единицу. А если у вас есть миллион, то от тысячи вам ни жарко ни холодно (1/1000000 единицы полезности).
Darkness_Paladin
10.01.2026 19:52В общем случае, я полагаю, нет. "Полезность" есть субъективная оценка, которую каждый индивидуум формирует внутри себя, руководствуясь своими представлениями, причём эта оценка может быстро и сильно меняться под воздействием среды. Таким образом, полезность является мгновенной величиной, актуальность которой существует только в контексте ситуации.
Можно лишь сделать некоторые предположения о полезности, руководствуясь статистикой, но измерить полезность "в чистом виде", я полагаю, невозможно даже для одного конкретного индивидуума.
Вот выберите два случайных предмета из тех, что сейчас вокруг вас, и попробуйте сформулировать, какой из них полезнее другого, и насколько.
artptr86
10.01.2026 19:52В общем случае функция полезности может различаться. Для закона убывающей предельной полезности важно лишь, что вторая производная этой функции будет отрицательна. То есть там может быть и квадратичная функция U(Q) = aQ - bQ² (демонстрирующая убывание общей полезности при переизбытке товара), и степенная с показателем 0 < γ < 1, и логарифмическая, и показательная с насыщением (U(Q) = α(1 - e^(-βQ))). Но это не строгий математический закон, что вторая производная функции полезности обязательно будет отрицательной на практике. Да и для тех функций, где это так, на практике почти нереально найти «истинную» формулу полезности, это всегда будет некоторая упрощённая модельная функция, с той или иной степенью приближения совпадающая со статистическими данными.
RedHead
10.01.2026 19:52Потому что имея 1млн сделать 5млн гораздо проще, чем с нуля сделать даже не 5млн, а 1млн. От 1 до 5 - вообще видится как беспроблемный путь, просто лет на 5 дольше. Т.е. выбор между гарантированными 5млн но чуть позже, и 50на50 сейчас. И именно через выбор 1млн человек склоняется в сторону долгосрочной перспективы.
nikolandr
10.01.2026 19:52Есть ещё чисто человеческий момент связанный с отсутствием доверия к организатору игры. Если вы не знаете что под капотом у кнопок, то с какой стати вам верить про вероятность 50%? Так же как и в реальной жизни за участие в такой игре будет вступительный взнос. Представьте, что на улице к вам подходит человек и говорит "дай 100 рублей, потом нажми на кнопку и с вероятностью 50% получишь миллион")))
А если мы говорим про некие математические теории в вакууме, то тогда давайте перенесем ситуацию в компьютерную игру. В какой-нибудь RPG я уверен, что как раз большинство игроков в такой ситуации вполне будут выбирать повышенное вознаграждение с матожиданием выше, но вероятностью не 100% - и то опять же, если в этой игре на выигрыш что-то можно купить, а это не будет 100 миллионов тугриков, которые без дела будут лежать в инвентаре, не влияя на сюжет и концовку.
Ах да, а ещё есть утилитарный момент - условно, если у тебя дети голодают и вам негде жить, то конечно надо выбирать миллион долларов с вероятностью 100%. А если у тебя всё есть да ещё инвестиции на сотни тысяч долларов, то если мы исходим из полного доверия к системе выбора, то да, можно думать про зелёную кнопку.
Короче, смешивать теорию в вакууме и реальную жизнь иногда - ну такое
Dmitry_604
10.01.2026 19:52Да тоже хотел написать - очень зависит от суммы доходов и текущего собственного капитала, например если взять "ставкой" условный месячный доход я бы точно выбрал риск, а вот с годовым уже задумался бы, а в ээуказанном примере (много годовых) выбрал бы безрисковый.
digrobot
10.01.2026 19:52Знающие люди говорят, что первый миллион долларов приносит гораздо больше радости и удовлетворения, чем последующие. Есть даже поговорка про синицу в руках. Математика это не учитывает.
unC0Rr
10.01.2026 19:52Нам эмоционально легче зафиксировать прибыль, чем продолжать владеть перспективной акцией.
Ну или акции нам нужны не ради эмоций от владения, и имеет смысл получив значительную прибыль конвертировать её в непосредственную пользу, купив компьютер, машину, квартиру. В могилу сверхприбыль от десятков лет владения перспективными акциями не заберёшь.
Darkness_Paladin
10.01.2026 19:52С одной стороны, математически выбор зеленой кнопки выгоднее – математическое ожидание выигрыша в случае выбора зеленой кнопки выше в 5 раз (10 млн*0,5 > 1 млн* 1).
Нет, не выгоднее. Для данной ситуации не определено понятие выгодности, т.к. нет данных об игроке. То, что не кажется выгодным мне, может быть очень выгодным для какого-нить африканского бедняка, который зарабатывает пять баксов в месяц. То, что кажется выгодным мне, любой олигарх сочтёт не заслуживающей внимания ерундой.
Начнём с того, что игра очевидно платная: за попытку сыграть зелёной кнопкой игрок расплачивается отказом от того миллиона, который он гарантированно может получить, нажав красную. Фактически, мы уже дали игроку этот миллион, а теперь предлагаем поставить его на кон в игре.
В случае успеха, игрок в зелёную кнопку получает десятку — но в случае неудачи, он теряет не только невыигранную десятку, но и миллион ставки.
Так что нет. Выгоднее забрать гарантированный миллион и уйти, отказавшись от "суперигры".
aborouhin
10.01.2026 19:52мы уже дали игроку этот миллион, а теперь предлагаем поставить его на кон в игре
Именно. Но в нереально выгодной игре, шансы в которой многократно превышают не то, что шансы в обычной лотерее, но и средние шансы при инвестировании этого миллиона. Мгновенно получить 900% прибыли с шансом 50% - венчурным инвесторам про такое только во снах мечтается.
И если гарантированный выигрыш для человека не превышает ту сумму, которую он готов инвестировать с определённым риском, то красная кнопка - отличный выбор.
acsent1
10.01.2026 19:52Просто чтобы на этом зарабатывать нужно иметь более 1 попытки, как у венчурных инвесторов
strwolf
10.01.2026 19:52Красную потому что 1 млн долларов хватит на всю оставшуюся жизнь. Хотя бы более сложный пример предложили. И да большинство выберет 1000 рублей с шансом 70% чем 3000 руб с шансом 30% хотя во втором потенциальный выигрыш выше.
fedechka
10.01.2026 19:521 млн долларов - это не такая уж огромная сумма, чтобы ее хватило на всю жизнь. Когда она появляется, запросы становятся совершенно другими, и через некоторое время понимаешь, что это не так уж и много. Это 10 лет по 700К рублей в месяц - сумма приличная для просто безбедной жизни, но не более.
Sequoza
10.01.2026 19:521 млн долларов - это не такая уж огромная сумма, чтобы ее хватило на всю жизнь
Это гиганская сумма для большинства людей планеты т.к. это почти гарантированный билет в другой социальный слой, где зарабатывать намного большие деньги гораздо проще.
Скажем, вложившись в своё образование или детей, сохранить капитал или преумножить становится почти "делом техники". Плюс ко всему, бедность делает людей "глупее" т.к. часто они находятся в постоянном стрессе и не имеют возможности строить долгосрочных планов. Такая сумма убирает этот фактор, давай нехилый такой буст.
Это 10 лет по 700К рублей в месяц - сумма приличная для просто безбедной жизни, но не более.
Ещё это возможность вложиться в N предприятий, одно из которых может стрельнуть и принести такой доход, который никогда в жизни ЗП не принесет. А это уже совершенно другой уровень. $10kk, конечно больше, но для многих людей это как ∞ и 10*∞. Так зачем рисковать?
xSVPx
10.01.2026 19:52Миллион долларов :)? Другой социальный слой ? Это что за слой такой другой :)?
Проще заработать :)))?
Вы знаете с каким заказом приходят люди из "другого слоя" к финконсультантам брокеров ? Звучит он примерно так "у меня есть очень много миллионов долларов и мне хотелось бы не сильно потерять в покупательной способности". О каких-то заработках умные даже и не заикаются, лишь бы потерять не 90%, а 10%.
В образование надо не деньги, а мозги вкладывать. Никакие миллионы не позволят вам какой-нибудь мехмат мгу закончить, и напротив при наличии способностей деньги в целом особо и не нужны. Уж не говоря о том, что не во всяком возрасте это имеет смысл.
В детей тоже не деньги вкладывают, а время и силы. Ну и это не инвестиции совершенно :). Ну т.е. с точки зрения инвестиций дети очень плохой выбор.
Есть возможность вложиться в N предприятий и получить дырку от бублика :). Это совершенно обычная история. Все так делают.
Есть возможность организовать свой небольшой бизнес(когтеточки там делать итп). 95% закрываются в первые 1-3 года.
Миллион баксов - это приличная недвига и немножко денег из которых можно выжать какой-то небольшой полупассивный доход. Сможете лежать на диване и получать как курьер или водитель такси, может даже как мидл. Ни в какое высшее общество вас с миллионом не ждут совершенно. Никаких миллионов вы с ним не заработаете "автоматом".
Но, конечно лучше с миллионом, чем без миллиона, чё уж.
Для понимания, что происходит когда люди выигрывают в лотерею и побольше денег - погуглите их истории - мрак и ужас. Кого не зарезали собутыльники, тот пропил всё за несколько лет, проиграл в казино, на бирже, вложил в закрывшийся ресторан итд итп. И часто суммы кратно больше.
sic
10.01.2026 19:52Миллион баксов - это приличная недвига и немножко денег из которых можно выжать какой-то небольшой полупассивный доход.
Ну если все мерить относительно зарплат сравнительно успешных айтишников (это сколько там процентов людей в мире?), то жизнь да, вообще унылая штука. А если по-человечески, то миллион - это отличная недвига себе, и еще 3-5 неплохих объектов попроще, которые можно сдавать (и Москва здесь вообще не лучший выбор). И получать вы будете как упарывающийся курьер или особо активный таксист. Причем нормальный такой доход в жало, который позволит и отдохнуть, и в порядок себя привести, и хоббяшками своими развлекаться, немного путешествовать. До билета в "высшее общество" как пешком до луны еще, но и с злыми работягами пересекаться больше не нужно. А дальше уже, конечно, многое зависит от личных характеристик и возраста человека. Молодым людям, конечно проще, тут можно и образование хорошее получить и не стесняться знакомиться и общаться с более состоятельными людьми, шансы попасть в "высшее общество" вообще очень велики. Ну а в возрасте уже поближе к пенсии, другие истории, здоровье можно поднять, что, пожалуй самое главное.
Для понимания, что происходит когда люди выигрывают в лотерею и побольше денег - погуглите их истории - мрак и ужас.
Ну так о нормальных персонажах просто и нет историй, потому такое впечатление и складывается.
Sequoza
10.01.2026 19:52Миллион долларов :)? Другой социальный слой ? Это что за слой такой другой :)?
Эмм, медианныая зп в РФ - 74к рублей. $1kk семья из 2-х человек вообще никогда в жизни не заработает. Кстати, в тут очень много весьма неглупых людей получают такую зп и назвать их люмпенами язык не поворачивается. В отличие от некоторых иных стран, в которых подобную сумму получают весьма определенная категория лиц.
Вы знаете с каким заказом приходят люди из "другого слоя" к финконсультантам брокеров ?
Полагаю, слоев чуть больше чем бомжи с улицы и миллионеры с Уолл Стрит.
В образование надо не деньги, а мозги вкладывать. Никакие миллионы не позволят вам какой-нибудь мехмат мгу закончить, и напротив при наличии способностей деньги в целом особо и не нужны
Прошу, не нужно впадать в крайности, иначе я мог бы также сказать, что при наличии мозгов и университет не нужен - можно самому все выучить, не тратя время на бесполезные предметы. Надеюсь, вы понимаете, уровень преподавания и контенгент школ разных частей РФ, мягко говоря, отличается(как всегда Москва, Питер и всё остальное).
В детей тоже не деньги вкладывают, а время и силы.
Что-то на буржуйском. После работы у большинства людей низкооплачиваемых профессий мало времени и уж тем более сил.
Ну и это не инвестиции совершенно :)
Камон, речь идет про лям бакинских и человека, который таких денег в жизни не видел. Лучшее, что он может сделать - вложиться в себя (образование).
Ну т.е. с точки зрения инвестиций дети очень плохой выбор.
Это отличный выбор для человека, который не знает, как обращаться с этими деньгами. Раз уж сам не хочет учиться, то пусть хоть его дети выберутся из его окружение. Образование в этом смысле - один из самых легких и популярных способов.
Есть возможность вложиться в N предприятий и получить дырку от бублика :). Это совершенно обычная история. Все так делают.
Есть возможность организовать свой небольшой бизнес(когтеточки там делать итп). 95% закрываются в первые 1-3 года.
Это нужно делать уже после обучения умению управления финансами. К тому же, $1kk это не такая большая сумма для создания гугла, но уже весьма не маленькая. Даже 1/10 от нее хватит, чтобы вложиться в какой-нить хэдж фонд, да хоть в S&P и сохранить кое-какой капитал. Даже такая сумма круто поменяет жизнь большинству людей планеты.
Миллион баксов - это приличная недвига и немножко денег из которых можно выжать какой-то небольшой полупассивный доход. Сможете лежать на диване и получать как курьер или водитель такси, может даже как мидл. Ни в какое высшее общество вас с миллионом не ждут совершенно. Никаких миллионов вы с ним не заработаете "автоматом".
Какое высшее общество? Лям баксов - почти гарантированная возможность выбраться из бедности. А если повезет, то в следующем поколении, благодаря инвестиции в своих детей, они смогут заработать намного больше.
Для понимания, что происходит когда люди выигрывают в лотерею и побольше денег - погуглите их истории - мрак и ужас. Кого не зарезали собутыльники, тот пропил всё за несколько лет, проиграл в казино, на бирже, вложил в закрывшийся ресторан итд итп. И часто суммы кратно больше.
Мы всё ещё говорим, о том, что вполне логично взять $1kk, чем рискнуть? Или о людской расточительности? Мне казалось о первом.
Darkness_Paladin
10.01.2026 19:52что происходит когда люди выигрывают в лотерею и побольше денег
так это ж системная ошибка. Человек, который способен адекватно распорядиться выигрышем в лотерею, в неё просто не будет играть, потому что понимает, что это самая глупая инвестиция из всех возможных.
sic
10.01.2026 19:52700К рублей в месяц - сумма приличная для просто безбедной жизни, но не более
Троллите же. Интересно, что включается в подобную "просто безбедную жизнь?". На 700К можно нон-стопом путешествовать всей семьей, мало в чем себе отказывая, а это не база даже для людей, которые и больше денег в месяц получают, но им работать надо. Это уже "сказка, а не жизнь".
Для большинства граждан из РФ под это определение попадает скорее 200К, а это уже 35 лет, для некоторых чуть ли не вся оставшаяся жизнь.
И технически по 100К на всю оставшуюся жизнь, но правда чуть-чуть ниже уровнем, чем безбедную.
Ну да, джет, яхту не купишь, гараж премиальными тачками не набьешь, но если ты Васяном был, ты и на яхте Васяном останешься, да и Ролекс тебя красивше не сделает, не сказать что все, но многие это понимают, уверен.
Но так считать вообще не правильно, потому что на такие сроки нужно предпримать что-то для сохранения денег. Тут может и не повезти, а может быстро выясниться что этого хватит с большим запасом (да что уж, самое тупое из возможных, - по недвиге эти деньги раскидать и совсем скоро можно будет по три сотки в месяц иметь "бессрочно").
Contender
10.01.2026 19:52Вы можете сыграть в рулетку и поставить «на красное» 50 долл. В случае выигрыша у вас будет 150 долл.: 50 долл., которые вы не ставили, плюс 50 долл.*2 – ваш выигрыш.
Что значит "50 долл., которые вы не ставили"?
P.S. Понял. Не дочитал абзац до конца, пардон. :)
ilyawg
10.01.2026 19:52Никакого парадокса. Никто не хочет оказаться в ситуации "У тебя был шанс получить миллион, но ты пожадничал и остался ни с чем"
engine9
10.01.2026 19:52Можно придумать и обратный "баг" психики, когда люди сами себя (или с помощью других) накручивают на гипотетическую сверхприбыль и вкладываются "на всю котлету" в какие-нибудь майнеры для биткоина и потом остаются с горой этого хлама... Ну или всем известный МММ в его нескольких перезапусках.
sic
10.01.2026 19:52Он очень хорошо известен, и давно алчностью зовется. Есть и книги, которые это смертным грехом именуют, так что, исходя из этого, и стремление алчности избегать совсем не парадоксально.
artptr86
10.01.2026 19:52Чисто математически, если предположить функцию полезности логарифмической (U(W) = ln(W)), получается, что если начальное богатство человека W = $125000, то ему выгоднее забрать $1 млн, а при большем начальном богатстве появляется полезность варианта рискнуть и заработать $10 млн.
aborouhin
10.01.2026 19:52Не очень понимаю, почему чистая психология представлена как математический парадокс.
Очевидно, что в примере с кнопками если для играющего и гарантированная, и разыгрываемая сумма могут существенно изменить жизнь (как тот самый миллион долларов для большинства) - то разумной стратегией является взять гарантированную сумму, т.к. качество жизни при приращении капитала увеличивается нелинейно.
Если же гарантированная сумма несущественна, а разыгрываемая - существенна, либо обе несущественны, то разумная стратегия - нажать красную кнопку.
При этом есть куча пограничных случаев. Скажем, если разница между суммами, как в примере, 10х, то я точно жал бы красную при гарантированном выигрыше до 1 млн. рублей, точно жал бы зелёную при гарантированном выигрыше от 50 млн. рублей, а вот всё, что посередине, заставило бы меня крепко задуматься, и чем ближе оно к середине этого диапазона - тем сильнее. Как раз в этой середине, видимо, лежит та сумма, которая не изменит жизнь кардинально, но поможет решить значимую для человека проблему или реализовать значимый для него план (для среднего класса это что-то уровня "купить жильё", "погасить все кредиты", "начать своё дело" и т.п.)
Ну и да, не все игроки будут действовать разумно, у кого-то повышенная азартность, а кто-то склонен годами переживать любую неудачу и т.п. - эти психологические особенности будут корректировать выбор в ту или иную сторону от разумной стратегии.Darkness_Paladin
10.01.2026 19:52Ну и да, не все игроки будут действовать разумно
Есть несколько слов, с которыми всегда сложно. "Справедливое", "разумное", "доброе"... 99% людей считают, что хорошо понимают значение их смысла, и что их понимание -- единственно верное и присуще всем "нормальным людям" -- что, обычно, не верно.
Неразумно игрок поступит, если на предложение сыграть среагирует криком Тарзана и убеганием, а если он согласится играть -- это в любом случае разумное поведение, независимо от стратегии, которую он выберет. То, что его стратегия отличается от вашей -- не признак неразумности, а следствие из того факта, что он руководствуется другой схемой оценки, отличной от вашей.
aborouhin
10.01.2026 19:52В данном случае разумное поведение определяется господствующими социальными нормами и представлениями, да. Вы сами к этому выводу сделали один шажок (закричать и убежать всё же почему-то неразумно), но не сделали следующего (например, что неразумно рискнуть шансом выбраться из нищеты в благополучие ради надежды на ещё бóльшее богатство, которым в силу недостатка опыта, вероятно, и распорядиться правильно не сможешь). Любопытно было бы, кстати, изучить вопрос, как социальная норма в разных обществах влияет на выбор в подобных ситуациях, - что-то мне подсказывает, что протестантская культурная традиция и, скажем, буддистская, дадут сильно разные результаты.
CorwinH
10.01.2026 19:52Если же гарантированная сумма несущественна, а разыгрываемая - существенна, либо обе несущественны, то разумная стратегия - нажать красную кнопку.
Поддерживаю.
Не очень понимаю, почему чистая психология представлена как математический парадокс.
Парадокс в том, что с математической точки 5 млн. в 5 раз больше, чем 1 млн. А с практической точки зрения полезность 5 млн может отличаться от полезности 1 млн существенно меньше (очень индивидуально - зависит от доходов).
Кстати, это очень заметно на прибавке к зарплате, когда зп небольшая. Если человек получает 50 руб в месяц, из которых 5 может отложить (на крупные покупки, отдых и т.п.), то для него +10% к зп - это существенно, так как можно откладывать в 2 раза больше. А если он получает 70 руб, из которых откладывает 25 руб, то +10% уже не так полезны.
Darkness_Paladin
10.01.2026 19:52Парадокс в том, что с математической точки 5 млн. в 5 раз больше, чем 1 млн.
Но пяти миллионов у нас нет, матожидание работает таким образом только на достаточно длинных сериях событий.
Если, скажем, вместо одного нажатия на красную кнопку, дающую гарантированный миллион, предложат десять раз сыграть зелёной, которая с шансом 50% даёт миллион за каждое нажатие -- тут да, есть смысл играть. Риск проиграть все десять сетов -- меньше 0.1% (0.0976%), а "в среднем" мы ожидаем, что при таких правилах выигрыш реально составит примерно пять миллионов.
В исходной же задаче ситуация другая. Нет серии, есть ОДИН выбор, по результату которого игрок равновероятно либо выигрывает девять миллионов, либо проигрывает миллион.
funca
10.01.2026 19:52В статье написано «шанс», а это понятие шире, чем вероятность в математике. Мат.ожидание относится к вероятности, а не шансу. Так, что условие задачи с подвохом.
CorwinH
10.01.2026 19:52В исходной же задаче ситуация другая. Нет серии, есть ОДИН выбор, по результату которого игрок равновероятно либо выигрывает девять миллионов, либо проигрывает миллион.
Согласен, это важно.
MountainGoat
10.01.2026 19:52Что интересно, если жулить, то вся магия исчезает. Например, если монетку подпилить так, чтобы вероятность удачного броска была 0.3 а не 0.5, то совершенно чётко вырисовывается средний выигрыш в 5 денег.
Но ещё интереснее, что если вероятность сделать 0.7, то из 100 000 игр хоть одна да превысит 64битное целое.
harikein70
10.01.2026 19:52https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_discounting есть и другие объяснения данному классу парадоксов ..
LeToan
10.01.2026 19:52Когда рассказывают о "разумных стратегиях" с математическими выкладками и удивленно добавляют об эмоциональной нерациональности, так и хочется согласиться. Ведь стариков-родителей гораздо выгоднее сдать в дом престарелых, а квартиру продать. Ребенка-инвалида в приют и родить нового-здорового, гораздо выгоднее вложение получается.
Krokochik
10.01.2026 19:52Да, очень интересное замечание!.. Было бы, если бы статья не была как раз о том, что математическое ожидание НЕ описывает наиболее выгодный с точки зрения человека вариант
funca
10.01.2026 19:52Математическая вероятность это не то же самое, что эмпирическая. На практике ни у кого нет бесконечного количества ни денег и ни времени, чтобы играть в этом казино до математически обоснованной победы.
Alexey2005
10.01.2026 19:52Выгоднее только если рассматривать сферического индивидуума в вакууме. Но если вспомнить, что любой человек существует внутри общества, то выгодность таких стратегий резко снижается, поскольку после их применения человек получит серьёзные негативные реакции со стороны общества.
vitaly_il1
10.01.2026 19:52ИМХО с парадоксом все просто - ответ зависит от того одноразовая игра или многоразовая
Vsevo10d
10.01.2026 19:52Самая простая формулировка Санкт-Петербургского парадокса – "Мартингейл не работает".
Что до кнопок, я бы сказал, логически, а не математически, имеет все смыслы жать красную кнопку, если просто перевернуть вопрос: готовы ли вы с каким-то шансом лишиться 100 млн или точно не лишиться 1 млн? И ту, и другую сумму можно считать уже у вас в кармане, просто зеленой кнопкой вы бОльшую с некоторой вероятностью невзначай поджигаете.
Иногда логически повертеть парадигмами полезнее, чем мыслить в рамках навязанной логики, как в тех самых загадках. Взять пирожок, зажарить х... и получить хот-дог.
Darkness_Paladin
10.01.2026 19:52Нет. "Уже в кармане" у игрока миллион. Нажав красную кнопку, он забирает его и уходит, а нажав зелёную, он отдаёт этот один миллион за 50% шанс выиграть десять.
Vsevo10d
10.01.2026 19:52Вы правы. Переформулирую.
Он либо теряет с некоторой вероятностью 100 млн, либо со 100% вероятностью 99 млн.
riky
10.01.2026 19:52Я думаю нюанс в том что обе суммы для среднеестатистического россиянина выглядят как бесконечно много денег. Поэтому лучше бесконечно денег с вероятностью 100% чем 50%. Если бы суммы были 1 и 10 тыс руб то люди бы больше рисковали, т.к. рискнуть тыщей не страшно.
При суммах 10 и 100 тыс руб (или даже 100к и 1млн) думаю будет не так однозначно, действительно будет зависеть от выборки респондентов. Для людей побогаче будет интересней рискнуть.
celen
10.01.2026 19:52Хорошая статья!
Вы напомнили мне про завалявшееся у меня незаконченное статистическое исследование этого парадокса. Я его завершил и опубликовал: https://habr.com/ru/articles/984276/ в качестве обстоятельного математического комментария к происходящему.
Mad_gulls
10.01.2026 19:52Для корректного эксперимента с кнопками должен быть некий высокий не 100% шанс на выигрыш 1 млн., например 1 млн. - 80%, 10 млн. - 50%.
Raznoboy
10.01.2026 19:52Вот для меня уместность предлагаемого эксперимента с кнопками вообще сомнительна: ведь выбирая стратегию для оценки кнопки как бы все (в статье и в комментариях) забывают факт того, что по факту никто миллион $ (или десять) не дает и не предложит. А так как эксперимент вымышленный, то и потери в 1 или 11 нет, а значит с тз значимости результата выбрать 50% оптимальнее (можно якобы получить больше, но при проигрыше потерь ведь все равно нет). Это к тому, что в любой вымышленной реальности для меня действительно не будет предложено таких значимых сумм, где стратегия выбора изменится...
anonymous