Российский царь Петр 1 за очень короткий срок правления кардинально изменил Россию. В том числе в надежде создать новый интеллектуальный центр он основал Академию наук в только что созданном им городе Санкт-Петербург. В Академию были приглашены видные европейские ученые, среди которых были гениальные швейцарцы Эйлер и два представителя семьи Бернулли.
Плодами работы Эйлера мы начали пользоваться еще в школе. Многие помнят про «число Эйлера» 2,7, вторую по известности константу после «числа Пи». Или обозначение функции f(x), тоже введенную в обиход Эйлером.
Однако речь пойдет о Данииле Бернулли. В 1738 г. он опубликовал влиятельную статью, названную «Изложение новой теории измерения риска» (Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk), в которой описал так называемый Санкт-Петербургский парадокс. Статья стала одним из наиболее значительных из когда-либо написанных текстов по проблемам как риска, так и человеческого поведения при принятии решений вообще.
Но прежде чем разобраться, что такое Санкт-Петербургский парадокс, пусть каждый для себя решит на какую кнопку он нажмет:
С одной стороны, математически выбор зеленой кнопки выгоднее – математическое ожидание выигрыша в случае выбора зеленой кнопки выше в 5 раз (10 млн*0,5 > 1 млн* 1).
С другой стороны, как показывают опросы, большинство людей выбрали бы красную кнопку, потому что хотят избежать риска «возврата к нулю», связанного с зеленой кнопкой. Просто потому, что их страх потерять все (или не получить ничего) сильнее, чем желание получить больший, но негарантированный выигрыш.
Над похожей задачкой задумался и Бернулли, который предположил, что расчет ожидаемой ценности с помощью математического ожидания может быть недостаточным для описания процесса принятия решений в реальной жизни. Потому что оно учитывает только факты и игнорирует поведение человека при принятии решений в условиях неопределенности. Бернулли полагал, что, хотя факты и одинаковы для всех, полезность в каждом отдельном случае зависит от личности, делающей оценку. И нет оснований предполагать, что риск, воспринимаемый каждым по-своему, может оцениваться одинаково.
Бернулли предложил игру. Вступая в нее, вы платите некоторую сумму за участие, а затем подбрасываете монету, пока не выпадет орёл. При выпадении орла вы получаете $2 и игра заканчивается. Если же решка, монету снова подбрасываете. Если при втором броске выпадет орел, вы получаете $4, если решка — игра продолжается. Для каждого следующего круга приз за орла удваивается в два раза (то есть $2, $4, $8, $16 и т. д.), вы переходите на следующий круг, пока не выпадет орел.
Нужно определить, какой размер вступительного взноса за участие в игре делает такую игру справедливой или приемлемой для игрока. Говоря проще, надо найти математическое ожидание выигрыша игрока. Парадокс заключается в том, что вычисленное значение этого справедливого взноса равно бесконечности, то есть выше любого возможного выигрыша. Иными словами, суть парадокса: индивиды готовы заплатить относительно небольшую сумму денег (в среднем называют 20-30 долл.) за участие в игре, в которой математическое ожидание выигрыша бесконечно велико.
Посмотрите сами, каждый круг приносит ожидаемый выигрыш в $1, а сам ряд выглядит следующим образом: $2×1/2+$4×1/4+$8×1/8 и т.д. до бесконечности. Следовательно, математическое ожидание выигрыша игрока = $1 + $1 + $1 + $1… = ∞.
Бернулли предположил, что в повседневной жизни индивиды стремятся не к математической максимизации возможного денежного выигрыша, а скорее максимизации ожидаемой полезности или степень удовлетворения. Ожидаемая полезность вычисляется с использованием тех же методов, что и математическое ожидание, но оценивается с учетом весомости фактора полезности.
Представим, что ваш должник вместо того, чтобы вернуть вам 1 млн руб., предлагает бросить монету. Если вы выиграете, то получите не 1, а 2 млн руб., но, если проиграете – не получите ничего, т.е. теряете свой 1 млн руб. Математическое ожидание в этом случае составит: 0,5*1 + 0,5*(–1) = 0.
Рассмотрим другой пример, предположим, что у вас есть 100 долл. Вы можете сыграть в рулетку и поставить «на красное» 50 долл. В случае выигрыша у вас будет 150 долл.: 50 долл., которые вы не ставили, плюс 50 долл.*2 – ваш выигрыш. Таким образом, вы увеличите свое первоначальное богатство, равное 100 долл., на 50 долл. В случае проигрыша у вас останется всего 50 долл., т.е. вы уменьшите свое первоначальное богатство на 50 долл. Математическое ожидание выигрыша в денежном выражении составит: 0,5* 50 + 0,5 * (–50) = 0.
Математическое ожидание в представленных играх равно нулю – не имеет значения играть или не играть. Однако большинство все-таки отказываются от участия в таких играх. Практика показывает, что в основной своей массе люди не склонны к рисковой деятельности. Такое поведение обычно объясняется, помимо особенностей человеческой психики, чисто экономической причиной, а именно: действием закона убывающей предельной полезности.
На рисунке ниже дается объяснение этому. Предельная полезность, как видно из графика общей полезности, убывает, и поэтому в условных единицах полезности ожидаемая полезность описанных выше игр будет иметь не нулевое, а отрицательное значение. Для примера на рисунке это выглядит так: 0,5*(–2) + 0,5*1 = –0,5.
В случае проигрыша ваши убытки будут в условных единицах полезности больше, чем ваше приобретение в случае выигрыша. Таким образом, в категориях полезности ситуация выглядит иначе, чем в денежном исчислении через математическое ожидание в наших примерах выше, и вы не будете склонны рисковать. Именно к этому и призывал Бернулли – различать математическое ожидание денежной суммы выигрыша и ее ожидаемую полезность. Выражаясь более простым языком, можно сказать, что, конечно, нам доставит радость получить больше того, что мы имеем, но для нас гораздо ощутимее будет потеря того, к чему мы уже привыкли. В поведенческой экономике данный феномен получил название Эффекта владения. Эффект владения заключается в том, что люди гораздо выше оценивают то, чем они владеют чем то, что пока им не принадлежит.
Один из создателей поведенческой экономики Амос Тверски как-то сказал про Закон убывания предельной полезности: «Чем больше у кого-то денег, тем меньше он ценит каждое дополнительное приращение. Или полезность любого дополнительного доллара уменьшается с увеличением капитала.»
То есть мы ценим вторую полученную нами тысячу меньше, чем первую, третью меньше, чем вторую и т.д.
Возвращаясь к Санкт-Петербургскому парадоксу, можно теперь сказать, что индивиды, отказываясь от игры в подбрасывание монеты, несмотря на бесконечно большое значение математического ожидания, руководствуются, согласно гипотезе Бернулли, прежде всего ожидаемой полезностью выигрыша. А предельная полезность дохода с каждым его приростом снижается.
Бернулли также показал, что люди оценивают один и тот же риск по-разному. Он попробовал объяснить этот парадокс предельной полезностью денег, в рамках которой польза от приращения богатства обратно пропорциональна первоначальному богатству. То есть процесс вычисления вероятностей Бернулли превратил в процедуру подключения субъективных соображений к процессу принятия решений в ситуациях с неопределенными исходами.
Впервые в истории Бернулли применил измерение к чему-то, чего нельзя сосчитать. Он соединил интуицию с измерением. Кардано, Паскаль и Ферма создали теорию вероятности и метод математического вычисления риска при бросании костей, но Бернулли подвел нас к рискующему человеку, к игроку, решающему сколько поставить и ставить ли вообще. Если теория вероятностей рационализирует выбор, то Бернулли определяет мотивацию личности, которая делает выбор. Фактически он указал на новый предмет изучения и заложил интеллектуальные основы того, что позднее нашло применение не только в экономической теории, но и в общей теории принятия решений в разных жизненных ситуациях.
Понятие полезности оказалась столь продуктивным, что в последующие двести лет превратилось в основной инструмент объяснения процесса принятия решения и теории выбора. К примеру, в Теории игр, изобретенном в середине 20 века Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном подходе к системному принятию решений в войне, политике и бизнесе и др. областях. В Теории игр они показали, что в условиях неполной информации рациональным выбором индивида будет выбор с максимальной ожидаемой полезностью.
Даниила Бернулли можно также считать и основоположником Поведенческой экономики и финансов, появившихся через два с лишним века после его смерти в 1970-х на стыке традиционных финансов и психологии. Психологи Канеман и Тверски начали изучать особенности мышления и поведения людей, принимающих решения в условиях неопределенности. Они доказали, что на человеческие мышление и действия влияют, так называемые, когнитивные и эмоциональные искажения, которые мешают нам принимать оптимальные рациональные решения и ведут к ошибкам. Эти искажения, которые принято объединять под названием «поведенческие искажения», подчинены определенным закономерностям, которые на сегодня выявлены и хорошо экспериментально обоснованы исследователями.
В своих исследованиях Канеман и Тверски установили, человек принимает во внимание не только финансовые последствия, но и эмоциональные. Оказалось, что на принятие решений в том числе влияет предчувствие сожалений, вместе с ожиданием других последствий. Принимая решение, человек стремится не максимизировать полезность, а минимизировать сожаления. Так ими была сформулирована Теория сожаления.
Одно из правил Теории гласит: чем ближе вы подходите к достижению цели, тем большее сожаление испытываете, если достичь ее не удастся. Второе правило: сожаление тесно связано с чувством ответственности. Чем лучше вы можете контролировать исход ситуации, тем большее сожаление испытываете, если ситуация складывается неудачно.
И если возвратиться к началу поста, к вопросу о выборе красной и зеленой кнопки, то Теория сожаления объясняет выбор красной кнопки. Выбирая гарантированный 1 млн долл., люди стараются минимизировать сожаления, в обмен на отказ от ставки с более высокой ожидаемой полезностью.
Также большинство людей, к примеру, поступает после роста акций из их портфеля на 100 или 200%. Нам эмоционально легче зафиксировать прибыль, чем продолжать владеть перспективной акцией. Так было и с владельцами акций Amazon или той же Nvidia и многих других компаний, которые продали акции несколько лет назад после сильного роста.
Такова цена, которую люди платят, чтобы избежать сожаления.
С праздниками! заходите на тг канал https://t.me/TradPhronesis
Комментарии (228)
materiatura
10.01.2026 19:52В этой игре, называемой Петербургским парадоксом, у ожидаемого выигрыша нет конечного математического ожидания. В современном понимании его просто не существует. Тем не менее Феллер предложил его решение и оно, хоть и не применимо для практики, безупречно математически - взнос не фиксированный, а зависит от количества проведенных бросков монеты.
st---v
10.01.2026 19:52"Бернулли предложил игру............ вы получаете $2"
режет ухо. Бернулли не мог предложить игру на доллары, т.к. он умер за десять лет до появления данной денежной единицы.
bear11
10.01.2026 19:52Тут как раз был бы кстати символ знака абстрактной валюты ¤,
который изображался вместо доллара на советских терминалах ЭВМ.
randomsimplenumber
10.01.2026 19:52Шах и мат от ИИ.
Символ ¤ (знак валюты, currency sign) не был стандартным символом на советских клавиатурах, которые в основном имели кириллицу и латиницу (например, на "Язык и наборы данных" для DOS или Windows) и печатались либо на русских (ЙЦУКЕН, ЙЦУКЕНГ), либо на английских раскладках. Этот символ чаще встречается в международных стандартах кодирования (Unicode) или на клавиатурах западных стран, а советские машины использовали символы для денежных единиц вроде «руб.» или «р.».
gyzl
10.01.2026 19:52У нас в школе на ЭВМ УКНЦ была как раз "черепашка", именно на том месте, где сейчас находится доллар - Shift+4. ЭВМ выпуска конца 80х.
randomsimplenumber
10.01.2026 19:52У всех была 'черепашка' ;) шутка в том что ИИ про нее почему то не знает.
Maccimo
10.01.2026 19:52Шах и мат от ИИ.
Facepalm.
Если в ближайшее время нейросетевые помои не криминализируют, поставив в один ряд с наркоторговлей и педофилией, то европейская цивилизация обречена на самоуничтожение.Абсолютно всё, что генерирует так называемый «ИИ» это шлак, не имеющий права на существование. Извольте не тащить этот мусор на Хабрахабр.
советские машины использовали символы для денежных единиц вроде «руб.» или «р.».
Символ «руб.», ага. Из четырёх символов. Во времена, когда даже для римских чисел не считали нужным иметь отдельные символы.
ХУ1это римское число 16, записанное кириллицей, если что.В реальности же символ
¤использовался вместо символа$в том числе и в советских диалектах BASIC. При попытке применить знания из советских книг про Бейсик на ZX Spectrum погромиста ждал небольшой сюрприз )
GidraVydra
10.01.2026 19:52Слово "доллар" применяли для обозначения различных денежных единиц ещё до рождения Бернулли. Например, доллары упоминались в "Макбете".
rublcarson
10.01.2026 19:52Там везде талеры.
Впрочем, Ньютон в русском языке тоже Невтоном был аж до середины прошлого века.
konst90
10.01.2026 19:52Он хотя бы Исаак, а вот Азимов вообще как-то в Айзека превратился
Darkness_Paladin
10.01.2026 19:52Есть такой обычай — русская транскрипция имён собственных закрепляется по правилам транскрипции, действующим в момент вхождения в обиход. Иеремия Бентам и Джереми Кларксон — тёзки, но правила транскрибирования сильно изменились. Доктор Ватсон и Эмма Уотсон — однофамильцы, но опять же, правила изменились.
funca
10.01.2026 19:52Правила транскрипции имен это современная бюрократия. Имена инностранцев часто поросто адаптировались под местные традиции. Даниил Бернулли в оригинале Daniel, а его брат Николай был Nicolaus.
konst90
10.01.2026 19:52Самое забавное в случае Азимова, что при рождении в (Смоленской Губернии) он таки был записан как Исаак, потом уехал в США (где стал Isaac), а при обратном переводе стал Айзек.
fedorez
10.01.2026 19:52лет 20 назад у меня был на одной из работ в Москве коллега по фамилии Лесли, и когда он решил прильнуть к утерянным два века назад корням и посетить родной клан в Шотландии, то загран ему в соответствии с действовавшими тогда правилами транслитерации собрались выписывать на фамилию Lesli а не Leslie. Официально не решалось никак, ну вообще никак, на высочайшем уровне никак (мы как раз тогда писали софт для оформления этих самых паспортов и были выходы) пока в действие не была введена коррупционная шоколадка простому секретарю
konst90
10.01.2026 19:52Знаю историю, когда один человек был записан по-разному в загранпаспорте и на банковской карте, потому что между их получением правила транслитерации изменились. И из-за этого то ли вообще не получилось, то ли сильно усложнилось получение бонусных миль.
Ooaoo
10.01.2026 19:52у меня на 2х разных картах одного банка и в загранпаспорте везде разное написание имени и фамилии
Hrr_2
10.01.2026 19:52Сейчас какие-то уродские правила стали: Алексей теперь Aleksei, а не Alexey, как было в МИД-овской таблице при СССР
Neusser
10.01.2026 19:52Да там тупая замена буквы на соответствующую другую букву (или сочетание). В итоге у людей получаются имена Lidiia, Sofiia,
alcotel
10.01.2026 19:52Таковы правила, к сожалению. Моей жене досталось: IULIIA
А иначе - все будут читать по-разному, типа как Mexico, Metaxa или Oaxaca) Названиям Pajero и Visit тоже, говорят, досталось.
Neusser
10.01.2026 19:52Кого вы понимаете под всеми? Вы думаете, что Iuliia все будут читать одинаково?
victor-homyakov
10.01.2026 19:52Знаю историю, когда в семье у самого младшего ребёнка фамилию записали не так, как у родителей и старших братьев. Обнаружили только на паспортном контроле при вылете всем семейством в отпуск.
CorwinH
10.01.2026 19:52В СССР в загранпаспортах применялась транслитерация фамилий на основе французского языка. На международный стандарт перешли только в 2002 году... после чего у меня в паспорте поменялись имя и фамилия.
aamonster
10.01.2026 19:52В загране до сих пор можно заявление написать, чтобы писали по-прежнему. С банковскими картами тем более (там в анкете вообще поле для имени латиницей). А вот права – проблема... Но вроде не придираются.
RulenBagdasis
10.01.2026 19:52Доктор Ватсон и Эмма Уотсон — однофамильцы, но опять же, правила изменились.
А я в детстве читал про доктора Уотсона ))
garwall
10.01.2026 19:52Генри Гексли и Олдос Хаксли.
konst90
10.01.2026 19:52Абрахам Маслоу (изобретатель пирамиды имени себя) и его эмигрировавший из Киева отец Самуил Маслов.
Darkness_Paladin
10.01.2026 19:52Оффтоп к слову про Маслоу:
Пирамида Маслоу на самом деле имеет форму воронки или кроны дерева -- чем больше базовых потребностей удовлетворено, тем больше у индивидуума возникает новых, неудовлетворённых потребностей. Причём верхнего края у воронки или кроны нет, удовлетворить ВСЕ потребности человека невозможно -- когда они все будут удовлетворены, появятся новые.
В форме пирамиды эту диаграмму можно представить, только если предположить, что она отображает не потребности как таковые, а людей, которые эти потребности имеют. Тут да, чем выше уровень, тем меньше людей, которые его имеют.
Также важно указать, что перечисление конкретных потребностей с указанием их позиций в иерархии -- грубая ошибка. Формат древа потребностей -- это индивидуальная черта личности, а не что-то стандартное и общее для всех.
AbitLogic
10.01.2026 19:52Что значит "хотя бы", Ньютона большая часть мира Айзеком называют, это у нас почему-то Исаак
LeToan
10.01.2026 19:52У него имя библейское. Потому, чтобы исключить всякие искажения, надо брать древнееврейское произношение и точка, то есть Ицхак.
LeonidasBanderas
10.01.2026 19:52Тогда уж, чтобы быть очень точным, его имя следует произносить Йицхак, יצחק.
M_AJ
10.01.2026 19:52Передача имен это всегда веселая очень веселая история, имя Георгий например в современном русском стало тремя отдельными именами: Георгий, Юрий и Егор.
nicknamenull
10.01.2026 19:52Вам показывают математическую модель, где валюта - это просто
var currency, условная переменная, не влияющая на результат рассуждений. Но нет, местный кружок юных краеведов не может пройти мимо. Одному "режет ухо", у второго флешбеки с советских ЭВМ, третий вообще Шекспира приплел.Бернулли умер до появления доллара, да. Но если бы он увидел, что потомки вместо обсуждения парадокса матожидания со всей серьёзностью выясняют этимологию талеров в "Макбете", он бы умер второй раз, от испанского стыда за вашу мелочность
Darkness_Paladin
10.01.2026 19:52Очень даже влияющая! Если речь о долларах США, я нажму красную кнопку и заберу миллион. Если речь о долларах Зимбабвы, я обругаю "организатора игры" нехорошим словом, развернусь и уйду, не тронув кнопок -- 10М зимбабвийских фантиков не стоят ничего, на них даже одну спичку не купишь.
nicknamenull
10.01.2026 19:52Не могли бы вы провести сравнительный анализ валют 18 века, чтобы помочь установить истину, что же там на самом деле мог написать Бернулли? Или, хотя бы, провести сравнительный анализ валют современности, чтобы найти такие, при которых задача не теряет смысла?
ManulVRN
10.01.2026 19:52Это была эпоха денег из драгметаллов либо, максимум, бумажных, но обеспеченных драгметаллами. Поэтому принципиального значения конкретное название валюты не имело.
funca
10.01.2026 19:52Однако, наблюдение с локализацией валюты интересное. В русскоязычной вики, посвященной парадоксу, считают дукаты, в английский - доллары, в польской - злотые, а в немецкой или испанской версиях вообще евро. Украинцы сохраняют нейтралитет, говоря просто о некой сумме.
nicknamenull
10.01.2026 19:52Класс. Спасибо вам за вашу исследовательскую деятельность, это очень ценно для дискуссии.
maxwolf
10.01.2026 19:52Хотите ещё? :)
nicknamenull
10.01.2026 19:52А что, там комментарии тоже загажены духотой не по теме?
Статья хорошая. Левенштейн и метафоны - полезные инструменты. Если вы предполагали, что меня просто бесит лингвистика как таковая, то вы ошиблись. А вот мой диагноз для вас остаётся актуальным, вы прекрасный представитель местного кружка юных краеведов и интеллектуалов.
Проблема в том, что вы, ребята, путаете эрудицию с отсутствием дисциплины ума. Странно, что вы считаете, что признаком ума является способность напыщенно вываливать рандомные факты про транскрибирование имён собственных и про валюты 18 века в топике по теории вероятностей, а также делиться своей резью в ушах от слова "доллар". И всё это на 30% от объёма дискуссии. Вам либо плевать на тему статьи и вы просто стремитесь себя показать (перед кем, к слову, не хотите ли задуматься?), либо по сабжу сказать нечего, а очень хочется выглядеть умненьким.
В статье, которую вы скинули, человек чётко ставит задачу и затем решает её. А вы в комментариях просто создаете шум, чтобы выглядеть умными. Разница фундаментальная. И со стороны это выглядит жалко.
anonymous