Интро.

Два года назад я выполнил и опубликовал исследование (habr, reddit) о том, как можно создать комфортный быстрый и полностью беспересадочный городской транспорт, способный работать почти как такси. Идея заключалась в том, чтобы взять маленькие комфортные автобусы и заставить их курсировать вдоль особой сети гибких маршрутов. Эта сеть построена так, чтобы клиент мог доехать от любой остановки до любой вообще без пересадок, а его путешествие длилось не более чем в полтора раза дольше по сравнению с автомобилем. Но особенно важно в найденной мной схеме - то, что автобус перевозит по 10 пассажиров за рейс и тем самым поездка оказывается сравнительно дешевой. Есть надежда, что такой транспорт окажется достаточно привлекательным, чтобы переманить на себя большую часть автомобилистов, и как следствие, сможет избавить мегаполисы от пробок.

Хочу поделиться с вами хорошей новостью: полгода назад моими исследованиями заинтересовался казахстанский транспортный стартап UvU. Все это время мы активно сотрудничаем и нацелены применить мои идеи на практике.

У UvU уже есть работающий продукт: они обслуживают частные школы, бизнесцентры и офисы крупных компаний Астаны и Алма-Аты. Утром маленькие автобусы UvU собирают людей по городу, чтобы отвезти их на работу или в школу, а вечером развозят людей обратно по домам. Как видите, модель их продукта очень похожа на мою идею с беспересадочным автобусным такси.

Сейчас в Алма-Аты очень много частных машин, из-за чего на дорогах жуткие пробки. Вместе с командой UvU мы строим амбициозные планы: сначала развить и вырастить их уже существующие продукты, а затем использовать полученные опыт и доверие, чтобы создать общественный транспорт для среднего класса во всей Алма-Аты. Мы верим, что появление такого транспорта не только решит проблему с пробками, но и улучшит городскую мобильность для всех категорий горожан.

Мне приятно, что в UvU уважают научный метод, ценят исследования и любят эксперименты. Сегодня я расскажу вам о моей работе над проблемой ценообразования.

Как-то утром мы обсуждали переход на новый улучшенный алгоритм формирования рейсов и Мадияр Толеугали (CEO UvU) обратился ко мне с вопросом: «Слушай, с этими изменениями наши клиенты получат по сути новый продукт. Можем ли сейчас понять, как правильно назначать поездкам цену и от чего должна зависеть ее величина?». Это была действительно сложная задача и мне показалось интересным попытаться ее решить. Азарта и мотивации добавляло то, что любое прояснение, которого я смогу достичь, отразится на продукте и тем самым повлияет на жизнь множества людей. Но была и трудность: новая услуга только запускалась и экономические характеристики вроде эластичностей спроса мы в принципе еще долго не могли измерить. Поначалу я даже был уверен, что пока эти характеристики не измерены, каких-либо полезных рекомендаций вообще не получится дать. Однако потом я вдруг переосознал экономическую теорию и получил настолько красивое решение, что просто должен был уговорить UvUпозволить мне его опубликовать. Я благодарен фаундерам за то, что они любезно на это согласились.

В качестве эксперимента эта статья написана в форме диалога П – «практика» и М – «мистика» (что за мистику ты нам здесь рассказываешь…), этих двух извечных визави многих корпоративных пьес. Я надеюсь, мой спектакль вам понравится.

Трагедия простых решений.

М: Привет! Помнишь, ты задал мне вопрос, какой должна быть цена совместной поездки? Кажется, я нашел ответ и хотел бы с тобой его обсудить.

П: Привет! Да, давай обсудим, мне не терпится узнать, что ты обнаружил! Правда, прошло столько времени, я думал у этой задачи простое решение.

М: Боюсь, мое решение совсем простым не назовешь… Если у тебя есть идея, как решить эту задачу просто, рассказывай - быть может я не увидел очевидного и снова все переусложнил.

П: Хмм, попробую. Со стороны может показаться, что наш сервис работает как обычный общественный транспорт: автобус UvU каждое утро проезжает определенный маршрут и собирает всех назначенных на него людей. Однако с точки зрения клиента наш продукт больше похож на такси: клиент выходит на дорогу рядом с домом, там его подбирает комфортный автобус и без пересадок довозит до места работы (или в школу). Я собираюсь использовать эту аналогию, чтобы определить величину цены.

М: Да, действительно, похож на такси, только едешь ты не один и по пути останавливаешься, чтобы могли сесть или выйти другие пассажиры. Взамен, конечно, поездка обходится сильно дешевле.

П: И все же я попытаюсь. Давай считать, что цена поездки складывается из стоимости аренды транспорта, вознаграждения его водителя и небольшого процента прибыли фирмы. Когда кто-то едет в такси, он платит некоторые x$ за каждый проделанный километр пути (или за каждую проведенную в салоне минуту). В персональном такси едет условно один пассажир и он платит за все километры пути единолично. Будем смотреть на наш автобус как на обобщенное такси, которое на разных участках маршрута везет разное число людей. С такой точки зрения выглядит справедливым, чтобы оплата за каждый километр пути автобуса, распределялась поровну между всеми теми пассажирами, которые этот километр на нем проехали.

М: Я думаю нам нужен какой-то простой пример. Представим себе гипотетический маршрут длинною в 5 километров с точкой высадки у бизнесцентра. Пусть вдоль этого маршрута живут пять человек, которые работают в бизнесцентре и все они хотели бы ездить на работу нашим автобусом. Пусть первый работник живет в начале первого километра маршрута, то есть на расстоянии 5 километров от бизнесцентра, второй – вначале второго километра, третий – в начале третьего, …, пятый – в начале пятого километра маршрута. Примем оценку, что каждый километр пробега автобуса стоит 2.4$. Сколько тогда, по-твоему, должен заплатить за поездку каждый из работников?

(маршрут длинной в 5 км с пятью клиентами: по одному в начале каждого километра пути)

П: Тут все просто. На первом километре в автобусе едет только первый работник и поэтому платит за этот километр полные 2.4$. На втором километре в автобусе едут первый и второй работник, следовательно каждый из них за этот участок пути платит по 1.2$. На третьем километре в автобусе уже три попутчика, которым он обходится по 0.8$ каждому, …, последний пятый километр в автобусе едут все пять работников, и он обходится им по 0.48$ каждому. Суммируя платы за отдельные участки пути, получаем, что первый (самый далеко живущий) работник должен заплатить за проезд 5.48$, второй - 3.08$, третий - 1.88$, четвертый - 1.08$, а пятый - всего 0.48$.

М: Пока твои доводы выглядят пока достаточно логичными. А что ты скажешь насчет задержек в пути, которые возникают из-за посадки каждого следующего пассажира. Этот аспект твоя аналогия не охватывает, ведь в персональном такси у пассажира нет таких задержек. Каждый пассажир, который садится в автобус позже, задерживает этим каждого из тех, кто сел раньше. Если ты хочешь справедливо назначать цены поездок, тебе потребуется как-то вписать это обстоятельство в твою модель.

П: Хорошее замечание, но я думаю, здесь тоже все просто. Время – это по сути деньги. Если пассажир задержал кого-то в пути, значит он нанес этому «кому-то» денежный ущерб. Разве не будет справедливо обязать каждого пассажира компенсировать любой ущерб, который он наносит другим?

Оценим время деньгами и установим такое правило: если пассажир А нанес $ ущерба пассажиру B, то цена поездки для A увеличивается на $, а для B она на те же самые $ уменьшается. Этим правилом мы как бы передаем компенсацию от A к B.

Перейдем к конкретным цифрам. Предположим, что наш типичный клиент зарабатывает 12$ в час, а посадка каждого пассажира вместе с остановкой, торможением, разгоном, перестройками из полосы в полосу и тому подобное – увеличивает время в пути на минуту. Тогда величина компенсации x каждого следующего пассажира каждому предыдущему равна 0.2$. На рисунке ниже показано, как формируется цена поездки наших вымышленных работников с учетом правила компенсации

(назначение цены с учетом компенсации задержек)

Первому платят все последующие четыре его попутчика, цена для него падает на 0.8$ и теперь равна 4.68$. Второй платит первому, а затем получает компенсации от третьего, четвертого и пятого. В результате цена для второго уменьшается на 0.4$ и составляет 2.68$. Третий должен заплатить компенсации двум предыдущим и получить их от двух последующих - итоговая цена от этого никак не поменяется и составит прежние 1.88$. Четвертый платит троим предыдущим, а ему платит только пятый. Цена четвертого увеличивается на 0.4$ и теперь равна 1.48$. Пятый платит всем, его поездка дорожает на 0.8$ и становится равной 1.28$.

M: Логика твоих рассуждений ясна, но действительно ли твой новый способ назначать так уж справедлив? Смотри:
Пока в автобусе едет мало людей, каждый километр пути им обходится дорого. Наверняка в такой ситуации пассажиры автобуса хотят, чтобы к ним подсело еще сколько-нибудь попутчиков и тем самым сделало их поездку дешевле. Однако новый попутчик не может появится без дополнительной остановки автобуса, а дополнительная остановка – без дополнительной задержки в пути. В твоей модели ценообразования выгоду от нового попутчика получают многие, а все издержки от его прихода ложатся на него самого. Разве это справедливо?

П: Теперь я вижу, что не совсем…

М: Ладно, я верю, что, немного подумав, ты найдешь достаточно справедливый способ делить между попутчиками издержки от остановок - это не проблема. Проблема «справедливого» ценообразования в другом.

П: И в чем же тогда?

М: Я должен признаться, что поначалу тоже рассматривал «справедливую» модель как одну из наиболее перспективных для применения «в поле», но затем обнаружил, что она может быть до смешного неэффективной. От этой неэффективности страдают все: и пассажиры, и водители, и фирма-перевозчик, а что самое неожиданное – ее причины никак не связаны с потерей времени на остановках.

П: И что это за неэффективность? Надеюсь, ты мне объяснишь.

М: Я сделаю это на примере нашего вымышленного маршрута. Будем считать, что проблемы потери времени на остановках нет. В таком случае честное ценообразование – это делить оплату за каждый километр пробега автобуса между всеми, кто это километр в нем проехал. Именно так мы делали в нашем первом примере. Давай вернемся к нему и добавим еще одно допущение.

На этот раз мы предположим, что каждый наш вымышленный работник готов заплатить за поездку не больше некоторого установленного для себя морального максимума: если цена проезда меньше этого максимума, то он будет ездить нашим автобусом каждый будний день, а если больше – то найдет другой способ добираться до бизнесцентра. Пусть первый работник готов платить не больше 5.5$, второй – не больше 4.5$, третий – 3.5$, четвертый – 2.5$, а пятый – только 1$.

П: Пусть, но я пока не вижу проблемы. С первого мы берем 5.48$ это меньше 5.5$, со второго – 3.08$ и это меньше его предельных 4.5$, для третьего фактические 1.88$ меньше предельных 3.5$, точно также для четвертого и пятого их фактические 1.08$ и 0.48$ меньше их пределов в 2.5$ и 1$. Все работники пользуются нашим автобусом и никакой неэффективности нет.

М: Пока нет, но давай теперь представим, что у первого (самого дальнего от бизнесцентра) работника платежеспособность немного упала. Скажем, у него в семье родился еще один ребенок и теперь он готов платить за автобус только 4.5$. Поскольку фактические 5.48$ теперь больше предельных 4.5$, то в один из понедельников первый работник поедет на работу на велосипеде.

Во вторник маршрут автобуса укоротится и будет начинаться уже с места посадки второго работника. Кроме того, изменится и плата за проезд. В этот день второй должен будет заплатить 5$, третий – 2.6$, четвертый – 1.4$, пятый – 0.6$. .

(схема оплаты, где первый едет на велосипеде)

П: Ага!, для третьего, четвертого и пятого новые цены окажутся приемлемыми, а вот для второго проезд станет через чур дорогим.

М: Все верно, поэтому в среду не только первый, но и второй поедут в офис на велосипедах. В результате маршрут автобуса снова укоротится и будет начинаться в точке посадки третьего. Честные цены за проезд в среду будут такими: третий заплатит 4.4$, четвертый - 2$, а пятый - 0.8$. Легко заметить, что в этот день слишком дорогой поездка оказывается уже для третьего.

(схема оплаты, где первый и второй едет на велосипеде)

П: Я догадался, что будет дальше: ты подобрал цифры так, чтобы в следующий понедельник все пятеро работников поехали в офис на велосипедах.

M: Именно так, причем поедут они в проливной дождь, а водитель продаст свой автобус и пойдет на паперть собирать милостыню. В этой истории особенно поучительно то, что в сумме пятеро работников были готовы платить даже больше, чем нужно, чтобы автобус их всех возил на работу. Действительно, сумма допустимых трат пятерых сотрудников равна 4.5 + 4.5 + 3.5 + 2.5 + 1 = 16$, а стоимость рейса, по первоначальному длинному маршруту - всего лишь 2.45 = 12$.

П: Да, несправедливая какая-то справедливость получается… И какое решение ты предлагаешь в качестве альтернативы?

М: Использовать стандартный для экономики подход, согласно которому фирма должна действовать так, чтобы извлечь максимум прибыли в среднесрочной или долгосрочной перспективе. В нашем примере фирма-перевозчик может предложить всем пятерым работникам доехать до бизнесцентра за цену чуть меньшую, чем каждый из них максимально готов заплатить. Взяв с каждого 90% от максимума, фирма соберет 14.4$. Этого хватит и на оплату автобуса и на свои «пять процентов» прибыли. В итоге у нас довольные клиенты (получают услугу дешевле, чем ее оценивают), «сытый» водитель и процветающая фирма.

П: Конечно, как человеку, который играет на стороне фирмы, мне нравится идея про максимизацию прибыли. Но как применить ее в реальности, ведь на деле нам трудно узнать какой максимум человек готов заплатить за услугу? Не будем же мы раздавать нашим клиентам анкеты с вопросом «А как много мы можем у вас попросить за проезд?» и надеяться, что они честно на него ответят.

М: Нет, на практике действовать придется иначе и прежде чем я расскажу тебе как, давай вспомним кое-что из курса микроэкономики.

 

Экономическая теория для фирмы с единственным независимым продуктом.

М: Почти любая коммерческая фирма мечтает о двух вещах: знать, как ее клиенты принимают решения о покупка, и, используя это знание, иметь возможность предлагать клиентам свой продукт по индивидуальной, наиболее выгодной для себя цене. Так, фирма-перевозчик из нашего примера мечтала бы знать, за какую максимальную цену сотрудник бизнесцентра согласен ездить на работу, и мечтала бы продать ему эту поездку именно по такой цене. Обе эти мечты почти никогда не воплощаются в жизнь. Во-первых, выяснить как думает каждый клиент – технически трудно, а во-вторых, продавать разным людям один и тот же продукт по разной цене - считается в современных обществах не этичным и часто запрещено законом.

П: Получается, фирмы должны продавать продукт всем по одной цене?

М: Не совсем, все же кое-какие легальные и относительно этичные способы ценовой дискриминации клиентов существуют. Мы обсудим их позже. А вообще, да, «единая цена для всех» — это основная парадигма продажи для продуктов, у которых все экземпляры мало отличимы друг от друга. В супермаркете все одинаковые буханки хлеба, банки одного наименования газировки, тюбики одного вида зубной пасты стоят одинаково. Одинаковые для всех тарифы интернет трафика и сотовой связи. Ты вспомнишь, как внутри такой парадигмы выглядит механизм максимизации прибыли?

П: Это что-то из первого курса экономики: функция спроса, эластичность по цене, постоянные и переменные издержки…

М: Все верно. Экономическая теория в этом случае строится на предположении, что есть фирма, которая выпускает продукт с одинаковыми для всех ценой и дизайном, а также определенная аудитория из людей, готовых купить некоторое количество этого продукта в течение продолжительного времени . Считается, что количество единиц продукта, которые купит тот или иной человек, зависит от цены продукта p, его параметров дизайна (таких как вес, габариты, качество), а также личных предпочтений человека. Эта зависимость называется индивидуальной функцией спроса. Складываясь вместе, индивидуальные функции формируют интегральную функцию спроса на продукт . Интегральная функция спроса показывает, как много будет продано продукта за период , если выпустить его на рынок по цене и с параметрами дизайна . Произведение объема продаж на цену — это грязный доход фирмы.

Грязный доход можно вычислить графически. Для этого в системе координат p,v нужно построить «осевой» прямоугольник, у которого две стороны являются осями координат, а еще две – это перпендикуляры к осям, опущенные из точки фактической цены и фактического спроса .
В микроэкономических теориях считается, что фирма стремится подобрать такую цену и дизайн продукта, чтобы на промежутке ее прибыль была максимальной.

(графическое вычисление грязной прибыли)

П: Да, но ведь грязный доход – это еще не прибыль.

М: Ты прав, чтобы получить прибыль, нужно из грязного дохода вычесть издержки, которые несла фирма, пока выпускала и реализовывала свой продукт. Мы будем считать, что эти издержки являются функцией от объема выпуска продукта v и его дизайнерских параметров . Таким образом прибыль есть:

П: А можно ли прибыль изобразить графически?

М: Можно, но для этого нужно кое-что рассказать об издержках. На практике издержки обычно делятся на составляющие двух видов: «постоянные» и «переменные» . К постоянным относятся такие расходы, которые не зависят от объема выпуска продукта. Это расходы на строительство и аренду производственного помещения, закупку капитальных средств производства, аренду площадей наружной рекламы и так далее. Переменные издержки напротив – растут вместе с объемом выпуска продукта. К последним следует отнести расходы на сырье, оплату объема выполненных производственных работ, логистику конечного товара.
Величина, на которую растут издержки, когда выпуск продукта увеличивается на одну единицу при неизменных параметрах дизайна, называют предельными (переменными) издержками. По определению предельные издержки есть
,
таким образом они являются функцией и и определяются видом функции переменных издержек . В реальном мире фирмы обычно продают так много единиц продукта, что функции издержек и можно с большой точностью считать непрерывными и даже дифференцируемыми по . В таких случаях предельные издержки будут приравнены к производной функции издержек по :
.

П: И как это все позволяет «графически» вычислить прибыль?

(графический метод вычисления прибыли, здесь C - это постоянные издержки ConstC)

М: Следующим образом.
Изобразим в координатах p,v кривую спроса и кривую переменных издержек
. Снова построим осевой прямоугольник, который своей свободной вершиной опирается на кривую спроса в точке фактического спроса и фактической цены . Кривая предельных издержек поделит этот прямоугольник на две криволинейные трапеции: верхнюю и нижнюю. Площадь нижней – это интеграл функции предельных переменных издержек, он равен величине переменных издержек при выбранном фактическом значении объема производства и параметрах дизайна . Поскольку площадь всего осевого прямоугольника равна грязному доходу, то площадь верхней криволинейной трапеции, которую отсекает от этого прямоугольника кривая предельных издержек равна прибыли фирмы плюс постоянные издержки.

П: И наверное, задачу максимизации прибыли можно решить графически?

М: При фиксированном постоянные издержки являются константой, поэтому, если мы подберем такие и , при которых площадь верхней трапеции внутри осевого прямоугольника окажется максимальной, то при этих же и окажется максимальной и прибыль.

П: Выходит, что для полной максимизации остается перебрать все и найти, при которой из них максимизированная по или прибыль достигает наибольшего значения.

М: Концептуально так, однако если функции спроса и издержек гладкие, проще будет провести максимизацию аналитически, воспользовавшись условиями экстремума. Если функция прибыли имеет максимум при некоторых и , то в этой точке ее дифференциал равен нулю. Это же условие можно записать так:

.

Так как мы можем переписать эти уравнения терминах функций спроса и издержек:

,

где – это эластичность спроса по цене, а – предельные издержки производства.

В жизни, конечно, фирмам обычно не известен конкретный вид функции спроса , поэтому они не могут напрямую использовать уравнения (*) и (**), но могут оптимизировать свою прибыль итерационно. На каждом шаге фирма эмпирически измеряет или качественно оценивает производные , , и , а затем изменяет на небольшую величину p и β так, чтобы получит максимальный прирост прибыли.

П: Хотелось бы увидеть, как эта теория будет работать на нашем примере с развозкой пяти воображаемых работников бизнесцентра.

М: Пожалуйста. Нашим продуктом будет поездка сотрудника от дома на работу. Параметром дизайна \betta нашего вымышленного продукта является длинна маршрута или то, как много остановок с потенциальными клиентами он охватывает. Вместо того чтобы говорить о долгосрочном периоде мы может положить наше T равным одному дню. Действительно, если поддерживать цены и продукт изо дня в день одинаковыми, то одинаковым будет и решение потенциальных клиентов совершать или не совершать поездки, а значит максимизация прибыли на масштабе дня будет равносильна максимизации прибыли на масштабе нескольких лет. Далее, единственными постоянными издержками ConstC(β) у нас является оплата пробега автобуса вдоль маршрута. Она не зависит от количества проданных единиц продукта, то есть от числа пользователей маршрута, но зависит от его длины.

В изначальном примере переменные издержки отсутствуют, то есть нет таких расходов, которые растут с увеличением числа пассажиров. Я хочу продемонстрировать работу теории во всей полноте, поэтому их добавлю. Я буду считать, что время водителя тоже ценно и за каждую остановку, то есть за каждого подобранного пассажира, он требует доплаты в 0.2 доллара. Отсюда получаем, что 0.2$.

Спрос при цене p и длине маршрута – это число охватываемых этим маршрутом работников, для которых цена не превышает их личного максимума возможной платы за поездку.

П: С формализацией понятно, а как провести графический анализ?

М: Выполним сначала построения для единственного значения 5 (самый длинный маршрут). При цене от нуля до 0$ до 1$ включительно ехать согласны все 5 работников. При цене от 1$ до 2.5$ включительно – 4, при цене от 2.5$ до 3.5$ включительно – 3, при цене от 3.5$ до 4.5$ включительно – 2, а если цена выше, то - ни одного. Такому поведению соответствует ступенчатая функция спроса , она изображена на рисунке 7 синим цветом (точки на острие стрелок им не принадлежат). Предельные издержки одинаковы при любом количестве пассажиров и равны 0.2, поэтому график – это прямая 0.2. Легко видеть, что максимум площади верхней части осевого прямоугольника достигается при значениях 3.5, 3. В этой точке прибыль равна 3.53 – 0.23 – 2.45 = - 2.1$, где 3.53 – это грязная прибыль от перевозки трех пассажиров, – 0.23 – переменные издержки, а – 2.45 – постоянные издержки этого рейса.

Для остальных значений \betta построения выполняются аналогично, они приведены на рисунке 8. Максимумы прибыли для них таковы: для – это , для – это , для – это , для – это , и наконец для , когда никто никуда не едет прибыль фирмы равна нулю.

(оптимизационные рисунки для β = 1,2,3,4 )

Экономика созависимых продуктов.

П: И мы снова получаем, что самое выгодное поведение для фирмы – это не возить никого. Похоже, ты построил такой пример, что даже экономика бессильна!

М: Не совсем, просто не стоит разные по содержанию услуги пытаться продавать по одной цене. Поездки дальностью в километр, два и пять – это разные по существу продукты с разной аудиторией и ощущением ценности. Вместо одного продукта : «поездка на работу» на одном рынке M, правильнее думать о пяти продуктах : «поездка на работу от остановки на километре i» . Каждый из этих продуктов продается на своем рынке M_i со своей собственной не пересекающейся с другими рынками аудиторией потребителей и функцией спроса . Поскольку у нас есть пять отличающихся свойствами продуктов, то будет вполне этичным продавать их по разной цене.

П: Ага, значит запросить за стакан воды 1000$, потому что покупатель обезвожен – это не этично, а запросить 1000$, потому что вы продаете ему эту воду в центре Сахары – уже вполне себе в порядке вещей.

М: Да, и так тоже бывает. Формальными правилами трудно передать смысл.

П: А как максимизировать прибыль, когда продаешь индексированное множество продуктов? Или все просто, и мы должны пытаться получить максимум прибыли отдельно по каждому из них?

М: Было бы так, если бы продукты с разными индексами не влияли друг на друга.

П: Будь добр, поясни.

М: Пожалуйста. Возьмем наш пример с пятью вымышленными работниками и автобусом. Продажа поездки от остановки на 5-том километре не влияет на привлекательность поездок от остальных 4-ех. Продажа поездки от остановки на 4-том километре означает, что теперь поездки от остановки на 5-том станут немного дольше, а значит их ценность и привлекательность упадут. Точно так же продажа поездки от 3-го километра снизит ценность и привлекательность поездок от 4-го и 5-го и так далее.

П: А можно ли подобную зависимость описать более формально?

М: Да, это можно сделать на уже знакомом нам языке функций спроса, однако нужно осознать, что здесь мы имеем дело не с пятью продуктами = «поездка от остановки на километре », а с пятью линейками продуктов = «поездка от остановки на километре с задержкой ». У каждого из этих продуктов будет своя функция спроса . Конкретная величина задержки и то, какой конкретный продукт из линейки будет продаваться на рынке , определяется количеством продуктов , покупаемых на рынках .

П: Ты хочешь сказать, что конкретное значение задержки есть функция конкретных значений объемов в которых производятся и продаются продукты ?

М: Именно так и мы можем записать, что спрос на продукт , есть функция от и : . Здесь проявляется первое отличие от экономики единственного продукта: при одной и той же цене p спрос на продукт может быть разным в зависимости от объемов, в которых продаются созависимые с ним продукты на других рынках.

П: Существует ли какая-нибудь теория, которая объясняет, как должна действовать фирма, чтобы получать максимальную прибыль от продажи созависимых продуктов?

М: Не могу ручаться, что такой теории не было раньше, но я попытался ее построить и у меня кое-что получилось.

П: Ну, если искать дольше, чем сделать самому, то почему бы и нет. Давай посмотрим на твою теорию.

М: Для начала формализуем задачу. Мы будем считать, что у нас есть непересекающихся рынков и параметризованных продуктовых линеек: .
На рынке фирма реализует единственный продукт с какими-то конкретными значениями параметров и . Параметры дизайна являются «свободными» - каждый из них фирма может установить по своему усмотрению. Что касается параметров , то они, наоборот - являются полностью «зависимыми». Для каждого значение параметра у продукта определяется значением его независимого параметра и объемов продаж продуктов этой и остальных продуктовых линеек, то есть:
.

Как и в теории для одного независимого продукта, мы будем считать, что спрос на каждый конкретный продукт определяется значениями его дизайнерских параметров и ценой продажи . Предполагая, что и могут быть любыми, мы вправе говорить о функции спроса сразу для всей продуктовой линейки . Наконец мы будем считать, что полные издержки фирмы зависят от того, чего и сколько она производит, то есть .

Мы будем говорить, что набор цен

, объемов производства

, зависимых параметров

и набор свободных параметров

находятся в равновесии со спросом и друг с другом (являются равновесными), если и только если:

1. значения зависимых параметров как раз такие, какими они должны быть при данных объемах производства и данных значениях свободных параметров, то есть, для каждого : , или короче:
   ;

2. объем производства каждого продукта равен спросу на него при данной цене и данных параметрах дизайна, то есть, для каждого или
   ;
   Задача фирмы состоит в том, чтобы установит для своих продуктов такие равновесные между собой , , и , при которых ее прибыль будет максимальной.

П: Меня кое-что смущает. Смотри, в твоей теории дизайнерские параметры зависят от объемов производства, объемы производства равны спросу, а спрос сам зависит от дизайнерских параметров . Получается, что равновесные объемы производства и равновесные параметры - каждый зависят от самих себя. Не может ли здесь возникнуть неразрешимого порочного круга?

В теории единственного независимого продукта для любой цены и любых дизайнерских параметров рынок создает на продукт определенный спрос . Фирма всегда может произвести как раз такой объем продукта, чтобы этот спрос в точности удовлетворить. Не совсем очевидно, всегда ли у фирмы есть такая возможность, если ее продукты созависимы. Более конкретно:

Пусть мы имеем дело с созависимыми продуктами. Зафиксируем их цены и свободные параметры .
Можем ли мы утверждать, что существуют такие объемы производства и значения зависимых параметров , что цены , свободные параметры ,, зависимые параметры , и объемы , являются равновесными друг для друга?

М: Хороший вопрос, я тоже им задавался и мне потребовалось много времени, чтобы найти на него ответ. Навскидку кажется, что нет, ведь вопрос про равновесие сводится к вопросу о существованию решений для системы уравнений:


подставляя верхние уравнения в нижние, получаем условие для объемов :

Можно предположить, что не для всех функций и у написанных выше системы и уравнения для будут существовать решения. Вот пример, когда решения действительно нет:

Пусть , а – тривиальный параметр с единственным значением. В этих предположениях мы будем иметь дело с единственным продуктом Prod(α), единственный параметр дизайна α которого зависит только от объема выпуска этого продукта. Как такое возможно? Ну например, каждая единица продукта рекламирует этот продукт. Тогда количество рекламы на рынке, которое без сомнения является параметром дизайна продукта, напрямую зависит от объема поставок продукта на этот рынок.

Пусть наш продукт настолько хорош, а его цена настолько мала, что, чем больше этого продукта поставляют на рынок, тем больший на него возникает спрос, в результате чего равенства между спросом и предложением никогда не достигается. Формально это можно представить так: объем рекламы равен объему выпуска (то есть ), а спрос равен . В условиях равновесия объем выпуска должен быть равен спросу:
,
но по условию
,
поэтому получаем неразрешимое уравнение для равновесного :

П: Интересный контрпример, но мне кажется, что он какой-то нереалистичный. На деле спрос не может расти до бесконечности, ведь на рынке есть только конечное число потребителей, и они не купят бесконечно много товара. Можно было бы попробовать подправить твой пример, положив
, чтобы прийти к другому неразрешимому уравнению . Однако система равенств

,
привела бы нас к равенству
,
а это означало бы, что спрос всегда на единицу меньше предложения, чего не может хотя бы тогда, когда предложение равно нулю.

М: Ты верно подметил, построить реалистичный пример без равновесия трудно. Я долго пытался это сделать, пока в конце концов ни доказал, что при реалистичных предположениях равновесие существует всегда. То есть для любых выбранных цен и свободных дизайнерских параметров , всегда существуют такие объемы выпуска , и значения зависимых параметров , что - являются равновесными друг для друга.

П: Что это за «реалистичные» предположения и как ты получил доказательство?

М: Сейчас расскажу.
Во-первых заметим, что для поиска равновесных, и , нам достаточно решить систему уравнений по сути только для
.
При известных равновесные вычисляются уже простой подстановкой:
.
Выходит нам нужно доказать, что в реалистичных или близких к реалистичным условиям система уравнений (***) непременно имеет решения.

Существование решения системы (***) равносильно тому, что отображение из , заданное формулой имеет неподвижную точку на подмножестве таких , которые могут служить реальным или гипотетическими спросом на продукты. На практике рынок ограничен и есть некоторое максимальное , больше которого люди не купят ни одного из продуктов ни при каких значениях . Меньше нуля спрос тоже упасть не может. Выходит, что реальные или гипотетические значения спроса лежат внутри множества , то есть .

Давайте примем обычное для практики допущение, что функции и непрерывны. В этом случае непрерывно и отображение , а раз так, то по знаменитой топологической теореме Брауэра отображение множества в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку.

П: Никогда бы не подумал, что абстрактная топологическая теорема может пригодится в решении практических задач…

М: Честно говоря, я тоже…

П: А можно ли найти явную зависимость равновесных объемов и параметров от величины установленных на продукты цен и выбранных значений свободных параметров ?

М: Даже если вам известен явный вид функций спроса и явный вид связей , выразить и , через , и может оказаться сложной задачей. Более того, теорема Брауэра не гарантирует, что такая зависимость будет функциональной, ведь равновесных соответствий для и может быть больше одного. Вообще анализ и оптимизация прибыли созависимых продуктов становится концептуально проще и понятней, если варьировать не цены, а объемы производства. Смотри!

Предположим, мы хотим, чтобы продукт продавался на рынке в объеме и свободным параметром , продукт продавался на рынке в объеме и свободным параметром , … продукт продавался на рынке в объеме и свободным параметром . Поскольку все объемы и свободные параметры известны, то нам известны и зависимые параметры этих продуктов: для параметра фактическим значением будет . В итоге для каждого продукта мы знаем фактические объемы поставок и фактические параметры дизайна, поэтому нам остается только правильно подобрать цену , чтобы спрос оказался равным предложению. Это можно сделать для каждого продукта отдельно, независимо от других.

П: Сначала поставить цену 0, а затем поднимать ее до тех пор пока спрос не сравняется с предложением?

М: Да, это самый очевидный способ. Если функция спроса непрерывна, ваши объемы поставок v_i^0 не превышают спроса на продукт при нулевой цене и никто не готов купить его за бесконечную цену, то по теореме о промежуточном значении вы обязательно достигните такой цены , при которой спрос сравняется с предложением . Более того, поскольку на практике спрос обычно убывает с ростом цены, такая цена будет единственной равновесной для данных и , следовательно, мы будем наблюдать функциональную зависимость
,
или короче

между объемами и свободными параметрами с одной стороны и равновесными ценами с другой.

П: Можем ли мы явно задать функции , если нам известны явные представления функций спроса и функций связи ?

М: Боюсь, что сделать это будет сложно, однако в предположении, что «гладкая» мы можем реконструировать на малых (дифференциальных) масштабах вокруг уже известной точки равновесия . Такую «реконструкцию» дает дифференциал .

Представим как сумму двух слагаемых и . Первое слагаемое – это линейные приращения при условии, что фиксированы свободные параметры , а второе – что фиксированы объемы .

Запишем уравнение, выражающее равновесие между спросом и объемами производства:

Из этого уравнения следует, что при фиксированных :



откуда:

при условии, что дифференциал обратим.
В случае, когда фиксировано :

,

следовательно:

.

П: Ты выразил дифференциал через частные производные спроса по , и и, наверное, предполагаешь, что последние можно как-то легко измерить, но как? Если я захочу измерить – частную производную спроса первого продукта по его цене, то я должен немного изменить цену , а параметры качества и удерживать постоянными. Однако если я действительно изменю , то у меня сначала изменится объем продаж , потом изменятся , поскольку они зависят от , затем изменятся объемы продаж , поскольку спрос зависит от . Эти изменения в повлекут изменение параметра , так как он зависит от объемов , и получается, я не смогу удержать неизменным. То же самое произойдет, если я постараюсь изменить только .

М: Есть такая проблема, но есть и маленькая хитрость. На обычно на практике удается из всего рынка выделить небольшую репрезентативную группу пользователей и провести эксперимент с изменением цены и параметров дизайна только внутри нее. Такой подход решает две проблемы: во-первых, даже значительные относительные изменения спроса в малой группе остаются пренебрежимо малы на фоне всего рынка, поэтому все на уровне рынков можно считать постоянными, а во-вторых, зависимые параметры зачастую можно менять искусственно в любом нужном направлении, то есть по сути обращаться с ними как со «свободными».

П: Предположим, что так. Предположим, что тебе удалось измерить производные спроса и вычислить дифференциал . Но как ты собираешься максимизировать прибыль?

М: Как и в случае независимого продукта – каждый раз строить дифференциал прибыли, а потом менять цены и свободные параметры так, чтобы прибыль немного росла. Полезно посмотреть на приращение прибыли, когда производство того продукта увеличивается на единицу, а производство остальных продуктов и свободные параметры остаются неизменными. Пусть – это мерный вектор из , у которого тая компонента равна единице, а все остальные – нулю. Поскольку прибыль есть
, то ее приращение от изменения на есть:

=

Первое слагаемое – это прирост дохода от увеличения объема производства и соответственно продаж того продукта. Второе является предельными издержками адаптации цен. Третье – это обычные предельные издержки производства, а четвертые – можно назвать предельными издержками адаптации качества. Когда варьируются параметры , а объёмы остаются фиксированными(последнее достигается подстройкой цен ) прирост прибыли выглядит так:
.

П: Я думаю, что наши аналитики разберутся со всеми этими «крокодилами», но насколько твоя теория способна описать наш реальный бизнес?

М: Давай разбираться.
В реальности мы бы хотели, чтоб с утра наши клиенты могли доехать до бизнесцентра почти из любой точки города к удобному для них времени. Для этого мы проложим к бизнесцентру обширное число маршрутов и по каждому из них пустим автобусы, следующие с небольшим интервалом друг за другом. Маршрутная сеть у нас такова, что зоны обслуживания разных маршрутов почти не пересекаются, поэтому их экономический анализ можно проводить независимо друг от друга. Зафиксируем какой-нибудь один маршрут. Поездки вдоль этого маршрута от остановок, расположенных на расстоянии от до километров от бизнесцентра мы будем считать тым созависимым продуктом . К параметрам дизайна отнесем число M рейсов маршрута, среднее время ожидания автобуса и задержку в пути , которую клиент i-того рынка (садится на расстоянии километров от бизнесцентра) накапливает в результате посадки попутчиков с более близких к бизнесцентру остановок.

Пусть все автобусы отправляются из крайней точки маршрута, стартуя друг за другом через равные промежутки времени в течении периода . Мы будем предполагать, что количество автобусов M подобрано так, чтобы они увезли всех клиентов по m человек в одном автобусе. Обозначим через С_0 стоимость, в которую обходится один рейс автобуса, а через – задержку в минутах, которую вызывает одна остановка. Будем предполагать, что пассажиры приходят на свои остановки равномерным потоком в течении времени и почти всегда только один пассажир входит в автобус с одной остановки.

Если – это число клиентов, которые утром садятся на наши автобусы между тым и -вым километром маршрута, то на один рейс приходится пассажиров, интервал между ними составляет минут, а среднее время ожидания автобуса – половину этой величины. Дополнительная задержка в пути пассажира с того километра, вызванная последующими остановками есть

В итоге мы описали наши созависимые продукты при помощи двух зависимых наборов параметров
- «время ожидания на остановке» клиентов i-того километра.
- «дополнительная задержка в пути» клиентов с i-того километра
и одного общего для всех участков маршрута свободного параметра
- «количество рейсов»

П: Выглядит правдоподобно. Однако эта теория будет полезна, только когда мы выйдем на рынок, наладим процессы и сможем корректно измерить производные спроса по цене и параметрам дизайна. А что нам делать сейчас, когда мы только планируем запуск услуги и измерить что-либо на рынке просто нельзя? Можешь ли ты дать совет, по какой цене нам стоит предлагать поездки на старте продаж?

Ценообразование в условии полной неизвестности.

М: Тот факт, что мы пока не можем измерить производные спроса – это не главная причина, почему трудно применить развитую нами теорию созависимых продуктов или любую другую стандартную экономическую теорию по отношению к услуге, которая только что вышла на рынок.

П: И в чем же основная трудность?

М: Все эти теории неявно подразумевают, что участники рынка реагируют на изменения всегда одинаковым способом: потребители всегда одинаковым способом при заданных ценах и параметрах продуктов распределяют на покупки свой бюджет, фирмы-производители всегда одинаковым способом отвечают на изменение спроса и действия своих конкурентов. Внутри экономических теорий считается, что только изучаемые ими фирмы действуют свободно, то есть могут устанавливать любые цены и выпускать продукты с любым дизайном, а все остальные участники рынка под них подстраиваются. Предполагается, что в этих условиях спрос на продукты изучаемых фирм полностью определяется их ценой и дизайном, то есть рынок становится в некотором смысле детерминированным и однозначным. Последнее означает, что если изучаемые фирмы в два разных момента времени поставят на рынок продукты с тем же дизайном и по тем же ценам, то и спрос на эти продукты оба раза будет тем же самым.

Гипотеза однозначности рынка хорошо работает, когда мир и рынок почти не меняются: достаток потребителей, состав фирм-производителей, ассортимент продуктов, технологии, законодательство и доступность информации остаются постоянными. Однако у вас стартап. Сегодня о вашем продукте не знает никто и не может его предпочесть, даже если он сильно лучше своих конкурентов. Завтра – узнают многие, поэтому при той же цене и при том же дизайне завтра спрос на ваш сервис будет совсем другим, чем сегодня. Даже такую твердыню экономики как «максимизация прибыли фирмы» не совсем корректно ставить в качестве цели для растущего продукта.

П: Как же нам действовать, если мы только выводим услугу на рынок и собираемся этот рынок революционно менять?

М: Во-первых критически подойти к идее максимизации прибыли и грамотно выбрать подходящую цель на тот период, когда продукт быстро растет. В зависимости от обстоятельств хорошей целью может стать наискорейший рост аудитории, или наискорейший безубыточной рост, или наискорейшее достижение определенного уровня прибыли, или наискорейший захват какого-то определенного сегмента рынка, или достижение чего-то еще.

П: Да, но разве для наискорейшего достижения чего бы то ни было нам не нужно знать, как в зависимости от наших действий будет меняться спрос? Мне кажется, очень трудно предсказать наперед, как поведет себя быстро меняющийся рынок…

М: Вот именно, поэтому я предлагаю умеренную и прагматичную стратегию: оценить, какими должны быть оптимальные параметры дизайна и оптимальные цены наших продуктов в момент, когда эти продукты станут зрелыми, а рынок стабилизируется, и уже сейчас установить такими. Почему? Есть надежда, что поступив так, мы сразу будем привлекать в сервис как раз тех клиентов, которые останутся с нами в будущем и обеспечат фирме максимальную прибыль.

П: Ты предлагаешь угадать оптимальную цену и параметры дизайна продукта для рынка, которого еще не существует?

М: Не угадать, а определить разумные границы для того и другого. У меня получилось построить кое-какую теорию на этот счет, позволь мне проговорить ее предположения и описать наш будущий «зрелый» продукт.

В этой теории я считаю, что есть много не пересекающихся маршрутов, ведущих из города в бизнесцентр. По каждому из маршрутов друг за другом с небольшим интервалом едут наши автобусы. Число автобусов на каждом из маршрутов велико, а интервал между ними достаточно мал, чтобы для клиента не было большой разницы, поехать на этом автобусе или на следующем. В идеале мы хотели бы построить «on demand» сервис, в котором клиент мог бы сесть на автобус, когда он того пожелает, однако в этом случае возникают сложности со случайностью и я решил их не затрагивать. Для простоты анализа я считаю, что все клиенты покупают поездки по подписке и если подписались, то исправно ездят каждый будний день. При покупке подписки клиенты выбираю остановку для посадки и желаемое время прибытия в бизнесцентр, после этого система назначает их на конкретный рейс.

Поскольку зоны обслуживания маршрутов не пересекаются, мы можем анализировать работу каждого из них отдельно. Возьмем какой-нибудь маршрут. По условию все поездки вдоль этого маршрута заканчиваются в бизнесцентре. Как и прежде будем считать, что отдельные продукты – это поездки, которые начинаются от остановок, расположенных на расстоянии от -го до километров пути к бизнесцентру (, где равно длине маршрута).

П: Какими дизайнерскими параметрами описываются продукты в этой модели?

М: Для анализа нам их потребуется всего два: – количество рейсов вдоль маршрута (из мы потом выразим число пассажиров m в автобусе) и – дополнительная задержка в пути, которую пассажир i-того километра испытывает из-за промежуточных остановок автобуса. В добавок ко всему мы будем считать, что каждый продукт выставлен на рынке по своей собственной цене .

П: Судя по набору параметров главной проблемой сервиса ты видишь дополнительные задержки в пути из-за подбора пассажиров?

М: Именно так. Если бы этих задержек не было, то поездки от каждого участка маршрута были бы независимыми продуктами, и все, что нам бы оставалось сделать – это назначить такие цены, которые извлекли максимум прибыли из каждого продукта в отдельности.

П: Но продукты зависимы: больше посадок на одном участке маршрута – больше задержки в пути и меньше привлекательность продукта на другом. Как ты собираешься учесть этот эффект, если тебе не известны производные спроса ни по параметрам, ни по цене и померять их удастся не скоро?

М: Поначалу я считал эту задачу нерешаемой, но потом мне пришла идея использовать условие оптимальности цен. Когда цена оптимальна, то продавать чуть меньше по чуть большей равновесной цене или продавать чуть меньше, но по чуть большей равновесной цене – в первом приближении на прибыль никак не влияет. Чтобы воспользоваться этим свойством, я оценил потери времени деньгами и в итоге получил, на мой взгляд, достаточно полезный результат.

П: Ты меня заинтриговал. Расскажи поподробнее.

М: Тут придется начать с теории и выяснить, какие свойства проявляют экономические показатели созависимых продуктов, когда последние продаются по оптимальной цене.

Пусть у нас есть абстрактные созависимые продукты такие, что тый продукт продается на рынке с параметрами в объеме и цене . Зафиксируем объемы всех продуктов кроме того, все свободные дизайнерские параметры и постараемся понять, что произойдет, если немного поварьировать объем . Сможешь провести анализ?

П: Попробую. Я сосредоточусь на общем случае. Пусть немного изменится, тогда автоматически предложение на тый продукт перестанет соответствовать его спросу при цене . Чтобы их снова уравновесить, эту цену нам придется немного скорректировать. Но это еще не все. Поскольку параметры всех продуктов зависит от , то они изменятся тоже. В результате изменится спрос на все продукты и при прежних ценах он уже не будет соответствовать оставшимся неизменными объемам производства . Чтобы этот спрос и предложения стали снова равны, нам придется скорректировать цены уже для всех продуктов сразу.

М: Все верно, и позволь мен кое-что добавить к твоему анализу.
Поскольку параметры и объемы по условию остаются фиксированными, новые значения параметров , и равновесных цен оказываются функциями от единственной переменной . Отсюда вытекает два важных для нас следствия:

1. Так как равновесная цена на продукт является функцией объема , то о графике этой функции (точнее ей обратной) мы можем говорить как о кривой «эффективного» спроса на продукт .

2. Величина, на которую меняется прибыль от продаж продуктов в результате изменения равновесных цен , тоже является функцией от . Назовем эту составляющую изменения прибыли рыночными издержками от изменения . Издержки от производства всех продуктов также оказываются функцией . Объединим вместе рыночные и производственные издержки и назовем получившуюся сумму «эффективными» издержками от изменения объема того продукта (или точнее ).

П: Выходит, что «эффективные» издержки включают в себя три компоненты: то, как с изменением объема того продукта изменяется прибыль от продажи всех других продуктов, то, как меняется стоимость производства всех продуктов из-за изменения параметров , и то, сколько стоит производство дополнительных единиц самого продукта с новым значением параметра ?

М: Именно так. Определим предельные «эффективные» издержки как производную от «эффективных» издержек и изобразим график функции на плоскости . На этой же плоскости построим кривую эффективного спроса . Теперь мы можем выразить прибыль фирмы графически, подобно тому, как это было сделано в теории одного продукта.

(кривые эффективного спроса, эффективных издержек и осевой прямоугольник)

П: То есть, мы снова строим осевой прямоугольник так, чтобы его с вершина лежала на кривой эффективного спроса, и берм ту его часть, которая лежит выше кривой предельных эффективных издержек?

М: Да, при всех площадь этой верхней части осевого прямоугольника с точностью до константы будет равна полной прибыли фирмы от продажи всех ее созависимых продуктов .

Теперь предположим, что цена является оптимальной для извлечения прибыли. Оптимальность означает, что данных объемах производства всех кроме того продукта, фирма получит максимальную прибыль, если будет производить продукт в таком количестве , чтобы равновесная цена на него оказалась равной . У осевого прямоугольника, который опирается на кривую эффективного спроса в точке с оптимальным значением цены , верхняя трапеция, отсекаемая от него кривой , имеет максимальную площадь. И тут мы подошли к главному, зачем вообще нужны были все эти эффективные функции.

(вариация оптимального осевого прямоугольника)

Давай проанализируем, что произойдет с доходами, расходами и прибылью, если мы будем продавать тый продукт по чуть большей цене , чем оптимальная , но чуть в меньшем равновесном объеме . Построим новый осевой прямоугольник с вершиной . Верхняя трапеция в новом прямоугольнике получается из верхней трапеции «оптимального» прямоугольника добавлением к ней сверху полоски и отрезанием справа полоски . Площадь верхней полоски – это приращение дохода от повышения цены, в первом приближении оно равно произведению старого объема на приращение цены Площадь правой полоски – это убыль дохода от сокращения объема продаж, в первом приближении она равна произведению старой доходности с единицы того продукта на изменение его объема .

Поскольку в точке прибыль максимальна, малое варьирование аргумента в первом приближении ее не изменяет, откуда мы сразу же получаем, что площади полосок и равны. Если и не оптимальны, но «почти» оптимальны, то площади и не обязательно равны точно, но они будут почти равны.

П: Выходит, когда цена и объем немного отклоняются от оптимальных значений, весь дополнительный доход от того, что клиенты стали платить больше, компенсируется тем, что этих самых клиентов стало меньше. Интересно, но что нам дает этот факт?

М: А дает он нам следующее. Пусть теперь – это снова наши услуги совместных поездок от остановок i-того километра в бизнесцентр. Пусть при текущих объемах и текущих значениях свободных параметров услуга продается в оптимальном объеме и по оптимальной цене . Предположим, что на какие-то из рынков пришли новые клиенты и из-за этого поездки от того участка стали дольше на . Если не менять цену , то тый рынок отреагирует на увеличившуюся задержку падением спроса. Попробуем оценить, к каким потерям прибыли это приведет.

П: А разве нам для этого не нужно знать производные спроса на продукт по времени задержки ?

М: Нет, если оценить дополнительную задержку деньгами. Смотри!
Предположим, что все наши клиенты абсолютно рациональны в своих решениях, поэтому на каждую дополнительную минуту в пути смотрят как на минуту рабочего времени. Пусть все они имеют примерно одну и туже величину оплаты труда в $ за минуту. В этих предположениях дополнительные минут в пути воспринимаются клиентами как удорожание поездки на долларов. Раз цена выросла, то число клиентов должно сократится. Поскольку первоначальная цена оптимальна, то убытки от того, что некоторые клиенты ушли, будет в точности равны сумме, которую оставшиеся переплатили из-за увеличившейся цены. Отсюда мы получаем простое правило:

сколько клиенты переплатили временем, столько же фирма потеряла деньгами.

П: Сильное утверждение.

М: Да, сильное. Нам оно нужно, чтобы оценить влияние, которое оказывает на прибыль посадка очередного пассажира.

П: И как это сделать?

М: Для простоты представим, что все рейсы маршрута идентичны друг другу: все они возят по m человек и с одной и той же остановки подбирают одно и то же число пассажиров. Возьмем остановку, перед которой в автобусах уже едет по му пассажиру, и поместим на эту остановку по одному клиенту на каждый рейс. К каким последствием это приведет, если в автобусах было достаточно свободных мест?

П: На каждом рейсе севшие первыми пассажиров испытают дополнительную задержку в пути величиной в минут, что будет эквивалентна дополнительной плате каждым из них в размере долларов.

М: Все верно, свяжем теперь эти потери с нашим выводом про оптимальные цены. Пусть рейсов всего и на каждом рейсе из садящихся первыми го пассажиров садятся на том километре маршрута, – на вом километре, … – на вом, и других участков, где они садятся нет. Тогда посадка по одному дополнительному клиенту в качестве r-того пассажира на каждый из рейсов обернется потерями прибыли величиной$ на рынке того километра, величиной $ – на рынке го километра, …, $ – на рынке (n – l + 1)-го. Всего из-за упавшей привлекательности сервиса фирма потеряет $ прибыли, что составляет $ потерь в расчете на одного дополнительного севшего тым пассажира. Понятно, что фирме не выгодно продавать поездку дешевле этих потерь.

П: Ага, значит, если в автобус за рейс подбирает m пассажиров, то поездка для n-того должна стоить не меньше . Но вряд ли ее стоит делать меньше, для тех, кто сел раньше, ведь их поездка длиннее. Предположим, что реальная стоимость минуты времени составляет примерно $, потери времени на одну остановку составляют 30 секунд - 1 минуту. Чтобы получить нижнюю границу для цены поездки нам не хватает знания оптимального числа пассажиров . Можем ли мы его как-то найти?

М: Давай попробуем. Если число m пассажиров рейса оптимально, то увеличение или уменьшение m на единицу в первом приближении не должно влиять на прибыль. Сейчас наша задача грамотно проварьировать .

По нашему допущению число рейсов на маршруте велико и все эти рейсы идентичны с точки зрения того, где и сколько на них садится пассажиров. Выберем произвольные рейсов маршрута, пронумеруем их, а после полностью расформируем последний -вый и распределим его пассажиров по оставшимся рейсам. Первого (самого дальнего) пассажира -го рейса посадим на первый рейс, второго – на второй, …, того – на тый. Перераспределенные пассажиры будут садится в автобус под тем же номером, по под которым они садились на прежний рейс (все старые рейсы были идентичны). Теперь у нас есть (почти идентичных) рейсов по -ому пассажиру в каждом. Посчитаем для всех пассажиров, как изменилось их время задержки в пути.

Начнем с пассажиров оставшихся рейсов. На первый рейс нового пассажира подсадили как самого «дальнего» пассажир, поэтому для остальных пассажиров этого рейса время в пути никак не изменилось. На втором рейсе первому по очереди посадки пассажиру стало ездить на дольше, на третьем на дольше стало ездить первому и второму, …, на ом рейсе дольше на поедут все, кроме последнего. Подсчет показывает, что суммарная дополнительная задержка в пути для тех пассажиров, кто изначально ездил на первых рейсах, составит минут.

Займемся теперь пассажирами расформированного маршрута. Первый его пассажир задержится в пути на дополнительные минут, поскольку после него теперь садятся не , а уже m пассажиров. После второго теперь садятся не , а пассажиров и его путь тоже удлинится на минут по сравнению с тем, как он ездил раньше. Аналогично третий, четвертый и все пассажиры расформированного маршрута тоже потеряют в пути на минут больше. Суммарно пассажиры расформированного маршрута потеряют в пути дополнительные минут. В итоге общие потери времени от реорганизации маршрутов составят порядка минут, которые будут стоить пассажирам $. Ровно на эту сумму уменьшится прибыль фирмы в результате оттока клиентов.

Еще одно изменение в прибыли – это то, что теперь нужно нанимать на один автобус меньше. Если оптимально, все изменения в потерях и приобретениях должны компенсировать друг друга. Пусть плата за найм автобуса в рейс составляет , тогда мы можем написать уравнение:

,

откуда

П: Формула для – отлично! Посмотрим, сколько это будет в числах. Плата за автобус составляет сейчас порядка $, стоимость минуты времени пассажира - порядка $. Если на подбор очередного пассажира автобус тратит минуту, то

пассажиров

если же минуты, то пассажирам.

М: Раз ты знаешь m, то можешь теперь оценить и нижнюю границу для стоимости поездки…

П: Точно. Если взять равной 1-ой минуте и равной пассажирам, то посадка последнего го в автобус задержит предыдущих суммарно на минут, и тем самым будет стоит $ прибыли. Если же ой минуты и m равной , то задержка на посадку того принесет ущерб в $. То есть $. Ты утверждаешь, что это минимум, за который мы можем продавать поездки. Но почему мы не добавляем сюда стоимость аренды посадочного места ?

М: Нет, стоимость аренды места добавлять не нужно. Это было бы ошибкой, посуди сам. Мы или пускаем еще один рейс, или нет. Условия, когда мы его пускаем, получаются из оптимизации прибыли по и там стоимость найма автобуса аккуратно учитывается. Если же рейс уже запущен, то траты на его содержания становятся в каком-то смысле постоянными издержками: они не растут и не уменьшаются с числом пассажиров, которых этот рейс перевозит. Как известно, постоянные издержки никак не влияют на процесс оптимизации прибыли. Поскольку нижнюю границу цены за проезд мы получили через процесс оптимизации прибыли по цене, то постоянные издержки в виде платы за места в автобусе влиять на нее никак не могут. Но это еще не все.

Минимальная плата за проезд на самом деле должна быть выше, но по другой причине. Когда мы добавляли еще одного пассажира на рейс, мы считали только убытки, которые возникают из-за ухудшения качества сервиса и оттока уже существующих клиентов. Мы не учитывали, что этот «добавочный» пассажир должен был еще откуда-то взяться, а в жизни клиенты просто так из ниоткуда не берутся. Если ты хочешь посадить на одного клиента больше в каждый автобус, то по законам экономики тебе придется насколько-то снизить цену поездки. В итоге те, кто уже ездит получат скидку. Бремя этой скидки ляжет на стоимость поездки крайнего (садящегося последним) пассажира и поэтому ее настоящая безубыточная цена может быть немного или даже значительно выше нашей оценки. Насколько выше – зависит от эластичности спроса по цене, и я боюсь, что без измерений здесь сказать точнее не получится.

П: Похоже, что на деле цена поездки для последнего пассажира должна быть доллара так … Хмм, интересный результат: наши маркетологи говорят, что $ - это цена, которую видят для себя разумной пользователи с самых дальних остановок маршрута. С тех, кто садится ближе к бизнесцентру, выглядит логичным брать не больше, и в то же время с севшего последним мы должны взять где-то . Выходит, что твоя нижняя теоретическая оценка заставляет нас продавать поездки по $ независимости от того, насколько далеко от бизнесцентра они начинаются.
Я должен над этим подумать.

Кстати, а что у тебя по задаче mvrp?
----------------------------------------------------------------------------------

Сергей Коваленко
magnolia@bk.ru
Алма-Аты,
лето 2025-го года